The program uses vectors to store and manipulate data.

ਇਹ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਡਾਟਾ ਸਟੋਰ ਕਰਨ ਅਤੇ ਹੇਰਾਫੇਰੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Vectors are fundamental in linear algebra.

ਵੈਕਟਰ ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਹਨ।


We will explore the properties of vectors in this section.

ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।


The algorithm efficiently extracts proofs.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਸਬੂਤ ਕੱਢਦਾ ਹੈ।


Proof extraction is a key concept in this context.

ਸਬੂਤ ਕੱਢਣਾ ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


Propositional logic deals with logical connectives.

ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਕ ਤਰਕ ਤਰਕ ਸੰਬੰਧਕਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।


Predicate logic extends propositional logic.

ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ ਤਰਕ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਕ ਤਰਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Natural numbers are fundamental in mathematics.

ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਹਨ।


The Polish National Flag problem is a classic example.

ਪੋਲਿਸ਼ ਨੈਸ਼ਨਲ ਫਲੈਗ ਸਮੱਸਿਆ ਇੱਕ ਕਲਾਸਿਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।


Program transformation can optimize code.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕੋਡ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The map and fold functions are essential.

ਮੈਪ ਅਤੇ ਫੋਲਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਨ।


The algorithm's transformation process is complex.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ।


Imperative programming focuses on state changes.

ਇਮਪੈਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਸਟੇਟ ਬਦਲਾਵਾਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦ੍ਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।


This section provides examples from the literature.

ਇਹ ਭਾਗ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚੋਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Martin-Löf's work is influential in type theory.

ਮਾਰਟਿਨ-ਲੋਫ ਦਾ ਕੰਮ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਹੈ।


We will discuss the background of type theory.

ਅਸੀਂ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਪਿਛੋਕੜ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।


What is a specification in this context?

ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕੀ ਹੈ?


ਸੁਸਤ ਮੁਲਾਂਕਣ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


ਉਪ-ਸਮੂਹ ਕਿਸਮ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।


ਕੀ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਨ?


The book is about type theory and functional programming.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਬਾਰੇ ਹੈ।


Type theory brings together logic and programming languages.

ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਤਰਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਲਿਆਉਂਦੀ ਹੈ।


The book is suitable for final-year undergraduates.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਆਖਰੀ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਡਰਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਲਈ ਢੁਕਵੀਂ ਹੈ।


We will begin with introductory material on logic.

ਅਸੀਂ ਤਰਕ 'ਤੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਾਲੀ ਸਮੱਗਰੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।


ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਸਿਸਟਮ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ।


Programs can be extracted from proofs in the logic.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਨੂੰ ਤਰਕ ਵਿੱਚ ਸਬੂਤਾਂ ਤੋਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The author came to understand the distinctive role of assumptions.

ਲੇਖਕ ਨੇ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਭੂਮਿਕਾ ਨੂੰ ਸਮਝਿਆ।


The system is expressive, as witnessed by the previous chapter.

ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਦੁਆਰਾ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ, ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਵਾਲਾ ਹੈ।


The book explores the foundations of the system.

ਕਿਤਾਬ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।


We have used standard terminology whenever were able.

ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਯੋਗ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ।


This book is a self-contained introduction.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਇੱਕ ਸਵੈ-ਨਿਰਭਰ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਹੈ।


Readers familiar with natural deduction logic can begin here.

ਕੁਦਰਤੀ ਕਟੌਤੀ ਤਰਕ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਪਾਠਕ ਇੱਥੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


ਪਾਠ ਦਾ ਮੁੱਖ ਹਿੱਸਾ ਚੌਥਾ ਅਧਿਆਇ ਹੈ।


Chapter six contains examples and larger case studies.

ਅਧਿਆਇ ਛੇ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਕੇਸ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


The system is examined from various mathematical perspectives.

ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗਣਿਤਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ ਤੋਂ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


Chapter seven is perhaps best read after the examples of chapter six.

ਅਧਿਆਇ ਸੱਤ ਨੂੰ ਸ਼ਾਇਦ ਅਧਿਆਇ ਛੇ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਹਰੇਕ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਭਿਆਸ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।


The world is full of potential applications.

ਦੁਨੀਆਂ ਸੰਭਾਵੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।


Thanks are due to colleagues from both institutions.

ਦੋਵਾਂ ਸੰਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਸਹਿਕਰਮੀਆਂ ਦਾ ਧੰਨਵਾਦ।


ਪਾਂਡੂ-ਲਿਪੀ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


The theory explains the concept of η-reduction.

ਇਹ ਸਿਧਾਂਤ η-ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।


If x is not free in e, then λx.(ex) reduces to η e.

ਜੇਕਰ x, e ਵਿੱਚ ਮੁਕਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ λx.(ex) η e ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The rule identifies functions with the same behavior.

ਇਹ ਨਿਯਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਵਿਵਹਾਰ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦਾ ਹੈ।


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction.

ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ η-ਘਟਾਓ ਨੂੰ β-ਘਟਾਓ ਦੇ ਇੱਕ ਸਹਾਇਕ ਵਜੋਂ ਵਿਚਾਰਦੇ ਹਾਂ।


The Church-Rosser theorem applies to this relation.

ਚਰਚ-ਰੋਸਰ ਥਿਊਰਮ ਇਸ ਰਿਸ਼ਤੇ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


We look at this idea in the next section.

ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇਸ ਵਿਚਾਰ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ।


Show that if we write I for λx . x then λx . x(II) λx . xI are both head normal forms.

ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ I ਨੂੰ λx . x ਲਈ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ λx . x(II) λx . xI ਦੋਵੇਂ ਸਿਰ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਹਨ।


ਥਿਊਰਮ 2.10 ਤੋਂ ਥਿਊਰਮ 2.12 ਸਾਬਤ ਕਰੋ।


The introduction focused on computation relations.

ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਰਿਲੇਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸੀ।


This section introduces convertibility relations.

ਇਹ ਭਾਗ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਸੰਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The relations generate two convertibility relations.

ਸੰਬੰਧ ਦੋ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਸੰਬੰਧ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।


‘↔’ is the smallest equivalence relation extending ‘→’.

‘↔’ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਬਰਾਬਰੀ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ਜੋ ‘→’ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Two expressions are convertible if and only if there exists a common reduct.

ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਘਟਾਓ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।


Two functions with normal forms are convertible if and only if they have the same normal form.

ਆਮ ਰੂਪਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਆਮ ਰੂਪ ਹੋਵੇ।


The untyped λ-calculus is a simple theory of functions.

ਅਨਟਾਈਪਡ λ-ਕੈਲਕੂਲਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ।


It is Turing-complete, exhibiting an equivalence with Turing computability.

ਇਹ ਟਿਊਰਿੰਗ-ਸੰਪੂਰਨ ਹੈ, ਜੋ ਟਿਊਰਿੰਗ ਕੰਪਿਊਟੇਬਿਲਟੀ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


One representation of natural numbers is as iterators.

ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਇਟਰੇਟਰਾਂ ਵਜੋਂ ਹੈ।


We need to be able to solve equations of the form f ≡ R f.

ਸਾਨੂੰ f ≡ R f ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


Each of these expressions has a head normal form.

ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰ ਆਮ ਰੂਪ ਹੈ।


The simply typed λ-calculus could not be simpler.

ਸਧਾਰਨ ਟਾਈਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ λ-ਕੈਲਕੂਲਸ ਇਸ ਤੋਂ ਸੌਖਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।


The rule of conjunction introduction builds a composite derivation.

ਸੰਯੋਜਨ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਮਿਸ਼ਰਤ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


From proofs of A and B, we can infer A∧B by the rule of conjunction introduction.

A ਅਤੇ B ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ A∧B ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The assumptions upon which the proof of A∧B depends are those of the proofs of A and B combined.

ਉਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ A∧B ਦਾ ਸਬੂਤ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਹ A ਅਤੇ B ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹਨ।


A simple proof can be built from the two rules we have seen so far.

ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਬੂਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇਖੇ ਹਨ।


At the leaves of the tree which represents the proof we find the assumptions, A, appearing twice, and B and C appearing once.

ਉਸ ਰੁੱਖ ਦੀਆਂ ਪੱਤੀਆਂ 'ਤੇ ਜੋ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ, A, ਦੋ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ B ਅਤੇ C ਇੱਕ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction from its constituent parts.

ਸੰਯੋਜਨ ਲਈ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸੰਘਟਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਤੋਂ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਹੈ।


The rule above was called the ∧-introduction rule, since it shows how a formula whose top-level connective is a conjunction can be introduced.

ਉਪਰੋਕਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ∧-ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ-ਪੱਧਰ ਦਾ ਕਨੈਕਟਿਵ ਇੱਕ ਸੰਯੋਜਨ ਹੈ, ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction; in other words it tells us when we can eliminate a conjunction.

ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਿਯਮ ਹੈ ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ ਕੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਦੋਂ ਇੱਕ ਸੰਯੋਜਨ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


From a proof of A∧B we can infer both A and B by the rules of conjunction elimination.

A∧B ਦੇ ਸਬੂਤ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨ ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੁਆਰਾ A ਅਤੇ B ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ ਜੋ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਅਤੇ ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੀ ਹੈ।


ਧਾਰਨਾ (A∧B)∧C ਤੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ...


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation, a fact with which we are familiar.

ਇਹ ਸਬੂਤ ਸੰਯੋਜਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵਿਟੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਤੱਥ ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣੂ ਹਾਂ।


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula (A∧B)∧C, with the assumption appearing at three different points in the proof.

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਿਸ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਧਾਰਨਾ 'ਤੇ ਸਬੂਤ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਫਾਰਮੂਲਾ (A∧B)∧C ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਧਾਰਨਾ ਸਬੂਤ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।


There is another way in which we can read the elimination rules.

ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The introduction rule states that we can infer A∧B from A and B.

ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ A ਅਤੇ B ਤੋਂ A∧B ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The elimination rules state that this is (essentially) the only way we can infer it, since it states that if we can prove A∧B then we can prove each of the component formulae.

ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਹ (ਅਸਲ ਵਿੱਚ) ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ A∧B ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


In giving the rules for implication, ⇒, we first take an informal look at what the connective is meant to mean.

ਇਮਪਲੀਕੇਸ਼ਨ, ⇒, ਲਈ ਨਿਯਮ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਗੈਰ-ਰਸਮੀ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਨੈਕਟਿਵ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।


We think of A ⇒ B as expressing A implies B or that we can deduce B from A.

ਅਸੀਂ A ⇒ B ਨੂੰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A ਦਾ ਮਤਲਬ B ਹੈ ਜਾਂ ਅਸੀਂ A ਤੋਂ B ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


In other words we would like to conclude A ⇒ B when we have a deduction of B assuming A.

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ A ⇒ B ਦਾ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ A ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ B ਦਾ ਕਟੌਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


What are the assumptions upon which this new proof of A ⇒ B depends?

ਉਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਕੀ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ A ⇒ B ਦਾ ਇਹ ਨਵਾਂ ਸਬੂਤ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ?


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਦੇ x ਲਈ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿਲਕੁਲ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ ਦੇ ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਨਿਯਮ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਂਦ ਦੇ ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ A(a), A(b) ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ B ਦੇ ਸਾਰੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸਬੂਤਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ x ਲਈ A(x) ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

ਪਹਿਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ∃x. Q(x)


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

ਗੈਰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਨੁਮਾਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਕੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵਿਆਪਕ ਧਾਰਨਾ ਹੈ, θ, ਅਤੇ ਵਿਆਪਕ ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਬੂਤ ਵਿੱਚ θ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਉਦਾਹਰਣ P(x)⇒P(x) ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੋਂਦ ਦੇ ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਿਛੋਕੜੀ ਰੀਡਿੰਗ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੋਂਦ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

ਇੱਕ ਹੋਂਦ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ∃x. P(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਣ P(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਨਿਯਮ (∃E) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿਓ।


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have:

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹੋਏ ਸਾਡੇ ਕੋਲ P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ∃x. Q(x) (ਭਾਵੇਂ x ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਮੁਕਤ ਹੈ — ਨਿਯਮ (∃I) 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ), ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਹੋਂਦ ਦੇ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

ਸਾਡੀ ਦੂਜੀ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਵਸਤੂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੇਬ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਕੇਲਾ: ∀x.(A(x)∨B(x)) ਅਤੇ ਇਹ ਕਿ ਸੇਬ ਅਤੇ ਕੇਲੇ ਦੋਵੇਂ ਸੁਆਦੀ ਹਨ: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਹਰ ਚੀਜ਼ ਸੁਆਦੀ ਹੈ, ∀x. T(x)।


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

ਵਿਆਪਕ ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y)) ਹੈ।


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਧਾਰਨਾ A(y) ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ T(y) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, (⇒E) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

ਅਸੀਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ B(y) ਅਤੇ ਵਿਆਪਕ ਬਿਆਨ ਤੋਂ T(y) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ (∨E) ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹਾਂ।


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

ਸਾਡੀ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਣ ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y) ਦੇ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

ਪਾਠਕ ਉੱਪਰ ਪੰਨਾ 18 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਵੇਖਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

ਇਮਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਇੰਟਰੋਡਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ∃y.∀x. A(x, y) ਦੀ ਧਾਰਨਾ 'ਤੇ ∀x.∃y. A(x, y) ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ।


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਹੋਂਦ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੁਆਂਟੀਫਾਇਰ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਅਸੀਂ ਨਿਯਮ (∃E) ਦੁਆਰਾ ਧਾਰਨਾ ∀x. A(x, y) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Using (∀E) we have ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E)

(∀E) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E) ਹੈ।


Now, we can deduce . . . ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) using (∀I), since x is not free in the assumptions (and therefore arbitrary).

ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ . . . ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) (∀I) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਉਂਕਿ x ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਕਤ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਹੈ)।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਫੜਾਓ।


ਮੈਂ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਵਾਨ ਗਾਇਕਾ ਹੈ।


The company announced its quarterly profits.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਤਿਮਾਹੀ ਲਾਭਾਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The research paper explores new methodologies.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਨਵੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


He is a renowned professor in the field.

ਉਹ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The government implemented new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀਆਂ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਏ।


The complex equation requires careful analysis.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The philosophical debate continued for hours.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਘੰਟਿਆਂ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹੀ।


The implications of the theory are far-reaching.

ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The intricate design showcased artistic brilliance.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਨੇ ਕਲਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤਿਭਾ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ।


The economic downturn affected global markets.

ਆਰਥਿਕ ਮੰਦੀ ਨੇ ਵਿਸ਼ਵ ਬਾਜ਼ਾਰਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ।


The quantum physics experiment yielded unexpected results.

ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੇ ਅਚਾਨਕ ਨਤੀਜੇ ਦਿੱਤੇ।


The nuances of the language are fascinating.

ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਾਰੀਕੀ ਦਿਲਚਸਪ ਹਨ।


The ethical considerations were thoroughly discussed.

ਨੈਤਿਕ ਵਿਚਾਰਾਂ 'ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ।


The complex interplay of factors led to the outcome.

ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਆਪਸੀ ਕਿਰਿਆ ਨਤੀਜੇ ਵੱਲ ਲੈ ਗਈ।


The system defines a new approach to proofs.

ਇਹ ਸਿਸਟਮ ਸਬੂਤਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਪਹੁੰਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Proofs and elements are dual concepts in type theory.

ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸਬੂਤ ਅਤੇ ਤੱਤ ਦੋਹਰੇ ਸੰਕਲਪ ਹਨ।


A proof of a proposition can be seen as a member of a type.

ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਦਾ ਸਬੂਤ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਮੈਂਬਰ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We will examine the rules for program construction.

ਅਸੀਂ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨਿਰਮਾਣ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।


The syntax of a programming language is essential.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਸੰਟੈਕਸ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


Evaluation and running of programs are important.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਅਤੇ ਚਲਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Computation rules explain how programs are simplified.

ਗਣਨਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The interdependence of types and values is key.

ਕਿਸਮਾਂ ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਆਪਸੀ ਨਿਰਭਰਤਾ ਮੁੱਖ ਹੈ।


We will look at examples of standard functions.

ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ।


Universal and existential quantifiers are introduced next.

ਅਗਲਾ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਅਤੇ ਹੋਂਦਵਾਦੀ ਕੁਆਂਟੀਫਾਇਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।


Data types like booleans are essential for programming.

ਬੂਲੀਅਨ ਵਰਗੇ ਡਾਟਾ ਟਾਈਪ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਨ।


Truth and falsity are represented by element types.

ਸੱਚਾਈ ਅਤੇ ਝੂਠ ਨੂੰ ਤੱਤ ਕਿਸਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।


Recursion and induction are used for infinite data types.

ਅਨੰਤ ਡਾਟਾ ਕਿਸਮਾਂ ਲਈ ਰੀਕਰਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


A proof by induction is a proof object defined using recursion.

ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਰੀਕਰਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਵਸਤੂ ਹੈ।


Binary trees are an example of a well-founded type construction.

ਬਾਈਨਰੀ ਟ੍ਰੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਿਸਮ ਦੇ ਨਿਰਮਾਣ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹਨ।


The assertion of identity forms a fundamental atomic proposition.

ਪਛਾਣ ਦਾ ਦਾਅਵਾ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪਰਮਾਣੂ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


Convertible expressions are deemed equal internally.

ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


Our system gives an integrated treatment of programming and verification.

ਸਾਡਾ ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਅਤੇ ਤਸਦੀਕ ਦਾ ਇੱਕ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਇਲਾਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


We use the notation p:P for 'p is a proof of the proposition P'.

ਅਸੀਂ 'p ਪ੍ਰਸਤਾਵ P ਦਾ ਸਬੂਤ ਹੈ' ਲਈ ਸੰਕੇਤ p:P ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


A proof of A∧B will be a pair of proofs p and q.

A∧B ਦਾ ਸਬੂਤ ਸਬੂਤ p ਅਤੇ q ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹੋਵੇਗਾ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The train arrived late due to heavy rain.

ਭਾਰੀ ਮੀਂਹ ਕਾਰਨ ਰੇਲ ਗੱਡੀ ਦੇਰ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚੀ।


Please submit your assignment by Friday.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣਾ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਸ਼ੁੱਕਰਵਾਰ ਤੱਕ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰੋ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


She enjoys reading novels in her free time.

ਉਹ ਆਪਣੇ ਖਾਲੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਨਾਵਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The government is implementing new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The research paper explores the impact of climate change.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਜਲਵਾਯੂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The software update includes several bug fixes.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਅਪਡੇਟ ਵਿੱਚ ਕਈ ਬੱਗ ਫਿਕਸ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


The economic forecast predicts a rise in inflation.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਮਹਿੰਗਾਈ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


He is a renowned expert in the field of medicine.

ਉਹ ਦਵਾਈ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਮਾਹਰ ਹੈ।


The company's stock price has increased significantly.

ਕੰਪਨੀ ਦੇ ਸ਼ੇਅਰਾਂ ਦੀ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ ਹੈ।


The complex equation requires advanced mathematical skills.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਉੱਨਤ ਗਣਿਤਿਕ ਹੁਨਰ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The artist's work reflects a deep understanding of human emotions.

ਕਲਾਕਾਰ ਦਾ ਕੰਮ ਮਨੁੱਖੀ ਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਡੂੰਘੀ ਸਮਝ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


The project's success depends on effective collaboration.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਹਿਯੋਗ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The philosophical debate explored the nature of reality.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਹਕੀਕਤ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


The technological advancements have transformed the industry.

ਤਕਨੀਕੀ ਤਰੱਕੀ ਨੇ ਉਦਯੋਗ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਹੈ।


ਇਹ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੈ।


This is different from the type formation rules we have seen so far.

ਇਹ ਉਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਠਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇਖੇ ਹਨ।


The rule of information breaks this rule.

ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਤੋੜਦਾ ਹੈ।


This means that the rules generating the formulas are inextricably mixed up with the rules for derivations.

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਨਿਯਮ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਅਟੁੱਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਿਲਾਏ ਗਏ ਹਨ।


ਵਸਤੂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।


We can derive rules which look stronger than this.

ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਨਿਯਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸ ਤੋਂ ਮਜ਼ਬੂਤ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।


ਇਸ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੋਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਣਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

ਬਰਾਬਰੀ ਦਾ ਸਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਬਰਾਬਰ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Suppose that we have some proof of a proposition involving a.

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਦਾ ਕੁਝ ਸਬੂਤ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


We should be able to infer the proposition resulting from us replacing some of the occurrences of a in P by b.

ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ P ਵਿੱਚ a ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ b ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


We can of course replace all the occurrences of a by making sure that x is not free in C.

ਅਸੀਂ ਬੇਸ਼ੱਕ a ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਕੇ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ C ਵਿੱਚ x ਮੁਕਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।


There is one extra refinement in our rule.

ਸਾਡੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਸੁਧਾਰ ਹੈ।


I ਲਈ ਖਾਤਮਾ ਨਿਯਮ।


ਲਿਬਨਿਟਜ਼ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


ਅਸੀਂ J ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਖਤਮ ਕਰੀਏ?


The introduction rule means that equality is reflexive.

ਪਛਾਣ ਨਿਯਮ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਬਰਾਬਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੈ।


ਬਰਾਬਰੀ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ।


Finally we show that it is transitive, making it an equivalence relation.

ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸੰਕਰਮਣਸ਼ੀਲ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰੀ ਸੰਬੰਧ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


When we first talked about the different sorts of rule, we observed that it was the elimination rules which specified that all the elements of a type had the form introduced by the introduction rules.

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕੀਤੀ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਇਹ ਖਾਤਮਾ ਨਿਯਮ ਸਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਦੱਸਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਉਹ ਰੂਪ ਰੱਖਦੇ ਸਨ ਜੋ ਪਛਾਣ ਨਿਯਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।


In order to make the system non-trivial we can add an axiom.

ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਮਾਮੂਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The function returns a function of type (P⇒Q) which expects an argument of type P.

ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ (P⇒Q) ਕਿਸਮ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ P ਕਿਸਮ ਦੇ ਇੱਕ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।


We often call the first representation the uncurried form, in contrast to the latter.

ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪਹਿਲੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਨਕਰਿਡ ਫਾਰਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਦੇ ਉਲਟ।


The pair of functions we derived above can be seen to map from one function representation to another.

ਉੱਪਰ ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਮੈਪ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Consider the case in which we want to return one of two results conditional on some property.

ਉਸ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਗੌਰ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 'ਤੇ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੋ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਾਪਸ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।


We call this the type bool of boolean values and for the sake of tradition call the two values True and False.

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਬੂਲੀਅਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਕਿਸਮ bool ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਰਵਾਇਤ ਦੀ ਖਾਤਰ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਅਤੇ ਝੂਠ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।


The type bool is simply a finite type containing two values.

ਕਿਸਮ bool ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਕਿਸਮ ਹੈ।


The value of if b then e else f is e if b evaluates to True, otherwise it is f.

ਜੇਕਰ b ਦਾ ਮੁੱਲ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੇਕਰ b then e else f ਦਾ ਮੁੱਲ e ਹੈ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਇਹ f ਹੈ।


Languages such as Pascal contain a boolean type.

ਪਾਸਕਲ ਵਰਗੀਆਂ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


We eliminate a boolean value by a two-way case switch, conventionally called a conditional expression.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੋ-ਪੱਖੀ ਕੇਸ ਸਵਿੱਚ ਦੁਆਰਾ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਰਵਾਇਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


This is stronger than the conventional case switch, as the type of the result can depend upon the value of the boolean.

ਇਹ ਰਵਾਇਤੀ ਕੇਸ ਸਵਿੱਚ ਨਾਲੋਂ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਕਿਸਮ ਬੂਲੀਅਨ ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The ‘then’ or ‘else’ case is selected, according to the value of the boolean.

'then' ਜਾਂ 'else' ਕੇਸ ਨੂੰ ਬੂਲੀਅਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


Consider the example if tr then False else True.

ਉਦਾਹਰਣ 'ਤੇ ਗੌਰ ਕਰੋ ਜੇਕਰ tr then False else True।


Similarly, λx (bool∧bool) .(if(f st x)then(snd x)else F alse) which has type (bool∧bool)⇒bool is the (Classical) conjunction operation on bool.

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, λx (bool∧bool) .(if(f st x)then(snd x)else F alse) ਜਿਸਦੀ ਕਿਸਮ (bool∧bool)⇒bool ਹੈ, bool 'ਤੇ (ਕਲਾਸੀਕਲ) ਸੰਯੋਜਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੈ।


For n a natural number, the type N n has n elements, 1 n , 2 n , . . . , n n the subscript showing the type from which the element comes.

n ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਲਈ, ਕਿਸਮ N n ਵਿੱਚ n ਤੱਤ ਹਨ, 1 n , 2 n , . . . , n n ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੱਤ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੈ।


We have already seen a two element type, where we identify 1 2 with True and 2 2 with False.

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੋ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਕਿਸਮ ਦੇਖੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ 1 2 ਨੂੰ ਸੱਚ ਅਤੇ 2 2 ਨੂੰ ਝੂਠ ਨਾਲ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ।


We eliminate an element of an n element type by an n-way case switch.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ n-ਤੱਤ ਕਿਸਮ ਦੇ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਇੱਕ n-ਪੱਖੀ ਕੇਸ ਸਵਿੱਚ ਦੁਆਰਾ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


If we have a one element type, the rules may be specialised.

ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤੱਤ ਕਿਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The one element type, >, has a logical interpretation.

ਇੱਕ ਤੱਤ ਕਿਸਮ, >, ਦਾ ਇੱਕ ਤਰਕਪੂਰਨ ਅਰਥ ਹੈ।


The intuition is that the proposition is valid for obvious reasons, so there is only one trivial proof Triv of it.

ਅਨੁਭਵ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਵੈਧ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਮਾਮੂਲੀ ਸਬੂਤ Triv ਹੈ।


We have already seen the natural numbers as a base type of our λ-calculus in chapter 2.

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਧਿਆਇ 2 ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ λ-ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਇੱਕ ਬੇਸ ਕਿਸਮ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ।


The system uses four different notions of equality.

ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਚਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਕਲਪ ਵਰਤੇ ਗਏ ਹਨ।


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

ਪਰਿਭਾਸ਼ਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼ਾਬਦਿਕ ਪਛਾਣ ਦੇ ਜਿੰਨੀ ਹੀ ਨੇੜੇ ਹੈ।


Convertibility is external to the system.

ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਬਾਹਰਲੀ ਹੈ।


We compare these different relations in sections 5.7 and 5.8.

ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਭਾਗ 5.7 ਅਤੇ 5.8 ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The system can be augmented in a number of ways.

ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The notion of a type of types is inconsistent.

ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਅਸੰਗਤ ਹੈ।


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ‘ਬ੍ਰਹਿਮੰਡਾਂ’ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ ਨੂੰ ਕਰੀ ਹਾਵਰਡ ਆਈਸੋਮੋਰਫਿਜ਼ਮ 'ਤੇ ਦੂਜੀ ਨਜ਼ਰ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Derivations depend on collections of assumptions.

ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।


A useful exercise is to make an implementation of it.

ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਲਾਭਦਾਇਕ ਅਭਿਆਸ ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।


Mathematical notation is a powerful tool.

ਗਣਿਤਕ ਸੰਕੇਤ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।


The assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਦੇ ਪੱਤਿਆਂ 'ਤੇ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ।


There is an ordering of dependency between them.

ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਹੈ।


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਸਮਮਿਤੀ ਦੇ ਸਬੂਤ 'ਤੇ ਮੁੜ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਏ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੈ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ।


ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ:


The I-elimination rule allows us to conclude that.

ਆਈ-ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਖਾਰਜ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We may only discharge an assumption if the variable does not appear free.

ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਖਾਰਜ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮੁਕਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।


We expect subsequently to bind that variable.

ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਬੰਨ੍ਹਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The system's rules are modified slightly to accommodate the new type.

ਨਵੇਂ ਟਾਈਪ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਬਦਲਾਅ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


ਅਸੀਂ a:A ਤੋਂ A ਇੱਕ ਟਾਈਪ ਹੈ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The proof proceeds by induction over the derivation of a:A.

ਪ੍ਰਮਾਣ a:A ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ।


In a practical system, we would expect to separate these concerns.

ਇੱਕ ਵਿਹਾਰਕ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਚਿੰਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ।


ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿਲੱਖਣ ਹਨ।


Can we expect this to be the case for our system?

ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਾਡੇ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੋਵੇਗਾ?


The duplication of function space and product types is a reason for failure.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਤਪਾਦ ਕਿਸਮਾਂ ਦਾ ਦੁਹਰਾਓ ਅਸਫਲਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਹੈ।


The injection operators do not have unique ranges.

ਇੰਜੈਕਸ਼ਨ ਆਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਲੱਖਣ ਰੇਂਜਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।


We remedy this by labeling the injection operators.

ਅਸੀਂ ਇੰਜੈਕਸ਼ਨ ਆਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰਕੇ ਇਸਦਾ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


If from a consistent collection of assumptions we can derive the judgements a:A and a:B then A↔↔B.

ਜੇਕਰ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਇਕਸਾਰ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰਣੇ a:A ਅਤੇ a:B ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ A↔↔B।


The proof is performed by induction over the derivation of a:A.

ਪ੍ਰਮਾਣ a:A ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ x:A ਦੇ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਗੌਰ ਕਰੋ।


Judgements of this sort will be derived in one of two ways.

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਣੇ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣਗੇ।


ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Alternatively, we can use the substitution rule.

ਵਿਕਲਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਟਿਊਸ਼ਨ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


For each syntactic form we have the possibility of using a substitution rule.

ਹਰੇਕ ਸਿੰਟੈਕਟਿਕ ਰੂਪ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਬਸਟੀਟਿਊਸ਼ਨ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।


At the induction step we perform a case analysis.

ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਪੜਾਅ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੇਸ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The issues of interest for reduction will be those we discussed first.

ਘਟਾਓ ਲਈ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਮੁੱਦੇ ਉਹ ਹੋਣਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ।


ਕੀ ਮੁਲਾਂਕਣ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?


The system possesses normalisation properties.

ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਨਾਰਮਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced a new product launch next month.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


He is a very talented musician and composer.

ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਅਤੇ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The research team is working on a new vaccine.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵੈਕਸੀਨ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The meeting will be held at 2 PM tomorrow.

ਮੀਟਿੰਗ ਕੱਲ੍ਹ ਦੁਪਹਿਰ 2 ਵਜੇ ਹੋਵੇਗੀ।


She enjoys reading novels in her free time.

ਉਹ ਆਪਣੇ ਖਾਲੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਨਾਵਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The government is implementing new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


Despite the challenges, they persevered.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ।


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਉੱਨਤ ਗਣਿਤਕ ਗਿਆਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The philosophical debate explored the nature of reality.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਹਕੀਕਤ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


The intricate design of the building was admired by all.

ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦੀ ਸਭ ਨੇ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕੀਤੀ।


The economic forecast predicts a period of growth.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The software update improved system performance significantly.

ਸੌਫਟਵੇਅਰ ਅਪਡੇਟ ਨੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕਾਰਗੁਜ਼ਾਰੀ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ।


The artist's unique style is easily recognizable.

ਕਲਾਕਾਰ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਸ਼ੈਲੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The company's innovative approach revolutionized the industry.

ਕੰਪਨੀ ਦੇ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰੀ ਪਹੁੰਚ ਨੇ ਉਦਯੋਗ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆਂਦੀ।


The scientific study provided compelling evidence.

ਵਿਗਿਆਨਕ ਅਧਿਐਨ ਨੇ ਪ੍ਰੇਰਣਾਦਾਇਕ ਸਬੂਤ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੇ।


The complex legal proceedings lasted for years.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਕਾਨੂੰਨੀ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਚੱਲੀਆਂ।


The concept of convertibility is central to this system.

ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਬਦਲਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Two terms are convertible if they have the same normal form.

ਦੋ ਟਰਮ ਉਦੋਂ ਬਦਲਣਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਆਮ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The relation of convertibility is decidable.

ਬਦਲਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਰਿਸ਼ਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


This means that the two expressions denote the same object.

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕੋ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।


Judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions.

ਨਿਰਣੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਬਾਰੇ ਹੋਣ ਦਾ ਇਰਾਦਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।


We turn to our third relation, the identity predicate.

ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਤੀਜੇ ਰਿਸ਼ਤੇ, ਪਛਾਣ ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ।


A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

A ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੈ a:A b:A I(A, a, b) ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੈ (IF)


I(A, a, b) is provable, by the object r(a), when a↔↔b.

I(A, a, b) ਨੂੰ ਵਸਤੂ r(a) ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ a↔↔b।


We can see the type as an internalisation of convertibility.

ਅਸੀਂ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


On top of the Itype we can build more complex assertions.

Itype ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਦਾਅਵੇ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The expression x= A y denotes a proposition or type of the system.

ਸਮੀਕਰਨ x= A y ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਜਾਂ ਕਿਸਮ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


We require a function or operation which returns not a type but rather a value True or False of boolean type.

ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਬੂਲੀਅਨ ਕਿਸਮ ਦਾ ਮੁੱਲ True ਜਾਂ False ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।


An equality function is a boolean valued function.

ਇੱਕ ਬਰਾਬਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।


We start our discussion with two definitions.

ਅਸੀਂ ਦੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨਾਲ ਆਪਣੀ ਚਰਚਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


A predicate P(x 1 , . . . , x k ) is formally decidable if and only if the following proposition is derivable.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ P(x 1 , . . . , x k ) ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


A predicate P(x 1 , . . . , x k ) is representable if and only if for some term r the following propositions are derivable.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ P(x 1 , . . . , x k ) ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਯੋਗ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ ਕੁਝ ਟਰਮ r ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


A predicate is representable if and only if it is formally decidable.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਯੋਗ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ ਇਹ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We can prove by induction over the construction of ground types that equality is decidable for them.

ਅਸੀਂ ਜ਼ਮੀਨੀ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਨਿਰਮਾਣ 'ਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਲਈ ਬਰਾਬਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


It seems highly unlikely that this is so.

ਇਹ ਬਹੁਤ ਅਸੰਭਵ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਹੈ।


From an extensional decidability predicate over a functional type we are able to prove a result like ((∀x:N). f x= N 0)∨¬((∀x:N). f x= N 0)

ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕਿਸਮ 'ਤੇ ਇੱਕ ਐਕਸਟੈਂਸ਼ਨਲ ਨਿਰਧਾਰਨਯੋਗਤਾ ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ((∀x:N). f x= N 0)∨¬((∀x:N). f x= N 0) ਵਰਗਾ ਨਤੀਜਾ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ।


The system does not permit full general recursion to be used.

ਇਹ ਸਿਸਟਮ ਪੂਰੀ ਆਮ ਰੀਕਰਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ।


We are already familiar with type theory as a constructive logic.

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਉਸਾਰੂ ਤਰਕ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਾਣੂ ਹਾਂ।


Every expression has a defined value; every program terminates.

ਹਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਹਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ T ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਆਪਣੀ ਚਰਚਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


This chapter investigates the different ways in which the system of type theory can be used.

ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਉਹਨਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


We can supply an extra parameter to the function.

ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The system of types is more expressive than those in common use.

ਟਾਈਪਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਆਮ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਵਾਲੀ ਹੈ।


We can define functions returning these values.

ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The head function can be given the type.

ਹੈੱਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਟਾਈਪ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


We want to apply the functions to non-empty lists.

ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸੂਚੀਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।


ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅੱਗੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।


ਵਿਕਲਪ ਸਿੱਧਾ ਹੈ।


ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This is not the most natural way to proceed.

ਇਹ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਕੁਦਰਤੀ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The corresponding reduction rules in type theory are.

ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘਟਾਓ ਨਿਯਮ ਹਨ।


We are interested in proofs of expressions.

ਸਾਡੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ।


The mismatch here can be traced to the divergence of interests.

ਇੱਥੇ ਗਲਤ ਮੇਲ ਦਿਲਚਸਪੀਆਂ ਦੇ ਵੱਖ ਹੋਣ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The crucial reduction to ensure ‘directness of proof’ is that embodied in our computation rules.

ਸਬੂਤ ਦੀ ਸਿੱਧਤਾ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਮੀ ਸਾਡੇ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


The other class of commutation rules are included in the system.

ਕਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਦੂਜਾ ਵਰਗ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


We follow this with a more detailed survey of the uses of dependent types.

ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਨਿਰਭਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The identity function is defined for all ‘small’ types uniformly.

ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਾਰੇ 'ਛੋਟੇ' ਪ੍ਰਕਾਰਾਂ ਲਈ ਇੱਕਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

ਇੱਕ ਕਿਸਮ 'ਤੇ ਗੌਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ (∃A:U 0 ). P(A) ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਕਿਵੇਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A).

ਉਹ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਹਨ (A, p), A:U 0 ਅਤੇ p:P(A)।


Suppose we have defined P(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a type Atogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ P(A) ਨੂੰ (A⇒A)∧(A⇒A) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੋਂਦਮੂਲਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ Atogether ਨਾਲ p: (A⇒A)∧(A⇒A) ਹੋਵੇਗੀ ਜੋ A ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹੈ।


An object of this type is equivalent to an implementation of an abstract type.

ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਕਿਸਮ ਦੀ ਲਾਗੂਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।


We shall have more to say about quantified types in the following chapter.

ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਮਾਤਰਾਤਮਕ ਕਿਸਮਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਗੱਲਾਂ ਕਰਾਂਗੇ।


The introduction rule explains what objects are permitted to be elements of the type.

ਪਛਾਣ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਤੱਤ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਹੈ।


It is the closure axioms for a type A which allow us to prove properties for all elements of A.

ਇਹ ਇੱਕ ਕਿਸਮ A ਲਈ ਬੰਦ axioms ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ A ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।


The rules we have given for universes correspond to introduction rules.

ਅਸੀਂ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡਾਂ ਲਈ ਜੋ ਨਿਯਮ ਦਿੱਤੇ ਹਨ, ਉਹ ਪਛਾਣ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric.

ਬੰਦ axioms ਸਾਨੂੰ ਬਹੁ-ਰੂਪੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types but N.

ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ N ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ 'ਤੇ ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੀ।


Why do we stop with a chain of universes U 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

ਅਸੀਂ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡਾਂ U 0 , U 1 , . . . ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਰੁਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਕੁਦਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of the U n .

ਸਪੱਸ਼ਟ ਇੱਕ ਜੋ ਮਨ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ (λn:N). U n ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ U n ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵਿੱਚ ਵੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such as N and tree, and the propositions.

ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਦਿਸ਼ਾ ਉਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜੋ ਸੈੱਟ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ N ਅਤੇ ਟ੍ਰੀ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵ।


When we first introduced algebraic types in the previous chapter, section 4.9, we described what we meant by an algebraic type.

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ, ਭਾਗ 4.9 ਵਿੱਚ ਬੀਜਗਣਿਤ ਕਿਸਮਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਸਾਡਾ ਬੀਜਗਣਿਤ ਕਿਸਮ ਤੋਂ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।


A list is either empty, [ ], or can be thought of as having a first element, or head, a and a remainder, or tail, x.

ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਜਾਂ ਤਾਂ ਖਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, [], ਜਾਂ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਤੱਤ, ਜਾਂ ਸਿਰ, a ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਾਕੀ, ਜਾਂ ਪੂਛ, x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The double colon ‘::’ is often pronounced ‘cons’.

ਡਬਲ ਕੋਲਨ ‘::’ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ‘cons’ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


Definitions by recursion take the form sum[ ]≡ df 0 sum(a::x)≡ df a+ (sum x) where in this case we look at a function defined over a numerical list.

ਰਿਕਰਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਰੂਪ ਲੈਂਦੀਆਂ ਹਨ sum[ ]≡ df 0 sum(a::x)≡ df a+ (sum x) ਜਿੱਥੇ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਸੂਚੀ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।


Elements of lists can have any type, as long as we keep the lists homogeneous.

ਸੂਚੀਆਂ ਦੇ ਤੱਤ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।


Lists form one of the standard data types in functional programming.

ਸੂਚੀਆਂ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਵਿੱਚ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਾਟਾ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।


If the object does not represent a proof, it is not a proof.

ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਬੂਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The cases of ConjE and ImpE are difficult to understand.

ConjE ਅਤੇ ImpE ਦੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ।


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

ਅਸੀਂ ਸਬੂਤ ਨਿਰਮਾਣ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਨਿਰਭਰ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


First we define a function proves:proof⇒(f mla+dummy).

ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਸਬੂਤ⇒(f mla+ਡਮੀ)।


Then we define the subtypes prf f≡ df (∃p:proof).(proves p=f).

ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਬਟਾਈਪਸ prf f≡ df (∃p:ਸਬੂਤ)।(ਸਾਬਤ p=f) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Using these we can give types to the functions which eliminate conjunctions.

ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸੰਜੋਗਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਨ।


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ conjE ਅਤੇ impE ਦਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਿਰਮਾਤਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।


We know that their application is only permitted when it will take legitimate proofs into a legitimate proof.

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਉਦੋਂ ਹੀ ਆਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਜਾਇਜ਼ ਸਬੂਤਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਾਇਜ਼ ਸਬੂਤ ਵਿੱਚ ਲੈ ਜਾਵੇਗੀ।


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors.

ਅਸੀਂ ਨਿਰਮਾਤਾਵਾਂ ਦੀ ਕਾਰਵਾਈ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ tr, conjI ਅਤੇ impI ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The types secproof will only contain legitimate proofs.

ਕਿਸਮਾਂ secproof ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਜਾਇਜ਼ ਸਬੂਤ ਹੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ।


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

ਉੱਪਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਸਾਬਤ, conjE 1 ਅਤੇ impE ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦਿਓ।


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

ਕਿਸਮਾਂ ਦਿਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ tr, conjI ਅਤੇ impI ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs.

ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸਮ secproof ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਜਾਇਜ਼ ਸਬੂਤ ਹਨ।


Quantification over the universes allows us to assert the existence of types with certain properties.

ਬ੍ਰਹਿਮੰਡਾਂ ਉੱਤੇ ਮਾਤਰਾਤਮਕਤਾ ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਦਾ ਦਾਅਵਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।


Such definitions are not restricted to the first universe.

ਅਜਿਹੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਪਹਿਲੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਨਹੀਂ ਹਨ।


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined over lists of numbers.

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ quicksort ਫੰਕਸ਼ਨ qsort ਨੂੰ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


This parametrisation is possible in a language like Miranda.

ਇਹ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਮਿਰਾਂਡਾ ਵਰਗੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸੰਭਵ ਹੈ।


The examples we have seen so far resemble the parametric polymorphic functions.

ਜੋ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਪੌਲੀਮੋਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀਆਂ ਜੁਲਦੀਆਂ ਹਨ।


In the system T we can express different types.

ਸਿਸਟਮ T ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The function must therefore be of the polymorphic type.

ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੌਲੀਮੋਰਫਿਕ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


Given a listl, a natural numbern,anda proof thatnis smaller than the length oflwe return thenth element ofl.

ਇੱਕ ਸੂਚੀl ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆn, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਹੈ ਕਿ n, l ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ l ਦਾ nਵਾਂ ਤੱਤ ਵਾਪਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


ਇੰਡੈਕਸ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?


ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਧਾਰਾਵਾਂ ਸਪਸ਼ਟ ਹਨ।


What is happening in the first?p is a proof that (n <#[ ]) that is (n <0), which is⊥— we can define an element ofAfrompusingabort A .

ਪਹਿਲੇ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ? p ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਹੈ ਕਿ (n <#[ ]) ਭਾਵ (n <0), ਜੋ ਕਿ ⊥ ਹੈ— ਅਸੀਂ abort A ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ p ਤੋਂ A ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


It is interesting to see that the definition ofindexcan be made either by induction overNwith a subsidiary induction over [A], orvice versa— the two arguments are independent of each other.

ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ ਕਿ index ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਜਾਂ ਤਾਂ N ਉੱਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ [A] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਹਾਇਕ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ—ਦੋਵੇਂ ਦਲੀਲਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ।


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕੋਰਸ-ਆਫ-ਵੈਲਿਊਜ਼ ਰਿਕਰਸ਼ਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਉਹ ਸਾਰੇ ਸਹਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


Taking a special case of thepowerfunction, we have pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) which can be rewritten thus, wherehis a primitive recursive function, pow0≡ df 1 pow(n+ 1)≡ df h(pow(n+1div2))n

ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਲੈਣਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ h ਇੱਕ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਰਿਕਰਸਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, pow0≡ df 1 pow(n+ 1)≡ df h(pow(n+1div2))n


Transforming this into a list definition, we have g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]

ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]


The subexpressiong! (n+1div2) is informal;indextakes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

ਸਬਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ g! (n+1div2) ਗੈਰ ਰਸਮੀ ਹੈ; ਇੰਡੈਕਸ ਇੱਕ ਤੀਸਰਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਆਬਜੈਕਟ ਹੈ, ਜੋ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦਾ ਹੈ।


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n)

ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਜਾਇਜ਼ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (n+1div2)<#(g n)


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

ਇਹ (0< m)⇒(m div2< m) ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਵੇਗਾ ਜੋ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ #(g n) = (n+ 1)(6.1) ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਨੂੰ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਹੀ।


Transforming again, we define a function which returns apair (g n , p n ) wherep n proves the assertion (6.1).

ਦੁਬਾਰਾ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਜੋੜਾ (g n , p n ) ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ p n ਦਾਅਵੇ (6.1) ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

ਨਤੀਜੇ (f n) ਨੂੰ ਮੁੱਲ (g n) ਤੋਂ ਕੱਢਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੈੱਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਸੂਚੀ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਹੈ।


We can use (6.1) again here to show this, as it states that all the values (g n) have positive length, and so none of them can be empty.

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਇੱਥੇ (6.1) ਦੀ ਦੁਬਾਰਾ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ (g n) ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਲੰਬਾਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਖਾਲੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it termi- nates.

ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਇੱਕ ਰਵਾਇਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਸਿਸਟਮ ਤੋਂ ਬਿਲਕੁਲ ਵੱਖਰਾ ਹੈ, ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਤੋਂ ਵੱਖ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values toheadandindexwe could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ — ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਹ ਪਹੁੰਚ ਅਪਣਾਈ ਹੁੰਦੀ ਜੋ ਹੈੱਡ ਅਤੇ ਇੰਡੈਕਸ ਨੂੰ ਡਿਫਾਲਟ ਜਾਂ ਗਲਤੀ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਲੋੜੀਂਦੇ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਪਏਗਾ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਵਾਪਸ ਕੀਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ 'ਠੀਕ' ਹਨ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਜਾਂ ਡਿਫਾਲਟ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹਨ।


Exercises 6.11. Using induction overm:Nprove that (m div2)< mfor allm >0.

ਅਭਿਆਸ 6.11. m:N ਉੱਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ (m div2)< m ਸਾਰੇ m >0 ਲਈ।


6.12. Formalise the derivation of the functionsgandpowabove.

6.12. ਉਪਰੋਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ g ਅਤੇ pow ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਬਣਾਓ।


6.13. Give a proof that for all listslandm, #l+ #m= #(l++m)

6.13. ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ l ਅਤੇ m ਲਈ, #l+ #m= #(l++m)


The function is tail recursive if its definition takes a specific form.

ਜੇਕਰ ਇਸਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਰੂਪ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੂਛ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


These functions are called tail recursive since the recursive calls are in the tail of the code.

ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪੂਛ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਾਲ ਕੋਡ ਦੀ ਪੂਛ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


If the condition is true, we make a recursive call which transforms the argument.

ਜੇਕਰ ਸ਼ਰਤ ਸਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਦਲੀਲ ਨੂੰ ਬਦਲਦੀ ਹੈ।


We perform the parallel assignment and return the result.

ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਵਾਪਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


This is not an isolated phenomenon; every primitive recursive function can be given a tail recursive definition.

ਇਹ ਕੋਈ ਵੱਖਰੀ ਘਟਨਾ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਹਰ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੂਛ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The idea of the transformation is that the last argument starts off at c.

ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਆਖਰੀ ਦਲੀਲ c 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The result is a corollary of the following theorem.

ਨਤੀਜਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।


For all n, c, and f, tprim n c f n c = prim n c f.

ਸਾਰੇ n, c, ਅਤੇ f ਲਈ, tprim n c f n c = prim n c f।


Note that in the action of tprim the first three arguments are not modified.

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ tprim ਦੀ ਕਾਰਵਾਈ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਦਲੀਲਾਂ ਨੂੰ ਸੋਧਿਆ ਨਹੀਂ ਗਿਆ ਹੈ।


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function into a tail recursive one.

ਨਤੀਜਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੂਛ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦਾ ਹੈ।


We can prove similar theorems for the other recursion operators in the system.

ਅਸੀਂ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਆਪਰੇਟਰਾਂ ਲਈ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਜ਼ਰੂਰੀ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਲਈ ਇੱਕ ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ।


Give tail recursive forms of the recursion operators over lists and trees.

ਲਿਸਟਾਂ ਅਤੇ ਟ੍ਰੀਜ਼ ਉੱਤੇ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਆਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਪੂਛ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਰੂਪ ਦਿਓ।


Comment on the space efficiency of the tail recursive form of the factorial function.

ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੂਛ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਾਪਤ ਰੂਪ ਦੀ ਸਪੇਸ ਕੁਸ਼ਲਤਾ 'ਤੇ ਟਿੱਪਣੀ ਕਰੋ।


This section provides a survey of examples in the published literature.

ਇਹ ਭਾਗ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਰਵੇਖਣ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


In Martin-Löf’s work there are few examples.

ਮਾਰਟਿਨ-ਲੋਫ ਦੇ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ।


The extensional version of the theory contains a proof of the axiom of choice.

ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਐਕਸਟੈਂਸ਼ਨਲ ਵਰਜ਼ਨ ਵਿੱਚ ਚੋਣ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਸਬੂਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


A source of many examples is the Programming Methodology Group.

ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਰੋਤ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਵਿਧੀ ਸਮੂਹ ਹੈ।


Generalising the idea of a multilevel array is the type of multilevel functions.

ਮਲਟੀਲੇਵਲ ਐਰੇ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾਉਣਾ ਮਲਟੀਲੇਵਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਿਸਮ ਹੈ।


We shall look at their work later when we look at extensions of the theory.

ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ।


If an argument is computationally irrelevant, its evaluation will degrade the efficiency of the program.

ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਦਲੀਲ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨੂੰ ਘਟਾ ਦੇਵੇਗਾ।


Normal order evaluation begins evaluation of the whole expression before argument evaluation.

ਸਧਾਰਨ ਆਰਡਰ ਮੁਲਾਂਕਣ ਦਲੀਲ ਦੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪੂਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Lazy evaluation ensures that no redex is evaluated more than once.

ਸੁਸਤ ਮੁਲਾਂਕਣ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਰੀਡੈਕਸ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਮੁਲਾਂਕਣ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


In a language with structured data, an argument is only evaluated to the extent necessary for computation.

ਢਾਂਚਾਗਤ ਡੇਟਾ ਵਾਲੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਦਲੀਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਸਿਰਫ਼ ਉਸ ਹੱਦ ਤੱਕ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਣਨਾ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


Efficient lazy implementations of functional languages are feasible.

ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੇ ਕੁਸ਼ਲ ਸੁਸਤ ਲਾਗੂਕਰਨ ਸੰਭਵ ਹਨ।


Computationally irrelevant objects will simply be ignored under lazy evaluation.

ਗਣਨਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੰਬੰਧਿਤ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸੁਸਤ ਮੁਲਾਂਕਣ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਿਰਫ਼ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।


The proper definition of computational relevance would choose just that portion of an expression which is used in calculating a result.

ਗਣਨਾਤਮਕ ਪ੍ਰਸੰਗਿਕਤਾ ਦੀ ਸਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਚੁਣੇਗੀ ਜੋ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਣ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The type is inhabited or not in any particular case is of importance.

ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਟਾਈਪ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।


An application of hd to a list is only possible if we can pair it with a proof.

hd ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ 'ਤੇ ਵਰਤੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives.

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾਤਮਕ ਅਸੰਬੰਧਤਾ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਨੈਕਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੁਮੇਲ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ B ਦੇ ਨਾਲ ਟਾਈਪ A ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?


An alternative approach is to build the ‘subset’ type.

ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਕ ਪਹੁੰਚ 'ਉਪ-ਸਮੂਹ' ਟਾਈਪ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ।


We lose the uniqueness of types in the system.

ਅਸੀਂ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਟਾਈਪਾਂ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਗੁਆ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।


What are the formal rules for the subset type?

ਉਪ-ਸਮੂਹ ਟਾਈਪ ਲਈ ਰਸਮੀ ਨਿਯਮ ਕੀ ਹਨ?


Objects are introduced as we described above.

ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ।


ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?


We can modify the existential elimination rule.

ਅਸੀਂ ਹੋਂਦਮੂਲਕ ਖਾਤਮਾ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸੋਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Since no new operator is added by the elimination rule, there is no computation rule for the subset type.

ਕਿਉਂਕਿ ਖਾਤਮਾ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਕੋਈ ਨਵਾਂ ਓਪਰੇਟਰ ਨਹੀਂ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਟਾਈਪ ਲਈ ਕੋਈ ਗਣਨਾ ਨਿਯਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।


This makes these rules different from the others in type theory.

ਇਹ ਇਹਨਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


The first simply uses subset introduction.

ਪਹਿਲਾ ਸਿਰਫ਼ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The programmer needs to define an equality relation over a class of objects.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਰ ਨੂੰ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਉੱਤੇ ਬਰਾਬਰੀ ਦਾ ਰਿਸ਼ਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


For instance, we stipulated that we would consider as the same two expressions which differ only in their bound variables.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਯਮ ਬਣਾਇਆ ਸੀ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਮੰਨਾਂਗੇ ਜੋ ਸਿਰਫ਼ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬੰਧਨ ਵਾਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਹਨ।


In a program we might choose to represent finite sets by finite lists.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੀਮਤ ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਸੂਚੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


These types are a part of the Nuprl system.

ਇਹ ਕਿਸਮਾਂ ਨੁਪਰਲ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹਨ।


We start with an exposition of the quotient type adapted to the context of TT.

ਅਸੀਂ TT ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਕੋਸ਼ਟ ਕਿਸਮ ਦੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


In forming the type, we have to verify that the predicate is an equivalence relation.

ਕਿਸਮ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨਾ ਪਏਗਾ ਕਿ ਪ੍ਰੈਡੀਕੇਟ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰੀ ਦਾ ਰਿਸ਼ਤਾ ਹੈ।


The introduction rule breaks unicity of typing.

ਪਛਾਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਟਾਈਪਿੰਗ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਨੂੰ ਤੋੜਦਾ ਹੈ।


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਸ਼ਟ ਕਿਸਮ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਬਰਾਬਰ ਤੱਤਾਂ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


The elimination rule for the quotient type must reflect this.

ਕੋਸ਼ਟ ਕਿਸਮ ਲਈ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


There is no separate computation rule for the quotient type.

ਕੋਸ਼ਟ ਕਿਸਮ ਲਈ ਕੋਈ ਵੱਖਰਾ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਨਿਯਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।


A//E x,y ਲਈ ਬਰਾਬਰੀ ਦਾ ਨਿਯਮ।


A typical example of a quotient type is that of the rationals.

ਕੋਸ਼ਟ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਆਮ ਉਦਾਹਰਨ ਰੈਸ਼ਨਲ ਦੀ ਹੈ।


Two pairs are equivalent (n, m)∼(n ′ , m ′ ) if n∗m ′ =n ′ ∗m.

ਦੋ ਜੋੜੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ (n, m)∼(n ′ , m ′ ) ਜੇਕਰ n∗m ′ =n ′ ∗m।


The sum of two rationals n/m and p/q is defined to be n∗q+p∗m / m∗q.

ਦੋ ਰੈਸ਼ਨਲ n/m ਅਤੇ p/q ਦਾ ਜੋੜ n∗q+p∗m / m∗q ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


Similarly, if we define the ‘less than’ relation over the integers.

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ 'ਤੇ 'ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ' ਰਿਸ਼ਤੇ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


A second example is given by the extensional equality.

ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਉਦਾਹਰਨ ਐਕਸਟੈਂਸ਼ਨਲ ਬਰਾਬਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।


What is the advantage of the quotient type?

ਕੋਸ਼ਟ ਕਿਸਮ ਦਾ ਕੀ ਫਾਇਦਾ ਹੈ?


The major one is to carry over the rules for substitution etc. to the equivalence relation.

ਮੁੱਖ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰੀ ਦੇ ਰਿਸ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੀ ਆਦਿ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।


A similar construction is given in the paper.

ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਉਸਾਰੀ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।


The approach of congruence types is slightly different.

ਸਮਾਨਤਾ ਕਿਸਮਾਂ ਦਾ ਪਹੁੰਚ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।


The proof object represents the undis- charged assumption.

ਸਬੂਤ ਵਸਤੂ ਅਣ-ਚਾਰਜਡ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੂਤ-ਰਹਿਤ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡਾਟਾ ਕਿਸਮਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Obviously the introduction rules still need to mention the elements of N, and so are unchanged.

ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਅਜੇ ਵੀ N ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਬਦਲੇ ਨਹੀਂ ਗਏ ਹਨ।


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1), which is itself trivially derivable.

ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ (0<1) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਪਏਗਾ ਜੋ (0< n+ 1) ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਮਾਮੂਲੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


In the second case we have to derive (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1))) for which, using the rules (∀I) and (⇒I) top-down, it is sufficient to derive (0< f ac(n+ 1)) on the assumption thatn:Nand (0< f ac n).

ਦੂਜੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1))) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਪਏਗਾ ਜਿਸਦੇ ਲਈ, ਨਿਯਮਾਂ (∀I) ਅਤੇ (⇒I) ਟਾਪ-ਡਾਊਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ (0< f ac(n+ 1)) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ ਕਿ n:N ਅਤੇ (0< f ac n)।


Since f ac(n+ 1) is the product (n+ 1)∗(f ac n) and as it is a standard result (and exercise!) that a product of positive numbers is positive, the result is derived.

ਕਿਉਂਕਿ f ac(n+ 1) ਗੁਣਨਫਲ (n+ 1)∗(f ac n) ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਨਤੀਜਾ ਹੈ (ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ!) ਕਿ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

ਸਾਡਾ ਪਹੁੰਚ [NPS90] ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।


First, we express the specification in a different way, so as to separate the computational from the proof-theoretic; secondly, we eschew the use of the subset type.

ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਗਣਨਾਤਮਕ ਨੂੰ ਸਬੂਤ-ਸਿਧਾਂਤਕ ਤੋਂ ਵੱਖ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ; ਦੂਜਾ, ਅਸੀਂ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਬਚਦੇ ਹਾਂ।


We shall discuss this type in some detail in chapter 7.

ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ 'ਤੇ ਅਧਿਆਇ 7 ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ‘ਇਕੁਏਸ਼ਨਲ’ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਸੰਕੇਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ।


We assume that the colours are represented by the boolean type, bool (which we shall abbreviate C, for colour), with the value True representing the colour red.

ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਬੂਲੀਅਨ ਕਿਸਮ, bool (ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ C, ਰੰਗ ਲਈ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤਾਂਗੇ) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ True ਲਾਲ ਰੰਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


One way to express the specification of the problem is then to say (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ )) (6.5)

ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਕਹਿਣਾ ਹੈ (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ )) (6.5)


What we seek is, in fact, a function which returns the pair of lists (l ′ , l ′′ ) corresponding to each l, so we modify the specification to read (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l))) (6.6)

ਅਸੀਂ ਜੋ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਹਰੇਕ l ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਸੂਚੀਆਂ (l ′ , l ′′ ) ਦੀ ਜੋੜੀ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਨ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹਨ ਲਈ ਸੋਧਦੇ ਹਾਂ (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l))) (6.6)


This pair consists precisely of the function required together with a proof that is has the property required of it.

ਇਸ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਲੋੜੀਂਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਸੰਪਤੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


This is the general form that a specification in type theory should take – we return to this topic in chapter 7.

ਇਹ ਆਮ ਰੂਪ ਹੈ ਜੋ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਨ ਨੂੰ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ – ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 7 ਵਿੱਚ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਵਾਂਗੇ।


Note that the transformation of the first specification into the second is by no means ad hoc – we have applied the axiom of choice to the first to obtain the second; indeed given this axiom the two specifications are logically equivalent.

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਨਿਰਧਾਰਨ ਦਾ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਐਡ ਹਾਕ ਨਹੀਂ ਹੈ – ਅਸੀਂ ਦੂਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ 'ਤੇ ਚੋਣ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਹੈ; ਦਰਅਸਲ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਦੋਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਨ ਤਰਕਪੂਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


The axiom of choice is the statement (∀x:A).(∃y:B). P(x, y)⇒(∃f:A⇒B).(∀x:A). P(x, f x)

ਚੋਣ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਇਹ ਬਿਆਨ ਹੈ (∀x:A).(∃y:B). P(x, y)⇒(∃f:A⇒B).(∀x:A). P(x, f x)


We can prove the statement by giving a term f and proving the formula 6.7.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਟਰਮ f ਦੇ ਕੇ ਅਤੇ ਫਾਰਮੂਲਾ 6.7 ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਬਿਆਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This method corresponds to traditional program development in a functional programming language: we first define the function we think has the desired property and separately we prove that it does have the property, an exercise in program verification.

ਇਹ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਰਵਾਇਤੀ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿਕਾਸ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਲੋੜੀਂਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ, ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਤਸਦੀਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਭਿਆਸ।


Alternatively, we can develop the proof from the top down, reducing the existential statement 6.6 to 6.5.

ਵਿਕਲਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਿਕਸਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਹੋਂਦਵਾਦੀ ਬਿਆਨ 6.6 ਨੂੰ 6.5 ਤੱਕ ਘਟਾਉਂਦਾ ਹੈ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The train arrived late due to heavy rain.

ਭਾਰੀ ਮੀਂਹ ਕਾਰਨ ਰੇਲ ਗੱਡੀ ਦੇਰ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚੀ।


Please submit your application before the deadline.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਆਖਰੀ ਤਾਰੀਖ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਪਣੀ ਅਰਜ਼ੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰੋ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


ਉਹ ਡਾਕਟਰ ਬਣਨ ਲਈ ਪੜ੍ਹਾਈ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The government is implementing new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The research paper explores the impact of climate change.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਜਲਵਾਯੂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The complex system requires careful analysis.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਏ।


The economic forecast predicts a recession.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਇੱਕ ਮੰਦੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The software update includes several bug fixes.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਅਪਡੇਟ ਵਿੱਚ ਕਈ ਬੱਗ ਫਿਕਸ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


ਉਹ ਆਪਣੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਮਾਹਰ ਹੈ।


The company's profits increased significantly.

ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮੁਨਾਫਾ ਕਾਫ਼ੀ ਵਧਿਆ।


The data analysis revealed interesting patterns.

ਡਾਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

ਕੋਰਮ ਦੀ ਘਾਟ ਕਾਰਨ ਮੀਟਿੰਗ ਮੁਲਤਵੀ ਕਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ।


The implications of the new law are far-reaching.

ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The theorem is a fundamental result in type theory.

ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।


Semigroups are defined using a specific set and operation.

ਸੈਮੀਗਰੁੱਪ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੈੱਟ ਅਤੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


The identity element in a semigroup is unique.

ਇੱਕ ਸੈਮੀਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਪਛਾਣ ਤੱਤ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


We will now formally show the uniqueness of the identity.

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਨੂੰ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ।


The proof uses the associativity of the operation.

ਪ੍ਰਮਾਣ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਜੇਕਰ ਇਨਵਰਸ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਵਿਲੱਖਣ ਹਨ।


The results depend on unpacking the triples.

ਨਤੀਜੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਨੂੰ ਅਨਪੈਕ ਕਰਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।


Dyckhoff found this difficult in the implementation.

ਡਾਈਕੌਫ ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁਸ਼ਕਲ ਪਾਇਆ।


Axiomatization of the theory was more appropriate.

ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਐਕਸੀਓਮੈਟਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਧੇਰੇ ਢੁਕਵਾਂ ਸੀ।


The introduction rule for semigroups is defined.

ਸੈਮੀਗਰੁੱਪ ਲਈ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


Computation rules show how set, op, and assoc behave.

ਗਣਨਾ ਨਿਯਮ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੈੱਟ, ਓਪ ਅਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟ ਕਿਵੇਂ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।


Moving to rules provides a naming facility.

ਨਿਯਮਾਂ 'ਤੇ ਜਾਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਾਮਕਰਨ ਸਹੂਲਤ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।


Adding rules may disturb formal properties.

ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਰਸਮੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੜਬੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।


We will look into this in more depth later.

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਦੇਖਾਂਗੇ।


This chapter focuses on the foundations of the system.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


We compare its strength with other formal systems.

ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਤਾਕਤ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਦੂਜੇ ਰਸਮੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


ਅਹਿਸਾਸ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


We discuss the motivation for developing a model theory.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਥਿਊਰੀ ਵਿਕਸਤ ਕਰਨ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਪ੍ਰੇਰਣਾ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Realizability provides a mechanism for extracting computation.

ਅਹਿਸਾਸ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


We conclude with an overview of inversion of proof rules.

ਅਸੀਂ ਸਬੂਤ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਉਲਟਣ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The definition of a list requires that it contains [ ], and if it contains x it must contain (n::x) also.

ਲਿਸਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ [ ] ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਇਸ ਵਿੱਚ x ਹੈ ਤਾਂ ਇਸ ਵਿੱਚ (n::x) ਵੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


Moreover, the intention of the definition is that L is the smallest such set.

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇਰਾਦਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ L ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਅਜਿਹਾ ਸੈੱਟ ਹੈ।


We can formalise by saying that L is the smallest solution of the equation.

ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਹਿ ਕੇ ਰਸਮੀ ਰੂਪ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ L ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੱਲ ਹੈ।


We shall in fact continue to use the familiar notation (n::x) instead of the pair.

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜੋੜੇ ਦੀ ਬਜਾਏ ਜਾਣੂ ਸੰਕੇਤ (n::x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹਾਂਗੇ।


Not every equation has a solution or a least solution.

ਹਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।


The least solution of the equation is called the least fixed point of the operator.

ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਓਪਰੇਟਰ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


To show that the equation has a solution we consider the sequence of sets.

ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


In general, the superscript may be an infinite ordinal number.

ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸੁਪਰਸਕ੍ਰਿਪਟ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਆਰਡੀਨਲ ਨੰਬਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।


This fixed point is the least fixed point of Θ.

ਇਹ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ Θ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।


We shall use the notation L for the operator of which L is the least fixed point.

ਅਸੀਂ ਉਸ ਓਪਰੇਟਰ ਲਈ ਸੰਕੇਤ L ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸਦਾ L ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।


How do we characterise that L is the least solution?

ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ L ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੱਲ ਹੈ?


We need to express that elements only go in by the action of the operator L.

ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੱਸਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਤੱਤ ਸਿਰਫ਼ ਓਪਰੇਟਰ L ਦੀ ਕਿਰਿਆ ਦੁਆਰਾ ਹੀ ਅੰਦਰ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


We do this by giving an elimination rule which constructs a function by recursion over L.

ਅਸੀਂ ਇਹ ਇੱਕ ਅਲੋਪ ਨਿਯਮ ਦੇ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ L ਉੱਤੇ ਰੀਕਰਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


To make such a definition it is necessary and sufficient to state a value at [ ] and a way of going from a value at x to a value at (n::x).

ਅਜਿਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, [ ] 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਅਤੇ x 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ (n::x) 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਜਾਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਅਤੇ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ।


Consider the example of the sum function, which returns the sum of a numerical list.

ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਸੂਚੀ ਦਾ ਜੋੜ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।


This is characterised by the function g.

ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ g ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।


Before we give a type theoretic treatment of inductive definitions, we observe that there is a link between inductively defined sets and well-founded orderings.

ਇੰਡਕਟਿਵ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੇ ਟਾਈਪ ਸਿਧਾਂਤਕ ਇਲਾਜ ਨੂੰ ਦੇਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੰਡਕਟਿਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੈੱਟਾਂ ਅਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਆਰਡਰਿੰਗਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਲਿੰਕ ਹੈ।


Every inductive set has an ordering given by comparing the stages at which the elements go into the set.

ਹਰ ਇੰਡਕਟਿਵ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਰਡਰਿੰਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਪੜਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤੱਤ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


We define ‖x‖≡ df the α such that x ∈ Θ α+1 − Θ α

ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ‖x‖≡ df ਉਹ α ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ x ∈ Θ α+1 − Θ α


This characterisation also suggests that we can give a representation of inductively defined sets by means of well-founded recursion, and ultimately by means of the W-types.

ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਵੀ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਰੀਕਰਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਨਾਲ, ਅਤੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ W-ਟਾਈਪਾਂ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਨਾਲ, ਇੰਡਕਟਿਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The meta-language uses dependent product types.

ਮੈਟਾ-ਭਾਸ਼ਾ ਨਿਰਭਰ ਉਤਪਾਦ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ।


This approach can be used in the Edinburgh Logical Framework.

ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਨੂੰ ਐਡਿਨਬਰਗ ਲੌਜੀਕਲ ਫਰੇਮਵਰਕ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The inversion principle is a key concept in this context.

ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਉਲਟਾ ਸਿਧਾਂਤ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


We give four kinds of rules when describing a type.

ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।


The introduction rules introduce a constructor.

ਪਛਾਣ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਨਿਰਮਾਤਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ।


The elimination and computation rules are needed.

ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਨਿਯਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


Given proof objects, we form the new proof object.

ਸਬੂਤ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨਵੀਂ ਸਬੂਤ ਵਸਤੂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।


A ਜਾਂ B ਦਾ ਸਬੂਤ।


ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਲਟਾ ਨੂੰ ਆਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਪਛਾਣ ਨਿਯਮ ਹੈ: a:A b:B।


How does this rule relate to the usual ones?

ਇਹ ਨਿਯਮ ਆਮ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ?


The inversion principle applies to the rules.

ਉਲਟਾ ਸਿਧਾਂਤ ਨਿਯਮਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


There is a difficulty in inverting the rules.

ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ।


We need to introduce hypothetical hypotheses.

ਸਾਨੂੰ ਕਲਪਿਤ ਪਰਿਕਲਪਨਾਵਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The system is stronger than the Milner type system.

ਸਿਸਟਮ ਮਿਲਨਰ ਟਾਈਪ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲੋਂ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ।


The Curry Howard isomorphism extends to this situation.

ਕਰੀ ਹਾਵਰਡ ਆਈਸੋਮੋਰਫਿਜ਼ਮ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ।


ਇਸਦਾ ਦਿਲਚਸਪ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।


The second-order calculus provides no means.

ਦੂਜੇ-ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਕੋਈ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।


ਸਿਸਟਮ [CH85] ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।


The theory of constructions is a complex topic.

ਨਿਰਮਾਣ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵਿਸ਼ਾ ਹੈ।


This foundational theory is quite simple.

ਇਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਿਧਾਂਤ ਕਾਫ਼ੀ ਸਰਲ ਹੈ।


Mathematics can be developed using this theory.

ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The definition embodies the equivalence.

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।


The difficulty lies in the mingling of proof objects.

ਮੁਸ਼ਕਲ ਸਬੂਤ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਮਿਲਣ ਵਿੱਚ ਹੈ।


A realizability semantics is discussed in the paper.

ਇੱਕ ਅਹਿਸਾਸ ਯੋਗ ਅਰਥ ਵਿਗਿਆਨ 'ਤੇ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।


Research into type theory is still evolving.

ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਖੋਜ ਅਜੇ ਵੀ ਵਿਕਾਸ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The core of the system is sound and elegant.

ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਕੋਰ ਸਹੀ ਅਤੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਹੈ।


ਮੈਨੂੰ ਉਮੀਦ ਹੈ ਕਿ ਪਾਠਕ ਮੇਰਾ ਉਤਸ਼ਾਹ ਸਾਂਝਾ ਕਰੇਗਾ।


Seeing connections is an intellectual pleasure.

ਸੰਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਇੱਕ ਬੌਧਿਕ ਖੁਸ਼ੀ ਹੈ।


ਮੈਨੂੰ ਖੋਜ ਦਾ ਰੋਮਾਂਚ ਯਾਦ ਹੈ।


The deduction theorem is the same as the algorithm.

ਕਟੌਤੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।


Additions to the system extract a price.

ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਇੱਕ ਕੀਮਤ ਕੱਢਦੇ ਹਨ।


We should be certain before adding a feature.

ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਯਕੀਨੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


Imperative programming's plight seems hopeless.

ਜ਼ਰੂਰੀ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਦੀ ਦੁਰਦਸ਼ਾ ਨਿਰਾਸ਼ਾਜਨਕ ਲੱਗਦੀ ਹੈ।


Functional languages offer a brighter prospect.

ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਇੱਕ ਚਮਕਦਾਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।


Type theory can provide a single foundation.

ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਨੀਂਹ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।


ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਕਰਨਾ ਬਾਕੀ ਹੈ।


Languages based on type theory will be popular.

ਟਾਈਪ ਥਿਊਰੀ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਹੋਣਗੀਆਂ।


Functional programming is also very popular.

ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਵੀ ਬਹੁਤ ਮਸ਼ਹੂਰ ਹੈ।


The information provided is crucial for understanding the core concepts.

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


Please review the document and provide your feedback at your earliest convenience.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਦਸਤਾਵੇਜ਼ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਲਦੀ ਤੋਂ ਜਲਦੀ ਆਪਣਾ ਫੀਡਬੈਕ ਦਿਓ।


The company's profits increased significantly during the last quarter.

ਪਿਛਲੇ ਤਿਮਾਹੀ ਦੌਰਾਨ ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮੁਨਾਫ਼ਾ ਕਾਫ਼ੀ ਵਧਿਆ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਦਿਆਲੂ ਅਤੇ ਮਦਦਗਾਰ ਵਿਅਕਤੀ ਹੈ।


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

ਮੌਸਮ ਵਿਭਾਗ ਨੇ ਕੱਲ੍ਹ ਮੀਂਹ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The meeting will commence at 10 AM sharp.

ਮੀਟਿੰਗ ਸਵੇਰੇ 10 ਵਜੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇਗੀ।


This is a complex problem that requires careful consideration.

ਇਹ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The research findings were published in a peer-reviewed journal.

ਖੋਜ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕ ਪੀਅਰ-ਸਮੀਖਿਆ ਜਰਨਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।


The government announced new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਕਈ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।


The project is on schedule and within budget.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਜਟ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।


The data analysis revealed some interesting patterns.

ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਕੁਝ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਆਪਣੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਮਾਹਰ ਹੈ।


ਕਾਨਫਰੰਸ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਹੋਵੇਗੀ।


The company is committed to sustainable practices.

ਕੰਪਨੀ ਟਿਕਾਊ ਅਭਿਆਸਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਵਚਨਬੱਧ ਹੈ।


The results of the experiment were inconclusive.

ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਅਸਪਸ਼ਟ ਸਨ।


ਸਥਿਤੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ।


ਮੈਂ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਲਈ ਬਹੁਤ ਧੰਨਵਾਦੀ ਹਾਂ।