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https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have ur : u ≤ r / 2 := by rw [← hu]; exact min_le_left _ _
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 := by rw [← hu] calc 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) _ ≤ 6 * b / r * (e * r / b / 24) := by bound _ = b / b * (r / r) * (e / 4) := by ring _ = e / 4 := by field_simp [bp.ne', rp.ne']
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
rw [ball_prod_same'] at rs
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
rw [← Metric.mem_ball, ball_prod_same', Set.mem_prod] at wz
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have d : DifferentiableOn ℂ (fun t ↦ f (t, w.snd)) (ball z.fst (r / 2)) := by intro t ts; refine (h.fa0 t w.snd ?_).differentiableWithinAt exact rs (Set.mk_mem_prod ts (Metric.ball_subset_ball ur wz.right))
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have wf : w.fst ∈ ball z.fst (r / 2) := Metric.ball_subset_ball ur wz.left
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have m : Set.MapsTo (fun t ↦ f (t, w.snd)) (ball z.fst (r / 2)) (ball (f (z.fst, w.snd)) (3 * b)) := by intro t ts; simp only [dist_eq_norm, Metric.mem_ball]; apply lt_of_le_of_lt (norm_sub_le _ _) have f0 : ‖f (t, w.snd)‖ ≤ b := by apply_rules [rs, Set.mk_mem_prod, Metric.ball_subset_ball ur, fb, wz.right] have f1 : ‖f (z.fst, w.snd)‖ ≤ b := by apply_rules [rs, Set.mk_mem_prod, Metric.ball_subset_ball ur, fb, Metric.mem_ball_self up, wz.right] calc ‖f (t, w.snd)‖ + ‖f (z.fst, w.snd)‖ _ ≤ b + b := by linarith _ = 2 * b := by ring _ < 3 * b := mul_lt_mul_of_pos_right (by norm_num) bp
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have L := Complex.dist_le_div_mul_dist_of_mapsTo_ball d m wf
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f (w.1, w.2)) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
simp only [Prod.mk.eta] at L
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f (w.1, w.2)) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f (w.1, w.2)) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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[101, 1]
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refine _root_.trans L (_root_.trans ?_ ue)
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 TACTIC:
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[101, 1]
[136, 8]
simp only [Metric.mem_ball] at wz
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ⊢ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u TACTIC:
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
rw [div_eq_mul_inv _ (2 : ℝ), div_mul_eq_div_div]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ 3 * b / r / 2⁻¹ * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u TACTIC:
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[101, 1]
[136, 8]
ring_nf
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ 3 * b / r / 2⁻¹ * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ b * r⁻¹ * dist w.1 z.1 * 6 ≤ b * r⁻¹ * u * 6
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ 3 * b / r / 2⁻¹ * dist w.1 z.1 ≤ 6 * b / r * u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
bound
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ b * r⁻¹ * dist w.1 z.1 * 6 ≤ b * r⁻¹ * u * 6
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) m : Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) L : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ 3 * b / (r / 2) * dist w.1 z.1 wz : dist w.1 z.1 < u ∧ dist w.2 z.2 < u ⊢ b * r⁻¹ * dist w.1 z.1 * 6 ≤ b * r⁻¹ * u * 6 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
rw [← hu]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < u
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < min (r / 2) (e * r / b / 24)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
simp only [gt_iff_lt, lt_min_iff]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < min (r / 2) (e * r / b / 24)
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < r / 2 ∧ 0 < e * r / b / 24
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < min (r / 2) (e * r / b / 24) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
exact ⟨by bound, by bound⟩
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < r / 2 ∧ 0 < e * r / b / 24
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < r / 2 ∧ 0 < e * r / b / 24 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
bound
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < r / 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < r / 2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
bound
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < e * r / b / 24
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u ⊢ 0 < e * r / b / 24 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
rw [← hu]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ u ≤ r / 2
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ r / 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ u ≤ r / 2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
exact min_le_left _ _
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ r / 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ⊢ min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ r / 2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
rw [← hu]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * u ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * u ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
calc 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) _ ≤ 6 * b / r * (e * r / b / 24) := by bound _ = b / b * (r / r) * (e / 4) := by ring _ = e / 4 := by field_simp [bp.ne', rp.ne']
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ e / 4
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
bound
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ 6 * b / r * (e * r / b / 24)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * min (r / 2) (e * r / b / 24) ≤ 6 * b / r * (e * r / b / 24) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
ring
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * (e * r / b / 24) = b / b * (r / r) * (e / 4)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ 6 * b / r * (e * r / b / 24) = b / b * (r / r) * (e / 4) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
field_simp [bp.ne', rp.ne']
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ b / b * (r / r) * (e / 4) = e / 4
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : dist w z < u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ⊢ b / b * (r / r) * (e / 4) = e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
intro t ts
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2))
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 ⊢ DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
refine (h.fa0 t w.snd ?_).differentiableWithinAt
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) t
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ (t, w.2) ∈ s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) t TACTIC:
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[101, 1]
[136, 8]
exact rs (Set.mk_mem_prod ts (Metric.ball_subset_ball ur wz.right))
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ (t, w.2) ∈ s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ (t, w.2) ∈ s TACTIC:
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[101, 1]
[136, 8]
intro t ts
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b))
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ (fun t => f (t, w.2)) t ∈ ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ Set.MapsTo (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) (ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)) TACTIC:
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
simp only [dist_eq_norm, Metric.mem_ball]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ (fun t => f (t, w.2)) t ∈ ball (f (z.1, w.2)) (3 * b)
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2) - f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ (fun t => f (t, w.2)) t ∈ ball (f (z.1, w.2)) (3 * b) TACTIC:
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
apply lt_of_le_of_lt (norm_sub_le _ _)
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2) - f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2) - f (z.1, w.2)‖ < 3 * b TACTIC:
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have f0 : ‖f (t, w.snd)‖ ≤ b := by apply_rules [rs, Set.mk_mem_prod, Metric.ball_subset_ball ur, fb, wz.right]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
have f1 : ‖f (z.fst, w.snd)‖ ≤ b := by apply_rules [rs, Set.mk_mem_prod, Metric.ball_subset_ball ur, fb, Metric.mem_ball_self up, wz.right]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
calc ‖f (t, w.snd)‖ + ‖f (z.fst, w.snd)‖ _ ≤ b + b := by linarith _ = 2 * b := by ring _ < 3 * b := mul_lt_mul_of_pos_right (by norm_num) bp
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ < 3 * b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
apply_rules [rs, Set.mk_mem_prod, Metric.ball_subset_ball ur, fb, wz.right]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2)‖ ≤ b
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) ⊢ ‖f (t, w.2)‖ ≤ b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
apply_rules [rs, Set.mk_mem_prod, Metric.ball_subset_ball ur, fb, Metric.mem_ball_self up, wz.right]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
linarith
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b + b
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ ‖f (t, w.2)‖ + ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b + b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
ring
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ b + b = 2 * b
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ b + b = 2 * b TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist0
[101, 1]
[136, 8]
norm_num
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ 2 < 3
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : 0 < e rp : 0 < r rs : ball z.1 (r / 2) ×ˢ ball z.2 (r / 2) ⊆ s fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b u : ℝ wz : w.1 ∈ ball z.1 u ∧ w.2 ∈ ball z.2 u hu : min (r / 2) (e * r / b / 24) = u up : 0 < u ur : u ≤ r / 2 ue : 6 * b / r * u ≤ e / 4 d : DifferentiableOn ℂ (fun t => f (t, w.2)) (ball z.1 (r / 2)) wf : w.1 ∈ ball z.1 (r / 2) t : ℂ ts : t ∈ ball z.1 (r / 2) f0 : ‖f (t, w.2)‖ ≤ b f1 : ‖f (z.1, w.2)‖ ≤ b ⊢ 2 < 3 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
have wrs : ball w (r / 2) ⊆ s := by refine _root_.trans ?_ rs; apply Metric.ball_subset_ball' have rr := _root_.trans wz.le (min_le_left _ _) trans r / 2 + r / 2; linarith; ring_nf; apply le_refl
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
have rs' : ball (swap w) (r / 2) ⊆ swap '' s := by rw [ball_swap]; exact Set.image_subset _ wrs
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
have wz' : dist (swap z) (swap w) < min (r / 2) (e * r / b / 24) := by rwa [dist_swap, dist_comm]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
have fb' : ∀ z, z ∈ swap '' s → ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b := fun z zs ↦ fb z.swap (swap_mem'.mp zs)
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
have d' := Bounded.dist0 h.flip bp ep rp rs' wz' fb'
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b d' : dist ((f ∘ swap) z.swap) ((f ∘ swap) (w.swap.1, z.swap.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
simp only [Function.comp_apply, Prod.swap_swap, Prod.fst_swap, Prod.snd_swap, Prod.swap_prod_mk] at d'
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b d' : dist ((f ∘ swap) z.swap) ((f ∘ swap) (w.swap.1, z.swap.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b d' : dist (f z) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b d' : dist ((f ∘ swap) z.swap) ((f ∘ swap) (w.swap.1, z.swap.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
rwa [dist_comm]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b d' : dist (f z) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s wz' : dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb' : ∀ z ∈ swap '' s, ‖(f ∘ swap) z‖ ≤ b d' : dist (f z) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 TACTIC:
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
refine _root_.trans ?_ rs
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ball w (r / 2) ⊆ s
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ball w (r / 2) ⊆ ball z r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ball w (r / 2) ⊆ s TACTIC:
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
apply Metric.ball_subset_ball'
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ball w (r / 2) ⊆ ball z r
case h E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ball w (r / 2) ⊆ ball z r TACTIC:
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
have rr := _root_.trans wz.le (min_le_left _ _)
case h E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r
case h E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r TACTIC:
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Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
trans r / 2 + r / 2
case h E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r / 2 + r / 2 E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + r / 2 ≤ r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
linarith
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r / 2 + r / 2 E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + r / 2 ≤ r
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + r / 2 ≤ r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + dist w z ≤ r / 2 + r / 2 E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + r / 2 ≤ r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
ring_nf
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + r / 2 ≤ r
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r ≤ r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r / 2 + r / 2 ≤ r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
apply le_refl
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r ≤ r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b rr : dist w z ≤ r / 2 ⊢ r ≤ r TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
rw [ball_swap]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ swap '' ball w (r / 2) ⊆ swap '' s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
exact Set.image_subset _ wrs
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ swap '' ball w (r / 2) ⊆ swap '' s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s ⊢ swap '' ball w (r / 2) ⊆ swap '' s TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
Bounded.dist1
[139, 1]
[152, 18]
rwa [dist_swap, dist_comm]
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s ⊢ dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s z w : ℂ × ℂ b e r : ℝ bp : 0 < b ep : e > 0 rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b wrs : ball w (r / 2) ⊆ s rs' : ball w.swap (r / 2) ⊆ swap '' s ⊢ dist z.swap w.swap < min (r / 2) (e * r / b / 24) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
suffices c : ContinuousOn f s by exact osgood o c h.fa0 h.fa1
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ AnalyticOn ℂ f s
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ContinuousOn f s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ AnalyticOn ℂ f s TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
by_cases bp : b ≤ 0
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ContinuousOn f s
case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 ⊢ ContinuousOn f s case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : ¬b ≤ 0 ⊢ ContinuousOn f s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b ⊢ ContinuousOn f s TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
simp only [not_le] at bp
case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : ¬b ≤ 0 ⊢ ContinuousOn f s
case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b ⊢ ContinuousOn f s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : ¬b ≤ 0 ⊢ ContinuousOn f s TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
intro z zs
case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b ⊢ ContinuousOn f s
case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s ⊢ ContinuousWithinAt f s z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b ⊢ ContinuousOn f s TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
rcases Metric.isOpen_iff.mp o z zs with ⟨r, rp, rs⟩
case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s ⊢ ContinuousWithinAt f s z
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s ⊢ ContinuousWithinAt f s z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s ⊢ ContinuousWithinAt f s z TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
rw [Metric.continuousWithinAt_iff]
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s ⊢ ContinuousWithinAt f s z
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s ⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < ε
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s ⊢ ContinuousWithinAt f s z TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
intro e ep
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s ⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < ε
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 ⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < e
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s ⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < ε TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
have up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 := by bound
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 ⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < e
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 ⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < e
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 ⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < e TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
use min (r / 2) (e * r / b / 24), up
case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 ⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < e
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 ⊢ ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < min (r / 2) (e * r / b / 24) → dist (f x) (f z) < e
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 ⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < δ → dist (f x) (f z) < e TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
intro w _ wz
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 ⊢ ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < min (r / 2) (e * r / b / 24) → dist (f x) (f z) < e
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ dist (f w) (f z) < e
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 ⊢ ∀ {x : ℂ × ℂ}, x ∈ s → dist x z < min (r / 2) (e * r / b / 24) → dist (f x) (f z) < e TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
have s0 : dist (f w) (f (z.fst, w.snd)) ≤ e / 4 := Bounded.dist0 h bp ep rp (_root_.trans (Metric.ball_subset_ball (by linarith)) rs) wz fb
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ dist (f w) (f z) < e
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f z) < e
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ dist (f w) (f z) < e TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
have s1 : dist (f (z.fst, w.snd)) (f z) ≤ e / 4 := Bounded.dist1 h bp ep rp rs wz fb
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f z) < e
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f z) < e
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f z) < e TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
calc dist (f w) (f z) _ ≤ dist (f w) (f (z.fst, w.snd)) + dist (f (z.fst, w.snd)) (f z) := dist_triangle _ _ _ _ ≤ e / 4 + e / 4 := by linarith _ = e / 2 := by ring _ < e := by linarith
case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f z) < e
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f z) < e TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
exact osgood o c h.fa0 h.fa1
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b c : ContinuousOn f s ⊢ AnalyticOn ℂ f s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b c : ContinuousOn f s ⊢ AnalyticOn ℂ f s TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
have fz : ∀ z, z ∈ s → f z = 0 := fun z zs ↦ norm_eq_zero.mp (le_antisymm (_root_.trans (fb z zs) bp) (norm_nonneg (f z)))
case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 ⊢ ContinuousOn f s
case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 fz : ∀ z ∈ s, f z = 0 ⊢ ContinuousOn f s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 ⊢ ContinuousOn f s TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
rw [continuousOn_congr fz]
case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 fz : ∀ z ∈ s, f z = 0 ⊢ ContinuousOn f s
case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 fz : ∀ z ∈ s, f z = 0 ⊢ ContinuousOn (fun x => 0) s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 fz : ∀ z ∈ s, f z = 0 ⊢ ContinuousOn f s TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
exact continuousOn_const
case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 fz : ∀ z ∈ s, f z = 0 ⊢ ContinuousOn (fun x => 0) s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b✝ e : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : b ≤ 0 fz : ∀ z ∈ s, f z = 0 ⊢ ContinuousOn (fun x => 0) s TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
bound
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 ⊢ min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 ⊢ min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
linarith
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ r / 2 ≤ r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) ⊢ r / 2 ≤ r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
linarith
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) + dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 + e / 4
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ dist (f w) (f (z.1, w.2)) + dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 + e / 4 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
ring
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ e / 4 + e / 4 = e / 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ e / 4 + e / 4 = e / 2 TACTIC:
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of_bounded
[155, 1]
[176, 25]
linarith
E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ e / 2 < e
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℂ E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : SecondCountableTopology E f : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r✝ r0 r1 b✝ e✝ : ℝ h : Har f s o : IsOpen s b : ℝ fb : ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ b bp : 0 < b z : ℂ × ℂ zs : z ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ s e : ℝ ep : e > 0 up : min (r / 2) (e * r / b / 24) > 0 w : ℂ × ℂ a✝ : w ∈ s wz : dist w z < min (r / 2) (e * r / b / 24) s0 : dist (f w) (f (z.1, w.2)) ≤ e / 4 s1 : dist (f (z.1, w.2)) (f z) ≤ e / 4 ⊢ e / 2 < e TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
set s := interior (⋃ k, f k)
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) hU : (interior (⋃ k, f k)).Nonempty ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) hU : (interior (⋃ k, f k)).Nonempty ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
set f' : Option B → Set A := fun k ↦ match k with | none => sᶜ | some k => f k
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
have hc' : ∀ k, IsClosed (f' k) := by simp only [s, Option.forall, isClosed_compl_iff, isOpen_interior, true_and, f'] exact fun k ↦ hc k
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
have d := dense_iUnion_interior_of_closed hc' hU'
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
rcases Dense.exists_mem_open d isOpen_interior hU with ⟨x, xi, xs⟩
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
case intro.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
rcases Set.mem_iUnion.mp xi with ⟨k, xk⟩
case intro.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
case intro.intro.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k : Option B xk : x ∈ interior (f' k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
match k with | none => simp only [s, interior_compl, Set.mem_compl_iff, subset_closure xs, not_true_eq_false, f'] at xk | some k => exact ⟨k, Set.nonempty_of_mem xk⟩
case intro.intro.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k : Option B xk : x ∈ interior (f' k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k : Option B xk : x ∈ interior (f' k) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
simp only [s, Option.forall, isClosed_compl_iff, isOpen_interior, true_and, f']
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k)
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∀ (x : B), IsClosed (f x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
exact fun k ↦ hc k
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∀ (x : B), IsClosed (f x)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k ⊢ ∀ (x : B), IsClosed (f x) TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
apply Set.ext
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) ⊢ ⋃ k, f' k = univ
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) ⊢ ∀ (x : A), x ∈ ⋃ k, f' k ↔ x ∈ univ
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) ⊢ ⋃ k, f' k = univ TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
intro x
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) ⊢ ∀ (x : A), x ∈ ⋃ k, f' k ↔ x ∈ univ
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A ⊢ x ∈ ⋃ k, f' k ↔ x ∈ univ
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) ⊢ ∀ (x : A), x ∈ ⋃ k, f' k ↔ x ∈ univ TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
refine ⟨fun _ ↦ Set.mem_univ _, ?_⟩
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A ⊢ x ∈ ⋃ k, f' k ↔ x ∈ univ
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A ⊢ x ∈ univ → x ∈ ⋃ k, f' k
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A ⊢ x ∈ ⋃ k, f' k ↔ x ∈ univ TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
intro _
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A ⊢ x ∈ univ → x ∈ ⋃ k, f' k
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ ⊢ x ∈ ⋃ k, f' k
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A ⊢ x ∈ univ → x ∈ ⋃ k, f' k TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
rw [Set.mem_iUnion]
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ ⊢ x ∈ ⋃ k, f' k
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ ⊢ x ∈ ⋃ k, f' k TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
by_cases m : x ∈ s
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
case pos E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∈ s ⊢ ∃ i, x ∈ f' i case neg E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∉ s ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ ⊢ ∃ i, x ∈ f' i TACTIC:
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NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
rcases Set.mem_iUnion.mp (interior_subset m) with ⟨k, mk⟩
case pos E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∈ s ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
case pos.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∈ s k : B mk : x ∈ f k ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∈ s ⊢ ∃ i, x ∈ f' i TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
use some k
case pos.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∈ s k : B mk : x ∈ f k ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∈ s k : B mk : x ∈ f k ⊢ ∃ i, x ∈ f' i TACTIC:
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Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
use none
case neg E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∉ s ⊢ ∃ i, x ∈ f' i
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∉ s ⊢ x ∈ f' none
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∉ s ⊢ ∃ i, x ∈ f' i TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
exact m
case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∉ s ⊢ x ∈ f' none
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) x : A a✝ : x ∈ univ m : x ∉ s ⊢ x ∈ f' none TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
simp only [s, interior_compl, Set.mem_compl_iff, subset_closure xs, not_true_eq_false, f'] at xk
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k : Option B xk : x ∈ interior (f' none) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k : Option B xk : x ∈ interior (f' none) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Hartogs.lean
NonemptyInterior.nonempty_interior_of_iUnion_of_closed
[182, 1]
[205, 48]
exact ⟨k, Set.nonempty_of_mem xk⟩
E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k✝ : Option B k : B xk : x ∈ interior (f' (some k)) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : SecondCountableTopology E f✝ : ℂ × ℂ → E s✝ : Set (ℂ × ℂ) c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ r r0 r1 b e : ℝ A B : Type inst✝² : TopologicalSpace A inst✝¹ : BaireSpace A inst✝ : Encodable B f : B → Set A hc : ∀ (k : B), IsClosed (f k) s : Set A := interior (⋃ k, f k) hU : s.Nonempty f' : Option B → Set A := fun k => match k with | none => sᶜ | some k => f k hc' : ∀ (k : Option B), IsClosed (f' k) hU' : ⋃ k, f' k = univ d : Dense (⋃ i, interior (f' i)) x : A xi : x ∈ ⋃ i, interior (f' i) xs : x ∈ interior (⋃ k, f k) k✝ : Option B k : B xk : x ∈ interior (f' (some k)) ⊢ ∃ k, (interior (f k)).Nonempty TACTIC: