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lean_github

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https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
norm_cast
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ Complex.abs (1 - ↑(normSq u)) ≀ 1
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ |1 - normSq u| ≀ 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ Complex.abs (1 - ↑(normSq u)) ≀ 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
rw [abs_sub_le_iff]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ |1 - normSq u| ≀ 1
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ 1 - normSq u ≀ 1 ∧ normSq u - 1 ≀ 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ |1 - normSq u| ≀ 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
refine ⟹?_, ?_⟩
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ 1 - normSq u ≀ 1 ∧ normSq u - 1 ≀ 1
case refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ 1 - normSq u ≀ 1 case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ normSq u - 1 ≀ 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ 1 - normSq u ≀ 1 ∧ normSq u - 1 ≀ 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
repeat linarith
case refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ 1 - normSq u ≀ 1 case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ normSq u - 1 ≀ 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ 1 - normSq u ≀ 1 case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ normSq u - 1 ≀ 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
simpa [normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm] using one_sub_mul_conj_ne_zero u_in_𝔻 u_in_𝔻
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 ⊢ 1 - ↑(normSq u) ≠ 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 ⊢ 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
set w := 1 - conj u * u with hw
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
have : w ≠ 0 := by simpa [normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm u] using e1
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
rw [φ_deriv u_in_𝔻 u_in_𝔻, normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm u, ← hw]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ w / w ^ 2 = 1 / w
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
field_simp
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ w / w ^ 2 = 1 / w
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ w * w = w ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ w / w ^ 2 = 1 / w TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
ring
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ w * w = w ^ 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u this : w ≠ 0 ⊢ w * w = w ^ 2 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
simpa [normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm u] using e1
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u ⊢ w ≠ 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 w : ℂ := 1 - (starRingEnd ℂ) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd ℂ) u * u ⊢ w ≠ 0 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
rw [normSq_eq_abs]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊢ normSq u < 1
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊢ Complex.abs u ^ 2 < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊢ normSq u < 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
have : abs u < 1 := mem_𝔻_iff.mp u_in_𝔻
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊢ Complex.abs u ^ 2 < 1
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u this : Complex.abs u < 1 ⊢ Complex.abs u ^ 2 < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊢ Complex.abs u ^ 2 < 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
simp only [sq_lt_one_iff_abs_lt_one, Complex.abs_abs, this]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u this : Complex.abs u < 1 ⊢ Complex.abs u ^ 2 < 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u this : Complex.abs u < 1 ⊢ Complex.abs u ^ 2 < 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
linarith
case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ normSq u - 1 ≀ 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U f : ℂ → ℂ f_diff : DifferentiableOn ℂ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : ¬InjOn f 𝔻 u : ℂ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : ℂ → ℂ := (φ u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn ℂ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : ¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) ≠ 0 φ'u_u : deriv (φ u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊢ normSq u - 1 ≀ 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
obtain ⟹u, u_in_𝔻, u_not_in_f_U⟩ := exists_of_ssubset hf
z u z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
let φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
let φᵀf : embedding U 𝔻 := φᵀ.comp f
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
have φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf z ≠ 0 := λ z z_in_U hz => by refine u_not_in_f_U ⟹z, z_in_U, ?_⟩ apply φᵀ.is_inj (f.maps_to z_in_U) u_in_𝔻 dsimp [φᵀf] at hz rw [hz] simp [φᵀ, φ]
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
obtain ⟹g, hg⟩ := φᵀf.sqrt' φᵀf_ne_zero
case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
let v : ℂ := g z₀
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 := g.maps_to hz₀
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
let h : embedding U 𝔻 := (φ v_in_𝔻).comp g
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have h_z₀_eq_0 : h z₀ = 0 := by simp [h, φ]
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
let σ : ℂ → ℂ := λ z => z ^ 2
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
let ψ : ℂ → ℂ := φ (neg_in_𝔻 u_in_𝔻) ∘ σ ∘ φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have f_eq_ψ_h : EqOn f (ψ ∘ h) U := λ z hz => by have e1 := φ_inv v_in_𝔻 (g.maps_to hz) have e2 := hg hz have e3 := φ_inv u_in_𝔻 (f.maps_to hz) dsimp [φᵀf] at e2 simp [ψ, σ, h, e1, ← e2, e3]
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have deriv_eq_mul : deriv f z₀ = deriv ψ 0 * deriv h z₀ := by have e1 : U ∈ 𝓝 z₀ := good_domain.is_open.mem_nhds hz₀ have e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 (0 : ℂ) := ball_mem_nhds _ zero_lt_one have e3 : deriv f z₀ = deriv (ψ ∘ h) z₀ := (eventuallyEq_of_mem e1 f_eq_ψ_h).deriv_eq rw [e3, ← h_z₀_eq_0] refine deriv.comp z₀ ?_ (h.is_diff.differentiableAt e1) rw [h_z₀_eq_0] exact ψ_is_diff.differentiableAt e2
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [deriv_eq_mul, norm_mul]
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ h_1, ‖deriv ψ 0‖ * ‖deriv h.to_fun z₀‖ < ‖deriv h_1.to_fun z₀‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine ⟹h, mul_lt_of_lt_one_left ?_ ?_⟩
case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ h_1, ‖deriv ψ 0‖ * ‖deriv h.to_fun z₀‖ < ‖deriv h_1.to_fun z₀‖
case intro.intro.mk.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ 0 < ‖deriv h.to_fun z₀‖ case intro.intro.mk.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ‖deriv ψ 0‖ < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ h_1, ‖deriv ψ 0‖ * ‖deriv h.to_fun z₀‖ < ‖deriv h_1.to_fun z₀‖ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine u_not_in_f_U ⟹z, z_in_U, ?_⟩
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ False
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ f.to_fun z = u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ False TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply φᵀ.is_inj (f.maps_to z_in_U) u_in_𝔻
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ f.to_fun z = u
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = φᵀ.to_fun u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ f.to_fun z = u TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
dsimp [φᵀf] at hz
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = φᵀ.to_fun u
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊢ φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = φᵀ.to_fun u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀf.to_fun z = 0 ⊢ φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = φᵀ.to_fun u TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [hz]
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊢ φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = φᵀ.to_fun u
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊢ 0 = φᵀ.to_fun u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊢ φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = φᵀ.to_fun u TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [φᵀ, φ]
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊢ 0 = φᵀ.to_fun u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f z : ℂ z_in_U : z ∈ U hz : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊢ 0 = φᵀ.to_fun u TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [h, φ]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g ⊢ h.to_fun z₀ = 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g ⊢ h.to_fun z₀ = 0 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e1 := φ_inv v_in_𝔻 (g.maps_to hz)
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e2 := hg hz
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀf.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e3 := φ_inv u_in_𝔻 (f.maps_to hz)
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀf.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀf.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z e3 : (φ ⋯).to_fun ((φ u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀf.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z TACTIC:
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
dsimp [φᵀf] at e2
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀf.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z e3 : (φ ⋯).to_fun ((φ u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = g.to_fun z ^ 2 e3 : (φ ⋯).to_fun ((φ u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀf.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z e3 : (φ ⋯).to_fun ((φ u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [ψ, σ, h, e1, ← e2, e3]
z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = g.to_fun z ^ 2 e3 : (φ ⋯).to_fun ((φ u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun z : ℂ hz : z ∈ U e1 : (φ ⋯).to_fun ((φ v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : φᵀ.to_fun (f.to_fun z) = g.to_fun z ^ 2 e3 : (φ ⋯).to_fun ((φ u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊢ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine (φ (neg_in_𝔻 u_in_𝔻)).is_diff.comp ?_ ?_
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻
case refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (σ ∘ (φ ⋯).to_fun) 𝔻 case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (σ ∘ (φ ⋯).to_fun) 𝔻 𝔻
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply DifferentiableOn.comp
case refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (σ ∘ (φ ⋯).to_fun) 𝔻
case refine_1.hg z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ σ ?refine_1.t case refine_1.hf z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (φ ⋯).to_fun 𝔻 case refine_1.st z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (φ ⋯).to_fun 𝔻 ?refine_1.t case refine_1.t z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ Set ℂ
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (σ ∘ (φ ⋯).to_fun) 𝔻 TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
case t => exact 𝔻
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ Set ℂ
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ Set ℂ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case hg => apply DifferentiableOn.pow exact differentiable_id.differentiableOn
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ σ 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ σ 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case hf => exact (φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).is_diff
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (φ ⋯).to_fun 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (φ ⋯).to_fun 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case st => exact (φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (φ ⋯).to_fun 𝔻 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (φ ⋯).to_fun 𝔻 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact 𝔻
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ Set ℂ
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ Set ℂ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply DifferentiableOn.pow
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ σ 𝔻
case ha z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (fun x => x) 𝔻
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ σ 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact differentiable_id.differentiableOn
case ha z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (fun x => x) 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case ha z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (fun x => x) 𝔻 TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact (φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).is_diff
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (φ ⋯).to_fun 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ DifferentiableOn ℂ (φ ⋯).to_fun 𝔻 TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact (φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (φ ⋯).to_fun 𝔻 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (φ ⋯).to_fun 𝔻 𝔻 TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine MapsTo.comp ?_ (φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to
case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (σ ∘ (φ ⋯).to_fun) 𝔻 𝔻
case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo σ 𝔻 𝔻
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo (σ ∘ (φ ⋯).to_fun) 𝔻 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
intros z hz
case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo σ 𝔻 𝔻
case refine_2 z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U z : ℂ hz : z ∈ 𝔻 ⊢ σ z ∈ 𝔻
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊢ MapsTo σ 𝔻 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simpa [σ, 𝔻] using hz
case refine_2 z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U z : ℂ hz : z ∈ 𝔻 ⊢ σ z ∈ 𝔻
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U z : ℂ hz : z ∈ 𝔻 ⊢ σ z ∈ 𝔻 TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e1 : U ∈ 𝓝 z₀ := good_domain.is_open.mem_nhds hz₀
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 (0 : ℂ) := ball_mem_nhds _ zero_lt_one
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ TACTIC:
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e3 : deriv f z₀ = deriv (ψ ∘ h) z₀ := (eventuallyEq_of_mem e1 f_eq_ψ_h).deriv_eq
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [e3, ← h_z₀_eq_0]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ = deriv ψ (h.to_fun z₀) * deriv h.to_fun z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine deriv.comp z₀ ?_ (h.is_diff.differentiableAt e1)
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ = deriv ψ (h.to_fun z₀) * deriv h.to_fun z₀
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ DifferentiableAt ℂ ψ (h.to_fun z₀)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ = deriv ψ (h.to_fun z₀) * deriv h.to_fun z₀ TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [h_z₀_eq_0]
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ DifferentiableAt ℂ ψ (h.to_fun z₀)
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ DifferentiableAt ℂ ψ 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ DifferentiableAt ℂ ψ (h.to_fun z₀) TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact ψ_is_diff.differentiableAt e2
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ DifferentiableAt ℂ ψ 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 z₀ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun z₀ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) z₀ ⊢ DifferentiableAt ℂ ψ 0 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact norm_pos_iff.2 (embedding.deriv_ne_zero good_domain.is_open hz₀)
case intro.intro.mk.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ 0 < ‖deriv h.to_fun z₀‖
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ 0 < ‖deriv h.to_fun z₀‖ TACTIC:
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply non_injective_schwarz ψ_is_diff
case intro.intro.mk.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ‖deriv ψ 0‖ < 1
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ MapsTo ψ 𝔻 𝔻 case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ¬InjOn ψ 𝔻
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ‖deriv ψ 0‖ < 1 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine λ z hz => (φ (neg_in_𝔻 u_in_𝔻)).maps_to (mem_𝔻_iff.mpr ?_)
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ MapsTo ψ 𝔻 𝔻
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ z : ℂ hz : z ∈ 𝔻 ⊢ ‖(σ ∘ (φ ⋯).to_fun) z‖ < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_img z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ MapsTo ψ 𝔻 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simpa [σ] using mem_𝔻_iff.mp ((φ (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to hz)
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ z : ℂ hz : z ∈ 𝔻 ⊢ ‖(σ ∘ (φ ⋯).to_fun) z‖ < 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_img z✝ u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ z : ℂ hz : z ∈ 𝔻 ⊢ ‖(σ ∘ (φ ⋯).to_fun) z‖ < 1 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp only [InjOn, not_forall, exists_prop]
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ¬InjOn ψ 𝔻
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ¬InjOn ψ 𝔻 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e1 : (2⁻¹ : ℂ) ∈ 𝔻 := by apply mem_𝔻_iff.mpr; norm_num
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e2 : (-2⁻¹ : ℂ) ∈ 𝔻 := neg_in_𝔻 e1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine ⟚φ v_in_𝔻 2⁻¹, (φ v_in_𝔻).maps_to e1, φ v_in_𝔻 (-2⁻¹), (φ v_in_𝔻).maps_to e2, ?_, ?_⟩
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ψ ((φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ψ ((φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)) case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ¬(φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ∃ x ∈ 𝔻, ∃ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ ¬x = x_1 TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply mem_𝔻_iff.mpr
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ 2⁻¹ ∈ 𝔻
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ‖2⁻¹‖ < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ 2⁻¹ ∈ 𝔻 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
norm_num
z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ‖2⁻¹‖ < 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ ⊢ ‖2⁻¹‖ < 1 TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
unfold_let
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ψ ((φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ψ ((φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹))
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ((φ ⋯).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (φ ⋯).to_fun) ((φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ((φ ⋯).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (φ ⋯).to_fun) ((φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ψ ((φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ψ ((φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)) TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [φ_inv v_in_𝔻 e1, φ_inv v_in_𝔻 e2]
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ((φ ⋯).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (φ ⋯).to_fun) ((φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ((φ ⋯).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (φ ⋯).to_fun) ((φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ((φ ⋯).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (φ ⋯).to_fun) ((φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ((φ ⋯).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (φ ⋯).to_fun) ((φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)) TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
intro h
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ¬(φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h✝.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) ⊢ False
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊢ ¬(φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have := (φ v_in_𝔻).is_inj e1 e2 h
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h✝.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) ⊢ False
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h✝.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) this : 2⁻¹ = -2⁻¹ ⊢ False
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h✝.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) ⊢ False TACTIC:
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
norm_num at this
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h✝.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) this : 2⁻¹ = -2⁻¹ ⊢ False
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ z₀ : ℂ U : Set ℂ inst✝ : good_domain U hz₀ : z₀ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻 u : ℂ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U φᵀ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻 φᵀf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵀ f φᵀf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵀf.to_fun z ≠ 0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn φᵀf.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : ℂ := g.to_fun z₀ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (φ v_in_𝔻) g h_z₀_eq_0 : h✝.to_fun z₀ = 0 σ : ℂ → ℂ := fun z => z ^ 2 ψ : ℂ → ℂ := (φ ⋯).to_fun ∘ σ ∘ (φ ⋯).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn ℂ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun z₀ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun z₀ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (φ v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (φ v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) this : 2⁻¹ = -2⁻¹ ⊢ False TACTIC:
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/to_mathlib.lean
isCompact_segment
[8, 1]
[12, 74]
simpa only [segment_eq_image] using isCompact_Icc.image (by continuity)
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝⁾ : OrderedRing 𝕜 inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜 inst✝⁶ : TopologicalAddGroup 𝕜 inst✝⁵ : CompactIccSpace 𝕜 inst✝ : TopologicalSpace E inst✝³ : AddCommGroup E inst✝² : ContinuousAdd E inst✝¹ : Module 𝕜 E inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E x y : E ⊢ IsCompact (segment 𝕜 x y)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝⁾ : OrderedRing 𝕜 inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜 inst✝⁶ : TopologicalAddGroup 𝕜 inst✝⁵ : CompactIccSpace 𝕜 inst✝ : TopologicalSpace E inst✝³ : AddCommGroup E inst✝² : ContinuousAdd E inst✝¹ : Module 𝕜 E inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E x y : E ⊢ IsCompact (segment 𝕜 x y) TACTIC:
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isCompact_segment
[8, 1]
[12, 74]
continuity
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝⁾ : OrderedRing 𝕜 inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜 inst✝⁶ : TopologicalAddGroup 𝕜 inst✝⁵ : CompactIccSpace 𝕜 inst✝ : TopologicalSpace E inst✝³ : AddCommGroup E inst✝² : ContinuousAdd E inst✝¹ : Module 𝕜 E inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E x y : E ⊢ Continuous fun Ξ => (1 - Ξ) • x + Ξ • y
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝⁾ : OrderedRing 𝕜 inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜 inst✝⁶ : TopologicalAddGroup 𝕜 inst✝⁵ : CompactIccSpace 𝕜 inst✝ : TopologicalSpace E inst✝³ : AddCommGroup E inst✝² : ContinuousAdd E inst✝¹ : Module 𝕜 E inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E x y : E ⊢ Continuous fun Ξ => (1 - Ξ) • x + Ξ • y TACTIC:
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mem_closed_ball_neg_iff_mem_neg_closed_ball
[14, 1]
[16, 33]
rw [← neg_closedBall r v]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊢ u ∈ closedBall (-v) r ↔ -u ∈ closedBall v r
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊢ u ∈ -closedBall v r ↔ -u ∈ closedBall v r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊢ u ∈ closedBall (-v) r ↔ -u ∈ closedBall v r TACTIC:
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mem_closed_ball_neg_iff_mem_neg_closed_ball
[14, 1]
[16, 33]
rfl
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊢ u ∈ -closedBall v r ↔ -u ∈ closedBall v r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊢ u ∈ -closedBall v r ↔ -u ∈ closedBall v r TACTIC:
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
have h1 : g z ≠ 0 := λ h => fz_nonzero (by simp [Eventually.self_of_nhds hg, h, n_pos.ne.symm])
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1)) TACTIC:
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
have h2 : n * (g z) ^ (n - 1) ≠ 0 := by simp [pow_ne_zero, h1, n_pos.ne.symm]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1)) TACTIC:
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
rw [(EventuallyEq.deriv hg).self_of_nhds, deriv_pow'' _ g_diff, eq_div_iff h2]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 ⊢ deriv g z * (↑n * g z ^ (n - 1)) = ↑n * g z ^ (n - 1) * deriv g z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 ⊢ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1)) TACTIC:
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
ring
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 ⊢ deriv g z * (↑n * g z ^ (n - 1)) = ↑n * g z ^ (n - 1) * deriv g z
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 ⊢ deriv g z * (↑n * g z ^ (n - 1)) = ↑n * g z ^ (n - 1) * deriv g z TACTIC:
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
simp [Eventually.self_of_nhds hg, h, n_pos.ne.symm]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h : g z = 0 ⊢ f z = 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h : g z = 0 ⊢ f z = 0 TACTIC:
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
simp [pow_ne_zero, h1, n_pos.ne.symm]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 ⊢ ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n✝ n : ℕ n_pos : 0 < n f g : ℂ → ℂ hg : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt ℂ g z fz_nonzero : f z ≠ 0 h1 : g z ≠ 0 ⊢ ↑n * g z ^ (n - 1) ≠ 0 TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
simp only [intervalIntegral, not_lt, hab, Ioc_eq_empty, Measure.restrict_empty, integral_zero_measure, sub_zero]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (t : ℝ) in a..b, φ z t) (∫ (t : ℝ) in a..b, ψ t) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (t : ℝ) in a..b, φ z t) (∫ (t : ℝ) in a..b, ψ t) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
let ÎŒ : Measure ℝ := volume.restrict (Ioc a b)
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h1 : ∀ᶠ z in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ := φ_cts.mono (λ z h => (h.mono Ioc_subset_Icc_self).aestronglyMeasurable measurableSet_Ioc)
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ := φ_cts.self_of_nhds.integrableOn_Icc.mono_set Ioc_subset_Icc_self
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ := ψ_cts.aestronglyMeasurable measurableSet_Ioc
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h4 : ∀ᵐ t ∂Ό, LipschitzOnWith (Real.nnabs C) (λ z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) := (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc).mpr (eventually_of_forall φ_lip)
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h5 : Integrable (λ _ => C) Ό := integrable_const _
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) h5 : Integrable (fun x => C) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h6 : ∀ᵐ t ∂Ό, HasDerivAt (λ z => φ z t) (ψ t) z₀ := (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc).mpr (eventually_of_forall φ_der)
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) h5 : Integrable (fun x => C) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) h5 : Integrable (fun x => C) ÎŒ h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, HasDerivAt (fun z => φ z t) (ψ t) z₀ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) h5 : Integrable (fun x => C) ÎŒ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
exact (hasDerivAt_integral_of_dominated_loc_of_lip ÎŽ_pos h1 h2 h3 h4 h5 h6).2
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) h5 : Integrable (fun x => C) ÎŒ h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, HasDerivAt (fun z => φ z t) (ψ t) z₀ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a✝ b✝ t : ℝ n : ℕ φ : ℂ → ℝ → ℂ ψ : ℝ → ℂ z₀ : ℂ a b C ÎŽ : ℝ hab : a ≀ b ÎŽ_pos : 0 < ÎŽ φ_cts : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, ContinuousOn (φ z) (Icc a b) φ_der : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => φ x t) (ψ t) z₀ φ_lip : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => φ x t) (ball z₀ ÎŽ) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ÎŒ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AEStronglyMeasurable (φ z) ÎŒ h2 : Integrable (φ z₀) ÎŒ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ÎŒ h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => φ z t) (ball z₀ ÎŽ) h5 : Integrable (fun x => C) ÎŒ h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Ό, HasDerivAt (fun z => φ z t) (ψ t) z₀ ⊢ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ z x ∂volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x ∂volume) z₀ TACTIC:
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uIoo_eq_union
[56, 1]
[57, 40]
cases le_total a b <;> simp [*, uIoo]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ ⊢ uIoo a b = Ioo a b ∪ Ioo b a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ ⊢ uIoo a b = Ioo a b ∪ Ioo b a TACTIC:
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mem_uIoo
[59, 1]
[59, 93]
simp [uIoo_eq_union]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ ⊢ t ∈ uIoo a b ↔ a < t ∧ t < b √ b < t ∧ t < a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ ⊢ t ∈ uIoo a b ↔ a < t ∧ t < b √ b < t ∧ t < a TACTIC:
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
ext t
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ ⊢ uIoo a b = Ι a b \ {a, b}
case h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t✝ : ℝ n : ℕ t : ℝ ⊢ t ∈ uIoo a b ↔ t ∈ Ι a b \ {a, b}
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t : ℝ n : ℕ ⊢ uIoo a b = Ι a b \ {a, b} TACTIC:
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
constructor <;> intro hh
case h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t✝ : ℝ n : ℕ t : ℝ ⊢ t ∈ uIoo a b ↔ t ∈ Ι a b \ {a, b}
case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t✝ : ℝ n : ℕ t : ℝ hh : t ∈ uIoo a b ⊢ t ∈ Ι a b \ {a, b} case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t✝ : ℝ n : ℕ t : ℝ hh : t ∈ Ι a b \ {a, b} ⊢ t ∈ uIoo a b
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : ℂ a b t✝ : ℝ n : ℕ t : ℝ ⊢ t ∈ uIoo a b ↔ t ∈ Ι a b \ {a, b} TACTIC: