The proof of the theorem is not very deep.

ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਬਹੁਤ ਡੂੰਘਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।


All reasonable computational models are equivalent.

ਸਾਰੇ ਵਾਜਬ ਗਣਨਾਤਮਕ ਮਾਡਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


The choice of model does not matter much when we consider computability.

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾਯੋਗਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।


The extended Church-Turing thesis is a statement about the limits of computation.

ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਚਰਚ-ਟਿਊਰਿੰਗ ਥੀਸਿਸ ਗਣਨਾ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਬਿਆਨ ਹੈ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


ਕਾਨਫਰੰਸ ਅਗਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ।


ਉਹ ਫਰਾਟੇਦਾਰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਅਤੇ ਪੰਜਾਬੀ ਬੋਲਦੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The research paper was published in a leading journal.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਜਰਨਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।


The economic situation is improving gradually.

ਆਰਥਿਕ ਸਥਿਤੀ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਸੁਧਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The government is implementing new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The software requires a high-performance computer.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉੱਚ-ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੁਝ ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The data analysis revealed interesting insights.

ਡੇਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਦਿਲਚਸਪ ਸੂਝਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The company's profits increased significantly.

ਕੰਪਨੀ ਦੇ ਮੁਨਾਫੇ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ।


The complex algorithm optimizes resource allocation.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਰੋਤ ਵੰਡ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


The implications of the new law are far-reaching.

ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਚੇਤਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


The quantum physics experiment yielded unexpected results.

ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੇ ਅਚਾਨਕ ਨਤੀਜੇ ਦਿੱਤੇ।


The intricate design of the system required extensive testing.

ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲਈ ਵਿਆਪਕ ਟੈਸਟਿੰਗ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ।


The algorithm efficiently computes the function.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਗਿਣਦਾ ਹੈ।


Reductions are used to relate computational complexity.

ਗਣਨਾਤਮਕ ਗੁੰਝਲਤਾ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਟੌਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


We will reduce 3SAT to the latter problems.

ਅਸੀਂ 3SAT ਨੂੰ ਬਾਅਦ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਘਟਾਵਾਂਗੇ।


Solving any one of them efficiently will result in an efficient algorithm.

ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਤੀਜਾ ਆਵੇਗਾ।


Transitivity of reductions is an important concept.

ਘਟਾਓ ਦੀ ਸੰਕਰਮਣਸ਼ੀਲਤਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ Ax = b ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The input is a collection of linear equations.

ਇਨਪੁਟ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ।


There is no known efficient algorithm to solve 01EQ.

01EQ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।


A constraint can be written as an inequality.

ਇੱਕ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We add auxiliary variables to replace an equation.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਸਹਾਇਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲਦਾ ਹੈ।


ਪ੍ਰਮਾਣ ਨੂੰ ਦੋ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।


ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 3SAT(φ) = 1।


The equations contain the condition xi + x'i = 1.

ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਰਤ xi + x'i = 1 ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


We can use non-linearity to force continuous variables.

ਅਸੀਂ ਲਗਾਤਾਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਮਜਬੂਰ ਕਰਨ ਲਈ ਗੈਰ-ਲੀਨੀਅਰਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The subset sum problem is also known as the knapsack problem.

ਉਪ-ਸਮੂਹ ਜੋੜ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਨੈਪਸੈਕ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


We need to determine whether or not there exists some set of the integers that sums up to T.

ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ T ਤੱਕ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।


The key insight is that we can think of vectors as numbers.

ਮੁੱਖ ਸੂਝ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The independent set problem is naturally related to scheduling problems.

ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਸੈੱਟ ਸਮੱਸਿਆ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਮਾਂ-ਸਾਰਣੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।


Finding larger independent sets can be challenging.

ਵੱਡੇ ਸੁਤੰਤਰ ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।


ਸਤਿ ਸ੍ਰੀ ਅਕਾਲ, ਤੁਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਹੋ?


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਬਹੁਤ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


Could you please help me with this task?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਮੇਰੀ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?


ਖ਼ਬਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਦਿੱਤੀ ਗਈ।


The company's profits increased significantly this quarter.

ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮੁਨਾਫ਼ਾ ਇਸ ਤਿਮਾਹੀ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਵਧਿਆ ਹੈ।


The government is implementing new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਅਰਥ ਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The research team is working on a new vaccine.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵੈਕਸੀਨ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The complex system requires careful analysis.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।


The philosophical debate explored the nature of reality.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਹਕੀਕਤ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


Quantum entanglement is a fascinating phenomenon.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਵਰਤਾਰਾ ਹੈ।


The intricate design of the architecture was admired by all.

ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦੀ ਸਭ ਨੇ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕੀਤੀ।


The economic downturn had a significant impact on the global market.

ਆਰਥਿਕ ਮੰਦੀ ਦਾ ਗਲੋਬਲ ਬਾਜ਼ਾਰ 'ਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪਿਆ।


The implications of artificial intelligence are far-reaching.

ਆਰਟੀਫੀਸ਼ੀਅਲ ਇੰਟੈਲੀਜੈਂਸ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The judge delivered a verdict based on the evidence presented.

ਜੱਜ ਨੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਬੂਤਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫੈਸਲਾ ਸੁਣਾਇਆ।


The historical analysis revealed a complex interplay of factors.

ਇਤਿਹਾਸਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਆਪਸੀ ਤਾਲਮੇਲ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The company's strategic plan involved a multi-faceted approach.

ਕੰਪਨੀ ਦੀ ਰਣਨੀਤਕ ਯੋਜਨਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁ-ਪੱਖੀ ਪਹੁੰਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ।


The scientific community is constantly seeking new discoveries.

ਵਿਗਿਆਨਕ ਭਾਈਚਾਰਾ ਲਗਾਤਾਰ ਨਵੀਆਂ ਖੋਜਾਂ ਦੀ ਤਲਾਸ਼ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The algorithm's efficiency is a key factor in its widespread use.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਇਸਦੀ ਵਿਆਪਕ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਕਾਰਕ ਹੈ।


The news reported a significant rise in the stock market.

ਖ਼ਬਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਟਾਕ ਮਾਰਕੀਟ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਾਧੇ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ ਗਈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਲੂਣ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The company is developing innovative solutions for the future.

ਕੰਪਨੀ ਭਵਿੱਖ ਲਈ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰੀ ਹੱਲ ਵਿਕਸਤ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਾਤਾਰ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।


The research team is exploring new avenues of scientific discovery.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਵਿਗਿਆਨਕ ਖੋਜ ਦੇ ਨਵੇਂ ਮਾਰਗਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The weather forecast predicts heavy rainfall tomorrow.

ਮੌਸਮ ਵਿਭਾਗ ਕੱਲ੍ਹ ਭਾਰੀ ਬਾਰਿਸ਼ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਹੁਨਰਮੰਦ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਰ ਹੈ।


The government announced new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The complex equation required a detailed analysis.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ।


She expressed her gratitude for their support.

ਉਸਨੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮਰਥਨ ਲਈ ਆਪਣਾ ਧੰਨਵਾਦ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ।


The project's success depended on effective collaboration.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਹਿਯੋਗ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਸੀ।


The ancient civilization left behind many mysteries.

ਪੁਰਾਤਨ ਸਭਿਅਤਾ ਨੇ ਪਿੱਛੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਰਹੱਸ ਛੱਡ ਦਿੱਤੇ।


The artist's work was admired by critics.

ਕਲਾਕਾਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦੀ ਆਲੋਚਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕੀਤੀ ਗਈ।


The new technology has the potential to revolutionize the industry.

ਨਵੀਂ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਵਿੱਚ ਉਦਯੋਗ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆਉਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ।


The economic downturn affected many businesses.

ਆਰਥਿਕ ਮੰਦੀ ਨੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕਾਰੋਬਾਰਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ।


The team worked tirelessly to achieve their goal.

ਟੀਮ ਨੇ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਣਥੱਕ ਮਿਹਨਤ ਕੀਤੀ।


The details of the agreement are confidential.

ਸਹਿਮਤੀ ਦੇ ਵੇਰਵੇ ਗੁਪਤ ਹਨ।


The investigation revealed a complex web of corruption.

ਜਾਂਚ ਵਿੱਚ ਭ੍ਰਿਸ਼ਟਾਚਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਜਾਲ ਸਾਹਮਣੇ ਆਇਆ।


We can make the loop corresponding to the variables long enough.

ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਲੂਪ ਨੂੰ ਇੰਨਾ ਲੰਬਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


But if we do that, then the only way if we are able to reach is if the paths we took corresponded to a satisfying assignment.

ਪਰ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜੋ ਮਾਰਗ ਲਏ ਹਨ ਉਹ ਇੱਕ ਸੰਤੁਸ਼ਟੀਜਨਕ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।


We have shown that there are a number of functions for which we can prove a statement.

ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਥੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿਆਨ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Hence coming up with a polynomial-time algorithm for even one of these problems will entail a polynomial-time algorithm.

ਇਸ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਲੈ ਕੇ ਆਉਣਾ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣੇਗਾ।


The computational complexity of many seemingly unrelated computational problems can be related to one another through the use of reductions.

ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਗਣਨਾਤਮਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾਤਮਕ ਗੁੰਝਲਤਾ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦੀਆਂ, ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


If F ≤ p G then a polynomial-time algorithm for G can be transformed into a polynomial-time algorithm for F.

ਜੇਕਰ F ≤ p G ਹੈ, ਤਾਂ G ਲਈ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ F ਲਈ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Equivalently, if F ≤ p G and F does not have a polynomial-time algorithm then neither does G.

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ F ≤ p G ਹੈ ਅਤੇ F ਕੋਲ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ G ਕੋਲ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।


We’ve developed many techniques to show that 3SAT ≤ p F for interesting functions F.

ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤੀਆਂ ਹਨ ਕਿ 3SAT ≤ p F ਦਿਲਚਸਪ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ F ਲਈ।


Sometimes we can do so by using transitivity of reductions.

ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਸੰਕਰਮਣਸ਼ੀਲਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Several notions of reductions are defined in the literature.

ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਸੰਕਲਪ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।


The maximal independent set is the task of finding a “local maximum” of an independent set.

ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੁਤੰਤਰ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਸੈੱਟ ਦੇ “ਸਥਾਨਕ ਅਧਿਕਤਮ” ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਕੰਮ ਹੈ।


Unlike finding a maximum independent set, finding a maximal independent set can be done efficiently by a greedy algorithm.

ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੁਤੰਤਰ ਸੈੱਟ ਲੱਭਣ ਦੇ ਉਲਟ, ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੁਤੰਤਰ ਸੈੱਟ ਲੱਭਣਾ ਇੱਕ ਲਾਲਚੀ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੁਆਰਾ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We have mentioned that the line between reductions used for algorithm design and showing hardness is sometimes blurry.

ਅਸੀਂ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਅਤੇ ਕਠੋਰਤਾ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਕਟੌਤੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਲਾਈਨ ਕਈ ਵਾਰ ਧੁੰਦਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


In this field people use algorithms for SAT together with reductions of the form F ≤ p SAT to derive algorithms for other functions F of interest.

ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਲੋਕ SAT ਲਈ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ F ≤ p SAT ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਕਟੌਤੀਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ F ਲਈ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਨ।


So far we have shown that 3SAT is no harder than Quadratic Equations, Independent Set, Maximum Cut, and Longest Path.

ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ 3SAT Quadratic Equations, Independent Set, Maximum Cut, ਅਤੇ Longest Path ਨਾਲੋਂ ਸਖ਼ਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।


But to show that these problems are computationally equivalent we need to give reductions in the other direction.

ਪਰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਕਟੌਤੀਆਂ ਦੇਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


All of the problems we discussed in Chapter 14, and a great many other problems, share the same commonality: they are all search problems.

ਅਧਿਆਇ 14 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਸਾਂਝੀ ਗੱਲ ਸਾਂਝੀ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ: ਉਹ ਸਾਰੇ ਖੋਜ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਨ।


For example, in 3SAT, the instance is a formula and the solution is an assignment to the variable; in Max-Cut the instance is a graph and the solution is a cut in the graph; and so on and so forth.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3SAT ਵਿੱਚ, ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੱਲ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਹੈ; Max-Cut ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਅਤੇ ਹੱਲ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੱਟ ਹੈ; ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ।


It turns out that every such search problem can be reduced to 3SAT.

ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਹਰ ਖੋਜ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ 3SAT ਤੱਕ ਘਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


In this chapter we will see the definition of the complexity class NP - one of the most important definitions in this book.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਗੁੰਝਲਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ NP ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇਖਾਂਗੇ - ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ।


The algorithm is very easy to understand.

ਇਸ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਬਹੁਤ ਸੌਖਾ ਹੈ।


3SAT ਇੱਕ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਔਖਾ ਮਸਲਾ ਹੈ।


We can't solve it faster than 2 to the power of epsilon n.

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ 2 ਦੀ ਘਾਤ ਐਪਸੀਲਨ n ਤੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।


The fastest known algorithm requires more than 2 to the power of 0.35n.

ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਜਾਣਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਐਲਗੋਰਿਦਮ 2 ਦੀ ਘਾਤ 0.35n ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ।


It could be solved in a millisecond on an iPhone.

ਇਸਨੂੰ ਆਈਫੋਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮਿਲੀਸਕਿੰਡ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The computational costs are apart by a factor of about 10 to the power of 100.

ਗਣਨਾਤਮਕ ਲਾਗਤਾਂ ਲਗਭਗ 10 ਦੀ ਘਾਤ 100 ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੁਆਰਾ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ।


This chapter explores the consequences of the 3SAT easy scenario.

ਇਹ ਅਧਿਆਇ 3SAT ਆਸਾਨ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


An efficient algorithm would imply efficient algorithms for many tasks.

ਇੱਕ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੰਮਾਂ ਲਈ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦੇਵੇਗਾ।


It's not enough to know if a formula is satisfiable.

ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੈ।


We want to discover the actual satisfying assignment.

ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।


ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ P=NP।


If P=NP then there is a polynomial-time algorithm.

ਜੇਕਰ P=NP ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ।


We can find a maximum cut in any given graph.

ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੱਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We can use a similar argument to show that if P=NP.

ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਦਲੀਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ P=NP ਹੈ।


Suppose we are given a satisfiable 3CNF formula.

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਤੁਸ਼ਟ 3CNF ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


We can use this to find the first bit of the satisfying assignment.

ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਬਿੱਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਪ੍ਰਮਾਣ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਸਧਾਰਨ ਹੈ।


We can test in polynomial time whether there exists y.

ਅਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਟੈਸਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ y ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


Theorem 16.3 allows us to find solutions for NP problems.

ਥਿਊਰਮ 16.3 ਸਾਨੂੰ NP ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


This is an excellent question for you to attempt on your own.

ਇਹ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਆਪਣੇ ਆਪ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਸਵਾਲ ਹੈ।


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


The search problem corresponding to (16.3) is known as the circuit minimization problem.

(16.3) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੋਜ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਰਕਟ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਤੁਸੀਂ ਸੈਕਸ਼ਨ 16.4.1 'ਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position.

ਕੁਆਂਟੀਫਾਇਰ ਦੇ ਪੱਧਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬਿਆਨ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਇੱਕ ਸ਼ਤਰੰਜ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।


For example is a = 3 we would want to check if given the board position.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਜੇਕਰ a = 3 ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬੋਰਡ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ P=NP ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Theorem 16.6— Polynomial hierarchy collapse.

ਥਿਊਰਮ 16.6— ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਪੱਧਰ ਦਾ ਢਹਿਣਾ।


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V.

ਜੇਕਰ P=NP ਹੈ ਤਾਂ ਹਰ a ∈ ℕ, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ p ∶ ℕ → ℕ ਅਤੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ V ਲਈ।


For the ease of notation, we assume that all the strings we quantify over have the same length.

ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਸੌਖ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਸਾਰੀਆਂ ਸਤਰਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਕੁਆਂਟੀਫਾਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ।


Proof Idea: To understand the idea behind the proof, consider the special case.

ਸਬੂਤ ਦਾ ਵਿਚਾਰ: ਸਬੂਤ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

ਫੰਕਸ਼ਨ F 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ F(xy) = 1 ਜੇਕਰ z ∈ {0,1}n ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ V(xyz) = 1।


Since V runs in polynomial-time F ∈ NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′.

ਕਿਉਂਕਿ V ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ F ∈ NP ਵਿੱਚ ਚੱਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਜੇਕਰ P=NP ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ V′ ਹੈ।


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1.

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸਲ ਬਿਆਨ ਜਿਸ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸੱਚ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ ਹਰ y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1 ਲਈ।


which means it is false if and only if the following condition (*) holds.

ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਝੂਠਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸ਼ਰਤ (*) ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


there exists some y ∈ {0,1}n such that V′(xy) = 0.

ਕੁਝ y ∈ {0,1}n ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ V′(xy) = 0।


But for every x ∈ {0,1}n, the question of whether the condition (*) is itself in NP.

ਪਰ ਹਰ x ∈ {0,1}n ਲਈ, ਕੀ ਸ਼ਰਤ (*) ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ NP ਵਿੱਚ ਹੈ?


ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


We assume that there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a−1 that can solve the problem (16.4) for a − 1 and use that to solve the problem for a.

ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ SOLVE V,a−1 ਹੈ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ (16.4) ਨੂੰ a − 1 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ a ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਦਾ ਹੈ।


For a = 1, SOLVE V,a−1 (x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation since V runs in polynomial time.

a = 1 ਲਈ, SOLVE V,a−1 (x) = 1 ਜੇਕਰ V(x) = 1 ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ V ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲਦਾ ਹੈ।


For every x, y0, define the statement φ x,y0 to be the following.

ਹਰ x, y0 ਲਈ, ਬਿਆਨ φ x,y0 ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।


The chapter provides a basic overview of probability theory.

ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਢਲਾ ਸੰਖੇਪ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


We will review some basic notions in probability theory.

ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ।


This is not meant to replace a course on probability theory.

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਰਸ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।


Fortunately, we will not need many of the advanced notions of probability theory.

ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਉੱਨਤ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਨਹੀਂ ਪਵੇਗੀ।


Even the so-called “simple” setting of tossing n coins can lead to very subtle and interesting issues.

ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁੱਟਣ ਦੀ ਅਖੌਤੀ “ਸਧਾਰਨ” ਸੈਟਿੰਗ ਵੀ ਬਹੁਤ ਸੂਖਮ ਅਤੇ ਦਿਲਚਸਪ ਮੁੱਦਿਆਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The main topics covered are the notions of sample space and events.

ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇ ਜੋ ਕਵਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਉਹ ਹਨ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਅਤੇ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ।


An event is simply a subset of the sample space.

ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੈ।


A random variable is a way to assign some number or statistic to an outcome.

ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਿਸੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਕੁਝ ਨੰਬਰ ਜਾਂ ਅੰਕੜਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।


The notion of conditioning corresponds to how the value of a random variable changes.

ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਇਸ ਗੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।


Random variables and events that have no impact on one another are called independent.

ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਘਟਨਾਵਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ, ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


Expectation is the average of a random variable.

ਉਮੀਦ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਔਸਤ ਹੈ।


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well.

ਮਨੁੱਖੀ ਦਿਮਾਗ਼ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਕਸਤ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਹੈ।


The nature of randomness and probability is a topic of great philosophical depth.

ਬੇਤਰਤੀਬਤਾ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਬਹੁਤ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਡੂੰਘਾਈ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਹੈ।


We will be mostly interested in the setting of tossing n random coins.

ਅਸੀਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ n ਬੇਤਰਤੀਬ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁੱਟਣ ਦੀ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਾਂਗੇ।


Each particular outcome is obtained with probability 2^-n.

ਹਰੇਕ ਖਾਸ ਨਤੀਜਾ ਸੰਭਾਵਨਾ 2^-n ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


We can describe the experiment of tossing n coins as choosing a string uniformly at random.

ਅਸੀਂ n ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਵਰਣਨ ਇੱਕ ਸਤਰ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਾਲ ਚੁਣ ਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The probability of A, denoted by Pr[A], is the probability that an x chosen uniformly at random will be contained in A.

A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਜਿਸਨੂੰ Pr[A] ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ x ਜੋ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, A ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗਾ।


For example, the probability that x has an even number of ones is Pr[A].

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ x ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮ ਗਿਣਤੀ ਹੈ Pr[A].


We can also use the intersection and union operators.

ਅਸੀਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਯੂਨੀਅਨ ਆਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Two events A and B are independent if the fact that A happens makes B neither more nor less likely to happen.

ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ A ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਨਾਲ B ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।


Randomized algorithms are used to solve problems more efficiently.

ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


The chapter discusses examples of randomized algorithms.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।


We will explore how randomness can be a resource for computation.

ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਬੇਤਰਤੀਬਤਾ ਗਣਨਾ ਲਈ ਇੱਕ ਸਰੋਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।


John von Neumann was a pioneer in early computing.

ਜੌਨ ਵਾਨ ਨਿਊਮੈਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਢੀ ਸਨ।


The Monte Carlo method is a type of randomized algorithm.

ਮੋਂਟੇ ਕਾਰਲੋ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦਾ ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ।


We will see how to amplify the success of randomized algorithms.

ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਵਧਾਇਆ ਜਾਵੇ।


ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੱਟ ਸਮੱਸਿਆ NP-hard ਹੈ।


Randomness is used to find approximately good maximum cuts.

ਬੇਤਰਤੀਬਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਲਗਭਗ ਚੰਗੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੱਟਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਕੱਟ ਚੁਣਦਾ ਹੈ।


Each edge is cut with a probability of 1/2.

ਹਰੇਕ ਕਿਨਾਰੇ ਨੂੰ 1/2 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਕੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The expected number of cut edges is m/2.

ਕੱਟੇ ਗਏ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਿਤ ਗਿਣਤੀ m/2 ਹੈ।


The algorithm is guaranteed to cut half of the edges.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਅੱਧੇ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


The input graph is not chosen at random.

ਇਨਪੁਟ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


We can amplify the probability of success by repeating the process.

ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਕੇ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The probability of success can be amplified.

ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The algorithm succeeds at least some of the time.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕੁਝ ਸਮੇਂ ਸਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


We want to succeed almost all of the time.

ਅਸੀਂ ਲਗਭਗ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਫਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।


The WalkSAT algorithm is used for solving SAT problems.

WalkSAT ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ SAT ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


The bipartite matching problem is a canonical optimization problem.

ਦੋ-ਪੱਖੀ ਮੈਚਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਇੱਕ ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਔਪਟੀਮਾਈਜੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


Randomized algorithms offer a different approach to solving problems.

ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਪਹੁੰਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


She enjoys reading novels in her free time.

ਉਹ ਆਪਣੇ ਖਾਲੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਨਾਵਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਲੂਣ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

ਮੌਸਮ ਵਿਭਾਗ ਕੱਲ੍ਹ ਮੀਂਹ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The research paper explores complex topics.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਏ।


The government implemented new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀਆਂ।


ਮੈਂ ਵੀਕਐਂਡ ਦੀ ਉਡੀਕ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The software requires advanced configuration.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਨੂੰ ਐਡਵਾਂਸਡ ਕੌਂਫਿਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


Her dedication to the project was commendable.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਪ੍ਰਤੀ ਉਸਦਾ ਸਮਰਪਣ ਸ਼ਲਾਘਾਯੋਗ ਸੀ।


The economic situation is improving gradually.

ਆਰਥਿਕ ਸਥਿਤੀ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਸੁਧਰ ਰਹੀ ਹੈ।


Can you explain the concept in simpler terms?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸੌਖੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The algorithm's efficiency is a key factor.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਕਾਰਕ ਹੈ।


The complexities of international relations are vast.

ਅੰਤਰਰਾਸ਼ਟਰੀ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁੰਝਲਾਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਹਨ।


The philosophical implications of the theory are profound.

ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਡੂੰਘੇ ਹਨ।


The negotiations reached a critical juncture.

ਗੱਲਬਾਤ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਮੋੜ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚ ਗਈ।


Understanding the nuances of the situation is crucial.

ਸਥਿਤੀ ਦੀਆਂ ਬਾਰੀਕੀਆਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


The theoretical framework provides a robust foundation.

ਸਿਧਾਂਤਕ ਢਾਂਚਾ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The algorithm uses a probabilistic method to prove the claim.

ਇਸ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵਿੱਚ ਦਾਅਵੇ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।


We choose 100m random shifts independently.

ਅਸੀਂ 100m ਬੇਤਰਤੀਬ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ।


The event GOOD holds if BAD fails for every z.

ਜੇਕਰ ਹਰ z ਲਈ BAD ਅਸਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਨਾ GOOD ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ।


The proof uses an extremely useful technique.

ਪ੍ਰਮਾਣ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਉਪਯੋਗੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The idea is to give a non-constructive proof.

ਇਸਦਾ ਵਿਚਾਰ ਗੈਰ-ਰਚਨਾਤਮਕ ਸਬੂਤ ਦੇਣਾ ਹੈ।


We need to show that there exists a function G.

ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ G ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


ਇਹ ਚੇਰਨੋਫ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।


The relation between BPP and NP is not known.

BPP ਅਤੇ NP ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਅਣਜਾਣ ਹੈ।


Cryptography has been around for several millennia.

ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਕਈ ਹਜ਼ਾਰ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ।


New cryptosystems have been found that have not been broken.

ਨਵੇਂ ਕ੍ਰਿਪਟੋਸਿਸਟਮ ਲੱਭੇ ਗਏ ਹਨ ਜੋ ਨਹੀਂ ਟੁੱਟੇ ਹਨ।


ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਕੁੰਜੀ ਸਾਂਝੀ ਕਰਦੇ ਹਨ।


Alice encrypts the plaintext into a ciphertext.

ਐਲਿਸ ਪਲੇਨਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸਾਈਫਰਟੈਕਸਟ ਵਿੱਚ ਏਨਕ੍ਰਿਪਟ ਕਰਦੀ ਹੈ।


Bob decrypts the ciphertext back into the plaintext.

ਬੌਬ ਸਾਈਫਰਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਪਲੇਨਟੈਕਸਟ ਵਿੱਚ ਡੀਕ੍ਰਿਪਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The Vigenère cipher was considered unbreakable for 300+ years.

ਵਿਗੇਨਰ ਸਾਈਫਰ ਨੂੰ 300+ ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਅਟੁੱਟ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ।


The Enigma cipher was a mechanical cipher.

ਐਨਿਗਮਾ ਸਾਈਫਰ ਇੱਕ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਾਈਫਰ ਸੀ।


ਐਨਿਗਮਾ ਨੂੰ ਤੋੜਨਾ ਇੱਕ ਬਹਾਦਰੀ ਭਰਿਆ ਯਤਨ ਸੀ।


The British built large scale mechanical computation devices.

ਬ੍ਰਿਟਿਸ਼ ਨੇ ਵੱਡੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਉਪਕਰਣ ਬਣਾਏ।


The intelligence from Bletchley Park was of priceless value.

ਬਲੇਚਲੇ ਪਾਰਕ ਤੋਂ ਮਿਲੀ ਖੁਫੀਆ ਜਾਣਕਾਰੀ ਬਹੁਤ ਕੀਮਤੀ ਸੀ।


We will discuss some classical cryptosystems.

ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਕਲਾਸੀਕਲ ਕ੍ਰਿਪਟੋਸਿਸਟਮਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।


ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਿਪਟੋ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਆਦ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some groceries.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਕਰਿਆਨੇ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The government is working on new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਂਆਂ ਨੀਤੀਆਂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


Please submit your application by the end of the week.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਆਪਣੀ ਅਰਜ਼ੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰੋ।


The research team made a significant discovery.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਨੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਖੋਜ ਕੀਤੀ।


ਕਾਨਫਰੰਸ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਹੋਵੇਗੀ।


ਉਹ ਆਪਣੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The encryption scheme is computationally secure.

ਇਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਸਕੀਮ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਹੈ।


The one-time pad provides perfect secrecy.

ਇੱਕ-ਵਾਰ ਪੈਡ ਸੰਪੂਰਨ ਗੁਪਤਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Randomness is crucial for cryptographic security.

ਗੁਪਤਤਾ ਲਈ ਬੇਤਰਤੀਬਤਾ ਬਹੁਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


The adversary attempts to break the system.

ਵਿਰੋਧੀ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The key length must be sufficient for security.

ਸੁਰੱਖਿਆ ਲਈ ਕੁੰਜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਾਫ਼ੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।


The definition of security is not trivial.

ਸੁਰੱਖਿਆ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸੌਖੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।


ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਗੁਪਤਤਾ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ।


The one-time pad is unbreakable in principle.

ਇੱਕ-ਵਾਰ ਪੈਡ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਅਟੁੱਟ ਹੈ।


The Snowden documents revealed vulnerabilities.

ਸਨੋਡੇਨ ਦਸਤਾਵੇਜ਼ਾਂ ਨੇ ਕਮਜ਼ੋਰੀਆਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


At the end of the day, it simply says that if X and Y are random variables that depend on two disjoint sets S and T of coins, then they are independent.

ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ X ਅਤੇ Y ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ ਜੋ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੈੱਟਾਂ S ਅਤੇ T 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ।


Proof of Lemma 18.6. Let a, b ∈ ℝ, and let A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} and B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}.

ਪ੍ਰਮਾਣ ਲੇਮਾ 18.6 ਦਾ। ਮੰਨ ਲਓ a, b ∈ ℝ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} ਅਤੇ B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}.


Since S and T are disjoint, we can reorder the indices so that S = {0,...,k−1} and T = {k,...,k+m−1} without affecting any of the probabilities.

ਕਿਉਂਕਿ S ਅਤੇ T ਵੱਖਰੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ S = {0,...,k−1} ਅਤੇ T = {k,...,k+m−1} ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ।


Hence we can write Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n where C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.

ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n ਜਿੱਥੇ C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.


Another way to write this using string concatenation is that C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, and hence |C| = |A||B|2 n−k−m , which means that |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].

ਇਸਨੂੰ ਸਟ੍ਰਿੰਗ ਕਨਕੈਟੇਨੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, ਅਤੇ ਇਸਲਈ |C| = |A||B|2 n−k−m , ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].


If X and Y are independent random variables then (letting S X , S Y denote the sets of all numbers that have positive probability of being the output of X and Y, respectively):

ਜੇਕਰ X ਅਤੇ Y ਸੁਤੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ ਤਾਂ (S X , S Y ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ X ਅਤੇ Y ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ):


Another useful fact is that if X and Y are independent random variables, then so are F(X) and G(Y) for all functions F, G ∶ ℝ → ℝ.

ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗੀ ਤੱਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ X ਅਤੇ Y ਸੁਤੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ, ਤਾਂ F(X) ਅਤੇ G(Y) ਵੀ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ F, G ∶ ℝ → ℝ ਲਈ ਹਨ।


We can extend the notions of independence to more than two random variables: we say that the random variables X 0 ,...,X n−1 are mutually independent if for every a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].

ਅਸੀਂ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ X 0 ,...,X n−1 ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਜੇਕਰ ਹਰ a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ ਲਈ, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].


Lemma 18.7— Expectation of product of independent random variables. If X 0 ,...,X n−1 are mutually independent then E[ ∏ i=0 n−1 X i ] = ∏ i=0 n−1 E[X i ].

ਲੇਮਾ 18.7— ਸੁਤੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਉਮੀਦ। ਜੇਕਰ X 0 ,...,X n−1 ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਤਾਂ E[ ∏ i=0 n−1 X i ] = ∏ i=0 n−1 E[X i ].


Lemma 18.8— Functions preserve independence. If X 0 ,...,X n−1 are mutually independent, and Y 0 ,...,Y n−1 are defined as Y i = F i (X i ) for some functions F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ, then Y 0 ,...,Y n−1 are mutually independent as well.

ਲੇਮਾ 18.8— ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ X 0 ,...,X n−1 ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਅਤੇ Y 0 ,...,Y n−1 ਨੂੰ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ ਲਈ Y i = F i (X i ) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ Y 0 ,...,Y n−1 ਵੀ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ।


The name “expectation” is somewhat misleading.

“ਉਮੀਦ” ਨਾਮ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਗੁੰਮਰਾਹਕੁੰਨ ਹੈ।


For example, suppose that you and I place a bet on the outcome of 10 coin tosses, where if they all come out to be 1 ’s then I pay you 100,000 dollars and otherwise you pay me 10 dollars.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਤੇ ਮੈਂ 10 ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਸਿੱਟੇ 'ਤੇ ਸੱਟਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ਜੇਕਰ ਉਹ ਸਾਰੇ 1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਮੈਂ ਤੁਹਾਨੂੰ 100,000 ਡਾਲਰ ਅਦਾ ਕਰਦਾ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ 10 ਡਾਲਰ ਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹੋ।


If we let X ∶ {0,1} 10 → ℝ be the random variable denoting your gain, then we see that E[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90.

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ X ∶ {0,1} 10 → ℝ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੋਣ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਲਾਭ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ E[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90।


But we don’t really “expect” the result of this experiment to be for you to gain 90 dollars.

ਪਰ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ “ਉਮੀਦ” ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਕਿ ਤੁਸੀਂ 90 ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋਗੇ।


Rather, 99.9% of the time you will pay me 10 dollars, and you will hit the jackpot 0.1% of the times.

ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, 99.9% ਸਮੇਂ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ 10 ਡਾਲਰ ਅਦਾ ਕਰੋਗੇ, ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ 0.1% ਵਾਰ ਜੈਕਪਾਟ ਮਾਰੋਗੇ।


However, if we repeat this experiment again and again (with fresh and hence independent coins), then in the long run we do expect your average earning to be close to 90 dollars, which is the reason why casinos can make money in a predictable way even though every individual bet is random.

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਾਂ (ਨਵੇਂ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਸੁਤੰਤਰ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨਾਲ), ਤਾਂ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਡੀ ਔਸਤ ਕਮਾਈ ਨੂੰ 90 ਡਾਲਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇਸੇ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਕੈਸੀਨੋ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪੈਸਾ ਕਮਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਭਾਵੇਂ ਹਰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸੱਟਾ ਬੇਤਰਤੀਬ ਹੋਵੇ।


For example, if we toss n independent and unbiased coins, then as n grows, the number of coins that come up ones will be more and more concentrated around n/2 according to the famous “bell curve” (see Fig. 18.6).

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ n ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਸੁੱਟਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜਿਵੇਂ n ਵਧਦਾ ਹੈ, ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਇੱਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਮਸ਼ਹੂਰ “ਘੰਟੀ ਵਕਰ” (ਚਿੱਤਰ 18.6 ਵੇਖੋ) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ n/2 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਵਧੇਰੇ ਅਤੇ ਵਧੇਰੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੋਵੇਗੀ।


Much of probability theory is concerned with so called concentration or tail bounds, which are upper bounds on the probability that a random variable X deviates too much from its expectation.

ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਬਹੁਤ ਸਾਰਾ ਹਿੱਸਾ ਅਖੌਤੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਜਾਂ ਪੂਛ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ 'ਤੇ ਉਪਰਲੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਆਪਣੀ ਉਮੀਦ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਭਟਕਦਾ ਹੈ।


The first and simplest one of them is Markov’s inequality: Theorem 18.9— Markov’s inequality. If X is a non-negative random variable then for every k > 0, Pr[X ≥ kE[X]] ≤ 1/k.

ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਮਾਰਕੋਵ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਹੈ: ਥਿਊਰਮ 18.9— ਮਾਰਕੋਵ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ। ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਤਾਂ ਹਰ k > 0 ਲਈ, Pr[X ≥ kE[X]] ≤ 1/k।


Markov’s Inequality is actually a very natural statement (see also Fig. 18.7).

ਮਾਰਕੋਵ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਕੁਦਰਤੀ ਕਥਨ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 18.7 ਵੀ ਵੇਖੋ)।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some groceries.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਕਰਿਆਨੇ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced its quarterly profits.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਤਿਮਾਹੀ ਲਾਭਾਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The new policy will be implemented next month.

ਨਵੀਂ ਨੀਤੀ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ।


She enjoys reading novels in her free time.

ਉਹ ਆਪਣੇ ਖਾਲੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਨਾਵਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਏ।


The research paper explores the impact of climate change.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਜਲਵਾਯੂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The government is taking measures to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਉਪਾਅ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


ਉਹ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਮਾਹਰ ਹੈ।


The software update includes several new features.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਅਪਡੇਟ ਵਿੱਚ ਕਈ ਨਵੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


ਉਹ ਕਈ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।


The project requires careful planning and execution.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਲਈ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਯੋਜਨਾਬੰਦੀ ਅਤੇ ਕਾਰਜਕਾਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The study revealed significant findings.

ਅਧਿਐਨ ਨੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਖੋਜਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The company's stock price has increased substantially.

ਕੰਪਨੀ ਦੇ ਸ਼ੇਅਰਾਂ ਦੀ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ ਹੈ।


The complex algorithm is difficult to understand.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ।


The implications of the decision are far-reaching.

ਫੈਸਲੇ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The philosophical debate explored the nature of reality.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਹਕੀਕਤ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


The proof readily follows by enumerating over all the choices for the random coins.

ਇਸਦਾ ਸਬੂਤ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਾਰੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਕੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।


We omit the formal proof, as doing it by yourself is an excellent way to get comfortable with Definition 20.1.

ਅਸੀਂ ਰਸਮੀ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਕਰਨਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 20.1 ਨਾਲ ਆਰਾਮਦਾਇਕ ਹੋਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।


A priori it is not at all clear that the same holds for a function in BPP, but this does turn out to be the case.

ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ BPP ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਗੱਲ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਸੱਚ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


That is, every column is colored green in at least two thirds of its coordinates.

ਭਾਵ, ਹਰ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਤਿਹਾਈ ਤਾਲਮੇਲ ਵਿੱਚ ਹਰਾ ਰੰਗ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


That is, at least two thirds of the rows are all green.

ਭਾਵ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਤਿਹਾਈ ਕਤਾਰਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਹਰੀਆਂ ਹਨ।


That is, for every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ such that for every n > 0, F ↾n ∈ SIZE(an b ) where F ↾n is the restriction of F to inputs in {0,1} n .

ਭਾਵ, ਹਰ F ∈ BPP ਲਈ, ਕੁਝ a, b ∈ ℕ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਰ n > 0 ਲਈ, F ↾n ∈ SIZE(an b ) ਜਿੱਥੇ F ↾n {0,1} n ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟਸ ਲਈ F ਦੀ ਪਾਬੰਦੀ ਹੈ।


Proof Idea: The idea behind the proof is that we can first amplify by repetition the probability of success from 2/3 to 1 − 0.1 ⋅ 2 −n .

ਸਬੂਤ ਦਾ ਵਿਚਾਰ: ਸਬੂਤ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੁਹਰਾਓ ਦੁਆਰਾ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ 2/3 ਤੋਂ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of “favorable coins” which is a string r of length polynomial in n such that if r is used for the randomness then we output the right answer on all of the possible 2 n inputs.

ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ ਕਿ ਹਰ n ∈ ℕ ਲਈ “ਅਨੁਕੂਲ ਸਿੱਕਿਆਂ” ਦੀ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਚੋਣ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜੋ n ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਸਤਰ r ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੇਕਰ r ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬਤਾ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ 2 n ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।


We can then use the standard “unravelling the loop” technique to transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program, and “hardwire” the favorable choice of random coins.

ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ RNAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ ਇੱਕ RNAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ “ਲੂਪ ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹਣ” ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਅਨੁਕੂਲ ਚੋਣ ਨੂੰ “ਹਾਰਡਵਾਇਰ” ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ F ∈ BPP।


Let P be a polynomial-time RNAND-TM program that computes F as per Definition 20.1.

ਚਲੋ P ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ-ਸਮੇਂ ਦਾ RNAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਹੋਵੇ ਜੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 20.1 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ F ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Using Theorem 20.5, we can amplify the success probability of P to obtain an RNAND-TM program P′ that is at most a factor of O(n) slower (and hence still polynomial time) such that for every x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n ,(20.5) where m is the number of coin tosses that P′ uses on inputs of length n.

ਪ੍ਰਮੇਯ 20.5 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ RNAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ P′ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ P ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ O(n) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਹੌਲੀ ਹੈ (ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਅਜੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮਾਂ) ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਰ x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n ,(20.5) ਜਿੱਥੇ m ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਜੋ P′ ਲੰਬਾਈ n ਦੇ ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ ਵਰਤਦਾ ਹੈ।


For every x ∈ {0,1} n , define the “bad” event B x to hold if P′(x) ≠ F(x), where the sample space for this event consists of the coins of P′.

ਹਰ x ∈ {0,1} n ਲਈ, “ਖਰਾਬ” ਘਟਨਾ B x ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ ਜੇਕਰ P′(x) ≠ F(x), ਜਿੱਥੇ ਇਸ ਘਟਨਾ ਲਈ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ P′ ਦੇ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਬਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


Then by (20.5), Pr[B x ] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n for every x ∈ {0,1} n .

ਫਿਰ (20.5) ਦੁਆਰਾ, Pr[B x ] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n ਹਰ x ∈ {0,1} n ਲਈ।


Since there are 2 n many such x’s, by the union bound we see that the probability that the union of the events {B x } x∈{0,1} n is at most 0.1.

ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਥੇ 2 n ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਜਿਹੇ x ਹਨ, ਯੂਨੀਅਨ ਬਾਉਂਡ ਦੁਆਰਾ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਨਾਵਾਂ {B x } x∈{0,1} n ਦੇ ਯੂਨੀਅਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 0.1 ਹੈ।


This means that if we choose r ∼ {0,1} m , then with probability at least 0.9 it will be the case that for every x ∈ {0,1} n , F(x) = P′(x; r).

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ r ∼ {0,1} m ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 0.9 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਨਾਲ ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਹੋਵੇਗੀ ਕਿ ਹਰ x ∈ {0,1} n ਲਈ, F(x) = P′(x; r)।


In particular, because of the mere fact that the probability of ∪ x∈{0,1} n B x is smaller than 1, this means that there exists a particular r ∗ ∈ {0,1} m such that P′(x; r ∗ ) = F(x)(20.6) for every x ∈ {0,1} n .

ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਕਾਰਨ ਕਿ ∪ x∈{0,1} n B x ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ r ∗ ∈ {0,1} m ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ P′(x; r ∗ ) = F(x)(20.6) ਹਰ x ∈ {0,1} n ਲਈ।


Now let us use the standard “unravelling the loop” technique and transform P′ into a NAND-CIRC program Q of polynomial in n size, such that Q(xr) = P′(x; r) for every x ∈ {0,1} n and r ∈ {0,1} m .

ਹੁਣ ਆਓ ਅਸੀਂ ਸਟੈਂਡਰਡ “ਲੂਪ ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹਣ” ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ ਅਤੇ P′ ਨੂੰ ਇੱਕ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ Q ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦੇਈਏ ਜੋ n ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ Q(xr) = P′(x; r) ਹਰ x ∈ {0,1} n ਅਤੇ r ∈ {0,1} m ਲਈ।


Then by “hardwiring” the values r ∗ 0 ,..., r ∗ m−1 in place of the last m inputs of Q, we obtain a new NAND-CIRC program Q r ∗ that satisfies by (20.6) that Q r ∗ (x) = F(x) for every x ∈ {0,1} n .

ਫਿਰ Q ਦੇ ਆਖਰੀ m ਇਨਪੁਟਸ ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਮੁੱਲ r ∗ 0 ,..., r ∗ m−1 ਨੂੰ “ਹਾਰਡਵਾਇਰਿੰਗ” ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ Q r ∗ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ (20.6) ਦੁਆਰਾ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ Q r ∗ (x) = F(x) ਹਰ x ∈ {0,1} n ਲਈ।


This demonstrates that F ↾n has a polynomial-sized NAND-CIRC program, hence completing the proof of Theorem 20.8.

ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ F ↾n ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ-ਆਕਾਰ ਦਾ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਮੇਯ 20.8 ਦਾ ਸਬੂਤ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The study of quantum mechanics is fascinating.

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ।


Quantum computing could revolutionize data encryption.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਡਾਟਾ ਇਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The double-slit experiment demonstrates quantum superposition.

ਡਬਲ-ਸਲਿਟ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁਪਰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


ਫੋਟੌਨ ਵੇਵ-ਕਣ ਦਵੈਤਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।


Understanding quantum entanglement is challenging.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੈ।


Quantum computers use qubits instead of bits.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਰ ਬਿੱਟਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ ਕਿਊਬਿਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।


The field of cryptography is constantly evolving.

ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਦਾ ਖੇਤਰ ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਕਸਤ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ।


ਐਲਿਸ ਬੌਬ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਨੇਹਾ ਭੇਜਦੀ ਹੈ।


Digital signatures ensure data integrity.

ਡਿਜੀਟਲ ਦਸਤਖਤ ਡਾਟਾ ਅਖੰਡਤਾ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।


Zero-knowledge proofs are a fascinating concept.

ਜ਼ੀਰੋ-ਨੌਲੇਜ ਸਬੂਤ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਸੰਕਲਪ ਹਨ।


The security of an encryption scheme is paramount.

ਇੱਕ ਇਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਸਕੀਮ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਆ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Cryptography is essential for online security.

ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਔਨਲਾਈਨ ਸੁਰੱਖਿਆ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


The Diffie-Hellman protocol is a key exchange method.

ਡਿਫੀ-ਹੈਲਮੈਨ ਪ੍ਰੋਟੋਕੋਲ ਇੱਕ ਕੁੰਜੀ ਐਕਸਚੇਂਜ ਵਿਧੀ ਹੈ।


Quantum computing poses a threat to current encryption.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਮੌਜੂਦਾ ਇਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਖਤਰਾ ਹੈ।


We will discuss quantum computing later.

ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।


The concept of a trapdoor pseudorandom generator is complex.

ਇੱਕ ਟ੍ਰੈਪਡੋਰ ਸੂਡੋਰੈਂਡਮ ਜਨਰੇਟਰ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ।


Integrity and authentication are crucial in communication.

ਸੰਚਾਰ ਵਿੱਚ ਅਖੰਡਤਾ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ।


ਡਿਜੀਟਲ ਦਸਤਖਤ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


Fully homomorphic encryption is a magical concept.

ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਮੋਮੋਰਫਿਕ ਇਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਇੱਕ ਜਾਦੂਈ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


Secure multiparty computation enables trustless interactions.

ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਮਲਟੀਪਾਰਟੀ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਬਿਨਾਂ ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਪਰਸਪਰ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਸਮਰੱਥ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


The qubit can exist in a superposition of states.

ਕਿਊਬਿਟ ਕਈ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਸੁਪਰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Quantum computers have the potential to revolutionize computation.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆਉਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ।


Alice and Bob are entangled in a quantum state.

ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਫਸੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The algorithm utilizes quantum superposition and entanglement.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁਪਰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਝਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Shor's algorithm can factor large numbers efficiently.

ਸ਼ੋਰ ਦਾ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵੱਡੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Quantum computing is a rapidly evolving field.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਿਕਸਤ ਹੋ ਰਿਹਾ ਖੇਤਰ ਹੈ।


The coherence time of a qubit is crucial for computation.

ਕਿਊਬਿਟ ਦਾ ਕੋਹਰੈਂਸ ਸਮਾਂ ਗਣਨਾ ਲਈ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Entanglement allows for faster communication.

ਉਲਝਣ ਤੇਜ਼ ਸੰਚਾਰ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


The measurement collapses the quantum state.

ਮਾਪ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਢਾਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


Quantum circuits are built using quantum gates.

ਕੁਆਂਟਮ ਸਰਕਟ ਕੁਆਂਟਮ ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


The No Cloning Theorem prevents perfect copying of qubits.

ਕੋਈ ਕਲੋਨਿੰਗ ਥਿਊਰਮ ਕਿਊਬਿਟਸ ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਨਕਲ ਨੂੰ ਰੋਕਦਾ ਹੈ।


Quantum computers could break current encryption methods.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਰ ਮੌਜੂਦਾ ਏਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨੂੰ ਤੋੜ ਸਕਦੇ ਹਨ।


ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਦਾ ਭਵਿੱਖ ਕੁਆਂਟਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Researchers are working on building more powerful quantum computers.

ਖੋਜਕਰਤਾ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਰ ਬਣਾਉਣ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ।


Quantum entanglement is a fascinating phenomenon.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਵਰਤਾਰਾ ਹੈ।


Understanding quantum mechanics is key to this field.

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਹੈ।


The potential applications of quantum computing are vast.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿਸ਼ਾਲ ਹਨ।


Quantum computers use qubits instead of bits.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਰ ਬਿੱਟਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ ਕਿਊਬਿਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।


This technology is still in its early stages of development.

ਇਹ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਅਜੇ ਵੀ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਹੈ।


The field of quantum computing is constantly advancing.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਦਾ ਖੇਤਰ ਲਗਾਤਾਰ ਅੱਗੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The algorithm recovers the factorization of M from the periods of functions.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਐਮ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਮੁੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Shor's algorithm is used to find the prime factorization of a number.

ਸ਼ੋਰ ਦਾ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The Quantum Fourier Transform is a key component of Shor's algorithm.

ਕੁਆਂਟਮ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸ਼ੋਰ ਦੇ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।


We can use classical results in number theory to obtain prime factors.

ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨੰਬਰ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਕਲਾਸੀਕਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The Quantum Fourier Transform helps in recovering the period.

ਕੁਆਂਟਮ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਅਵਧੀ ਨੂੰ ਮੁੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The algorithm involves repeated steps using Quantum Fourier Transform.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਕਦਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The Quantum Fourier Transform is not the same as computing the Fourier transform.

ਕੁਆਂਟਮ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।


Understanding the Fourier Transform is crucial for understanding the algorithm.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


The algorithm uses the Quantum Fourier Transform to find the period of a function.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਮਿਆਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਆਂਟਮ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The algorithm is used in quantum computing.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕਦਮ ਹਨ।


The algorithm is used for factoring numbers.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The algorithm is based on the Quantum Fourier Transform.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੁਆਂਟਮ ਫੂਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ।


ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


The algorithm is difficult to understand.

ਇਸ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ।


The algorithm is used in computer science.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਸਫਲਤਾ ਹੈ।


ਇਸ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਅਜੇ ਵੀ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਉਲਝਣ ਵਿੱਚ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇਕੱਲੇ ਨਹੀਂ ਹੋ।


Quantum computing is a fascinating field.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਖੇਤਰ ਹੈ।


Scientists are working on quantum computers.

ਵਿਗਿਆਨੀ ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ।


The results of these experiments are so obviously wrong to anyone that has ever sat in an armchair.

ਇਨ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਅਕਤੀ ਲਈ ਬਹੁਤ ਗਲਤ ਹਨ ਜੋ ਕਦੇ ਆਰਾਮ ਕੁਰਸੀ 'ਤੇ ਬੈਠਾ ਹੈ।


Alice and Bob will be in separate closed rooms.

ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬੰਦ ਕਮਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ।


They showed that the idea that nature does not determine the results of an experiment until it is measured results in so called “spooky action at a distance”.

ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਿ ਕੁਦਰਤ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਸਨੂੰ ਮਾਪਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ, ਇਸਨੂੰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਜਿੱਤ ਗਿਆ: ਇਹ ਸਾਹਮਣੇ ਆਇਆ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਦੂਰ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਪਿਛਲੀ ਥਿਊਰੀ ਦੁਆਰਾ ਸਮਝਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ।


Suppose that Alice and Bob try to convince you they have telepathic ability, and they aim to prove it via the following experiment.

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨ ਦਿਵਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਟੈਲੀਪੈਥਿਕ ਯੋਗਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਉਦੇਸ਼ ਹੇਠਲੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਰਾਹੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।


You choose a random bit x ∈ {0,1} and your associate chooses a random y ∈ {0,1}.

ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਬਿੱਟ x ∈ {0,1} ਚੁਣਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਤੁਹਾਡਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ y ∈ {0,1} ਚੁਣਦਾ ਹੈ।


We say that Alice and Bob win this experiment if a ⊕ b = x ∧ y.

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਜਿੱਤਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ a ⊕ b = x ∧ y।


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੱਟ ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਅਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ x = y = 1 ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


Now if Alice and Bob are not telepathic, then they need to agree in advance on some strategy.

ਹੁਣ ਜੇਕਰ ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਟੈਲੀਪੈਥਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ਕੁਝ ਰਣਨੀਤੀ 'ਤੇ ਸਹਿਮਤ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਲਈ 3/4 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਸਫਲ ਹੋਣਾ ਔਖਾ ਨਹੀਂ ਹੈ: ਬਸ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਬਿੱਟ ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਰੋ।


For every two functions f,g : {0,1} → {0,1}, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.

ਹਰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f,g : {0,1} → {0,1} ਲਈ, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4।


An amazing experimentally verified fact is that quantum mechanics allows for “telepathy”.

ਇੱਕ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਪ੍ਰਯੋਗਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਤੱਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ “ਟੈਲੀਪੈਥੀ” ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


Some of the counterintuitive properties that arise from quantum mechanics include: Interference.

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਝ ਗੈਰ-ਅਨੁਭਵੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ: ਦਖਲਅੰਦਾਜ਼ੀ।


The idea that amplitudes are negative as long as “no one is looking” and “collapse” (by squaring them) to positive probabilities when they are measured is deeply disturbing.

ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਿ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਤੱਕ “ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਦੇਖ ਰਿਹਾ” ਅਤੇ ਮਾਪੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਲਈ “ਢਹਿ” ਜਾਂਦੇ ਹਨ (ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਕੇ) ਬਹੁਤ ਪਰੇਸ਼ਾਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਹੈ।


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਦੋ ਹਿੱਸੇ ਇਸ ਅਜੀਬ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਨਾਲ ਦੂਜੇ 'ਤੇ ਅਸਰ ਪਵੇਗਾ, ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


One of the strange aspects of the quantum-mechanical picture of the world is that unlike in the billiard ball example, there is no obvious algorithm to simulate the evolution of n particles over t time periods in poly(n,t) steps.

ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ-ਮਕੈਨੀਕਲ ਤਸਵੀਰ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਪਹਿਲੂ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਬਿਲੀਅਰਡ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ ਦੇ ਉਲਟ, ਪੌਲੀ(n,t) ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚ t ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ n ਕਣਾਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਸਿਮੂਲੇਟ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।


In 1981, physicist Richard Feynman proposed to “turn this lemon to lemonade” by making the following almost tautological observation:

1981 ਵਿੱਚ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਰਿਚਰਡ ਫੇਨਮੈਨ ਨੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਲਗਭਗ ਟੌਟੋਲੋਜੀਕਲ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਕੇ “ਇਸ ਨਿੰਬੂ ਨੂੰ ਨਿੰਬੂ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ” ਦਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਦਿੱਤਾ:


Essential Discrete Mathematics for Computer Science.

ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਾਇੰਸ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ ਗਣਿਤ।


ਗਣਨਾ ਦਾ ਸੁਭਾਅ।


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.

ਨਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਗਤੀਵਿਧੀ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਕੈਲਕੂਲਸ।


ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ।


Probability and computing: randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis.

ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ: ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਅਤੇ ਡਾਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵੀ ਤਕਨੀਕਾਂ।


EDVAC 'ਤੇ ਇੱਕ ਰਿਪੋਰਟ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਖਰੜਾ।


The elements of computing systems: building a modern computer from first principles.

ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਤੱਤ: ਪਹਿਲੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਆਧੁਨਿਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਬਣਾਉਣਾ।


The PageRank citation ranking: Bringing order to the web.

ਪੇਜਰੈਂਕ ਹਵਾਲਾ ਦਰਜਾਬੰਦੀ: ਵੈੱਬ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣਾ।


ਕਿਸਮਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ।


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.

ਰੀਕਰਸਿਵਲੀ ਗਿਣਤੀਯੋਗ ਸੈੱਟਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਫੈਸਲੇ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ।


ਛੋਟੀਆਂ ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ।


Discrete mathematics and its applications.

ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ।


Finite automata and their decision problems.

ਸੀਮਤ ਆਟੋਮੈਟਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਫੈਸਲੇ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ।


ਗਣਨਾ ਦੇ ਮਾਡਲ।


On the history of combinatorial optimization (till 1960).

ਕੰਬੀਨੇਟੋਰੀਅਲ ਔਪਟੀਮਾਈਜੇਸ਼ਨ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ (1960 ਤੱਕ)।


A symbolic analysis of relay and switching circuits.

ਰਿਲੇ ਅਤੇ ਸਵਿੱਚਿੰਗ ਸਰਕਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ।


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps.

O(logn) ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ।


ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੁਪਨੇ।


A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants.

ਬੂਲੀਅਨ ਅਲਜਬਰੇ ਲਈ ਪੰਜ ਸੁਤੰਤਰ ਪੋਸਟੂਲੇਟਸ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ, ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਲਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ।


Hidden figures: the American dream and the untold story of the Black women mathematicians who helped win the space race.

ਹਿਡਨ ਫਿਗਰਸ: ਅਮਰੀਕੀ ਸੁਪਨਾ ਅਤੇ ਕਾਲੀਆਂ ਔਰਤਾਂ ਦੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੀ ਅਣਕਹੀ ਕਹਾਣੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਪੁਲਾੜ ਦੌੜ ਜਿੱਤਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕੀਤੀ।