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values | file_path stringlengths 7 101 | full_name stringlengths 1 94 | start stringlengths 6 10 | end stringlengths 6 11 | tactic stringlengths 1 11.2k | state_before stringlengths 3 2.09M | state_after stringlengths 6 2.09M | input stringlengths 73 2.09M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [not_forall, not_not] at re ⊢ | case neg
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STATE:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | by_cases za : z = a | case neg
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z) :=
compl_singleton_mem_nhds
(by simp only [za, Ne, Prod.mk.inj_iff, and_false_iff, not_false_iff]) | case neg
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... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
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⟨u, ⟨un, uc⟩, ua⟩ | case neg
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have ev : ∀ᶠ p : ℂ × S in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ := by
simp only [Filter.eventually_iff, Set.setOf_mem_eq]
exact Filter.inter_mem un ((vo.prod isOpen_univ).mem_nhds (Set.mk_mem_prod vc (Set.mem_univ _))) | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
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case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
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refine (re.and_eventually ev).mp (eventually_of_forall ?_)
intro ⟨e, z⟩ ⟨zy, m⟩
simp only [Set.mem_inter_iff, Set.mem_prod, Set.mem_univ, and_true_iff] at m
exact vh e m.2 z m.1 zy | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
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STATE:
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S : Type
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S : Type
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S : Type
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y1 : y ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
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S : Type
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s : Super f d a... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | exact ⟨n, b.near r⟩ | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
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S : Type
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | use 0 | case pos
S : Type
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : z = a
⊢... | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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f : ℂ → S → S
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STATE:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [za, Function.iterate_zero_apply, s.mem_near c] | case h
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⊢ (... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [za, Ne, Prod.mk.inj_iff, and_false_iff, not_false_iff] | S : Type
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STATE:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases exists_pow_lt_of_lt_one rp y1 with ⟨k, ky⟩ | S : Type
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with ⟨n, _, nk⟩ | case intro
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | use n | case intro.intro.intro
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s... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | refine b.barrier.mp (eventually_of_forall fun e h z m py ↦ ?_) | case h
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases h z (not_mem_compl_iff.mpr m) za with ⟨o, oh⟩ | case h
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have pyo : s.potential e z ^ d ^ o ≤ y ^ d ^ o := by bound | case pos
S : Type
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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S : Type
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STATE:
case pos
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rw [← s.potential_eqn_iter o] at pyo | case pos
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_root_.trans ryo (pow_le_pow_of_le_one (_root_.trans s.potential_nonneg py) y1.le kdo) | case pos
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za✝ : ¬z... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [Filter.eventually_iff, Set.setOf_mem_eq] | S : Type
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [Set.mem_inter_iff, Set.mem_prod, Set.mem_univ, and_true_iff] at m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn :... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
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a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | exact vh e m.2 z m.1 zy | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn :... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | by_cases ne : tᶜ = ∅ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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n : t ∈ 𝓝 a
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⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case pos
S : Type
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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⊢ ∃ p... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | replace ne := Set.Nonempty.image (s.potential c) (nonempty_iff_ne_empty.mpr ne) | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case neg
S : Type
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⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
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s : Super f d a
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o : IsOpe... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have pos : ∀ p : ℝ, p ∈ s.potential c '' tᶜ → 0 ≤ p := by
intro p m; simp only [mem_image] at m; rcases m with ⟨z, _, e⟩; rw [← e]
exact s.potential_nonneg | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s... | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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pos : ∀ p ∈ s.potenti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
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s : Super f d a
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o : IsOpe... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ) := bddBelow_def.mpr ⟨0, pos⟩ | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : t ∈ 𝓝 a
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pos : ∀ p ∈ s.potenti... | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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pos : ∀ p ∈ s.potenti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | generalize hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potenti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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o : IsOpe... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have qt : ∀ z, s.potential c z < q → z ∈ t := by
intro z i; contrapose i; simp only [not_lt, ← hq]; apply csInf_le below
simp only [mem_image]; use z, i | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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pos : ∀ p ∈ s.potenti... | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potenti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpe... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | use q, qp, qt | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s : Super f d a
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c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potenti... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
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o : IsOpe... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | use 1, zero_lt_one | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
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⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
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o : IsOpe... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [compl_empty_iff] at ne | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsO... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [ne] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ univ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsO... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact subset_univ _ | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ univ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsO... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | intro p m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
⊢ ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : p ∈ s.potential c ''... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] at m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : p ∈ s.potential c ''... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : ∃ x ∈ tᶜ, s.potentia... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rcases m with ⟨z, _, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : ∃ x ∈ tᶜ, s.potentia... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [← e] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact s.potential_nonneg | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
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t : Set S
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... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | intro z i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | S : Type
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inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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s : Super f d a
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o : IsOpen t
ne : ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | contrapose i | S : Type
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | S : Type
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
ne :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [not_lt, ← hq] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | S : Type
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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ne :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | apply csInf_le below | S : Type
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | S : Type
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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ne :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] | S : Type
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | S : Type
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o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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s : Super f d a
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | use z, i | S : Type
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s : Super f d a
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c : ℂ
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' ... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
ne :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [← hq] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have mc := csInf_mem_closure ne below | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | S : Type
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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s : Super f d a
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [IsClosed.closure_eq] at mc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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STATE:
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s : Super f d a
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] at mc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝ : OnePreimage s
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rcases mc with ⟨z, m, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
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pos : ∀ p ∈ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [← e] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | contrapose m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | replace m := le_antisymm (not_lt.mp m) s.potential_nonneg | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [s.potential_eq_zero_of_onePreimage] at m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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a z✝ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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s : Super f d a
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n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [m, not_mem_compl_iff] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact mem_of_mem_nhds n | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ ... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact (o.isClosed_compl.isCompact.image (Continuous.potential s).along_snd).isClosed | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' t... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | rcases mem_nhds_iff.mp n with ⟨t', tt, o, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | rcases s.potential_basis' c (o.mem_nhds m) o with ⟨p, pp, sub⟩ | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0... | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | use p, pp, _root_.trans sub tt | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Se... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | intro z zp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
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s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c 0 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottche... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c 0 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | have za := le_antisymm zp s.potential_nonneg | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottche... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | simp only [s.potential_eq_zero_of_onePreimage] at za | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.pot... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | rw [za, Function.iterate_zero_apply] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I... | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottch... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
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c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
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zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | use s.mem_near c | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottch... | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | intro k _ | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear ... | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c)... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | rw [s.iter_a] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c)... | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c)... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | exact s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c)... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | intro z zp | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.IsNiceN c p n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ)... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
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c✝ : ℂ
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d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.IsNiceN... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | rcases nice z zp with ⟨m, nc⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
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s : Super f d a
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n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ)... | case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.nea... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
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s : Super f d a
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n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | use s.iter_stays_near' m n01, fun k n1k ↦ nc k (_root_.trans n01 n1k) | case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.nea... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | have et : ∀ᶠ z in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0 := by
apply
(mfderiv_ne_zero_eventually (s.bottcherNear_holomorphic _ (s.mem_near c)).along_snd
(s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c)).mp
apply ((s.isOpen_near.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_near c)).mp
refine eventuall... | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.I... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases et.exists_mem with ⟨t, m, h⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.I... | case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c)... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, ... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases s.potential_basis c m with ⟨q, qp, qt⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c)... | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bot... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z :... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | clear et m | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bot... | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottc... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases exists_pow_lt_of_lt_one qp p1 with ⟨n, pq⟩ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottc... | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | use n | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (... | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePrei... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | intro z m | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ... | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t... |
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | replace m : ∀ k, n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q := by
intro k nk; refine lt_of_le_of_lt ?_ pq; simp only [s.potential_eqn_iter]
have dn := (Nat.lt_pow_self s.d1 k).le
apply _root_.trans (pow_le_pow_of_le_one s.potential_nonneg s.potential_le_one dn)
refine _root_.trans (pow_le_pow_left s.potential_nonn... | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q :... | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ ... |
Subsets and Splits
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