This book is about theoretical computer science.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਸਿਧਾਂਤਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਬਾਰੇ ਹੈ।


ਗਣਨਾ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The notion of universality is important.

ਸਰਵ ਵਿਆਪਕਤਾ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


We can define a mathematical model of computation.

ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਦਾ ਇੱਕ ਗਣਿਤਕ ਮਾਡਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Some problems are inherently intractable.

ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ।


ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ 'ਤੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ।


Students should understand the basic idea.

ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


The book aims to introduce students to a new way of thinking.

ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਉਦੇਸ਼ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਤਰੀਕਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਹੈ।


ਅਸੀਂ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਰੂਪਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।


Proofs in this book are often constructive.

ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਸਬੂਤ ਅਕਸਰ ਉਸਾਰੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


ਵੈੱਬਸਾਈਟ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਨੂੰ ਚਲਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।


ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।


ਹਾਲਟਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਅਨਿਰਧਾਰਤ ਹੈ।


Understand the definitions rather than the theorems.

ਪ੍ਰਮੇਯਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝੋ।


ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਕੋਡ ਟੁਕੜੇ ਹਨ।


ਇਸ ਸਮੱਗਰੀ ਨੂੰ ਸਿੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Computation and information are the basic building blocks.

ਗਣਨਾ ਅਤੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਿਲਡਿੰਗ ਬਲਾਕ ਹਨ।


ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਵਧੇਰੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਹਨ।


ਅਸੀਂ ਸੀਮਤ ਆਟੋਮੈਟਾ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।


The Cook-Levin Theorem is easier to prove.

ਕੁੱਕ-ਲੇਵਿਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।


ਇਹ ਪਾਠ-ਪੁਸਤਕ ਆਨਲਾਈਨ ਉਪਲਬਧ ਹੈ।


Please post any issues on the provided GitHub link.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਦੇ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ GitHub ਲਿੰਕ 'ਤੇ ਪੋਸਟ ਕਰੋ।


This version was compiled on Wednesday, December 6th, 2023.

ਇਹ ਵਰਜਨ ਬੁੱਧਵਾਰ, 6 ਦਸੰਬਰ, 2023 ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।


This work is licensed under a Creative Commons license.

ਇਹ ਕੰਮ ਇੱਕ ਕਰੀਏਟਿਵ ਕਾਮਨਜ਼ ਲਾਇਸੈਂਸ ਦੇ ਅਧੀਨ ਲਾਇਸੰਸਸ਼ੁਦਾ ਹੈ।


The book is dedicated to Ravit, Alma, and Goren.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਰਾਵਿਤ, ਅਲਮਾ ਅਤੇ ਗੋਰੇਨ ਨੂੰ ਸਮਰਪਿਤ ਹੈ।


The preface provides an introduction to the book's content.

ਮੁਖਬੰਧ ਕਿਤਾਬ ਦੀ ਸਮੱਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Chapter 1 covers mathematical background.

ਪਹਿਲਾ ਅਧਿਆਇ ਗਣਿਤਿਕ ਪਿਛੋਕੜ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The book explores computation and representation.

ਕਿਤਾਬ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।


Finite computation is discussed in Part I.

ਪਹਿਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸੀਮਤ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।


The chapter on efficient algorithms is crucial.

ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ 'ਤੇ ਅਧਿਆਇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Randomized computation is another key topic.

ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ਾ ਹੈ।


Cryptography is covered in the advanced topics section.

ਐਡਵਾਂਸਡ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਗੁਪਤ-ਲੇਖਨ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਕਾਵਾਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


The student should read the preface carefully.

ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਮੁਖਬੰਧ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


ਕੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੈ?


The book is intended for potential instructors.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਸੰਭਾਵੀ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰਾਂ ਲਈ ਹੈ।


Acknowledgements are provided in the preface.

ਮੁਖਬੰਧ ਵਿੱਚ ਧੰਨਵਾਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।


Integer multiplication is an example of an algorithm.

ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।


The book discusses algorithms beyond arithmetic.

ਕਿਤਾਬ ਗਣਿਤ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।


This chapter serves as a reader's manual.

ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਇੱਕ ਪਾਠਕ ਦੇ ਮੈਨੂਅਲ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The book discusses efficient algorithms.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।


What is the time complexity of this algorithm?

ਇਸ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਸਮਾਂ ਗੁੰਝਲਤਾ ਕੀ ਹੈ?


The chapter covers topics like NP completeness and the Cook-Levin Theorem.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ NP ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਅਤੇ ਕੁੱਕ-ਲੇਵਿਨ ਥਿਊਰਮ ਵਰਗੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


Can you explain the concept of polynomial-time reductions?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The algorithm's running time is a crucial factor.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦਾ ਚੱਲਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਾਰਕ ਹੈ।


Let's analyze the time hierarchy theorem.

ਆਓ ਸਮਾਂ ਲੜੀਵਾਰ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੀਏ।


The book also touches upon randomized computation.

ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਰੈਂਡਮਾਈਜ਼ਡ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਵੀ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।


Understanding the concept of NP is essential.

NP ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


The proof of the theorem is quite complex.

ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ।


This section deals with space-bounded computation.

ਇਹ ਭਾਗ ਸਪੇਸ-ਬਾਉਂਡਡ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।


The chapter explores the concept of cryptography.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।


We will discuss public key cryptography.

ਅਸੀਂ ਜਨਤਕ ਕੁੰਜੀ ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।


The book provides exercises at the end of each chapter.

ਕਿਤਾਬ ਹਰੇਕ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।


What are the implications if P equals NP?

ਜੇਕਰ P, NP ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਕੀ ਨਤੀਜੇ ਹੋਣਗੇ?


The author explains the concept of quantum computing.

ਲੇਖਕ ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Let's delve into the world of quantum systems.

ਆਓ ਕੁਆਂਟਮ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।


The book covers the basics of probability theory.

ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀਆਂ ਮੁਢਲੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


This section discusses the time hierarchy theorem.

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਲੜੀਵਾਰ ਥਿਊਰਮ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।


The concept of zero-knowledge proofs is fascinating.

ਜ਼ੀਰੋ-ਨੌਲੇਜ ਸਬੂਤ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ।


The book explores the implications of P versus NP.

ਕਿਤਾਬ P ਬਨਾਮ NP ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently solves the problem.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Can you explain the concept in simpler terms?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸੌਖੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The news reported a significant economic downturn.

ਖ਼ਬਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਆਰਥਿਕ ਮੰਦੀ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ ਗਈ।


Please provide more details about the project.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਵੇਰਵੇ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ।


The company is developing innovative software solutions.

ਕੰਪਨੀ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰੀ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਹੱਲ ਵਿਕਸਤ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


He is a highly respected professor in the field.

ਉਹ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਸਤਿਕਾਰਤ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਹੈ।


The research paper presents a novel approach.

ਖੋਜ ਪੇਪਰ ਇੱਕ ਨਵੀਨ ਪਹੁੰਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਮੀਟਿੰਗ ਅਗਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ।


ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The data analysis revealed interesting insights.

ਡੇਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਦਿਲਚਸਪ ਸੂਝਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The team worked diligently to complete the task.

ਟੀਮ ਨੇ ਕੰਮ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ।


The technology has the potential to transform industries.

ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਵਿੱਚ ਉਦਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ।


The artist's work is known for its unique style.

ਕਲਾਕਾਰ ਦਾ ਕੰਮ ਉਸਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਸ਼ੈਲੀ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The complex problem requires a multifaceted solution.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁ-ਪੱਖੀ ਹੱਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The implications of the decision are far-reaching.

ਫੈਸਲੇ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The study explores the correlation between variables.

ਅਧਿਐਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The philosophical debate centered on existentialism.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਹੋਂਦਵਾਦ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸੀ।


The intricate design showcases the artist's skill.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਲਾਕਾਰ ਦੇ ਹੁਨਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The algorithm's efficiency is paramount for large datasets.

ਵੱਡੇ ਡੇਟਾਸੈੱਟਾਂ ਲਈ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


Please provide the necessary input for the program.

ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਇਨਪੁਟ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ।


The company was founded based on the non-existence of an algorithm.

ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਗੈਰ-ਮੌਜੂਦਗੀ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।


The algorithm's efficiency is a key factor.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਕਾਰਕ ਹੈ।


The book covers the theory of computation.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The mathematician used formal mathematical reasoning.

ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਨੇ ਰਸਮੀ ਗਣਿਤਕ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ।


The definition captures a simple concept.

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦੀ ਹੈ।


The theorem refers to a significant result.

ਪ੍ਰਮੇਯ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।


Proofs are used to demonstrate that theorems are true.

ਪ੍ਰਮੇਯਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਬੂਤ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


A set is an unordered collection of objects.

ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ।


The cardinality of a finite set is the number of elements it contains.

ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੈੱਟ ਦੀ ਕਾਰਡੀਨੈਲਿਟੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।


A set is a subset of another set if every element is also an element of the other set.

ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੂਜੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰ ਤੱਤ ਦੂਜੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The union of two sets contains all elements that are in either set.

ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਮੇਲ ਵਿੱਚ ਉਹ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The Cartesian product of two sets is the set of all ordered pairs.

ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਉਤਪਾਦ ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ।


The set of natural numbers includes non-negative integers.

ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The function maps elements from the domain to the codomain.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਡੋਮੇਨ ਤੋਂ ਕੋਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The image of a function is a subset of the codomain.

ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਕੋਡੋਮੇਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸੈੱਟ ਹੈ।


The operations AND, OR, and NOT are fundamental.

ਓਪਰੇਸ਼ਨ AND, OR, ਅਤੇ NOT ਬੁਨਿਆਦੀ ਹਨ।


The book is about theoretical computer science.

ਇਹ ਕਿਤਾਬ ਸਿਧਾਂਤਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਬਾਰੇ ਹੈ।


The chapter reviews mathematical prerequisites.

ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਗਣਿਤਕ ਪੂਰਵ-ਲੋੜਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


Proofs by induction are a fundamental concept in computer science.

ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ ਹਨ।


Let's analyze the running time of this program.

ਆਓ ਇਸ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੀਏ।


The theorem is proven using a contradiction.

ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


A directed acyclic graph is a fundamental structure.

ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਅਚੱਕਰੀ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਢਾਂਚਾ ਹੈ।


The function maps integers to positive numbers.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Understanding the problem is the first step.

ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੈ।


ਸਬੂਤ ਸਪਸ਼ਟ ਅਤੇ ਸੰਖੇਪ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


ਅਸੀਂ ਇੰਡਕਟਿਵ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।


The base case is trivial in this example.

ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਧਾਰ ਮਾਮਲਾ ਮਾਮੂਲੀ ਹੈ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਬਹੁਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ ਡੀਬੱਗ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


ਕੋਡ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਸਤਾਵੇਜ਼ੀ ਹੈ।


ਆਓ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।


ਨਤੀਜੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ।


ਖੋਜ ਜਾਰੀ ਹੈ।


ਇਹ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


ਹੱਲ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਹੈ।


ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


ਸਿਸਟਮ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ।


If you have any questions, please feel free to ask.

ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਈ ਸਵਾਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਪੁੱਛਣ ਤੋਂ ਸੰਕੋਚ ਨਾ ਕਰੋ।


The weather is pleasant today, isn't it?

ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ, ਹੈ ਨਾ?


I am going to the market to buy some groceries.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਕਰਿਆਨੇ ਦਾ ਸਮਾਨ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


Could you please help me with this task?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਮੇਰੀ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The research team is working on a new algorithm.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਐਲਗੋਰਿਦਮ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


Despite the challenges, they managed to succeed.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਾਮਯਾਬ ਰਹੇ।


The government is implementing new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The complex equation requires careful analysis.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


The artist's unique style is easily recognizable.

ਕਲਾਕਾਰ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਸ਼ੈਲੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The implications of the decision are far-reaching.

ਫੈਸਲੇ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The scientific community is debating the latest findings.

ਵਿਗਿਆਨਕ ਭਾਈਚਾਰਾ ਨਵੀਨਤਮ ਖੋਜਾਂ 'ਤੇ ਬਹਿਸ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The intricate details of the design were impressive.

ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵੇਰਵੇ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਨ।


The philosophical arguments were quite profound.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਦਲੀਲਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਡੂੰਘੀਆਂ ਸਨ।


The economic forecast predicts a period of growth.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ-ਅਨੁਮਾਨ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The algorithm's efficiency was a key factor in its success.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਇਸਦੀ ਸਫਲਤਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਕਾਰਕ ਸੀ।


The historical context is crucial for understanding the events.

ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਇਤਿਹਾਸਕ ਸੰਦਰਭ ਬਹੁਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


The implications of climate change are becoming increasingly evident.

ਜਲਵਾਯੂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਰਹੇ ਹਨ।


The complex interplay of factors made the outcome unpredictable.

ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਆਪਸੀ ਤਾਲਮੇਲ ਨੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਅਸੰਭਵ ਬਣਾ ਦਿੱਤਾ।


The theoretical framework provides a basis for further research.

ਸਿਧਾਂਤਕ ਢਾਂਚਾ ਅਗਲੇਰੀ ਖੋਜ ਲਈ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


If S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} and T = {0, 1}, then the table below defines a function F ∶ S → T.

ਜੇਕਰ S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ਅਤੇ T = {0, 1} ਹੈ, ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ F ∶ S → T ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।


Note that this function is the same as the function defined by the rule F(x) = (x mod 2).

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਜੋ ਨਿਯਮ F(x) = (x mod 2) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


If F ∶ S → T satisfies that F(x) ≠ F(y) for all x ≠ y then we say that F is one-to-one.

ਜੇਕਰ F ∶ S → T ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ x ≠ y ਲਈ F(x) ≠ F(y) ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।


If F satisfies that for every y ∈ T there is some x ∈ S such that F(x) = y then we say that F is onto.

ਜੇਕਰ F ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ y ∈ T ਲਈ ਕੁਝ x ∈ S ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ F(x) = y, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F ਓਨਟੋ ਹੈ।


A function that is both one-to-one and onto is known as a bijective function or simply a bijection.

ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਓਨਟੋ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਨੂੰ ਬਾਈਜੈਕਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਬਾਈਜੈਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


A bijection from a set S to itself is also known as a permutation of S.

ਇੱਕ ਸੈੱਟ S ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਾਈਜੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ S ਦੀ ਪਰਮੂਟੇਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


If F ∶ S → T is a bijection then for every y ∈ T there is a unique x ∈ S such that F(x) = y.

ਜੇਕਰ F ∶ S → T ਇੱਕ ਬਾਈਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ y ∈ T ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ x ∈ S ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ F(x) = y।


ਅਸੀਂ ਇਸ ਮੁੱਲ x ਨੂੰ F−1(y) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।


Giving a bijection between two sets is often a good way to show they have the same size.

ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਬਾਈਜੈਕਸ਼ਨ ਦੇਣਾ ਅਕਸਰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ।


In fact, the standard mathematical definition of the notion that “S and T have the same cardinality” is that there exists a bijection f ∶ S → T.

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਗਣਿਤਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਿ “S ਅਤੇ T ਦੀ ਕਾਰਡੀਨੈਲਿਟੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ” ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬਾਈਜੈਕਸ਼ਨ f ∶ S → T ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


We can represent finite functions as a directed graph where we put an edge from x to f(x).

ਅਸੀਂ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ x ਤੋਂ f(x) ਤੱਕ ਇੱਕ ਕਿਨਾਰਾ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।


The onto condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at least one.

ਓਨਟੋ ਸ਼ਰਤ ਇਸ ਲੋੜ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਰਟੈਕਸ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਇਨ-ਡਿਗਰੀ ਹੋਵੇ।


The one-to-one condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at most one.

ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਇਸ ਲੋੜ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਰਟੈਕਸ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਇਨ-ਡਿਗਰੀ ਹੋਵੇ।


In the examples above F is an onto function, G is one to one, and H is neither onto nor one to one.

ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ, F ਇੱਕ ਓਨਟੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, G ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ, ਅਤੇ H ਨਾ ਤਾਂ ਓਨਟੋ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ।


Further, the cardinality of a set S is defined to be n if there is a bijection from S to the set {0,...,n − 1}.

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇੱਕ ਸੈੱਟ S ਦੀ ਕਾਰਡੀਨੈਲਿਟੀ ਨੂੰ n ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੇਕਰ S ਤੋਂ ਸੈੱਟ {0,...,n − 1} ਤੱਕ ਇੱਕ ਬਾਈਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ।


Partial functions: We will sometimes be interested in partial functions from S to T.

ਅੰਸ਼ਕ ਫੰਕਸ਼ਨ: ਅਸੀਂ ਕਈ ਵਾਰ S ਤੋਂ T ਤੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਾਂਗੇ।


A partial function is allowed to be undefined on some subset of S.

ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ S ਦੇ ਕੁਝ ਉਪ-ਸੈੱਟ 'ਤੇ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਹੈ।


That is, if F is a partial function from S to T, then for every s ∈ S, either there is (as in the case of standard functions) an element F(s) in T, or F(s) is undefined.

ਭਾਵ, ਜੇਕਰ F, S ਤੋਂ T ਤੱਕ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ s ∈ S ਲਈ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਤੱਤ F(s) T ਵਿੱਚ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ), ਜਾਂ F(s) ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।


For example, the partial function F(x) = √x is only defined on non-negative real numbers.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਕ ਫੰਕਸ਼ਨ F(x) = √x ਸਿਰਫ਼ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।


When we want to distinguish between partial functions and standard (i.e., non-partial) functions, we will call the latter total functions.

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ (ਭਾਵ, ਗੈਰ-ਅੰਸ਼ਕ) ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਹਾਂਗੇ।


The function d is constructed such that it differs from StF(x) for every x.

ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਹਰ x ਲਈ StF(x) ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।


We can think of this as building a table where the columns correspond to numbers m.

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਉਣ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਕਾਲਮ ਨੰਬਰ m ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।


If the entry in the x-th row and the m-th column corresponds to g(m) where g = StF(x) then d is obtained.

ਜੇਕਰ x-ਵੀਂ ਕਤਾਰ ਅਤੇ m-ਵੇਂ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ g(m) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ g = StF(x) ਹੈ, ਤਾਂ d ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


One way to get intuition for it is to consider the following finite statement.

ਇਸਦੇ ਲਈ ਅਨੁਭਵ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੀਮਤ ਬਿਆਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ।


For every f : {0,...,99} -> {0,1}100, we can define the string d.

ਹਰ f : {0,...,99} -> {0,1}100 ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਤਰ d ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


If f was onto, then there would exist some n such that f(n) = d, but we claim that no such n exists.

ਜੇਕਰ f ਚਾਲੂ ਸੀ, ਤਾਂ ਕੁਝ n ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਗੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(n) = d, ਪਰ ਅਸੀਂ ਦਾਅਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ n ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।


We will prove that there does not exist an onto function StF : {0,1}* -> {0,1}∞.

ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੋਈ ਓਨਟੋ ਫੰਕਸ਼ਨ StF : {0,1}* -> {0,1}∞ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।


Consider the lexicographic ordering of binary strings.

ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਕ੍ਰਮ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।


We define the function d ∈ {0,1}∞ as follows.

ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ d ∈ {0,1}∞ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


That is, to compute d on input n, we first compute g = StF(xn).

ਭਾਵ, ਇਨਪੁਟ n 'ਤੇ d ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ g = StF(xn) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The value d(n) is defined to be the negation of g(n).

ਮੁੱਲ d(n) ਨੂੰ g(n) ਦੇ ਇਨਕਾਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


One way to think about it is to imagine the function StF as being specified by an infinitely long table.

ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ StF ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੇਅੰਤ ਲੰਬੀ ਸਾਰਣੀ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The diagonal elements in this table are the values StF("")(0), StF(0)(1), StF(1)(2), StF(00)(3), StF(01)(4),...

ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਵਿਕਰਣ ਤੱਤ ਮੁੱਲ StF("")(0), StF(0)(1), StF(1)(2), StF(00)(3), StF(01)(4),... ਹਨ।


The function d we defined above maps every n ∈ ℕ to the negation of the n-th diagonal value.

ਉੱਪਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ d ਹਰ n ∈ ℕ ਨੂੰ n-ਵੇਂ ਵਿਕਰਣ ਮੁੱਲ ਦੇ ਇਨਕਾਰ ਨਾਲ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ।


To complete the proof that StF is not onto we need to show that d ≠ StF(x) for every x ∈ {0,1}*.

ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਸਬੂਤ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ StF ਚਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਹਰ x ∈ {0,1}* ਲਈ d ≠ StF(x)।


Indeed, let x ∈ {0,1}* be some string and let g = StF(x).

ਦਰਅਸਲ, x ∈ {0,1}* ਨੂੰ ਕੁਝ ਸਤਰ ਹੋਣ ਦਿਓ ਅਤੇ g = StF(x) ਹੋਣ ਦਿਓ।


If n is the position of x in the lexicographical order then by construction d(n) = 1 - g(n) ≠ g(n) which means that g ≠ d which is what we wanted to prove.

ਜੇਕਰ n ਸ਼ਬਦਕ੍ਰਮ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ x ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਾਰੀ ਦੁਆਰਾ d(n) = 1 - g(n) ≠ g(n) ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ g ≠ d ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸੀ।


Lemma 2.8 doesn’t really have much to do with the natural numbers or the strings.

ਪ੍ਰਮੇਯ 2.8 ਦਾ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਸਤਰਾਂ ਨਾਲ ਕੋਈ ਲੈਣਾ-ਦੇਣਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।


An examination of the proof shows that it really shows that for every set S, there is no one-to-one map F : {0,1}S -> S.

ਸਬੂਤ ਦੀ ਜਾਂਚ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਸੈੱਟ S ਲਈ, ਕੋਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਕਸ਼ਾ F : {0,1}S -> S ਨਹੀਂ ਹੈ।


Cantor used these ideas to construct an infinite hierarchy of shades of infinity.

ਕੈਂਟਰ ਨੇ ਅਨੰਤਤਾ ਦੇ ਸ਼ੇਡਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਦਰਜਾਬੰਦੀ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ।


To use objects such as numbers, images, graphs, or others as inputs for computation, we need to define precisely how to represent these objects as binary strings.

ਗਣਨਾ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨੰਬਰ, ਚਿੱਤਰ, ਗ੍ਰਾਫ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


A representation scheme is a way to map an object x to a binary string E(x) ∈ {0,1} *.

ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਸਕੀਮ ਇੱਕ ਵਸਤੂ x ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰ E(x) ∈ {0,1} * ਨਾਲ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।


For example, a representation scheme for natural numbers is a function E : ℕ → {0,1} *.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਸਕੀਮ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ E : ℕ → {0,1} * ਹੈ।


Of course, we cannot merely represent all numbers as the string “0011”.

ਬੇਸ਼ੱਕ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਤਰ “0011” ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ।


A minimal requirement is that if two numbers x and x' are different then they would be represented by different strings.

ਇੱਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਲੋੜ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਦੋ ਨੰਬਰ x ਅਤੇ x' ਵੱਖਰੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਵੇਗਾ।


Another way to say this is that we require the encoding function E to be one to one.

ਇਸਨੂੰ ਕਹਿਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਏਨਕੋਡਿੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ E ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਇੱਕ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


We now show how we can represent natural numbers as binary strings.

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We can use any one of those as well as many others to represent a number as a string.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਤਰ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਕਈ ਹੋਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


However, for the sake of concreteness, we use the binary basis as our default representation of natural numbers as strings.

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਠੋਸਤਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਡਿਫਾਲਟ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਵਜੋਂ ਬਾਈਨਰੀ ਅਧਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


For example, we represent the number six as the string 110 since 1⋅2^2 +1⋅2^1 +0⋅2^0 = 6.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੰਬਰ ਛੇ ਨੂੰ ਸਤਰ 110 ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ 1⋅2^2 +1⋅2^1 +0⋅2^0 = 6।


If n is even, then the least significant digit of n’s binary representation is 0, while if n is odd then this digit equals 1.

ਜੇਕਰ n ਜਿਸਤ ਹੈ, ਤਾਂ n ਦੇ ਬਾਈਨਰੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕ 0 ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇਕਰ n ਟਾਂਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਅੰਕ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।


Just like the number ⌊n/10⌋ corresponds to “chopping off” the least significant decimal digit (e.g.,⌊457/10⌋ = ⌊45.7⌋ = 45), the number ⌊n/2⌋ corresponds to the “chopping off” the least significant binary digit.

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੰਬਰ ⌊n/10⌋ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅੰਕ ਨੂੰ “ਕੱਟਣ” ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ⌊457/10⌋ = ⌊45.7⌋ = 45), ਨੰਬਰ ⌊n/2⌋ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਬਾਈਨਰੀ ਅੰਕ ਨੂੰ “ਕੱਟਣ” ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।


Hence the binary representation can be formally defined as the following function NtS : ℕ → {0,1} * (NtS stands for “natural numbers to strings”):

ਇਸ ਲਈ ਬਾਈਨਰੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ NtS : ℕ → {0,1} * ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (NtS ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ “ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਸਤਰਾਂ”):


The function NtS is defined recursively: for every n > 1 we define rep(n) in terms of the representation of the smaller number ⌊n/2⌋.

ਫੰਕਸ਼ਨ NtS ਨੂੰ ਮੁੜ-ਮੁੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ: ਹਰ n > 1 ਲਈ ਅਸੀਂ ਛੋਟੇ ਨੰਬਰ ⌊n/2⌋ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ rep(n) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


It is also possible to define NtS non-recursively, see Exercise 2.2.

ਇਹ NtS ਨੂੰ ਗੈਰ-ਮੁੜ-ਮੁੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਅਭਿਆਸ 2.2 ਵੇਖੋ।


Throughout most of this book, the particular choices of representation of numbers as binary strings would not matter much: we just need to know that such a representation exists.

ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੀਆਂ ਖਾਸ ਚੋਣਾਂ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੀਆਂ: ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


In fact, for many of our purposes we can even use the simpler representation of mapping a natural number n to the length-n all-zero string 0^n.

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ n ਨੂੰ ਲੰਬਾਈ-n ਸਾਰੇ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਤਰ 0^n ਨਾਲ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦੀ ਸਧਾਰਨ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We can represent a rational number of the form a/b by representing the two numbers a and b.

ਅਸੀਂ ਦੋ ਨੰਬਰਾਂ a ਅਤੇ b ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਕੇ a/b ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਨੰਬਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


However, merely concatenating the representations of a and b will not work.

ਹਾਲਾਂਕਿ, a ਅਤੇ b ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਜੋੜਨਾ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ।


For example, the binary representation of 4 is 100 and the binary representation of 43 is 101011, but the concatenation 100101011 of these strings is also the concatenation of the representation 10010 of 18 and the representation 1011 of 11.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4 ਦਾ ਬਾਈਨਰੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ 100 ਹੈ ਅਤੇ 43 ਦਾ ਬਾਈਨਰੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ 101011 ਹੈ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਸਤਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 100101011 ਵੀ 18 ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ 10010 ਅਤੇ 11 ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ 1011 ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।


ਅੱਜ ਸੂਰਜ ਬਹੁਤ ਚਮਕ ਰਿਹਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The research team is working on a new project.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

ਮੌਸਮ ਵਿਭਾਗ ਨੇ ਕੱਲ੍ਹ ਮੀਂਹ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


ਉਹ ਫਰਾਟੇਦਾਰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਅਤੇ ਪੰਜਾਬੀ ਬੋਲਦੀ ਹੈ।


The government is implementing new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The complex equation requires advanced mathematical skills.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਉੱਨਤ ਗਣਿਤ ਦੇ ਹੁਨਰ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਏ।


The economic situation is improving gradually.

ਆਰਥਿਕ ਸਥਿਤੀ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਸੁਧਰ ਰਹੀ ਹੈ।


ਕਾਨਫਰੰਸ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਹੋਵੇਗੀ।


The project's deadline is approaching rapidly.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੀ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਨੇੜੇ ਆ ਰਹੀ ਹੈ।


He is known for his integrity and honesty.

ਉਹ ਆਪਣੀ ਇਮਾਨਦਾਰੀ ਅਤੇ ਇਮਾਨਦਾਰੀ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The data analysis revealed interesting insights.

ਡਾਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਦਿਲਚਸਪ ਸੂਝਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The company is expanding its operations globally.

ਕੰਪਨੀ ਵਿਸ਼ਵ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The intricate design required careful execution.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ।


The philosophical debate explored complex ethical dilemmas.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਨੈਤਿਕ ਦੁਬਿਧਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


The Braille system encodes letters and symbols as binary strings.

ਬ੍ਰੇਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅੱਖਰਾਂ ਅਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਏਨਕੋਡ ਕਰਦੀ ਹੈ।


We can represent a letter or symbol by a string.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੱਖਰ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The ASCII representation is fixed-length, it is automatically prefix-free.

ASCII ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਨਿਸ਼ਚਿਤ-ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਹੀ ਪ੍ਰੀਫਿਕਸ-ਮੁਕਤ ਹੈ।


Unicode represents about 128,000 symbols as numbers.

ਯੂਨੀਕੋਡ ਲਗਭਗ 128,000 ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


There are several types of prefix-free representations of the code points.

ਕੋਡ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰੀਫਿਕਸ-ਮੁਕਤ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ।


The Braille system was invented in 1821 by Louis Braille.

ਬ੍ਰੇਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਖੋਜ 1821 ਵਿੱਚ ਲੂਈ ਬ੍ਰੇਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।


Braille was a French boy who lost his eyesight at the age of 5.

ਬ੍ਰੇਲ ਇੱਕ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਲੜਕਾ ਸੀ ਜਿਸਨੇ 5 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਨਜ਼ਰ ਗੁਆ ਲਈ ਸੀ।


We can use programming languages to probe how our computing environment represents various values.

ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਵਾਤਾਵਰਣ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


In the architecture we used, a negative number is represented using the two’s complement approach.

ਜਿਸ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਦੀ ਅਸੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਉਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦੋ ਦੇ ਪੂਰਕ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।


C represents strings in a prefix-free form by ensuring that a zero byte is at their end.

C ਸਤਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਫਿਕਸ-ਮੁਕਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਬਾਈਟ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਹੈ।


Once we can represent numbers and lists of numbers, then we can also represent vectors.

ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


To represent an image, we can represent the color at each pixel by a list of three numbers.

ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਿਕਸਲ 'ਤੇ ਰੰਗ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


A video can be represented as a list of images.

ਇੱਕ ਵੀਡੀਓ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We can represent graphs using adjacency matrices.

ਅਸੀਂ ਐਡਜੈਸੈਂਸੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Another representation for graphs is the adjacency list representation.

ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਐਡਜੈਸੈਂਸੀ ਸੂਚੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਹੈ।


If we have a way of representing objects from a set as binary strings, then we can represent lists of these objects.

ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਤੋਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We will typically identify an object with its representation as a string.

ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਤਰ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਾਂਗੇ।


A computational process takes an input which is a string of bits and produces an output which is a string of bits.

ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਲੈਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਬਿੱਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਤਿਆਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਬਿੱਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਹੈ।


We will focus on the simplest and most common task of computing a function.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਕੰਮ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਤ ਕਰਾਂਗੇ।


Given two integers, compute their product.

ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।


ਸਰਕਟ ਨੈਂਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।


We can use NAND gates to build other logic gates.

ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਲਾਜਿਕ ਗੇਟ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਨੈਂਡ ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The program is designed to compute the output.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


This is a fundamental concept in computer science.

ਇਹ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


The algorithm efficiently solves the problem.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The function takes two inputs and returns one output.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Understanding the difference between specification and implementation is crucial.

ਨਿਰਧਾਰਨ ਅਤੇ ਲਾਗੂਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


The circuit's behavior can be described using Boolean algebra.

ਸਰਕਟ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਬੂਲੀਅਨ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The complexity of the circuit is determined by the number of gates.

ਸਰਕਟ ਦੀ ਗੁੰਝਲਤਾ ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


The program uses syntactic sugar to simplify the code.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਕੋਡ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਿੰਟੈਕਟਿਕ ਸ਼ੂਗਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Can you explain the concept of NAND gates?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ NAND ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


What is the difference between a function and a program?

ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?


How does the circuit compute the output?

ਸਰਕਟ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦਾ ਹੈ?


The algorithm is very efficient for this task.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਇਸ ਕੰਮ ਲਈ ਬਹੁਤ ਕੁਸ਼ਲ ਹੈ।


The program is written in a high-level language.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇੱਕ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।


The implementation details are hidden from the user.

ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੇ ਵੇਰਵੇ ਉਪਭੋਗਤਾ ਤੋਂ ਲੁਕਾਏ ਗਏ ਹਨ।


The function is universal, meaning it can compute any other function.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The circuit's design is optimized for speed.

ਸਰਕਟ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਗਤੀ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਹੈ।


The program uses recursion to solve the problem.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਰਿਕਰਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The theoretical foundations of computer science are fascinating.

ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਸਿਧਾਂਤਕ ਨੀਂਹਾਂ ਦਿਲਚਸਪ ਹਨ।


Early vacuum tubes were roughly the size of lightbulbs.

ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੈਕਿਊਮ ਟਿਊਬ ਲਗਭਗ ਬਲਬ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀਆਂ ਸਨ।


In the 1950’s they were supplanted by transistors.

1950 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ, ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਥਾਂ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਨੇ ਲੈ ਲਈ।


Computers started to be implemented using integrated circuits.

ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਸਰਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ।


In 1965, Gordon Moore predicted that the number of transistors per integrated circuit would double every year.

1965 ਵਿੱਚ, ਗੋਰਡਨ ਮੂਰ ਨੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕੀਤੀ ਕਿ ਹਰ ਸਾਲ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਸਰਕਟ ਪ੍ਰਤੀ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।


This would lead to such wonders as home computers.

ਇਸ ਨਾਲ ਘਰੇਲੂ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਵਰਗੇ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਕੰਮ ਹੋਣਗੇ।


We can use transistors to implement various Boolean functions such as AND, OR, and NOT.

ਅਸੀਂ AND, OR, ਅਤੇ NOT ਵਰਗੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬੂਲੀਅਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This means that if there exists a AND/OR/NOT circuit to compute a function g, then we can compute g in the physical world using transistors as well.

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ AND/OR/NOT ਸਰਕਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਭੌਤਿਕ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ g ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Computation can be based on biological or chemical systems.

ਗਣਨਾ ਜੀਵ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਜਾਂ ਰਸਾਇਣਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।


Researchers have managed to create transistors, and from them logic gates, based on DNA molecules.

ਖੋਜਕਰਤਾ DNA ਅਣੂਆਂ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਤੋਂ ਤਰਕ ਗੇਟ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਾਮਯਾਬ ਰਹੇ ਹਨ।


One motivation for DNA computing is to achieve increased parallelism or storage density.

DNA ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਵਧੇਰੇ ਸਮਾਨਤਾ ਜਾਂ ਸਟੋਰੇਜ ਘਣਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।


Brains have served humanity throughout history.

ਦਿਮਾਗ ਨੇ ਇਤਿਹਾਸ ਵਿੱਚ ਮਨੁੱਖਤਾ ਦੀ ਸੇਵਾ ਕੀਤੀ ਹੈ।


A neural network can be thought of as a Boolean circuit.

ਇੱਕ ਨਿਊਰਲ ਨੈਟਵਰਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


For example, the threshold function corresponding to w,t is the function T.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, w,t ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ T ਹੈ।


Threshold gates can be thought of as an approximation for neuron cells.

ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਗੇਟਾਂ ਨੂੰ ਨਿਊਰੋਨ ਸੈੱਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Many machine learning algorithms use artificial neural networks.

ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਸ਼ੀਨ ਲਰਨਿੰਗ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਕਲੀ ਨਿਊਰਲ ਨੈਟਵਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।


We can implement computation using many other physical media.

ਅਸੀਂ ਕਈ ਹੋਰ ਭੌਤਿਕ ਮਾਧਿਅਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


As one example, Fig. 3.24 shows a simple implementation of a NAND gate using marbles going through pipes.

ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਚਿੱਤਰ 3.24 ਵਿੱਚ ਪਾਈਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਮਾਰਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ NAND ਗੇਟ ਦਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਲਾਗੂਕਰਨ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।


The NAND function is another simple function that is extremely useful for defining computation.

NAND ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਧਾਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।


Interestingly, the opposite direction holds as well.

ਦਿਲਚਸਪ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵੀ ਸਹੀ ਹੈ।


We can compute AND, OR, and NOT by composing only the NAND function.

ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ NAND ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰਕੇ AND, OR, ਅਤੇ NOT ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We will see that we can make the definition of an algorithm fully formal.

ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰਸਮੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


While the choice of AND/OR/NOT is arbitrary, we will also see this choice does not matter much.

ਹਾਲਾਂਕਿ AND/OR/NOT ਦੀ ਚੋਣ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਚੋਣ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।


We will see that we would obtain the same computational power if we instead used addition and multiplication.

ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਗਣਨਾਤਮਕ ਸ਼ਕਤੀ ਮਿਲੇਗੀ।


It turns out that we can and do compute such “AND/OR/NOT- based algorithms” in the real world.

ਇਹ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ “AND/OR/NOT- ਅਧਾਰਤ ਐਲਗੋਰਿਦਮ” ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


First of all, such an algorithm is clearly well specified, and so can be executed by a human with a pen and paper.

ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਜਿਹਾ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈੱਨ ਅਤੇ ਕਾਗਜ਼ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਨੁੱਖ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We’ve already seen that we can write Python code that corresponds to following such a list of instructions.

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਨ ਕੋਡ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।


But in fact we can directly implement operations such as AND, OR, and NOT defining computation.

ਪਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ AND, OR, ਅਤੇ NOT ਵਰਗੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This is how modern electronic computers operate.

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਧੁਨਿਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰਾਨਿਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ।


In the remainder of this chapter, and the rest of this book, we will begin to answer some of these questions.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ।


We will see more examples of the power of simple operations to compute more complex operations including addition, multiplication, sorting and more.

ਅਸੀਂ ਜੋੜ, ਗੁਣਾ, ਛਾਂਟੀ ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਸਮੇਤ, ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਧਾਰਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖਾਂਗੇ।


Boolean circuits provide a precise notion of “composing basic operations together”.

ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ “ਮੁੱਢਲੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਨ” ਦੀ ਇੱਕ ਸਹੀ ਧਾਰਨਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।


A Boolean circuit is composed of gates and inputs that are connected by wires.

ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਗੇਟਾਂ ਅਤੇ ਇਨਪੁਟਸ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The wires carry a signal that represents either the value 0 or 1.

ਤਾਰਾਂ ਇੱਕ ਸਿਗਨਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਜਾਂ ਤਾਂ ਮੁੱਲ 0 ਜਾਂ 1 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।


Each gate corresponds to either the OR, AND, or NOT operation.

ਹਰੇਕ ਗੇਟ ਜਾਂ ਤਾਂ OR, AND, ਜਾਂ NOT ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।


An OR gate has two incoming wires, and one or more outgoing wires.

ਇੱਕ OR ਗੇਟ ਵਿੱਚ ਦੋ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਾਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਂ ਵੱਧ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਾਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।


If these two incoming wires carry the signals a and b, then the signal on the outgoing wires will be OR(a,b).

ਜੇਕਰ ਇਹ ਦੋ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਾਰਾਂ ਸਿਗਨਲ a ਅਤੇ b ਲੈ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਾਰਾਂ 'ਤੇ ਸਿਗਨਲ OR(a,b) ਹੋਵੇਗਾ।


We evaluate an n-input Boolean circuit C on an input x by placing the bits of x on the inputs.

ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ x 'ਤੇ ਇੱਕ n-ਇਨਪੁਟ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ C ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, x ਦੇ ਬਿੱਟਾਂ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ ਰੱਖ ਕੇ।


Boolean circuits are a mathematical model that does not necessarily correspond to a physical object, but they can be implemented physically.

ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਹਨ ਜੋ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਭੌਤਿਕ ਵਸਤੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦਾ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰੀਰਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


In physical implementations of circuits, the signal is often implemented by electric potential, or voltage, on a wire.

ਸਰਕਟਾਂ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਲਾਗੂਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਿਗਨਲ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤਾਰ 'ਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵੀ, ਜਾਂ ਵੋਲਟੇਜ ਦੁਆਰਾ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


We defined Boolean circuits informally as obtained by connecting AND, OR, and NOT gates via wires so as to produce an output from an input.

ਅਸੀਂ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟਾਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ AND, OR, ਅਤੇ NOT ਗੇਟਾਂ ਨੂੰ ਤਾਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਤੋਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The NAND function is a fundamental building block in digital logic.

NAND ਫੰਕਸ਼ਨ ਡਿਜੀਟਲ ਤਰਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਿਲਡਿੰਗ ਬਲਾਕ ਹੈ।


If the condition is true, the output is A; otherwise, it's B.

ਜੇਕਰ ਸ਼ਰਤ ਸਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ A ਹੈ; ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਇਹ B ਹੈ।


We can implement conditionals using the IF function.

ਅਸੀਂ IF ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The program computes the sum of two n-bit integers.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੋ n-ਬਿੱਟ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਗਿਣਦਾ ਹੈ।


Addition and multiplication can be implemented using NAND-CIRC programs.

NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The lookup function is crucial for many computational tasks.

ਲੁੱਕਅੱਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨਲ ਕੰਮਾਂ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


The theorem proves the universality of NAND gates.

ਇਹ ਥਿਊਰਮ NAND ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕਤਾ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Every finite function can be computed by a Boolean circuit.

ਹਰ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਦੁਆਰਾ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 2n ਗੇਟ ਹਨ।


The program uses syntactic sugar for convenience.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਸਹੂਲਤ ਲਈ ਸਿੰਟੈਕਟਿਕ ਸ਼ੂਗਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


c ਦਾ ਮੁੱਲ 9 ਤੱਕ ਸੁਧਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The program is not the most efficient for this task.

ਇਹ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇਸ ਕੰਮ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਕੁਸ਼ਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।


We can remove the loop construct by repeating the code.

ਅਸੀਂ ਕੋਡ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਕੇ ਲੂਪ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The circuit for adding two-digit binary numbers.

ਦੋ-ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਾਈਨਰੀ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਸਰਕਟ।


ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ/ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ 43 ਲਾਈਨਾਂ/ਗੇਟ ਹਨ।


It is possible to add n-bit numbers using 9n NAND gates.

9n NAND ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ n-ਬਿੱਟ ਨੰਬਰ ਜੋੜਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।


The function computes the representation of the sum.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋੜ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The lookup function will play an important role.

ਲੁੱਕਅੱਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਣ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਏਗਾ।


ਆਉਟਪੁੱਟ x ਦਾ i-ਵਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ।


ਅੱਜ ਸੂਰਜ ਬਹੁਤ ਚਮਕ ਰਿਹਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਲੂਣ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The news reported a major earthquake in the region.

ਖ਼ਬਰਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ ਗਈ।


She is a very talented musician and plays the sitar beautifully.

ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਤਾਰ ਬਹੁਤ ਸੁੰਦਰਤਾ ਨਾਲ ਵਜਾਉਂਦੀ ਹੈ।


The company announced its quarterly earnings report.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਆਪਣੀ ਤਿਮਾਹੀ ਆਮਦਨ ਰਿਪੋਰਟ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।


The government is implementing new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The research paper explores the impact of climate change.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਜਲਵਾਯੂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The intricate design of the building is a marvel of engineering.

ਇਮਾਰਤ ਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੂਬਾ ਹੈ।


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਚੇਤਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸੀ।


The complexities of international relations require careful diplomacy.

ਅੰਤਰਰਾਸ਼ਟਰੀ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁੰਝਲਾਂ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨ ਕੂਟਨੀਤੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


Quantum entanglement presents a profound challenge to our understanding of reality.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਹਕੀਕਤ ਦੀ ਸਾਡੀ ਸਮਝ ਲਈ ਇੱਕ ਡੂੰਘੀ ਚੁਣੌਤੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The economic downturn has significantly impacted global trade.

ਆਰਥਿਕ ਮੰਦੀ ਨੇ ਵਿਸ਼ਵ ਵਪਾਰ ਨੂੰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ।


The artist's oeuvre reflects a deep exploration of human emotion.

ਕਲਾਕਾਰ ਦੀ ਰਚਨਾ ਮਨੁੱਖੀ ਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਡੂੰਘੀ ਪੜਚੋਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।


The judge delivered a scathing critique of the defendant's actions.

ਜੱਜ ਨੇ ਮੁਲਜ਼ਮ ਦੇ ਕੰਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਤਿੱਖੀ ਆਲੋਚਨਾ ਕੀਤੀ।


The intricate interplay of factors led to the unexpected outcome.

ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਆਪਸੀ ਤਾਲਮੇਲ ਨੇ ਅਚਾਨਕ ਨਤੀਜੇ ਵੱਲ ਅਗਵਾਈ ਕੀਤੀ।


The theoretical framework provides a basis for further investigation.

ਸਿਧਾਂਤਕ ਢਾਂਚਾ ਅਗਲੇਰੀ ਜਾਂਚ ਲਈ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The implications of the discovery are far-reaching and complex.

ਖੋਜ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


Could you please help me with this task?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਮੇਰੀ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The news reported a major earthquake in the region.

ਖ਼ਬਰਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਦਿੱਤੀ ਗਈ।


He is a very talented musician and composer.

ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਅਤੇ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The company is developing new software applications.

ਕੰਪਨੀ ਨਵੇਂ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The government announced new economic policies.

ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਨਵੀਂ ਆਰਥਿਕ ਨੀਤੀਆਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਆਪਣੀ ਆਖਰੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The doctor advised him to rest for a few days.

ਡਾਕਟਰ ਨੇ ਉਸਨੂੰ ਕੁਝ ਦਿਨਾਂ ਲਈ ਆਰਾਮ ਕਰਨ ਦੀ ਸਲਾਹ ਦਿੱਤੀ।


The research team is analyzing the data.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਡਾਟਾ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The project is facing some unexpected challenges.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੁਝ ਅਚਾਨਕ ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The artist's work is known for its unique style.

ਕਲਾਕਾਰ ਦਾ ਕੰਮ ਉਸਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਸ਼ੈਲੀ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਕਾਨਫਰੰਸ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਹੋਵੇਗੀ।


The company is expanding its operations globally.

ਕੰਪਨੀ ਵਿਸ਼ਵ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The new technology has the potential to revolutionize the industry.

ਨਵੀਂ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਵਿੱਚ ਉਦਯੋਗ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆਉਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਾਤਾਰ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।


The philosophical implications of the discovery are profound.

ਖੋਜ ਦੇ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਡੂੰਘੇ ਹਨ।


The intricate details of the design were impressive.

ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵੇਰਵੇ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਨ।


The economic forecast predicts a period of growth.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The complexities of international relations are often underestimated.

ਅੰਤਰਰਾਸ਼ਟਰੀ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁੰਝਲਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਘੱਟ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


ਇਹ ਕੋਡ ਇੱਕ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The function GET retrieves a value from Vartable.

ਫੰਕਸ਼ਨ GET Vartable ਤੋਂ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The program uses a list of tuples representation.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਟਿਊਪਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਹੈ।


We can compute UPDATE using an O(s log s) line NAND-CIRC program.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ O(s log s) ਲਾਈਨ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ UPDATE ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The total number of lines for computing EVAL is O(s^2 log s).

EVAL ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ O(s^2 log s) ਹੈ।


The NAND-CIRC program is less efficient than its Python counterpart.

NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇਸਦੇ ਪਾਈਥਨ ਹਮਰੁਤਬਾ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਕੁਸ਼ਲ ਹੈ।


It is possible to improve the bound of Theorem 5.10.

ਪ੍ਰਮੇਯ 5.10 ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।


The key is to consider the description of NAND-CIRC programs as circuits.

ਕੁੰਜੀ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦੇ ਸਰਕਟਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈ।


A universal NAND-CIRC program will correspond to a universal graph.

ਇੱਕ ਯੂਨੀਵਰਸਲ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇੱਕ ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।


We can translate every Python program into an equivalent NAND-CIRC program.

ਅਸੀਂ ਹਰ ਪਾਈਥਨ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦਾ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The Physical Extended Church-Turing Thesis is a hypothesis.

ਫਿਜ਼ੀਕਲ ਐਕਸਟੈਂਡਡ ਚਰਚ-ਟਿਊਰਿੰਗ ਥੀਸਿਸ ਇੱਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਹੈ।


If a function can be computed in the physical world using 's' amount of physical resources, then it can be computed by a Boolean circuit program of roughly 's' gates.

ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ 's' ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਸਰੋਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਲਗਭਗ 's' ਗੇਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੁਆਰਾ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The PECTT would imply that either the volume or the time of a system that computes F will have to be at least 2^(0.2n) / sqrt(alpha).

PECTT ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ F ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਆਇਤਨ ਜਾਂ ਸਮਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 2^(0.2n) / sqrt(alpha) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


One of the admirable traits of mankind is the refusal to accept limitations.

ਮਨੁੱਖਤਾ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾਯੋਗ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਨਕਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈ।


The idea is that to sort n numbers, we could cut n spaghetti noodles into lengths x1, ..., xn.

ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਹੈ ਕਿ n ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ n ਸਪੈਗੇਟੀ ਨੂਡਲਜ਼ ਨੂੰ ਲੰਬਾਈ x1, ..., xn ਵਿੱਚ ਕੱਟ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


People have suggested using the properties of DNA to do hard computational problems.

ਲੋਕਾਂ ਨੇ ਸਖ਼ਤ ਗਣਨਾਤਮਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ DNA ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੱਤਾ ਹੈ।


The main advantage of DNA is the ability to potentially encode a lot of information in a relatively small physical space.

DNA ਦਾ ਮੁੱਖ ਫਾਇਦਾ ਇੱਕ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਛੋਟੀ ਭੌਤਿਕ ਥਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਏਨਕੋਡ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ।


Whether the “true” physical world is continuous or discrete is an open question.

ਕੀ “ਸੱਚਾ” ਭੌਤਿਕ ਸੰਸਾਰ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਅਲੱਗ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਸਵਾਲ ਹੈ।


Humans can walk around, talk, feel, and do other things that are not commonly done by NAND-CIRC programs.

ਮਨੁੱਖ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਾ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੰਮਾਂ ਨੂੰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਗੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਮਹਿਸੂਸ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


The function f'(x) means that the programs that compute f and f' respectively cannot be identical.

ਫੰਕਸ਼ਨ f'(x) ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਜੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ f ਅਤੇ f' ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ।


The number of functions that can be computed using small circuits/programs is much smaller than the total number of functions.

ਛੋਟੇ ਸਰਕਟਾਂ/ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੈ।


A function mapping {0,1} 2 to {0,1} can be identified with the list of its four values.

{0,1} 2 ਤੋਂ {0,1} ਤੱਕ ਮੈਪਿੰਗ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਚਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Every function F : {0,1} n -> {0,1} can be identified with the list of its 2^n values.

ਹਰ ਫੰਕਸ਼ਨ F : {0,1} n -> {0,1} ਨੂੰ ਇਸਦੇ 2^n ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The number of functions mapping {0,1} n to {0,1} is equal to the number of possible 2^n length lists of values which is exactly 2^(2^n).

{0,1} n ਤੋਂ {0,1} ਤੱਕ ਮੈਪਿੰਗ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸੰਭਾਵਿਤ 2^n ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਬਿਲਕੁਲ 2^(2^n) ਹੈ।


There is a constant δ > 0, such that for every sufficiently large n, there is a function f : {0,1} n -> {0,1} such that f ∉ SIZE n (δ2^n / n).

ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ δ > 0 ਹੈ, ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ n ਲਈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f : {0,1} n -> {0,1} ਹੈ ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ f ∉ SIZE n (δ2^n / n)।


The shortest NAND-CIRC program to compute f requires more than δ ⋅ 2^n / n lines.

f ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ δ ⋅ 2^n / n ਤੋਂ ਵੱਧ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


If we let c be the constant such that |SIZE n (s)| ≤ 2^(c s log s) and δ = 1/c, then setting s = δ2^n / n we see that |SIZE n (δ2^n / n)| ≤ 2^(c δ2^n) = 2^(2^n).

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ c ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ |SIZE n (s)| ≤ 2^(c s log s) ਅਤੇ δ = 1/c, ਫਿਰ s = δ2^n / n ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ |SIZE n (δ2^n / n)| ≤ 2^(c δ2^n) = 2^(2^n)।


We have seen before that every function mapping {0,1} n to {0,1} can be computed by an O(2^n / n) line program.

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ {0,1} n ਤੋਂ {0,1} ਤੱਕ ਮੈਪਿੰਗ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਹਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਇੱਕ O(2^n / n) ਲਾਈਨ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


Some functions f : {0,1} n -> {0,1} cannot be computed by a Boolean circuit using fewer than exponential (in n) number of gates.

ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ f : {0,1} n -> {0,1} ਨੂੰ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਦੁਆਰਾ ਘੱਟ ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ (n ਵਿੱਚ) ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ।


Functions that can be computed in a small number of lines (such as addition, multiplication, finding short paths in graphs, or even the EVAL function) are the exception, rather than the rule.

ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਥੋੜ੍ਹੀ ਜਿਹੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ, ਗੁਣਾ, ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਮਾਰਗ ਲੱਭਣਾ, ਜਾਂ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ EVAL ਫੰਕਸ਼ਨ) ਨਿਯਮ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅਪਵਾਦ ਹਨ।


The ASCII representation is not the shortest representation for NAND-CIRC programs.

ASCII ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।


A NAND-CIRC program of s lines, n inputs, and m outputs can be represented by a labeled directed graph of s + n vertices.

s ਲਾਈਨਾਂ, n ਇਨਪੁਟਸ, ਅਤੇ m ਆਉਟਪੁੱਟ ਦਾ ਇੱਕ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ s + n ਵਰਟਿਸ ਦੇ ਇੱਕ ਲੇਬਲ ਵਾਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We prove Theorem 5.5 by coming up with a list f0, ..., f2^n of functions.

ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ f0, ..., f2^n ਬਣਾ ਕੇ ਥਿਊਰਮ 5.5 ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


By Theorem 4.15 the class SIZE n (10 ⋅ 2^n / n) contains all functions from {0,1} n to {0,1}.

ਥਿਊਰਮ 4.15 ਦੁਆਰਾ ਕਲਾਸ SIZE n (10 ⋅ 2^n / n) ਵਿੱਚ {0,1} n ਤੋਂ {0,1} ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


For every sufficiently large n and 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n / n, SIZE n (s) ⊊ SIZE n (s+10n).

ਹਰ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ n ਅਤੇ 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n / n ਲਈ, SIZE n (s) ⊊ SIZE n (s+10n)।


To prove the theorem we need to find a function f : {0,1} n -> {0,1} such that f can be computed by a circuit of s + 10n gates.

ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f : {0,1} n -> {0,1} ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ f ਦੀ ਗਣਨਾ s + 10n ਗੇਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਰਕਟ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


We will do so by coming up with a sequence of functions f0, f1, f2, ..., fN with the following properties.

ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f0, f1, f2, ..., fN ਦੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਨਾਲ ਅਜਿਹਾ ਕਰਾਂਗੇ।


The function f0 is simply the constant zero function, while the function f2^n is equal to f*.

ਫੰਕਸ਼ਨ f0 ਸਿਰਫ਼ ਸਥਿਰ ਜ਼ੀਰੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f2^n, f* ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।


Since (by our choice of i), fi-1 can be computed using at most s gates and (as can be easily verified) that EQUAL ∈ SIZE n (9n), we can compute fi using at most s+9n+O(1) ≤ s+10n gates which is what we wanted to prove.

ਕਿਉਂਕਿ (i ਦੀ ਸਾਡੀ ਪਸੰਦ ਦੁਆਰਾ), fi-1 ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ s ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਤਸਦੀਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ) ਕਿ EQUAL ∈ SIZE n (9n), ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ s+9n+O(1) ≤ s+10n ਗੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ fi ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸੀ।


The algorithm checks if 'e' matches the empty string.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਜਾਂਚ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ 'ਈ' ਖਾਲੀ ਸਤਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।


ਜੇਕਰ ਈ ਖਾਲੀ ਹੈ, ਤਾਂ 1 ਵਾਪਸ ਕਰੋ।


Regular expressions can match patterns in text.

ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨ ਟੈਕਸਟ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ 6.10 ਬਹੁਤ ਕੁਸ਼ਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।


For example, given an expression involving concatenation.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਨਕੈਟੇਨੇਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


Fortunately, there is a much more efficient algorithm.

ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ।


We will see a formal definition of time complexity in Chapter 13.

ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 13 ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਗੁੰਝਲਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇਖਾਂਗੇ।


ਆਓ ਈ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇ।


The algorithm determines whether e matches a string.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਈ ਇੱਕ ਸਤਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।


The idea is the notion of a restriction of a regular expression.

ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਾਬੰਦੀ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


For example, if e is the regular expression (01)*(01).

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਈ ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨ (01)*(01) ਹੈ।


Algorithm 6.13 computes the restriction e[sigma].

ਐਲਗੋਰਿਦਮ 6.13 ਪਾਬੰਦੀ ਈ[ਸਿਗਮਾ] ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।


It always terminates, since the recursive calls it makes are always on expressions smaller than the input expression.

ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਜੋ ਰਿਕਰਸਿਵ ਕਾਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਉਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਨਪੁਟ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਛੋਟੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


Using this notion of restriction, we can define the following recursive algorithm.

ਪਾਬੰਦੀ ਦੀ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰਿਕਰਸਿਵ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


By the definition of a restriction, for every sigma in Sigma.

ਇੱਕ ਪਾਬੰਦੀ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੁਆਰਾ, ਹਰ ਸਿਗਮਾ ਲਈ ਸਿਗਮਾ ਵਿੱਚ।


The only remaining task is to analyze its running time.

ਇਕੋ ਇਕ ਬਾਕੀ ਕੰਮ ਇਸਦੇ ਚੱਲਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ ਹੈ।


For simplicity, let us restrict our attention to the case that the alphabet Sigma is equal to {0,1}.

ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਧਿਆਨ ਨੂੰ ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰੀਏ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਰਣਮਾਲਾ ਸਿਗਮਾ {0,1} ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।


Define C(l) to be the maximum number of operations.

C(l) ਨੂੰ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣ ਦਿਓ।


Algorithm 6.14 is a recursive algorithm.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ 6.14 ਇੱਕ ਰਿਕਰਸਿਵ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ।


This solves to O(n) where the implicit constant in the O notation can (and will) depend on e.

ਇਹ O(n) ਤੱਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ O ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਸਥਿਰ e 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਅਤੇ ਕਰੇਗਾ)।


The length n, denoted as F n, is the finite function f : {0,1} n -> {0,1}.

ਲੰਬਾਈ n, ਜਿਸਨੂੰ F n ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ f : {0,1} n -> {0,1} ਹੈ।


That is, F n is the finite function that is only defined on inputs in {0,1} n, but agrees with F on those inputs.

ਭਾਵ, F n ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ਼ {0,1} n ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ F ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ।


Since F n is a finite function, it can be computed by a Boolean circuit, implying the following theorem.

ਕਿਉਂਕਿ F n ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਦੁਆਰਾ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਭਾਵ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ।


Theorem 6.1— Circuit collection for every infinite function.

ਪ੍ਰਮੇਯ 6.1— ਹਰ ਅਨੰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਰਕਟ ਸੰਗ੍ਰਹਿ।


Let F : {0,1} * -> {0,1}. Then there is a collection {C n } n∈{1,2,...} of circuits such that for every n > 0, C n computes the restriction F n of F to inputs of length n.

ਮੰਨ ਲਓ F : {0,1} * -> {0,1}. ਫਿਰ ਸਰਕਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ {C n } n∈{1,2,...} ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ n > 0 ਲਈ, C n ਲੰਬਾਈ n ਦੇ ਇਨਪੁਟਸ ਲਈ F ਦੀ ਪਾਬੰਦੀ F n ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।


This is an immediate corollary of the universality of Boolean circuits.

ਇਹ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟਾਂ ਦੀ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕਤਾ ਦਾ ਤੁਰੰਤ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।


Indeed, since F n maps {0,1} n to {0,1}, Theorem 4.15 implies that there exists a Boolean circuit C n to compute it.

ਦਰਅਸਲ, ਕਿਉਂਕਿ F n {0,1} n ਨੂੰ {0,1} ਵਿੱਚ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪ੍ਰਮੇਯ 4.15 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ C n ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


In fact, the size of this circuit is at most c ⋅ 2 n / n gates for some constant c ≤ 10.

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਸਰਕਟ ਦਾ ਆਕਾਰ ਕੁਝ ਸਥਿਰ c ≤ 10 ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ c ⋅ 2 n / n ਗੇਟ ਹੈ।


In particular, Theorem 6.1 implies that there exists such a circuit collection {C n } even for the TWINP function we described before, even though we do not know of any program to compute it.

ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਪ੍ਰਮੇਯ 6.1 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਸਰਕਟ ਸੰਗ੍ਰਹਿ {C n } ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਣਿਤ TWINP ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਬਾਰੇ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ।


Indeed, this is not that surprising: for every particular n ∈ ℕ, TWINP n is either the constant zero function or the constant one function, both of which 222 introduction to theoretical computer science can be computed by very simple Boolean circuits.

ਦਰਅਸਲ, ਇਹ ਇੰਨਾ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਨਹੀਂ ਹੈ: ਹਰ ਖਾਸ n ∈ ℕ ਲਈ, TWINP n ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਥਿਰ ਜ਼ੀਰੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਬਹੁਤ ਹੀ ਸਧਾਰਨ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


Hence a collection of circuits {C n } that computes TWINP certainly exists.

ਇਸ ਲਈ ਸਰਕਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ {C n } ਜੋ TWINP ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਨਿਸ਼ਚਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


The difficulty in computing TWINP using Python or any other programming language arises from the fact that we do not know for each particular n what is the circuit C n in this collection.

ਪਾਈਥਨ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ TWINP ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁਸ਼ਕਲ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਖਾਸ n ਲਈ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਕਿ ਇਸ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਸਰਕਟ C n ਕੀ ਹੈ।


6.2 DETERMINISTIC FINITE AUTOMATA (OPTIONAL)

6.2 ਨਿਰਧਾਰਤ ਸੀਮਤ ਆਟੋਮੈਟਾ (ਵਿਕਲਪਿਕ)


All our computational models so far - Boolean circuits and straight-line programs - were only applicable for finite functions.

ਸਾਡੇ ਸਾਰੇ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨਲ ਮਾਡਲ ਹੁਣ ਤੱਕ - ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟ ਅਤੇ ਸਿੱਧੇ-ਲਾਈਨ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ - ਸਿਰਫ਼ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਲਾਗੂ ਸਨ।


In Chapter 7, we will present Turing machines, which are the central models of computation for unbounded input length functions.

ਅਧਿਆਇ 7 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਮਤ ਇਨਪੁਟ ਲੰਬਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਗਣਨਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਮਾਡਲ ਹਨ।


However, in this section we present the more basic model of deterministic finite automata (DFA).

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਸੀਮਤ ਆਟੋਮੈਟਾ (DFA) ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਮਾਡਲ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Automata can serve as a good stepping-stone for Turing machines, though they will not be used much in later parts of this book, and so the reader can feel free to skip ahead to Chapter 7.

ਆਟੋਮੈਟਾ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗੇ ਸਟੈਪਿੰਗ-ਸਟੋਨ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਉਹ ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਬਾਅਦ ਦੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਵਰਤੇ ਨਹੀਂ ਜਾਣਗੇ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਾਠਕ ਅਧਿਆਇ 7 'ਤੇ ਅੱਗੇ ਜਾਣ ਲਈ ਸੁਤੰਤਰ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।


DFAs turn out to be equivalent in power to regular expressions: a powerful mechanism to specify patterns, which is widely used in practice.

DFAs ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਤਰੀਕਾ, ਜੋ ਅਮਲ ਵਿੱਚ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


Our treatment of automata is relatively brief.

ਆਟੋਮੈਟਾ ਦਾ ਸਾਡਾ ਇਲਾਜ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਸੰਖੇਪ ਹੈ।


There are plenty of resources that help you get more comfortable with DFAs.

ਇੱਥੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਰੋਤ ਹਨ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ DFAs ਨਾਲ ਵਧੇਰੇ ਆਰਾਮਦਾਇਕ ਬਣਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


ਮੈਂ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਗਾਇਕਾ ਹੈ।


The company announced its quarterly results.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਤਿਮਾਹੀ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The new policy will be implemented next week.

ਨਵੀਂ ਨੀਤੀ ਅਗਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ।


He is studying computer science at university.

ਉਹ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਪੜ੍ਹਾਈ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The research paper explores the impact of climate change.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਜਲਵਾਯੂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The economic forecast predicts a rise in inflation.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਮਹਿੰਗਾਈ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The software requires a high-performance processor.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉੱਚ-ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਪ੍ਰੋਸੈਸਰ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

ਕੋਰਮ ਦੀ ਘਾਟ ਕਾਰਨ ਮੀਟਿੰਗ ਮੁਲਤਵੀ ਕਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ।


The government is considering new regulations.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੇਂ ਨਿਯਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The data analysis revealed significant trends.

ਅੰਕੜਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਰੁਝਾਨਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਸਮਾਂ-ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪਿੱਛੇ ਹੈ।


The artist's work is displayed in the gallery.

ਕਲਾਕਾਰ ਦਾ ਕੰਮ ਗੈਲਰੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


The company is expanding its operations overseas.

ਕੰਪਨੀ ਵਿਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਕੰਮਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


ਟੀਮ ਨੇ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਸਫਲਤਾ ਹਾਸਲ ਕੀਤੀ।


The system is designed for high availability.

ਸਿਸਟਮ ਉੱਚ ਉਪਲਬਧਤਾ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


The committee will review the proposal next week.

ਕਮੇਟੀ ਅਗਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੇਗੀ।


The Turing machine starts in the START state.

ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਟੇਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


It moves right, looking for the first 0 or 1.

ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਹਿਲੇ 0 ਜਾਂ 1 ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।


If it finds a blank symbol before 0 or 1, it goes to OUTPUT_1.

ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ 0 ਜਾਂ 1 ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ OUTPUT_1 'ਤੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


The machine deletes the symbol by writing the × symbol.

ਮਸ਼ੀਨ × ਚਿੰਨ੍ਹ ਲਿਖ ਕੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।


It enters the RIGHT_b mode and moves right.

ਇਹ RIGHT_b ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


Once it finds the blank symbol, it goes to LOOK_FOR_0 or LOOK_FOR_1.

ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਇਹ ਖਾਲੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਲੱਭ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ LOOK_FOR_0 ਜਾਂ LOOK_FOR_1 'ਤੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


In the LOOK_FOR_b state, it checks the value on the tape.

LOOK_FOR_b ਸਟੇਟ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਟੇਪ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਮੁੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੀ ਹੈ।


If the value is b, it deletes it and goes to RETURN.

ਜੇਕਰ ਮੁੱਲ b ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇਸਨੂੰ ਮਿਟਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ RETURN 'ਤੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


Otherwise, it goes to the OUTPUT_0 state.

ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਇਹ OUTPUT_0 ਸਟੇਟ 'ਤੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


The RETURN state means it goes back to the beginning.

RETURN ਸਟੇਟ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


OUTPUT_b ਸਟੇਟ ਮੁੱਲ b ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।


ਮਸ਼ੀਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ▷ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ।


It makes a right step and changes to the 1_AND_BLANK state.

ਇਹ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਕਦਮ ਚੁੱਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ 1_AND_BLANK ਸਟੇਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


In the latter states, it writes the corresponding value.

ਬਾਅਦ ਵਾਲੀਆਂ ਸਟੇਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ ਲਿਖਦੀ ਹੈ।


The machine moves right and changes to the BLANK_AND_STOP state.

ਮਸ਼ੀਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ BLANK_AND_STOP ਸਟੇਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


The formal definition of a Turing machine is as follows.

ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ।


A Turing machine with k states and alphabet Σ is represented by a transition function.

k ਸਟੇਟਾਂ ਅਤੇ ਵਰਣਮਾਲਾ Σ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The output of the machine on input x is the result of a process.

ਇਨਪੁਟ x 'ਤੇ ਮਸ਼ੀਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।


We initialize T to be the sequence ▷, x0, x1, ..., xn-1, ∅, ∅, ...

ਅਸੀਂ T ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ▷, x0, x1, ..., xn-1, ∅, ∅, ... ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


If the process halts, the output is the string y.

ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਰੁਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਸਤਰ y ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The RAM machine model is closer to actual computers.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨ ਮਾਡਲ ਅਸਲ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ।


Turing machines do not correspond to standard computing architectures.

ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਆਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੀਆਂ।


We will see that cellular automata is also Turing equivalent.

ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸੈਲੂਲਰ ਆਟੋਮੈਟਾ ਵੀ ਟਿਊਰਿੰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।


This is a powerful principle, which underlies the vast reach of Computer Science.

ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ, ਜੋ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਪਹੁੰਚ ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੈ।


RAM machines capture the architecture of modern computers more closely than Turing machines.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਨਾਲੋਂ ਆਧੁਨਿਕ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਨੇੜਿਓਂ ਕੈਪਚਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।


In this chapter we study equivalence between models.

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Two computational models are equivalent if they can compute the same set of functions.

ਦੋ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨਲ ਮਾਡਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


For example, we have seen that Turing machines and NAND-TM programs are equivalent.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਅਤੇ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


We can transform every Turing machine into a NAND-TM program.

ਅਸੀਂ ਹਰ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਇੱਕ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


This means that all these programming languages are Turing equivalent.

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


RAM machines can store integers in their local registers.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਆਪਣੇ ਸਥਾਨਕ ਰਜਿਸਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸਟੋਰ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।


RAM machines can read and write to their memory.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਆਪਣੀ ਮੈਮੋਰੀ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹ ਅਤੇ ਲਿਖ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।


The memory of a RAM machine is an array of unbounded size.

ਇੱਕ ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਮੈਮੋਰੀ ਬੇਅੰਤ ਆਕਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਐਰੇ ਹੈ।


ਹਰੇਕ ਸੈੱਲ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸ਼ਬਦ ਸਟੋਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।


RAM machines can carry out computation on registers.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਰਜਿਸਟਰਾਂ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।


RAM machines include arithmetic operations.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।


NAND-RAM includes conditional statements.

NAND-RAM ਵਿੱਚ ਸ਼ਰਤੀਆ ਬਿਆਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


NAND-RAM ਵਿੱਚ ਲੂਪਿੰਗ ਬਣਤਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


Theorem 8.1 shows that all these four models are equivalent to one another.

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.1 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਮਾਡਲ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


The challenging direction is to transform a NAND-RAM program to an equivalent NAND-TM program.

ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕ NAND-RAM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਹੈ।


The machine simulates each iteration of the program by updating its state and tape accordingly.

ਮਸ਼ੀਨ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੇ ਹਰੇਕ ਦੁਹਰਾਓ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਟੇਪ ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਅਪਡੇਟ ਕਰਕੇ ਸਿਮੂਲੇਟ ਕਰਦੀ ਹੈ।


We can encode the set {L, R, S, H} using {0,1}2.

ਅਸੀਂ ਸੈੱਟ {L, R, S, H} ਨੂੰ {0,1}2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਏਨਕੋਡ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The Turing machine will enter into a special loop to copy the results of the Y array into the output and then halt.

ਟਿuringਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਕਾਪੀ ਕਰਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੋਕਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਲੂਪ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੋਵੇਗੀ।


The key observation is that by Theorem 4.12 we can compute every finite function using a NAND-CIRC program.

ਮੁੱਖ ਨਿਰੀਖਣ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਥਿਊਰਮ 4.12 ਦੁਆਰਾ ਅਸੀਂ NAND-CIRC ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We will choose the encoding L ↦ 01, R ↦ 11, S ↦ 10, H ↦ 00.

ਅਸੀਂ ਏਨਕੋਡਿੰਗ L ↦ 01, R ↦ 11, S ↦ 10, H ↦ 00 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਾਂਗੇ।


The machine can simulate this iteration by reading the values of all array variables at i.

ਮਸ਼ੀਨ ਇਸ ਦੁਹਰਾਓ ਨੂੰ i 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਐਰੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹ ਕੇ ਸਿਮੂਲੇਟ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।


The overall operation of the Turing machine will be as follows:

ਟਿuringਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਦਾ ਸਮੁੱਚਾ ਸੰਚਾਲਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇਗਾ:


We can implement more advanced looping constructs than the simple MODANDJUMP.

ਅਸੀਂ ਸਧਾਰਨ MODANDJUMP ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਲੂਪਿੰਗ ਉਸਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ GOTO ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The variable pc corresponds to the “program counter” and tells the program which line to execute next.

ਵੇਰੀਏਬਲ pc “ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਕਾਊਂਟਰ” ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੱਗੇ ਕਿਹੜੀ ਲਾਈਨ ਚਲਾਉਣੀ ਹੈ।


We can emulate all the standard loop constructs such as while, do .. until or for in NAND-TM as well.

ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਲੂਪ ਉਸਾਰੀਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੱਕ, ਕਰਦੇ ਹਾਂ .. ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਜਾਂ NAND-TM ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


The main trouble with GOTO is that it makes analysis of programs more difficult.

GOTO ਨਾਲ ਮੁੱਖ ਮੁਸ਼ਕਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।


We will move freely between describing an algorithm as a Turing machine or as a NAND-TM program.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਟਿuringਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਜਾਂ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੱਗੇ ਵਧਾਂਗੇ।


In contrast, the difference between a function F and a Turing machine that computes F is much more profound.

ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ F ਅਤੇ ਇੱਕ ਟਿuringਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਜੋ F ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਬਹੁਤ ਡੂੰਘਾ ਹੈ।


These are models where each individual program/circuit can compute a finite function.

ਇਹ ਉਹ ਮਾਡਲ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ/ਸਰਕਟ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।


We have seen that every finite function can be computed by some program/circuit.

ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਸੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੁਝ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ/ਸਰਕਟ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


Turing machines can have inputs and outputs that are longer than the description of the machine as a string.

ਟਿuringਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਸਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਸ਼ੀਨ ਦੇ ਵਰਣਨ ਨਾਲੋਂ ਲੰਬੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The notion of “self replication”, and the related notion of “self reference” are crucial to many aspects of computation.

“ਸਵੈ-ਪ੍ਰਤੀਕ੍ਰਿਤੀ” ਦੀ ਧਾਰਨਾ, ਅਤੇ “ਸਵੈ-ਹਵਾਲਾ” ਦੀ ਸੰਬੰਧਿਤ ਧਾਰਨਾ, ਗਣਨਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪਹਿਲੂਆਂ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ।


For now, what you ought to remember is the following differences between uniform and non-uniform computational models:

ਹੁਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਜੋ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ ਇਕਸਾਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਇਕਸਾਰ ਗਣਨਾਤਮਕ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅੰਤਰ:


Unlike NAND-CIRC or Boolean circuits, the number of steps that a Turing machine takes on a given input is not fixed in advance.

NAND-CIRC ਜਾਂ ਬੂਲੀਅਨ ਸਰਕਟਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਇੱਕ ਟਿuringਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਦੁਆਰਾ ਲਏ ਗਏ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The study of Turing machines is fundamental to computer science.

ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਹੈ।


Can you explain the concept of Turing equivalence?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


All familiar programming languages are Turing equivalent.

ਸਾਰੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।


We can use Turing machines to prove theorems about algorithms.

ਅਸੀਂ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਮੇਯਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।


The programmer needs to think in deep conceptual hierarchies.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਰ ਨੂੰ ਡੂੰਘੇ ਸੰਕਲਪਕ ਪੱਧਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸੋਚਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


Algorithms are often described in English.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਅਕਸਰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


Breadth-first search is a common algorithm.

ਚੌੜਾਈ-ਪਹਿਲੀ ਖੋਜ ਇੱਕ ਆਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ।


We can describe an algorithm at different levels of detail.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੱਧਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਵਰਣਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Moving between abstraction levels is a key skill for computer scientists.

ਐਬਸਟਰੈਕਸ਼ਨ ਪੱਧਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਜਾਣ-ਆਉਣਾ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਹੁਨਰ ਹੈ।


Turing completeness is a fundamental concept.

ਟਿਊਰਿੰਗ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


A computational model defines how a program computes a function.

ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨਲ ਮਾਡਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Cellular automata are used to model physical systems.

ਸੈਲੂਲਰ ਆਟੋਮੈਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਭੌਤਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


Conway's Game of Life is a well-known example.

ਕਨਵੇ ਦਾ ਜੀਵਨ ਦਾ ਖੇਡ ਇੱਕ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।


One-dimensional cellular automata can be Turing complete.

ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਸੈਲੂਲਰ ਆਟੋਮੈਟਾ ਟਿਊਰਿੰਗ ਸੰਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।


The next state of a cell depends on its neighbors.

ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਦੀ ਅਗਲੀ ਸਥਿਤੀ ਇਸਦੇ ਗੁਆਂਢੀਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।


We can simulate a Turing machine using the Game of Life.

ਅਸੀਂ ਜੀਵਨ ਦੀ ਖੇਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Lambda calculus inspired functional programming languages.

ਲੈਂਡਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕੀਤਾ।


Anonymous functions are a core feature of lambda calculus.

ਗੁਮਨਾਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੈਂਡਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹਨ।


Function application is associative and binds from left to right.

ਫੰਕਸ਼ਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਹੈ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਬੰਨ੍ਹਦਾ ਹੈ।


ਅੱਜ ਸੂਰਜ ਬਹੁਤ ਚਮਕ ਰਿਹਾ ਹੈ।


ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

ਮੌਸਮ ਵਿਭਾਗ ਕੱਲ੍ਹ ਮੀਂਹ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਗਾਇਕਾ ਹੈ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


He is studying computer science at the university.

ਉਹ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਪੜ੍ਹਾਈ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The government is implementing new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The research team is working on a groundbreaking discovery.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਖੋਜ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The complexities of the legal system are often difficult to understand.

ਕਾਨੂੰਨੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀਆਂ ਗੁੰਝਲਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਮਝਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The economic impact of the pandemic was far-reaching.

ਮਹਾਂਮਾਰੀ ਦਾ ਆਰਥਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਸੀ।


The philosophical implications of artificial intelligence are being widely debated.

ਆਰਟੀਫੀਸ਼ੀਅਲ ਇੰਟੈਲੀਜੈਂਸ ਦੇ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਹਿਸ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ।


The intricate details of the treaty negotiations were kept confidential.

ਸੰਧੀ ਗੱਲਬਾਤ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵੇਰਵਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਪਤ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।


The company's innovative approach revolutionized the industry.

ਕੰਪਨੀ ਦੇ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰੀ ਪਹੁੰਚ ਨੇ ਉਦਯੋਗ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆਂਦੀ।


The subtle nuances of the language are often lost in translation.

ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਸੂਖਮ ਪਹਿਲੂ ਅਕਸਰ ਅਨੁਵਾਦ ਵਿੱਚ ਗੁੰਮ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


The quantum entanglement phenomenon continues to baffle scientists.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਦੀ ਘਟਨਾ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੂੰ ਹੈਰਾਨ ਕਰਨਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।


The socio-political landscape is constantly evolving.

ਸਮਾਜਿਕ-ਰਾਜਨੀਤਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਕਸਤ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The ethical considerations surrounding genetic engineering are complex.

ਜੈਨੇਟਿਕ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਨੈਤਿਕ ਵਿਚਾਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ।


ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


She enjoys reading novels in her free time.

ਉਹ ਆਪਣੇ ਖਾਲੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਨਾਵਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।


Could you please explain the concept further?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The research paper explores advanced topics in quantum physics.

ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਉੱਨਤ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


He is a skilled programmer and a talented musician.

ਉਹ ਇੱਕ ਹੁਨਰਮੰਦ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The weather forecast predicts heavy rainfall tomorrow.

ਮੌਸਮ ਵਿਭਾਗ ਕੱਲ੍ਹ ਭਾਰੀ ਬਾਰਿਸ਼ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The meeting will be held in the conference room.

ਮੀਟਿੰਗ ਕਾਨਫਰੰਸ ਰੂਮ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗੀ।


This is a complex problem that requires careful analysis.

ਇਹ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The government implemented new policies to boost the economy.

ਸਰਕਾਰ ਨੇ ਅਰਥਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਹੁਲਾਰਾ ਦੇਣ ਲਈ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀਆਂ।


She is fluent in several foreign languages.

ਉਹ ਕਈ ਵਿਦੇਸ਼ੀ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।


The software update includes several bug fixes.

ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਅਪਡੇਟ ਵਿੱਚ ਕਈ ਬੱਗ ਫਿਕਸ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।


The artist's work is displayed in a prestigious gallery.

ਕਲਾਕਾਰ ਦਾ ਕੰਮ ਇੱਕ ਵੱਕਾਰੀ ਗੈਲਰੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


The company is facing significant financial challenges.

ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿੱਤੀ ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The scientific community is debating the latest findings.

ਵਿਗਿਆਨਕ ਭਾਈਚਾਰਾ ਤਾਜ਼ਾ ਖੋਜਾਂ 'ਤੇ ਬਹਿਸ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


He is known for his innovative ideas and creative solutions.

ਉਹ ਆਪਣੇ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰੀ ਵਿਚਾਰਾਂ ਅਤੇ ਰਚਨਾਤਮਕ ਹੱਲਾਂ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


The project requires a team of experienced professionals.

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਲਈ ਤਜਰਬੇਕਾਰ ਪੇਸ਼ੇਵਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਟੀਮ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The economic outlook remains uncertain due to global events.

ਵਿਸ਼ਵ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਾਰਨ ਆਰਥਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।


The data analysis revealed some unexpected patterns.

ਡੇਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਕੁਝ ਅਚਾਨਕ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਕੀਤਾ।


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਨੇ ਚੇਤਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ।


ਮਸ਼ੀਨ ਇਨਪੁਟ x 'ਤੇ ਰੁਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।


This function is uncomputable by any Turing machine.

ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਦੁਆਰਾ ਗਣਨਾਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The program outputs F(z) after executing at most 100 * |x|^2 lines.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 100 * |x|^2 ਲਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਚਲਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ F(z) ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ NANDRAMHALT ਗਣਨਾਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The head reached the T-th location of its tape.

ਸਿਰ ਇਸਦੀ ਟੇਪ ਦੇ ਟੀ-ਵੇਂ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚ ਗਿਆ।


Suppose that F and G are computable functions.

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ F ਅਤੇ G ਗਣਨਾਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।


ਫੰਕਸ਼ਨ FINITE ਗਣਨਾਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।


ਅਸੀਂ ਰਾਈਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ।


The DAO was the biggest crowdfunding success.

DAO ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਕ੍ਰਾਊਡਫੰਡਿੰਗ ਸਫਲਤਾ ਸੀ।


The Ethereum community struggled with the response.

ਈਥਰਿਅਮ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਇਸ ਜਵਾਬ ਨਾਲ ਸੰਘਰਸ਼ ਕਰ ਰਹੀ ਸੀ।


ਐਲਿਸ ਅਤੇ ਬੌਬ ਇੱਕ ਇਕਰਾਰਨਾਮੇ 'ਤੇ ਦਸਤਖਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


The expressive power of postscript can allow for short descriptions.

ਪੋਸਟਸਕ੍ਰਿਪਟ ਦੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਛੋਟੇ ਵਰਣਨਾਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇ ਸਕਦੀ ਹੈ।


Context-free grammars are a popular choice.

ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਵਿਕਲਪ ਹਨ।


ਫੰਕਸ਼ਨ ARITH 'ਤੇ ਗੌਰ ਕਰੋ।


ਇੱਕ ਅੰਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ।


An expression has either the form "number".

ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਤਾਂ “ਨੰਬਰ” ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The rules of a context-free grammar are often recursive.

ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਕਸਰ ਰਿਕਰਸਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


We now formally define context-free grammars.

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


ਲੋਕ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।


The interpreter will continue the simulation until the machine halts.

ਇੰਟਰਪ੍ਰੇਟਰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਸਿਮੂਲੇਸ਼ਨ ਜਾਰੀ ਰੱਖੇਗਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਮਸ਼ੀਨ ਬੰਦ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ।


Once you do that, translating this interpreter from your favorite programming language to a Turing machine can be done just as we have seen in Chapter 8.

ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਇਸ ਇੰਟਰਪ੍ਰੇਟਰ ਨੂੰ ਤੁਹਾਡੀ ਮਨਪਸੰਦ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 8 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ।


The end result is what’s known as a “meta-circular evaluator”.

ਅੰਤਮ ਨਤੀਜਾ ਉਹ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ “ਮੈਟਾ-ਸਰਕੂਲਰ ਮੁਲਾਂਕਣਕਰਤਾ” ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


This is a concept that has a long history in computer science.

ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੰਕਲਪ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਲੰਮਾ ਇਤਿਹਾਸ ਹੈ।


We can represent every Turing machine as a string.

ਅਸੀਂ ਹਰ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Given the string representation of a Turing machine and an input, we can simulate the machine’s execution.

ਇੱਕ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਸਤਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਮਸ਼ੀਨ ਦੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਸਿਮੂਲੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


We can easily write a Python program that evaluates a Turing machine.

ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਾਈਥਨ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The program will simulate the corresponding machine step by step.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਸਿਮੂਲੇਟ ਕਰੇਗਾ।


We can translate this Python code line by line to a Turing machine.

ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਈਥਨ ਕੋਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਵਿੱਚ ਲਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


NAND-RAM machines correspond to the architecture of modern electronic computers.

NAND-RAM ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਆਧੁਨਿਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰਾਨਿਕ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੀ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।


Researchers have attempted to find the smallest possible universal Turing machines.

ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਨੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਭਵ ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ ਹੈ।


The existence of even a single such machine is already extremely fundamental.

ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਹੋਂਦ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


Because we can simulate every Turing machine by a NAND-TM program and vice versa, Theorem 9.1 immediately implies there exists a universal NAND-TM program.

ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਇੱਕ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਸਿਮੂਲੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਥਿਊਰਮ 9.1 ਤੁਰੰਤ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਯੂਨੀਵਰਸਲ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


Compilers for programming languages are often used to compile themselves.

ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਲਈ ਕੰਪਾਈਲਰ ਅਕਸਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਕੰਪਾਈਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


There are universal Turing machines known that require a very small number of states.

ਇੱਥੇ ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਹਨ ਜੋ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਸਟੇਟਾਂ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।


Therefore a natural guess is that NAND-TM programs could compute every infinite function.

ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਅਨੁਮਾਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਹਰ ਅਨੰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਗਲਤ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


That is, there exists a function that is uncomputable!

ਭਾਵ, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ!


The idea is to construct the function in a way that will ensure that every possible machine will in fact fail to compute it.

ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ ਜੋ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਏਗਾ ਕਿ ਹਰ ਸੰਭਵ ਮਸ਼ੀਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹੇਗੀ।


We will show that the uncomputability of a function implies the uncomputability of the Halting function.

ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾਯੋਗਤਾ ਹਾਲਟਿੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾਯੋਗਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।


The algorithm efficiently computes whether a string matches a given grammar.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਆਕਰਣ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ।


Context-free grammars are more powerful than regular expressions.

ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਹਨ।


The parser transforms the source code into a parse tree.

ਪਾਰਸਰ ਸਰੋਤ ਕੋਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਰਸ ਟ੍ਰੀ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।


Can you explain the limitations of context-free grammars?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?


Regular expressions are useful for string matching tasks.

ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨ ਸਤਰ ਮੈਚਿੰਗ ਕਾਰਜਾਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ।


The theorem proves that context-free grammar equivalence is uncomputable.

ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।


We can use a grammar to generate strings.

ਅਸੀਂ ਸਤਰਾਂ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਆਕਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵਿੱਚ ਰੀਕਰਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


The parse tree provides useful information about the structure of the string.

ਪਾਰਸ ਟ੍ਰੀ ਸਤਰ ਦੀ ਬਣਤਰ ਬਾਰੇ ਉਪਯੋਗੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Context-free grammars can capture every regular expression.

ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣ ਹਰ ਨਿਯਮਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


The proof uses induction on the length of the expression.

ਪ੍ਰਮਾਣ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 'ਤੇ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The grammar generates strings that are palindromes.

ਵਿਆਕਰਣ ਉਹਨਾਂ ਸਤਰਾਂ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪੈਲੀਨਡ੍ਰੋਮ ਹਨ।


ਇਹ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਦਿਲਚਸਪ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।


ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।


ਅਸੀਂ ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਪੰਪਿੰਗ ਲੇਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


CFGs ਲਈ ਖਾਲੀਪਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


The algorithm marks variables as non-empty.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਵਜੋਂ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The equivalence problem for context-free grammars is uncomputable.

ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਵਿਆਕਰਣਾਂ ਲਈ ਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।


The theorem implies that fullness is also uncomputable.

ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨਤਾ ਦੀ ਵੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।


We will show that INVALID_P is context-free.

ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ INVALID_P ਸੰਦਰਭ-ਮੁਕਤ ਹੈ।


ਕਿਤਾਬ ਮੇਜ਼ ਉੱਤੇ ਹੈ।


ਤੁਹਾਡਾ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ?


ਮੈਂ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਬਹੁਤ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਮੈਨੂੰ ਨਮਕ ਦਿਓ।


ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਸੰਗੀਤਕਾਰ ਹੈ।


The government is working on new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


The research team made a significant discovery.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਨੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਖੋਜ ਕੀਤੀ।


The meeting will be held tomorrow at 10 AM.

ਮੀਟਿੰਗ ਕੱਲ੍ਹ ਸਵੇਰੇ 10 ਵਜੇ ਹੋਵੇਗੀ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The economic forecast predicts a recession.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਇੱਕ ਮੰਦੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The philosophical implications of the theory are profound.

ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਡੂੰਘੇ ਹਨ।


The complex system requires careful analysis.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।


The company's innovative approach revolutionized the industry.

ਕੰਪਨੀ ਦੇ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰੀ ਪਹੁੰਚ ਨੇ ਉਦਯੋਗ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆਂਦੀ।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਲਗਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।


The intricate details of the artwork were mesmerizing.

ਕਲਾਕਾਰੀ ਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵੇਰਵੇ ਮਨਮੋਹਕ ਸਨ।


The scientific community debated the validity of the findings.

ਵਿਗਿਆਨਕ ਭਾਈਚਾਰੇ ਨੇ ਖੋਜਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ 'ਤੇ ਬਹਿਸ ਕੀਤੀ।


The implications of quantum entanglement are still being explored.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੀ ਅਜੇ ਵੀ ਖੋਜ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ।


The politician's rhetoric was designed to manipulate public opinion.

ਸਿਆਸਤਦਾਨ ਦਾ ਭਾਸ਼ਣ ਜਨਤਕ ਰਾਏ ਨੂੰ ਹੇਰਾਫੇਰੀ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।


If we know that HALT is uncomputable, and we want to show that some other function BLAH is uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument.

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ HALT ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ BLAH ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਪਰੀਤ ਦਲੀਲ ਰਾਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The Halting problem turns out to be a linchpin of uncomputability.

ਹਾਲਟਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਗਣਨਾਯੋਗਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।


A reduction-based proof has two components.

ਘਟਾਓ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਸਬੂਤ ਦੇ ਦੋ ਹਿੱਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The algorithm to compute R is known as a reduction since the transformation R modifies an input to HALT to an input to BLAH.

R ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਿਵਰਤਨ R HALT ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ BLAH ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਸੋਧਦਾ ਹੈ।


ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ।


In general, to reduce a function F to G, the reduction should satisfy F(w) = G(R(w)) for every input w to F.

ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ F ਨੂੰ G ਤੱਕ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ w ਤੋਂ F ਲਈ F(w) = G(R(w)) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।


Here is a concrete example for a proof by reduction.

ਇੱਥੇ ਘਟਾਓ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਕ ਠੋਸ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।


HALTONZERO seems like a potentially easier function to compute than the full-fledged HALT function.

HALTONZERO ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ HALT ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲੋਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।


ਸਬੂਤ HALT ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਦੁਆਰਾ ਹੈ।


We will assume, towards the sake of contradiction, that HALTONZERO is computable by some algorithm A.

ਅਸੀਂ, ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਖਾਤਰ, ਮੰਨਾਂਗੇ ਕਿ HALTONZERO ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੁਝ ਐਲਗੋਰਿਦਮ A ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।


Since this is our first proof by reduction from the Halting problem, we will spell it out in more details than usual.

ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਹਾਲਟਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਦੁਆਰਾ ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਸਬੂਤ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰਵੇ ਵਿੱਚ ਦੱਸਾਂਗੇ।


Description of the reduction: We will describe the operation of our algorithm B, and how it makes “function calls” to the hypothetical algorithm A.

ਘਟਾਓ ਦਾ ਵਰਣਨ: ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਐਲਗੋਰਿਦਮ B ਦੇ ਸੰਚਾਲਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਲਪਿਤ ਐਲਗੋਰਿਦਮ A ਨੂੰ “ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਾਲਾਂ” ਕਰਦਾ ਹੈ।


The machine M' ignores its input z and simply runs M on x.

ਮਸ਼ੀਨ M' ਆਪਣੇ ਇਨਪੁਟ z ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ M ਨੂੰ x 'ਤੇ ਚਲਾਉਂਦੀ ਹੈ।


The algorithm B does not actually execute the machine N M,x.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ B ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮਸ਼ੀਨ N M,x ਨੂੰ ਐਗਜ਼ੀਕਿਊਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।


A reduction is an algorithm, which means that, as discussed in Remark 0.3, a reduction has three components.

ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰਿਮਾਰਕ 0.3 ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦੇ ਤਿੰਨ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


Rice’s Theorem is so powerful and such a popular way of proving uncomputability that people sometimes get confused.

ਰਾਈਸ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਇੰਨਾ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਹੈ ਅਤੇ ਗਣਨਾਯੋਗਤਾ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਇੰਨਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ ਲੋਕ ਕਈ ਵਾਰ ਉਲਝਣ ਵਿੱਚ ਪੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


We define a semantic specification on programs to be some property that does not depend on the code of the program but just on the function that the program computes.

ਅਸੀਂ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਰਥਾਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਕੁਝ ਅਜਿਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੇ ਕੋਡ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਿਰਫ਼ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਗਣਨਾ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।


A property is not semantic if it depends on the source code rather than the input/output behavior.

ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅਰਥਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇਨਪੁਟ/ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਰੋਤ ਕੋਡ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।


If F is semantic and non-trivial then it is uncomputable.

ਜੇਕਰ F ਅਰਥਾਤ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਮਾਮੂਲੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਗਣਨਾਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।


The same proof carries over to other computational models such as the λ calculus, two dimensional (or even one-dimensional) automata etc.

ਇਹੀ ਸਬੂਤ ਹੋਰ ਗਣਨਾਤਮਕ ਮਾਡਲਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ λ ਕੈਲਕੂਲਸ, ਦੋ-ਅਯਾਮੀ (ਜਾਂ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ) ਆਟੋਮੈਟਾ ਆਦਿ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The theorem is potentially easier to prove than the previous one.

ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯ ਪਿਛਲੇ ਨਾਲੋਂ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਾਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੌਖਾ ਹੈ।


ਫੰਕਸ਼ਨ QMS ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।


The proof idea is similar to the one used before.

ਸਬੂਤ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਤੇ ਗਏ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।


We use the notion of a configuration of a NAND-TM program.

ਅਸੀਂ ਇੱਕ NAND-TM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।


Such a configuration can be thought of as a string.

ਅਜਿਹੀ ਸੰਰਚਨਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਤਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।


It can be shown that if 훼 is the configuration at a certain step.

ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ 훼 ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਦਮ 'ਤੇ ਸੰਰਚਨਾ ਹੈ।


Every value 훽 푗 is simply a function of 훼 푗−1,푗,푗+1.

ਹਰ ਮੁੱਲ 훽 푗 ਸਿਰਫ਼ 훼 푗−1,푗,푗+1 ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।


We can write a quantified mixed statement NEXT(훼,훽).

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾਤਮਕ ਮਿਸ਼ਰਤ ਬਿਆਨ NEXT(훼,훽) ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


A program P halts on input x if and only if there is a sequence.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ P ਇਨਪੁਟ x 'ਤੇ ਰੁਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ।


We can define a quantified mixed statement to determine if there is such a statement.

ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾਤਮਕ ਮਿਸ਼ਰਤ ਬਿਆਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਬਿਆਨ ਹੈ।


The proof is obtained by a reduction from the Halting problem.

ਸਬੂਤ ਹਾਲਟਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਤੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


For every Turing machine M, there is a finite alphabet Σ.

ਹਰ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨ M ਲਈ, ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਵਰਣਮਾਲਾ Σ ਹੈ।


A configuration encodes all the state of the program.

ਇੱਕ ਸੰਰਚਨਾ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਸਾਰੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਏਨਕੋਡ ਕਰਦੀ ਹੈ।


If 훼 is a configuration, then 훽 =NEXT P (훼) denotes the configuration.

ਜੇਕਰ 훼 ਇੱਕ ਸੰਰਚਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ 훽 =NEXT P (훼) ਸੰਰਚਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।


There are simple conditions to check whether a string 훼 is a valid starting configuration.

ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਸਧਾਰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਹਨ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਸਤਰ 훼 ਇੱਕ ਵੈਧ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸੰਰਚਨਾ ਹੈ।


A program M halts on input x if and only if there exists a sequence.

ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ M ਇਨਪੁਟ x 'ਤੇ ਰੁਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।


We can encode such a sequence H of configuration as a binary string.

ਅਸੀਂ ਸੰਰਚਨਾ ਦੀ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ H ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਈਨਰੀ ਸਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਏਨਕੋਡ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


For concreteness, we let ℓ = ⌈log(|Σ| + 1)⌉.

ਸਪਸ਼ਟਤਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ ℓ = ⌈log(|Σ| + 1)⌉ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।


ਅਸੀਂ “;” ਨੂੰ ਇੱਕ “ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ” ਪ੍ਰਤੀਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।


If we can encode the statement φM as a quantified mixed statement.

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਿਆਨ φM ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾਤਮਕ ਮਿਸ਼ਰਤ ਬਿਆਨ ਵਜੋਂ ਏਨਕੋਡ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Graphs are ubiquitous in computer science.

ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹਰ ਥਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ।


The shortest path problem is a fundamental task.

ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਰਸਤਾ ਲੱਭਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੰਮ ਹੈ।


We can find the shortest path using breadth-first search.

ਅਸੀਂ ਚੌੜਾਈ-ਪਹਿਲਾਂ ਖੋਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਰਸਤਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Dijkstra's algorithm is a well-known generalization of BFS.

ਡਾਈਕਸਟਰਾ ਦਾ ਐਲਗੋਰਿਦਮ BFS ਦਾ ਇੱਕ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਜਨਰਲਾਈਜੇਸ਼ਨ ਹੈ।


Data structures are extremely important in computer science.

ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਢਾਂਚੇ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ।


Finding the longest path in a graph is a complex problem.

ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਲੰਬਾ ਰਸਤਾ ਲੱਭਣਾ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


The traveling salesman problem is a classical optimization problem.

ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੇਲਜ਼ਮੈਨ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਔਪਟੀਮਾਈਜੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


The minimum cut problem is useful in many applications.

ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕੱਟ ਸਮੱਸਿਆ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।


Computing minimum cuts often corresponds to bottlenecks.

ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕੱਟਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਅਕਸਰ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ।


The Max-Flow Min-Cut Theorem is a key concept.

ਮੈਕਸ-ਫਲੋ ਮਿਨ-ਕੱਟ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ ਹੈ।


Linear programming provides a polynomial-time algorithm.

ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ-ਟਾਈਮ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Convexity plays a crucial role in efficient computation.

ਕਨਵੈਕਸਿਟੀ ਕੁਸ਼ਲ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਣ ਭੂਮਿਕਾ ਅਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।


Empirical risk minimization is a task in machine learning.

ਅਨੁਭਵੀ ਜੋਖਮ ਘੱਟ ਕਰਨਾ ਮਸ਼ੀਨ ਸਿਖਲਾਈ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੰਮ ਹੈ।


Propositional formulas involve logical operators.

ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਓਪਰੇਟਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।


The satisfiability problem is of huge interest in industrial optimization.

ਸੰਤੁਸ਼ਟੀ ਸਮੱਸਿਆ ਉਦਯੋਗਿਕ ਔਪਟੀਮਾਈਜੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।


2SAT is a special case of the satisfiability problem.

2SAT ਸੰਤੁਸ਼ਟੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹੈ।


We can think of every constraint as an implication.

ਅਸੀਂ ਹਰ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


The algorithm makes at most n “push” and “pop” operations.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n “ਪੁਸ਼” ਅਤੇ “ਪੌਪ” ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।


ਗ੍ਰਾਫ਼ ਡਾਟਾ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।


This chapter is a tiny sample of computational problems.

ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਗਣਨਾਤਮਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਜਿਹਾ ਨਮੂਨਾ ਹੈ।


ਅੱਜ ਮੌਸਮ ਸੁਹਾਵਣਾ ਹੈ।


ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਮੈਨੂੰ ਲੂਣ ਫੜਾਓ।


ਮੈਂ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹਾਂ।


ਤੁਹਾਡਾ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ?


ਕਿਤਾਬ ਮੇਜ਼ 'ਤੇ ਹੈ।


ਉਹ ਬਹੁਤ ਹੀ ਪ੍ਰਤਿਭਾਸ਼ਾਲੀ ਗਾਇਕਾ ਹੈ।


The company announced a new product launch.

ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ।


The government is working on new policies.

ਸਰਕਾਰ ਨਵੀਆਂ ਨੀਤੀਆਂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


Could you please explain the concept in detail?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਰਪਾ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?


The research team is analyzing the data.

ਖੋਜ ਟੀਮ ਡਾਟਾ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।


ਚੁਣੌਤੀਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਉਹ ਸਫਲ ਹੋਏ।


The algorithm efficiently sorts the data.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਛਾਂਟਦਾ ਹੈ।


The implications of the new law are far-reaching.

ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੂਰ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।


The economic forecast predicts a recession.

ਆਰਥਿਕ ਪੂਰਵ ਅਨੁਮਾਨ ਇੱਕ ਮੰਦੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।


The complexity of the problem requires a novel approach.

ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਗੁੰਝਲਤਾ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੀ ਹੈ।


The philosophical debate centered on the nature of reality.

ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਬਹਿਸ ਹਕੀਕਤ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸੀ।


The company's strategic plan involves market expansion.

ਕੰਪਨੀ ਦੀ ਰਣਨੀਤਕ ਯੋਜਨਾ ਵਿੱਚ ਬਾਜ਼ਾਰ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।


The scientific community is still debating the findings.

ਵਿਗਿਆਨਕ ਭਾਈਚਾਰਾ ਅਜੇ ਵੀ ਖੋਜਾਂ 'ਤੇ ਬਹਿਸ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The intricate design of the system is impressive.

ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਹੈ।


The implications of quantum entanglement are profound.

ਕੁਆਂਟਮ ਉਲਝਣ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਡੂੰਘੇ ਹਨ।


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

ਇਹ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਿੱਧੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਕਨੈਕਟੀਵਿਟੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Changing from two to three can significantly impact computational complexity.

ਦੋ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਗਣਨਾਤਮਕ ਗੁੰਝਲਤਾ ਨੂੰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।


Despite much effort, a significantly better algorithm for 3SAT is unknown.

ਬਹੁਤ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, 3SAT ਲਈ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਿਹਤਰ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਅਣਜਾਣ ਹੈ।


Solving linear equations is a frequently encountered problem.

ਲੀਨੀਅਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਅਕਸਰ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


The Gaussian elimination algorithm solves linear equations in polynomial time.

ਗੌਸੀਅਨ ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਲੀਨੀਅਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


Integer solutions for linear equations pose a challenge.

ਲੀਨੀਅਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੱਲ ਇੱਕ ਚੁਣੌਤੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ।


The input length corresponds to the number of bits needed to describe a number.

ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਬਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ।


There is a huge difference between having a billion dollars and nine dollars.

ਇੱਕ ਅਰਬ ਡਾਲਰ ਅਤੇ ਨੌਂ ਡਾਲਰ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਫਰਕ ਹੈ।


Finding the prime factors of a given integer is a complex problem.

ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


Solving quadratic equations in several variables is a classical problem.

ਕਈ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ।


The determinant of a matrix is an important quantity in linear algebra.

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਤਰਾ ਹੈ।


The determinant is non-zero if and only if the matrix has an inverse.

ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।


The permanent of a matrix is defined similarly to the determinant.

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਥਾਈ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।


The permanent of a matrix arises in combinatorics and graph theory.

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਥਾਈ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸੰਜੋਗ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।


We can compute the permanent modulo 2 in polynomial time.

ਅਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਮੋਡੂਲੋ 2 ਦੇ ਸਥਾਈ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।


Finding a zero-sum equilibrium is possible in game theory.

ਗੇਮ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮ ਗੇਮ ਦਾ ਸੰਤੁਲਨ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।


The Min Max Theorem is a corollary of linear programming duality.

ਮਿਨ ਮੈਕਸ ਥਿਊਰਮ ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਦਵੈਤ ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।


Finding a Nash equilibrium in general games is computationally hard.

ਆਮ ਗੇਮਾਂ ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ ਸੰਤੁਲਨ ਲੱਭਣਾ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ।


Primality testing has been of interest since ancient times.

ਪ੍ਰਾਈਮ ਟੈਸਟਿੰਗ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਹੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।


The non-existence of an efficient factoring algorithm is used for encryption.

ਇੱਕ ਕੁਸ਼ਲ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਗੈਰ-ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਏਨਕ੍ਰਿਪਸ਼ਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ ਹਨ।


The extended Church-Turing thesis is a key idea in theoretical computer science.

ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਚਰਚ-ਟਿਊਰਿੰਗ ਥੀਸਿਸ ਸਿਧਾਂਤਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਚਾਰ ਹੈ।


Polynomial time is often contrasted with exponential time in complexity analysis.

ਗੁੰਝਲਤਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੇਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰਾ ਦੱਸਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।


RAM machines provide a more practical model of computation than Turing machines.

ਰੈਮ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਨਾਲੋਂ ਗਣਨਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਵਿਹਾਰਕ ਮਾਡਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।


The concept of computability explores what problems can be solved by computers.

ਗਣਨਾਯੋਗਤਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹੱਲ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।


Understanding time complexity is crucial for algorithm design.

ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲਈ ਸਮਾਂ ਗੁੰਝਲਤਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਬਹੁਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।


The halting problem is a famous example of an undecidable problem.

ਹਾਲਟਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਇੱਕ ਅਣਸੁਲਝੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।


Quantum computing poses a potential challenge to the extended Church-Turing thesis.

ਕੁਆਂਟਮ ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਚਰਚ-ਟਿਊਰਿੰਗ ਥੀਸਿਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਚੁਣੌਤੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ।


Efficient algorithms are essential for solving complex problems.

ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਸ਼ਲ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਨ।


The difference between P and NP is a central question in computer science.

P ਅਤੇ NP ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਰਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਸਵਾਲ ਹੈ।


Turing machines with multiple tapes can simulate those with one tape.

ਕਈ ਟੇਪਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਟਿਊਰਿੰਗ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਇੱਕ ਟੇਪ ਵਾਲੀਆਂ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।


The proof of Theorem 13.5 involves detailed technical steps.

ਥਿਊਰਮ 13.5 ਦਾ ਸਬੂਤ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਤਕਨੀਕੀ ਕਦਮਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।


NAND-RAM programs are often used to model real-world computation.

NAND-RAM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਅਕਸਰ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।


The concept of an efficient universal machine is important.

ਇੱਕ ਕੁਸ਼ਲ ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।


The extended Church-Turing thesis is a cornerstone of computer science.

ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਚਰਚ-ਟਿਊਰਿੰਗ ਥੀਸਿਸ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਧਾਰ ਹੈ।


We can define running time with respect to NAND-RAM programs.

ਅਸੀਂ NAND-RAM ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਚੱਲਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।