Type theory provides a framework that brings together logic and programming languages.

प्रकार सिद्धांत एक असेframework पुरवतो जे तर्कशास्त्र आणि प्रोग्रामिंग भाषांना एकत्र आणते.


The book is accessible to interested final-year undergraduates.

हे पुस्तक अंतिम वर्षाच्या स्वारस्य असलेल्या पदवीधर विद्यार्थ्यांसाठी उपयुक्त आहे.


We begin with introductory material on logic and functional programming.

आम्ही तर्कशास्त्र आणि कार्यात्मक प्रोग्रामिंगवरील प्रारंभिक सामग्रीने सुरुवात करतो.


प्रकार सिद्धांताची प्रणाली गुंतागुंतीची आहे.


Chapter six covers a variety of examples and larger case studies.

प्रकरण सहा विविध उदाहरणे आणि मोठ्या केस स्टडीजचा समावेश करते.


From the functional programming point of view, we choose to stress the differences.

कार्यात्मक प्रोग्रामिंगच्या दृष्टिकोनातून, आम्ही फरकांवर जोर देतो.


The system is expressive, as witnessed by the previous chapter.

मागील प्रकरणातून दिसून येते की ही प्रणाली प्रभावी आहे.


आम्ही हे प्रकरण 7 मध्ये पाहतो.


Other proposals include quotient (or equivalence class) types.

इतर प्रस्तावांमध्ये भागाकार (किंवा समतुल्य वर्ग) प्रकारांचा समावेश आहे.


Chapter eight examines the foundations of the system.

प्रकरण आठ प्रणालीच्या पायाभरणीची तपासणी करते.


We have used standard terminology whenever were able.

आम्ही शक्य तितके मानक शब्दावली वापरली आहे.


या मजकुराचा गाभा प्रकरण चार आहे.


Readers who are familiar with natural deduction logic could begin with the brief introduction.

नैसर्गिक डिडक्शन लॉजिकशी परिचित असलेले वाचक संक्षिप्त परिचयाने सुरुवात करू शकतात.


Chapter seven is perhaps best read after the examples of chapter six.

प्रकरण सात कदाचित प्रकरण सहामधील उदाहरणांनंतर वाचणे सर्वोत्तम आहे.


प्रत्येक प्रकरणात व्यायाम समाविष्ट आहेत.


The genesis of this book was a set of notes.

या पुस्तकाची निर्मिती नोट्सच्या संचातून झाली.


Thanks are due to colleagues from both institutions.

या दोन्ही संस्थांमधील सहकाऱ्यांचे आभार.


The text itself was prepared using the LaTeX document preparation system.

मजकूर स्वतः LaTeX दस्तऐवज तयार करण्याच्या प्रणालीचा वापर करून तयार केला गेला.


The editorial and production staff at Addison-Wesley have been most helpful.

एडिसन-वेस्ली येथील संपादकीय आणि निर्मिती कर्मचाऱ्यांनी खूप मदत केली आहे.


Alice is a joy, and makes me realise how much more there is to life than type theory.

ॲलिस एक आनंद आहे, आणि मला जाणीव करून देते की जीवन प्रकार सिद्धांतापेक्षा कितीतरी जास्त आहे.


The program development section discusses the Polish National Flag problem.

प्रोग्राम डेव्हलपमेंट विभाग पोलिश नॅशनल फ्लॅग समस्येवर चर्चा करतो.


विभाग 6.4.2 मध्ये सदिश (vectors) बद्दल चर्चा केली आहे.


Proof extraction and top-down proof methods are explained.

प्रूफ एक्स्ट्रॅक्शन आणि टॉप-डाउन प्रूफ पद्धती स्पष्ट केल्या आहेत.


Predicate logic is a key concept in this chapter.

या अध्यायात प्रेडिकेट लॉजिक ही एक महत्त्वाची संकल्पना आहे.


The text explores the application of map and fold functions.

हा मजकूर मॅप आणि फोल्ड फंक्शन्सच्या उपयोजनाचे परीक्षण करतो.


Program transformation techniques are also covered.

प्रोग्राम रूपांतरण तंत्रांचाही समावेश आहे.


Imperative programming is contrasted with other paradigms.

इंपरेटिव्ह प्रोग्रामिंगची इतर प्रणालींशी तुलना केली आहे.


Examples from the literature are provided for context.

संदर्भासाठी साहित्यातील उदाहरणे दिली आहेत.


The chapter discusses augmenting type theory.

हे प्रकरण प्रकार सिद्धांत (type theory) वाढवण्यावर चर्चा करते.


What is a specification is a key question.

विशिष्टता (specification) काय आहे, हा एक महत्त्वाचा प्रश्न आहे.


Computational irrelevance and lazy evaluation are important concepts.

कॅल्क्युलेशनची अप्रासंगिकता आणि आळशी मूल्यांकन (lazy evaluation) ह्या महत्त्वाच्या संकल्पना आहेत.


उपसमुच्चय प्रकार (subset type) हा एक मुख्य विषय आहे.


Propositions not types are also considered.

प्रकार नसलेल्या विधानांचाही विचार केला जातो.


The G ̈odel Interpretation is discussed.

गॉडल इंटरप्रिटेशनवर चर्चा केली आहे.


Are subsets necessary? is a question explored.

उपसमुच्चय आवश्यक आहेत का? या प्रश्नाचे परीक्षण केले जाते.


Quotient or Congruence Types are explained.

भागाकार किंवा एकरूपता प्रकार (Congruence Types) स्पष्ट केले आहेत.


A case study on real numbers is presented.

वास्तव संख्यांवर आधारित एक केस स्टडी सादर केली आहे.


Strengthened rules and polymorphism are examined.

सशक्त नियम आणि बहुरूपता (polymorphism) तपासली जातात.


Well-founded recursion is a key concept.

सु-स्थापित पुनरावृत्ती (well-founded recursion) ही एक महत्त्वाची संकल्पना आहे.


Inductive types and co-inductions are also covered.

प्रेरक प्रकार (Inductive types) आणि सह-प्रेरण (co-inductions) देखील समाविष्ट आहेत.


It states that Definition 2.15η-reduction.

हे विधान करते की व्याख्या २.१५η-घट.


For all x and e, if x is not free in e then we can perform the following reduction.

सर्व x आणि e साठी, जर x, e मध्ये मुक्त नसेल, तर आपण खालील घट करू शकतो.


The expressions on the two sides of the reduction symbol have the same computational behaviour on all arguments.

घट चिन्हाच्या दोन्ही बाजूचे भावार्थ सर्व युक्तिवादांवर समान संगणकीय वर्तन दर्शवतात.


The rule identifies certain (terms for) functions which have the same behaviour, yet which are represented in different ways.

हे नियम काही (शब्दांसाठी) कार्ये ओळखतात ज्यांचे वर्तन समान आहे, तरीही जे वेगवेगळ्या प्रकारे दर्शविले जातात.


In a context in which we distinguish printable values from others, the beta rule will be sufficient, computationally, to ensure the same results.

ज्या संदर्भात आपण मुद्रणयोग्य मूल्यांना इतरांपेक्षा वेगळे करतो, त्या संदर्भात, बीटा नियम समान परिणाम सुनिश्चित करण्यासाठी, संगणकीयदृष्ट्या पुरेसा असेल.


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction.

आम्ही सामान्यतः η-घटला β-घटाचा एक सहाय्यक मानतो.


We can prove a Church-Rosser theorem for this relation.

आम्ही या संबंधासाठी चर्च-रोसर प्रमेय सिद्ध करू शकतो.


It seems more appropriate to read the η rule as symmetrical, equating its two sides.

η नियम सममितीय म्हणून वाचणे अधिक योग्य आहे, त्याच्या दोन बाजूंना समान मानणे.


We look at this idea in the next section.

आम्ही पुढील विभागात या कल्पनेवर विचार करू.


Show that if we write I for λx . x then λx . x(II) λx . xI are both head normal forms of λx . (Ix)(II).

दर्शवा की जर आपण I ला λx . x असे लिहिले तर λx . x(II) λx . xI हे दोन्ही λx . (Ix)(II) चे शीर्ष सामान्य रूप आहेत.


प्रमेय २.१० वरून प्रमेय २.१२ सिद्ध करा.


By showing that the leftmost-outermost reduction sequence is infinite, argue that the following expressions fail to have normal form.

सर्वात-डावीकडील-बाह्य घट क्रम अनंत आहे हे दर्शवून, युक्तिवाद करा की खालील अभिव्यक्ती सामान्य रूप प्राप्त करण्यात अयशस्वी होतात.


Our introduction to the λ-calculus has focussed so far on the computation relations.

λ-कॅल्कुलसची आमची ओळख आतापर्यंत गणना संबंधांवर केंद्रित आहे.


We can also ask the more general question of which expressions have the same computational behaviour.

आपण अधिक सामान्य प्रश्न देखील विचारू शकतो की कोणत्या अभिव्यक्तींमध्ये समान संगणकीय वर्तन आहे.


This section introduces a number of convertibility relations.

हा विभाग अनेक परिवर्तनीय संबंध सादर करतो.


The relations generate two convertibility relations.

संबंध दोन परिवर्तनीय संबंध तयार करतात.


Explicitly, e ↔ f if and only if there is a sequence e0, · · · , en with n ≥ 0 e ≡ e0, en ≡ f and for each i, 0 ≤ i < n, ei → ei+1 or ei+1 → ei.

स्पष्टपणे, e ↔ f जर आणि केवळ जर n ≥ 0 e ≡ e0, en ≡ f आणि प्रत्येक i साठी, 0 ≤ i < n, ei → ei+1 किंवा ei+1 → ei सह e0, · · · , en चा क्रम असेल.


A similar relation based on β and η reduction together is called βη-convertibility.

β आणि η घट यांच्यावर आधारित एक समान संबंध βη-परिवर्तनीयता म्हणतात.


As a consequence of the Church-Rosser theorems, two expressions e and f will be (βη-)convertible if and only if there exists a common (βη-)reduct of e and f.

चर्च-रोसर प्रमेयांच्या परिणामी, दोन अभिव्यक्ती e आणि f (βη-)परिवर्तनीय असतील जर आणि केवळ जर e आणि f चा एक सामान्य (βη-)घट अस्तित्वात असेल.


If one of them has a normal form then the other has the same.

जर त्यापैकी एकाचे सामान्य रूप असेल तर दुसऱ्याचेही तेच असते.


The rule of conjunction introduction combines derivations of two parts of a conjunction.

संयोजनाच्या परिचयाचा नियम संयोगाच्या दोन भागांच्या व्युत्पत्तींना एकत्र करतो.


From proofs of A and B, we can infer A and B by the rule of conjunction introduction.

A आणि B च्या पुराव्यांवरून, आपण संयोजनाच्या परिचयाच्या नियमानुसार A आणि B चा निष्कर्ष काढू शकतो.


The assumptions upon which the proof of A and B depends are those of the proofs of A and B combined.

A आणि B च्या पुराव्याचे अनुमान, A आणि B च्या एकत्रित पुराव्यांवर अवलंबून असते.


A simple proof can be built from the two rules we have seen so far.

आतापर्यंत पाहिलेल्या दोन नियमांमधून एक सोपा पुरावा तयार केला जाऊ शकतो.


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction from its constituent parts.

संयोजनासाठी परिचय नियम तीन वेळा लागू करून, आम्ही त्याच्या घटक भागांमधून संयोग काढला आहे.


The rule above was called the ∧-introduction rule, since it shows how a formula whose top-level connective is a conjunction can be introduced.

वरील नियमाला ∧-परिचय नियम म्हटले गेले, कारण ते दर्शवते की ज्या सूत्राचा शीर्ष-स्तरीय संयोजक संयोग आहे, तो कसा सादर केला जाऊ शकतो.


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction; in other words it tells us when we can eliminate a conjunction.

याउलट, आपल्याकडे एक नियम आहे जो संयोगाच्या आधारावर आपण काय अनुमान काढू शकतो हे सांगतो; दुसऱ्या शब्दांत, तो आपल्याला सांगतो की आपण संयोग केव्हा वगळू शकतो.


From a proof of A and B we can infer both A and B by the rules of conjunction elimination.

A आणि B च्या पुराव्यावरून, आपण संयोजनाच्या उच्चाटनाच्या नियमांनुसार A आणि B दोन्हीचा निष्कर्ष काढू शकतो.


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

आपल्याकडे दुसरे उदाहरण आहे जे परिचय आणि उच्चाटनाच्या नियमांचा वापर एकत्र करते.


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation, a fact with which we are familiar.

हा पुरावा संयोग कार्याची साहचर्यता दर्शवितो, ही वस्तुस्थिती आहे ज्याची आपल्याला माहिती आहे.


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula (A and B) and C, with the assumption appearing at three different points in the proof.

लक्षात घ्या की ज्या एका गृहितकावर पुरावा अवलंबून आहे ते सूत्र (A आणि B) आणि C आहे, हे गृहितक पुराव्यात तीन वेगवेगळ्या ठिकाणी दिसते.


There is another way in which we can read the elimination rules.

उच्चाटनाचे नियम वाचण्याचा आणखी एक मार्ग आहे.


The elimination rules state that if we can prove A and B then we can prove each of the component formulae.

उच्चाटनाचे नियम सांगतात की जर आपण A आणि B सिद्ध करू शकत असाल तर आपण प्रत्येक घटक सूत्र सिद्ध करू शकतो.


In giving the rules for implication, ⇒, we first take an informal look at what the connective is meant to mean.

निहितार्थासाठी, ⇒, नियम देताना, प्रथम आपण कनेक्टिव्हचा अर्थ काय आहे यावर अनौपचारिक दृष्ट्या विचार करूया.


We think of A ⇒ B as expressing A implies B or that we can deduce B from A.

आम्ही A ⇒ B चा विचार करतो, A म्हणजे B किंवा आपण A वरून B चा निष्कर्ष काढू शकतो.


In other words we would like to conclude A ⇒ B when we have a deduction of B assuming A.

दुसऱ्या शब्दांत, जेव्हा आपल्याकडे A गृहीत धरून B चा निष्कर्ष असतो, तेव्हा आम्हाला A ⇒ B चा निष्कर्ष काढायचा आहे.


What are the assumptions upon which this new proof of A ⇒ B depends?

A ⇒ B च्या या नवीन पुराव्याचे अनुमान काय आहे?


All those on which the proof of B depends, except the assumption A itself.

B चा पुरावा ज्यावर अवलंबून आहे, त्या सर्वांचा, स्वतः A या गृहितकाशिवाय.


The reason that we no longer depend upon A is that A has become the hypothesis in the formula A ⇒ B — this expresses through a formula of the logic that we can deduce B from A.

आम्ही यापुढे A वर अवलंबून नाही, याचे कारण म्हणजे A हे सूत्र A ⇒ B मधील गृहीतक बनले आहे — हे लॉजिकच्या सूत्राद्वारे व्यक्त करते की आपण A वरून B चा निष्कर्ष काढू शकतो.


This is reinforced by the elimination rule for ⇒ which states that given proofs of A and A ⇒ B, we can infer B.

हे ⇒ साठी उच्चाटनाच्या नियमाने अधिक दृढ होते, जे असे नमूद करते की A आणि A ⇒ B चे पुरावे दिल्यावर, आपण B चा निष्कर्ष काढू शकतो.


In other words, we need a proof for arbitrary x.

दुसऱ्या शब्दांत, आपल्याला यादृच्छिक x साठी पुरावा आवश्यक आहे.


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination.

∨ च्या निर्मूलनाचे नियम अस्तित्वात्मक निर्मूलनासाठी खालीलप्रमाणे सूचित करतात.


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

आम्ही A(a), A(b) इत्यादींमधून B चे सर्व वैयक्तिक पुरावे यादृच्छिक x साठी A(x) मधील पुराव्याने बदलून आमचा नियम मिळवतो.


For the first example we assume θ ≡ df ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x).

पहिला उदाहरणार्थ, आम्ही असे मानतो की θ ≡ df ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) ∃x. P(x) आणि हे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करतो की ∃x. Q(x).


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

अनौपचारिकपणे निष्कर्ष स्पष्ट आहे, पण आपण आपल्या प्रणालीत काय करतो?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x) ⇒ P(x) of θ in our proof.

आपल्याकडे एक सार्वत्रिक धारणा आहे, θ, आणि सार्वत्रिक निर्मूलनाचा नियम आपल्याला सांगतो की आपण आपल्या पुराव्यात θ चे कोणतेही उदाहरण P(x) ⇒ P(x) वापरू शकतो.


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

जर आपण अस्तित्वात्मक निर्मूलनाच्या नियमाचे मागासलेले वाचन स्वीकारले, तर आपण अस्तित्वात्मक गृहितक कसे वापरावे हे पाहतो.


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

अस्तित्वात्मक गृहितक ∃x. P(x) वापरण्यासाठी, उदाहरण P(x) वापरा आणि शेवटी नियम (∃E) वापरून हे सोडून द्या.


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1

याप्रमाणे पुढे जात असताना आपल्याकडे P(x) ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) आहे. यावरून आपण निष्कर्ष काढू शकतो ∃x. Q(x) (जरी x गृहितकांपैकी एका मध्ये मुक्त असला तरी — नियमावर (∃I) कोणतेही निर्बंध नाहीत), आणि शेवटी अस्तित्वात्मक निर्मूलनाने आपल्याकडे आहे: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x) ∨ B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x) ⇒ T(x)) ∀x.(B(x) ⇒ T(x))

दुसऱ्या उदाहरणासाठी, असे समजू या की आपण हे गृहितक बनवतो की प्रत्येक वस्तू एकतर सफरचंद किंवा केळी आहे: ∀x.(A(x) ∨ B(x)) आणि सफरचंद आणि केळी दोन्ही चविष्ट आहेत: ∀x.(A(x) ⇒ T(x)) ∀x.(B(x) ⇒ T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

आम्ही दाखवू की सर्व काही चविष्ट आहे, ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y) ∨ B(y)) (A(y) ⇒ T(y)) (B(y) ⇒ T(y))

सार्वत्रिक निर्मूलन नियम तीन वेळा लागू केल्यावर आपल्याकडे (A(y) ∨ B(y)) (A(y) ⇒ T(y)) (B(y) ⇒ T(y)) आहे.


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

आणि नंतर आपण यापैकी दुसऱ्याच्या आधारावर आणि गृहितक A(y) वापरून (⇒E) T(y) चा निष्कर्ष काढू शकतो.


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

त्याचप्रमाणे, आपण B(y) आणि सार्वत्रिक विधानातून T(y) चा निष्कर्ष काढू शकतो आणि नंतर (∨E) लागू करण्यासाठी तयार आहोत.


In the diagram which follows the hypotheses of the central proof are listed vertically.

आकृतीमध्ये जे खालीलप्रमाणे आहे, मध्यवर्ती पुराव्याची गृहितके अनुलंब सूचीबद्ध आहेत.


∀ introduction is then applied, giving . . . ∀x. T(x) (∀I)

नंतर ∀ ची ओळख लागू केली जाते, देत आहे . . . ∀x. T(x) (∀I)


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y) ⇒ ∀x.∃y. A(x, y)

आमचे अंतिम उदाहरण ∃y.∀x. A(x, y) ⇒ ∀x.∃y. A(x, y) च्या पुराव्याशी संबंधित आहे.


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

वाचकांना वरील पृष्ठ 18 वरील चर्चेचा संदर्भ घ्यायला आवडेल.


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

अनुमानाची ओळख देणारा नियम लक्षात घेता, ∃y.∀x. A(x, y) च्या गृहितकावर ∀x.∃y. A(x, y) सिद्ध करणे पुरेसे आहे.


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

आपल्याकडे एक अस्तित्वात्मक गृहितक आहे, म्हणून परिमाणक काढून टाकून आपण नियमानुसार (∃E) त्याऐवजी गृहितक ∀x. A(x, y) वापरू शकतो.


पुस्तक टेबलावर आहे.


तुमचं नाव काय आहे?


मी बाजारात जात आहे.


आज हवामान खूप सुखद आहे.


कृपया मीठ द्या.


कंपनीने एका नवीन उत्पादनाची घोषणा केली.


तो एक अतिशय प्रतिभावान संगीतकार आहे.


The government is working on a new policy.

सरकार नवीन धोरणावर काम करत आहे.


The research team conducted several experiments.

संशोधन टीमने अनेक प्रयोग केले.


Could you please explain the concept in more detail?

कृपया तुम्ही ही संकल्पना अधिक विस्तृतपणे स्पष्ट करू शकाल का?


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटाची कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


आव्हानांवर मात करूनही, ते यशस्वी झाले.


आर्थिक अंदाजानुसार वाढ दर्शविली आहे.


The implications of the decision are far-reaching.

या निर्णयाचे दूरगामी परिणाम आहेत.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

तत्त्वज्ञानाचा वाद वास्तवाच्या स्वरूपावर केंद्रित होता.


The complex system requires careful analysis.

जटिल प्रणालीसाठी काळजीपूर्वक विश्लेषणाची आवश्यकता आहे.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

कंपनीच्या धोरणात्मक योजनेत महत्त्वपूर्ण पुनर्रचना समाविष्ट आहे.


The theoretical framework provides a basis for understanding the phenomenon.

सैद्धांतिक आराखडा या घटनेला समजून घेण्यासाठी आधार देतो.


The intricate details of the project were meticulously documented.

प्रकल्पाचे गुंतागुंतीचे तपशील बारकाईने दस्तऐवजीकरण केले गेले.


The ramifications of climate change are becoming increasingly evident.

हवामान बदलाचे परिणाम अधिकाधिक स्पष्ट होत आहेत.


The system defines statements of the form 'p is a proof of the proposition P'.

ही प्रणाली 'पी हे विधान पी चा पुरावा आहे' या स्वरूपाची विधाने परिभाषित करते.


Central to type theory is the duality between propositions and types.

प्रकार सिद्धांताचे केंद्रस्थान म्हणजे विधाने आणि प्रकारांमधील दुहेरीपणा.


A proof of a proposition T can be seen as a member of the type T.

एखाद्या विधानाचे (प्रमेय) टी चे प्रमाण, टी प्रकारातील सदस्य म्हणून पाहिले जाऊ शकते.


Ideas which come from one side of the divide can be re-interpreted on the other.

फरक दर्शवणाऱ्या एका बाजूकडील कल्पना दुसऱ्या बाजूवर पुन: अर्थ लावल्या जाऊ शकतात.


We first present type theory as a logical system.

आम्ही प्रथम प्रकार सिद्धांत एक तार्किक प्रणाली म्हणून सादर करतो.


The chapter begins with an informal examination of what it means for something to be a proof.

हे प्रकरण, एखाद्या गोष्टीचा पुरावा असण्याचा अर्थ काय आहे, याची अनौपचारिक तपासणीने सुरू होते.


We look at the general form that the rules will take.

नियमांचे सामान्य स्वरूप काय असेल, याकडे आपण पाहतो.


With each connective or type forming operation we associate four kinds of rule.

प्रत्येक संयोजक किंवा प्रकार तयार करण्याच्या कार्याशी आम्ही चार प्रकारचे नियम जोडतो.


The familiar rules of introduction and elimination describe how certain propositions can be proved.

ओळखलेले नियम हे वर्णन करतात की विशिष्ट विधाने कशी सिद्ध केली जाऊ शकतात.


From the programming point of view they assert the existence of certain objects.

प्रोग्रामिंगच्या दृष्टिकोनातून, ते विशिष्ट वस्तूंच्या अस्तित्वाची पुष्टी करतात.


To describe a language we need to supply not only the syntax but also to explain how to evaluate programs.

एका भाषेचे वर्णन करण्यासाठी, आपल्याला केवळ वाक्यरचनाच पुरवण्याची आवश्यकता नाही, तर प्रोग्रामचे मूल्यांकन कसे करावे हे देखील स्पष्ट करणे आवश्यक आहे.


The computation rules explain this, with e1 reduces to e2 in one step of computation.

गणन नियम हे स्पष्ट करतात, ज्यात e1 एका गणन टप्प्यात e2 पर्यंत कमी होते.


We also give a formation rule which embodies the syntax of the connective.

आम्ही एक निर्मिती नियम देखील देतो, जो संयोजकाची वाक्यरचना (syntax) व्यक्त करतो.


The formal presentation of the logical rules for propositional calculus is followed by a number of examples.

विधानात्मक कॅल्क्युलससाठी तार्किक नियमांचे औपचारिक सादरीकरणानंतर अनेक उदाहरणे दिली जातात.


After this we introduce the logical notions of universal and existential quantifiers.

यानंतर, आम्ही सार्वत्रिक आणि अस्तित्ववाचक परिमाणांचे तार्किक विचार सादर करतो.


Programming is dependent on the presence of data types such as the booleans.

प्रोग्रामिंग हे डेटा प्रकारांच्या उपस्थितीवर अवलंबून असते, जसे की बुलियन.


Infinite data types are characterised by principles of definition by recursion and proof by induction.

अनंत डेटा प्रकार पुनरावृत्तीद्वारे (recursion) व्याख्या आणि प्रेरणेद्वारे (induction) सिद्धीच्या तत्त्वांद्वारे दर्शविले जातात.


हे दोन्ही मार्ग एकमेकांसोबत जातात.


This recursive characterisation carries over to other types.

हे पुनरावृत्तीचे (recursive) वैशिष्ट्य इतर प्रकारांवरही लागू होते.


The assertion of the identity a = b of two values a and b of type A forms a fundamental atomic proposition.

प्रकार A च्या दोन मूल्यांची (values) ओळख a = b ची खात्री एक मूलभूत अणुविधान (atomic proposition) तयार करते.


The function's domain specifies the input type.

फंक्शनचा डोमेन इनपुटचा प्रकार निर्दिष्ट करतो.


We will examine the rules for the operator.

आम्ही ऑपरेटर्सचे नियम तपासू.


This type is often known as a disjoint union.

या प्रकाराला अनेकदा विच्छिन्न युनियन म्हणून ओळखले जाते.


Pascal does not handle this construction very happily.

पास्कल हे बांधकाम फारसे चांगले हाताळत नाही.


Is there a type-secure way of dealing with such disjoint unions?

अशा विच्छिन्न युनियनशी व्यवहार करण्याचा प्रकार-सुरक्षित मार्ग आहे का?


The identity function is a proof of the implication.

ओळख कार्य हे निहितार्थ सिद्ध करते.


We can deduce that implication is transitive.

आम्ही निष्कर्ष काढू शकतो की निहितार्थ संक्रमणशील आहे.


In general, types have more than one element.

सर्वसाधारणपणे, प्रकारांमध्ये एकापेक्षा जास्त घटक असतात.


हे प्रमाण दोन भाग अदलाबदल करते.


We shall return to the discussion of which proof objects are to be considered to be the same.

आम्ही त्या चर्चेकडे परत येऊ, ज्यात कोणते पुरावे समान मानले पाहिजेत.


Let us consider one relationship between conjunction and disjunction.

चला संयोग आणि विभक्तीमधील एक संबंध विचारात घेऊया.


We defined the negation operator in terms of implication and absurdity.

आम्ही नकार ऑपरेटरला निहितार्थ आणि निरर्थकतेच्या संदर्भात परिभाषित केले.


Show that the following formulas are valid.

खालील सूत्रे वैध आहेत हे दर्शवा.


In this section we introduce the rules which govern the behaviour of the universal and existential quantifiers.

या विभागात, आम्ही सार्वत्रिक आणि अस्तित्ववाचक परिमाणांचे वर्तन नियंत्रित करणारे नियम सादर करतो.


A proof of an existential statement consists of two items.

अस्तित्ववाचक विधानाचा पुरावा दोन गोष्टींचा बनलेला असतो.


A proof will therefore be a transformation or function.

म्हणूनच, पुरावा एक रूपांतरण किंवा कार्य असेल.


This is an analogue, at the level of types, of the rule of λ-abstraction.

प्रकारांच्या स्तरावर, हे λ-एब्स्ट्रॅक्शनच्या नियमाचे अनुरूप आहे.


आम्ही एका विशिष्ट उदाहरणाकडे जातो.


The result of such an application should be the substitution.

अशा अनुप्रयोगाचा परिणाम म्हणजे प्रतिस्थापन असावे.


We will say more about applications of the dependent function space.

आम्ही अवलंबून असलेल्या फंक्शन स्पेसच्या अनुप्रयोगांबद्दल अधिक बोलू.


हे कार्य दोन युक्तिवाद घेते.


This is a fundamental concept in type theory.

हा प्रकार सिद्धांतातील एक मूलभूत संकल्पना आहे.


The curried form makes the function higher order.

कॅरीड स्वरूप कार्याला उच्च क्रम बनवते.


We often call the first representation the uncurried form.

आम्ही बऱ्याचदा पहिल्या प्रतिनिधित्वाला अनकॅरीड स्वरूप म्हणतो.


The functions perform a similar function in the general case.

कार्य सामान्य स्थितीत समान कार्य करतात.


दर्शवा की सूत्रे समतुल्य आहेत.


आम्ही काही मूलभूत प्रकार सादर करतो.


The system we are building here is one in which propositions are identified with types.

आपण येथे तयार करत असलेली प्रणाली एक आहे ज्यामध्ये प्रस्ताव प्रकारांशी ओळखले जातात.


Consider the case in which we want to return one of two results.

अशा प्रकरणाचा विचार करा ज्यामध्ये आम्हाला दोनपैकी एक परिणाम परत करायचा आहे.


We call this the type bool of boolean values.

आम्ही याला बुलियन मूल्यांचा प्रकार bool म्हणतो.


The type bool is simply a finite type containing two values.

प्रकार bool हे फक्त दोन मूल्ये असलेले एक सीमित प्रकार आहे.


प्रकाराची भूमिका संगणकीय आहे.


We eliminate a boolean value by a two-way case switch.

आम्ही दोन-मार्गी केस स्विचद्वारे बुलियन मूल्य वगळतो.


This is stronger than the conventional case switch.

हे पारंपरिक केस स्विचपेक्षा अधिक मजबूत आहे.


'नंतर' किंवा 'अन्यथा' केस निवडली जाते.


Define functions which behave as the disjunction (‘or’) and material implication (‘implies’) operations.

असे कार्य परिभाषित करा जे विभाजन ('किंवा') आणि भौतिक निहितार्थ ('सूचित करते') ऑपरेशन्सप्रमाणे वागतात.


equiv हे कार्य परिभाषित करा.


For n a natural number, the type N n has n elements.

n नैसर्गिक संख्या असल्यास, प्रकार N n मध्ये n घटक असतात.


We have already seen a two element type.

आपण यापूर्वीच दोन घटकांचा प्रकार पाहिला आहे.


Explain how to define the equality function equal n.

समानता कार्य equal n कसे परिभाषित करायचे ते स्पष्ट करा.


The system uses four different notions of equality.

ही प्रणाली समानतेच्या चार वेगवेगळ्या कल्पना वापरते.


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

व्याख्यात्मक समानता ही अक्षरशः ओळखीच्या जवळची आहे.


Convertibility is external to the system.

रूपांतरण प्रणालीच्या बाह्य आहे.


Equality functions return values in the type bool.

समानता कार्ये 'bool' प्रकारात मूल्ये परत करतात.


We compare these different relations in sections 5.7 and 5.8.

आम्ही या वेगवेगळ्या संबंधांची तुलना विभाग ५.७ आणि ५.८ मध्ये करतो.


A truly extensional equality can be added to the system.

खऱ्या अर्थाने विस्तारित समानता प्रणालीमध्ये जोडली जाऊ शकते.


The system can be augmented in a number of ways.

प्रणाली अनेक प्रकारे वाढवता येते.


We look at two means of strengthening it in sections 5.9 and 5.10.

आम्ही ते मजबूत करण्याचे दोन मार्ग विभाग ५.९ आणि ५.१० मध्ये पाहतो.


The notion of a type of types is inconsistent.

प्रकारांच्या प्रकाराची कल्पना विसंगत आहे.


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

आम्ही दर्शवितो की ‘विश्वांचे’ प्रकार कसे जोडले जाऊ शकतात.


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

आम्ही सामान्य यंत्रणा देतो ज्याद्वारे चांगल्या प्रकारे स्थापित प्रकार परिभाषित केले जातात.


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

आम्ही या प्रकरणाचा निष्कर्ष करी हॉवर्ड समरूपतेवर दुसरा दृष्टिक्षेप देऊन करतो.


Derivations depend upon collections of assumptions.

व्युत्पत्ती गृहितकांच्या संकलनावर अवलंबून असतात.


We look at the precise form that these collections take.

आम्ही या संकलनांनी घेतलेल्या अचूक स्वरूपाकडे पाहतो.


A useful exercise is to make an implementation of it.

याची अंमलबजावणी करणे उपयुक्त आहे.


Mathematical notation is a powerful tool.

गणितीय नोटेशन एक शक्तिशाली साधन आहे.


Assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

गृहितके व्युत्पत्तीच्या पानांवर दिसत नाहीत.


There is an ordering of dependency between them.

त्यांच्यामध्ये परस्परावलंबनाची क्रमवारी आहे.


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

आपण समानतेच्या समरूपतेच्या पुराव्याचा पुनर्विचार करू शकतो.


असे समजू या की आम्ही ‘A हा एक प्रकार आहे’ हे सिद्ध केले आहे.


A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

A हा एक प्रकार आहे, a:A b:A I(A, a, b) हा एक प्रकार आहे (IF)


This is different from the type (or formula) formation rules we have seen so far.

हे आपण आतापर्यंत पाहिलेल्या प्रकार (किंवा सूत्र) निर्मिती नियमां(rules) पेक्षा वेगळे आहे.


These take the form . . . is a type . . . is a type . . . is a type (. . . F)

हे . . . एक प्रकार आहे . . . एक प्रकार आहे . . . एक प्रकार आहे (. . . F) असे स्वरूप घेतात.


which means that with these rules alone, we can say what are the formu- las or types of the system independently of which elements occupy those types.

याचा अर्थ असा आहे की, या नियमांमुळे, आपण हे सांगू शकतो की सिस्टमची सूत्रे किंवा प्रकार काय आहेत, त्या प्रकारांमध्ये कोणती घटक(elements) आहेत यावर अवलंबून नाहीत.


The rule ofIformation breaks this rule, since a necessary condition forI(A, a, b) to be a type is thata:A.

Iफॉर्मेशनचा नियम हा नियम मोडतो, कारण I(A, a, b) एक प्रकार होण्यासाठी a:A ही आवश्यक अट आहे.


This means that the rules generat- ing the formulas are inextricably mixed up with the rules for derivations, which explains our decision not to express the syntax of formulas (or types) separately.

याचा अर्थ असा आहे की, सूत्रे तयार करणारे नियम(rules) व्युत्पत्तीच्या नियमांमध्ये(rules) गुंतलेले आहेत, ज्यामुळे आम्ही सूत्रांची(किंवा प्रकारांची) वाक्यरचना(syntax) स्वतंत्रपणे व्यक्त न करण्याचा निर्णय घेतला.


Now, the presence of an element in the typeI(A, a, b) will indicate that the objectsaandbare taken to be equal.

आता, I(A, a, b) प्रकारात घटकाची उपस्थिती दर्शवेल की objects a आणि b समान मानले जातात.


आपण हे कधी निष्कर्ष काढू शकतो?


The objectais equivalent to itself, so Introduction Rule forI a:A r(a) :I(A, a, a) (II)

वस्तू(object) स्वतःच्या समान आहे, म्हणून I साठी ओळख नियम a:A r(a) :I(A, a, a) (II)


We can derive rules which look stronger than this, a subject we defer until the next section.

आम्ही यापेक्षा अधिक मजबूत दिसणारे नियम(rules) तयार करू शकतो, हा विषय आपण पुढील विभागात पाहू.


What is the content of this rule, and more to the point, what is the structure ofr(a)?

या नियमाचा आशय काय आहे, आणि महत्त्वाचे म्हणजे, r(a) ची रचना काय आहे?


This object has no internal structure, and at first sight this seems to render it useless.

या वस्तूची कोणतीही अंतर्गत रचना नाही, आणि पहिल्या दृष्टीक्षेपात हे निरुपयोगी(useless) दिसते.


However, its mere presence can allow us to do things which would not be possible without it — we shall amplify this after we have considered the elimination and computation rules, and especially in our case studies.

परंतु, त्याची उपस्थिती आपल्याला अशा गोष्टी करण्यास अनुमती देऊ शकते ज्या त्याच्याशिवाय शक्य होणार नाहीत — आम्ही हे निर्मूलन(elimination) आणि गणना(computation) नियमांचा विचार केल्यानंतर आणि विशेषतः आमच्या केस स्टडीमध्ये(case studies) वाढवू.


The essence of equality is that equals can be substituted for equals and this is known as Leibnitz’s law, after the logician who coined it.

समानतेचा सार म्हणजे समान गोष्टी समानतेसाठी बदलल्या जाऊ शकतात आणि हे लॉजिशन(logician) ज्याने ते तयार केले, त्याच्या नावावरून लाइबनिझचा नियम म्हणून ओळखले जाते.


Suppose that we have some proofpof a propositionPinvolvinga, and also that we know thatc:I(A, a, b).

असे समजा की आपल्याकडे a चा समावेश असलेल्या P विधानाचा काही पुरावा आहे आणि आपल्याला हे देखील माहित आहे की c:I(A, a, b).


We should be able to infer the proposition 4.10. EQUALITY111 P ′ resulting from us replacingsomeof the occurrences ofainPbyb.

आपण विधान 4.10. EQUALITY111 P ′ काढण्यास सक्षम असावे, जे P मधील a च्या काही घटना b ने बदलल्याने तयार होते.


To capture the idea of substituting forsomeof the occurrences we think ofP as the formula C[a/x, a/y] in whichareplaces two free variablesxandy.

काही घटनांसाठी(occurrences) बदलण्याची कल्पना घेण्यासाठी, आपण P ला C[a/x, a/y] सूत्र मानतो, ज्यामध्ये a दोन मुक्त(free) व्हेरिएबल्स(variables) x आणि y बदलतो.


In the result of our substi- tution we replace the occurrences ofybyb, thus C[a/x, b/y]

आपल्या बदलीच्या(substitution) परिणामी, आम्ही y च्या घटना b ने बदलतो, अशा प्रकारे C[a/x, b/y]


We can of course replaceallthe occurrences ofaby making sure thatxis not free inC.

अर्थात, आपण हे सुनिश्चित करून a च्या सर्व घटना बदलू शकतो की C मध्ये x मुक्त नाही.


We shall use also the informal notationC(a, b) forC[a/x, b/y] when no confusion can result.

जेव्हा कोणताही गोंधळ निर्माण होणार नाही, तेव्हा आम्ही C[a/x, b/y] साठी अनौपचारिक(informal) नोटेशन C(a, b) देखील वापरू.


The system's rules are modified to ensure type safety.

प्रणालीचे नियम प्रकार सुरक्षितता सुनिश्चित करण्यासाठी सुधारित केले जातात.


आम्ही a:A पासून A हा एक प्रकार आहे हे व्युत्पन्न करू शकतो.


The proof proceeds by induction over the derivation of a:A.

a:A च्या व्युत्पत्तीवर प्रवर्तन करून पुरावा पुढे सरकतो.


In a practical system, we would separate these concerns.

एका व्यावहारिक प्रणालीमध्ये, आम्ही या चिंता वेगळ्या करू.


Types of expressions are unique in languages like Pascal.

पास्कल सारख्या भाषांमध्ये अभिव्यक्तीचे प्रकार अद्वितीय आहेत.


The duplication of function space and product types is a problem.

फंक्शन स्पेस आणि उत्पादन प्रकारांची पुनरावृत्ती ही एक समस्या आहे.


The injection operators do not have unique ranges.

इंजेक्शन ऑपरेटरमध्ये अद्वितीय श्रेणी नाहीत.


We remedy this by labeling the injection operators.

आम्ही इंजेक्शन ऑपरेटरला लेबल लावून हे दुरुस्त करतो.


The proof is performed by induction over the derivation of a:A.

a:A च्या व्युत्पत्तीवर प्रवर्तन करून पुरावा सादर केला जातो.


x:A या चलाचा विचार करा.


प्रणाली जोरदारपणे सामान्यीकरण करणारी आहे.


Evaluation of an object of functional type is declined.

फंक्शनल प्रकाराच्या ऑब्जेक्टचे मूल्यांकन नाकारले जाते.


Functions are applied to their arguments.

कार्य त्यांच्या युक्तिवादांवर लागू केले जातात.


We change the definition of the relation '→'.

आम्ही '→' या संबंधाची व्याख्या बदलतो.


One expression reduces to another in a single step.

एका अभिव्यक्तीचे दुसऱ्यामध्ये एकाच चरणात रूपांतर होते.


The system contains the same rules of formation.

प्रणालीमध्ये समान निर्मितीचे नियम आहेत.


This weaker notion of reduction is related to weak head normal form.

कमी केलेली ही संकल्पना कमकुवत हेड नॉर्मल फॉर्मशी संबंधित आहे.


The Church Rosser property fails for it.

चर्च रोसर गुणधर्म यासाठी अयशस्वी होतो.


We modify the system giving a different account of functional abstraction.

आम्ही प्रणालीमध्ये बदल करतो, ज्यामुळे कार्यात्मक अमूर्ततेचा एक वेगळा हिशेब मिळतो.


An alternative is to make a function or combinator definition.

एका फंक्शन किंवा कॉम्बिनेटरची व्याख्या करणे हा एक पर्याय आहे.


आज हवामान सुखद आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदीसाठी जात आहे.


ती खूप प्रतिभावान गायिका आहे.


पुस्तक टेबलावर आहे.


The company announced its quarterly results.

कंपनीने तिमाही निकालांची घोषणा केली.


The government is implementing new policies to boost the economy.

सरकार अर्थव्यवस्थेला चालना देण्यासाठी नवीन धोरणे राबवत आहे.


The research team is working on a new vaccine.

संशोधन टीम नवीन लसीवर काम करत आहे.


He is a highly respected professor in the field of astrophysics.

तो खगोलशास्त्र क्षेत्रात एक अत्यंत प्रतिष्ठित प्राध्यापक आहे.


The project requires a significant investment of time and resources.

या प्रकल्पाला वेळ आणि संसाधनांची महत्त्वपूर्ण गुंतवणूक आवश्यक आहे.


Despite the challenges, they persevered and achieved their goals.

आव्हानांवर मात करूनही, त्यांनी चिकाटीने प्रयत्न केले आणि त्यांचे ध्येय साधले.


The complexities of international trade require careful consideration.

आंतरराष्ट्रीय व्यापारातील गुंतागुंतीच्या बाबींचा विचारपूर्वक विचार करणे आवश्यक आहे.


The algorithm efficiently processes large datasets.

अल्गोरिदम मोठ्या डेटासेटवर कार्यक्षमतेने प्रक्रिया करतो.


The philosophical implications of artificial intelligence are vast.

कृत्रिम बुद्धिमत्तेचे (artificial intelligence) तत्त्वज्ञानात्मक (philosophical) परिणाम खूप मोठे आहेत.


The economic forecast predicts a period of sustained growth.

आर्थिक अंदाजानुसार, सतत वाढीचा कालावधी दर्शविला जातो.


The intricacies of quantum physics continue to fascinate scientists.

क्वांटम भौतिकशास्त्रातील गुंतागुंत शास्त्रज्ञांना आकर्षित करत आहे.


Understanding the nuances of cultural differences is crucial for effective communication.

प्रभावी संवादासाठी सांस्कृतिक फरकांचे बारकावे समजून घेणे आवश्यक आहे.


The company's strategic plan involves a complete restructuring of its operations.

कंपनीच्या धोरणात्मक योजनेत तिच्या कामकाजाची संपूर्ण पुनर्रचना समाविष्ट आहे.


The implications of climate change are far-reaching and demand immediate action.

हवामान बदलाचे परिणाम दूरगामी आहेत आणि त्वरित कारवाईची मागणी करतात.


The development of sustainable energy sources is a key priority for the future.

भविष्यासाठी शाश्वत ऊर्जा स्रोतांचा विकास करणे हे एक महत्त्वाचे प्राधान्य आहे.


जर a→b असेल, तर a↔↔b.


स्वतःशी समानता: a↔↔a.


समरूपता: जर a↔↔b, तर b↔↔a.


संक्रमणशीलता: जर a↔↔b आणि b↔↔c, तर a↔↔c.


पर्यायीकरण: जर a↔↔b आणि c↔↔d, तर a[c/x]↔↔b[d/x].


We saw in the last section that two terms were convertible if and only if they have the same normal form, this means that the relation of convertibility is decidable.

गेल्या विभागात आपण पाहिले की दोन टर्म्स रूपांतरित होऊ शकतात, जर आणि केवळ जर त्यांची सामान्य रूपे समान असतील, याचा अर्थ असा आहे की रूपांतरणाची संबंध निश्चित करता येतो.


The definition of convertibility is external to the system —a↔↔bis intended to embody the fact that the two expressionsaandbdenote the same object.

रूपांतरणाची व्याख्या प्रणालीच्या बाह्य आहे —a↔↔b चा अर्थ असा आहे की दोन अभिव्यक्ती a आणि b एकाच वस्तूचे प्रतिनिधित्व करतात.


In the light of the characterisation above, we can identify this object as the normal form of the expression, if we wish.

वरील वर्णनानुसार, आपण इच्छित असल्यास, या ऑब्जेक्टला अभिव्यक्तीचे सामान्य रूप म्हणून ओळखू शकतो.


In section 4.11 we introduced the rules of substitution which allow interconvertible expressions to be substituted for each other in derivations of judgements.

विभाग 4.11 मध्ये, आम्ही प्रतिस्थापनाचे नियम सादर केले, जे एकमेकांमध्ये रूपांतरित होणाऱ्या अभिव्यक्तींना निर्णयांच्या व्युत्पत्तीमध्ये एकमेकांसाठी बदलण्याची परवानगी देतात.


This emphasizes the fact that judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions, rather than the expressions themselves.

यामुळे या वस्तुस्थितीवर जोर दिला जातो की निर्णय हे स्वतः अभिव्यक्तींपेक्षा, अभिव्यक्तींद्वारे दर्शविलेल्या वस्तूंसंबंधी असतात.


We shall come back to this important distinction below.

या महत्त्वाच्या फरकावर आपण खाली परत येऊ.


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

‘a↔↔b’ हे सिस्टमचे विधान नसल्यामुळे, आम्ही त्याच्या आधारावर अधिक जटिल विधानं तयार करू शकत नाही.


To do this we turn to our third relation, the identity predicate.

हे करण्यासाठी, आपण आपल्या तिसऱ्या संबंधाकडे, म्हणजे आयडेंटिटी प्रेडिकेटकडे वळतो.


As a primitive proposition (or type) forming operator we have the I operation, forming a type thus: A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

एक आदिम विधान (किंवा प्रकार) तयार करणारा ऑपरेटर म्हणून, आपल्याकडे I ऑपरेशन आहे, जे खालीलप्रमाणे एक प्रकार तयार करते: A हा एक प्रकार आहे a:A b:A I(A, a, b) हा एक प्रकार आहे (IF)


The type is also writtena= A bor evena=bwhen no confusion can result.

हा प्रकार a= A b किंवा a=b असाही लिहिला जातो, जेव्हा कोणतीही शंका निर्माण होत नाही.


I(A, a, b) is provable, by the objectr(a), whena↔↔b, so we can see the type as an internalisation of convertibility.

I(A, a, b) हे ऑब्जेक्ट r(a) द्वारे सिद्ध करता येते, जेव्हा a↔↔b, त्यामुळे आपण या प्रकाराला रूपांतरक्षमतेचे अंतर्गत स्वरूप म्हणून पाहू शकतो.


On top of the Itype we can build more complex assertions, such as (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) wherefandgare functions of typeA⇒B.

I प्रकाराच्या वर, आपण अधिक जटिल विधानं तयार करू शकतो, जसे की (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) जेथे f आणि g हे A⇒B प्रकाराचे कार्य आहेत.


Proof that I is the internalisation of ‘↔↔’ is given by the result Theorem 5.22For closedaandb, the judgementI(A, a, b) is derivable if and only ifa↔↔b.

I हे ‘↔↔’ चे अंतर्गत स्वरूप आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, प्रमेय 5.22 चा वापर केला जातो. बंद a आणि b साठी, I(A, a, b) हे विधान सिद्ध करता येते, जर आणि केवळ जर a↔↔b.


The expressionx= A ydenotes a proposition or type of the system.

अभिव्यक्ती x= A y प्रणालीचे विधान किंवा प्रकार दर्शवते.


In order to test for identity in a computation we require a function or operation which returns not a type but rather a valueT rueorF alseof boolean type.

गणनेत आयडेंटिटीची चाचणी घेण्यासाठी, आपल्याला एक असे कार्य किंवा ऑपरेशन आवश्यक आहे जे प्रकाराऐवजी, बुलियन प्रकाराचे मूल्यT rue किंवा F alse परत करते.


The identity function is defined for all ‘small’ types uniformly.

ओळख कार्य सर्व 'लहान' प्रकारांसाठी एकसारखे परिभाषित केले आहे.


(∃A:U 0 ). P(A) सारखा प्रकार विचारात घ्या.


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 and p:P(A).

ते वस्तूंच्या जोड्या आहेत (A, p), A:U 0 आणि p:P(A).


Suppose we have defined P(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A).

असे समजा की आम्ही P(A) (A⇒A)∧(A⇒A) असे परिभाषित केले आहे.


An object of this type is equivalent to an implementation of an abstract type.

या प्रकारची वस्तू अमूर्त प्रकाराच्या अंमलबजावणीच्या समतुल्य आहे.


We shall have more to say about quantified types in the following chapter.

पुढील अध्यायात आम्ही परिमाणित प्रकारांबद्दल अधिक बोलू.


The introduction rule explains what objects are permitted to be elements of the type.

परिचय नियम स्पष्ट करतो की कोणत्या वस्तू प्रकाराचे घटक बनण्याची परवानगी आहे.


It is the closure axioms for a type A which allow us to prove properties for all elements of A.

एखाद्या प्रकारासाठीचे क्लोजर axioms A जे आपल्याला A च्या सर्व घटकांसाठी गुणधर्म सिद्ध करण्यास अनुमती देतात.


The rules we have given for universes correspond to introduction rules.

विश्वासाठी दिलेले नियम परिचयांच्या नियमांनुसार आहेत.


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric.

क्लोजर axioms आम्हाला बहुरूपी कार्ये परिभाषित करण्यास अनुमती देतात जी पॅरामेट्रिक होण्यात अयशस्वी होतात.


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types but N.

उदाहरणार्थ, आम्ही असे कार्य परिभाषित करू शकतो जे N वगळता सर्व प्रकारांवर ओळख कार्य होते.


Why do we stop with a chain of universes U 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

जेव्हा नैसर्गिक कार्ये असतात जी सिस्टममध्ये परिभाषित केली जाऊ शकत नाहीत, तेव्हा आपण U 0 , U 1 , . . . विश्वांच्या साखळीवर का थांबतो?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of the U n .

लगेच मनात येणारा (λn:N). U n आहे, जे स्पष्टपणे U n पैकी कशातही नाही.


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such as N and tree, and the propositions.

दुसरी संभाव्य दिशा म्हणजे जे प्रकार संच आहेत, जसे की N आणि ट्री, आणि प्रस्ताव वेगळे करणे.


When we first introduced algebraic types in the previous chapter, section 4.9, we described what we meant by an algebraic type.

जेव्हा आम्ही मागील अध्यायात, विभाग 4.9 मध्ये बीजगणितीय प्रकारांची प्रथम ओळख करून दिली, तेव्हा आम्ही बीजगणितीय प्रकाराचा अर्थ काय आहे हे स्पष्ट केले.


A list is either empty, [ ], or can be thought of as having a first element, or head, a and a remainder, or tail, x.

यादी एकतर रिकामी आहे, [ ], किंवा असे मानले जाऊ शकते की त्यात पहिले घटक, किंवा शीर्ष, a आणि उर्वरित, किंवा शेपूट, x आहे.


The double colon ‘::’ is often pronounced ‘cons’.

दुहेरी कोलन ‘::’ चा उच्चार अनेकदा ‘कॉन्स’ असा केला जातो.


Definitions by recursion take the form sum[ ]≡ df 0 sum(a::x)≡ df a+ (sum x).

पुनरावृत्तीनुसार व्याख्या sum[ ]≡ df 0 sum(a::x)≡ df a+ (sum x) हे स्वरूप घेतात.


Elements of lists can have any type, as long as we keep the lists homogeneous.

यादीतील घटकांमध्ये कोणताही प्रकार असू शकतो, जोपर्यंत आपण याद्या एकसारख्या ठेवतो.


Lists form one of the standard data types in functional programming.

याद्या कार्यात्मक प्रोग्रामिंगमध्ये मानक डेटा प्रकारांपैकी एक तयार करतात.


The system does not permit full general recursion to be used, as in an unrestricted form this can lead to non-termination.

ही प्रणाली पूर्ण सामान्य पुनरावृत्ती वापरण्याची परवानगी देत नाही, कारण अनियंत्रित स्वरूपात हे नॉन-टर्मिनेशनकडे (अपूर्ण समाप्ती) नेऊ शकते.


We are already familiar with type theory as a constructive logic.

आम्ही आधीच रचनात्मक तर्कशास्त्र म्हणून प्रकार सिद्धांताशी परिचित आहोत.


Every expression has a defined value; every program terminates.

प्रत्येक अभिव्यक्तीचे (expression) एक निश्चित मूल्य आहे; प्रत्येक प्रोग्राम समाप्त होतो.


We can use the logical system to reason about the properties of programs.

आम्ही प्रोग्राम्सच्या गुणधर्मांबद्दल तर्क करण्यासाठी तार्किक प्रणाली वापरू शकतो.


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

आम्ही कार्यात्मक (functional) भाषा म्हणून T कडे पाहून आपली चर्चा सुरू करतो.


Because the language is terminating, a number of familiar functions, like the function taking the head of a list, need to be defined in novel ways.

कारण भाषा समाप्त होत आहे, यादीच्या शीर्षकासारखी (head) अनेक परिचित कार्ये, नवीन मार्गांनी परिभाषित करणे आवश्यक आहे.


Using the more expressive type system we are able to give the head function its ‘proper’ type, as a function acting over the type of non-empty lists.

अधिक अर्थपूर्ण प्रकार प्रणाली वापरून, आम्ही शीर्ष कार्य (head function) ‘योग्य’ प्रकार देऊ शकतो, जे रिक्त नसलेल्या सूचीच्या प्रकारावर कार्य करते.


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section.

या विभागात, आम्ही नैसर्गिक संख्या आणि सूचींवरील (lists) उदाहरणांवर लक्ष केंद्रित करतो.


Theorem 5.45 shows that anything provably total in PA can be programmed in T0.

प्रमेय ५.४५ दर्शवितो की PA मध्ये जे काही सिद्ध करता येते ते T0 मध्ये प्रोग्राम केले जाऊ शकते.


We could use this characterisation to give functions in T0, but again would argue for the natural nature of the system itself.

आम्ही या वैशिष्ट्याचा वापर T0 मधील कार्ये देण्यासाठी करू शकतो, परंतु पुन्हा प्रणालीच्या नैसर्गिक स्वरूपासाठी युक्तिवाद करू.


First, consider the naive addition algorithm.

प्रथम, साध्या बेरीज अल्गोरिदमचा विचार करा.


This appears to be primitive recursive, except for the fact that the argument a is increased on the recursive call.

हे आदिम पुनरावृत्तीचे (primitive recursive) दिसते, या वस्तुस्थितीशिवाय की पुनरावृत्ती कॉलवर युक्तिवाद 'a' वाढविला जातो.


In other words, we define the functions λa .(add a n) by induction over n.

दुसऱ्या शब्दांत, आम्ही n वर प्रवर्तनाद्वारे (induction) कार्ये λa .(add a n) परिभाषित करतो.


Primitive recursion defines a value at (n+1) from the value at the immediate predecessor n.

आदिम पुनरावृत्ती (primitive recursion) (n+1) वरचे मूल्य, त्वरित पूर्ववर्ती n वरील मूल्यावरून परिभाषित करते.


याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे पॉवर फंक्शन (power function) आहे.


This definition provides an example of a general phenomenon, called course-of-values recursion.

ही व्याख्या कोर्स-ऑफ-व्हॅल्यूज पुनरावृत्ती (course-of-values recursion) नावाच्या सामान्य घटनेचे उदाहरण प्रदान करते.


Using the universes U0, U1, ... we can make definitions of parametric types or propositions by recursion.

U0, U1, ... विश्वांचा (universes) वापर करून, आम्ही पुनरावृत्तीद्वारे पॅरामेट्रिक प्रकार किंवा प्रस्तावनांच्या व्याख्या (definitions) तयार करू शकतो.


Consider the predicate ‘non-zero’ over the natural numbers.

नैसर्गिक संख्यांवरील ‘नॉन-झिरो’ या विधेयकाचा विचार करा.


One way to define it is to use the equality relation over N and say nonzero n.

ते परिभाषित करण्याचा एक मार्ग म्हणजे N वरील समानता संबंध वापरणे आणि नॉनझिरो n म्हणणे.


Given this predicate we can define the type of non-empty lists thus: nelist A.

हे विधान दिल्यावर, आम्ही अशा प्रकारे रिक्त नसलेल्या सूचीचा प्रकार परिभाषित करू शकतो: nelist A.


If the object does not represent a proof, it is not a proof.

जर वस्तू पुरावा दर्शवत नसेल, तर तो पुरावा नाही.


ConjE 2 ला देखील याच प्रकारे विश्लेषण लागू होते.


ImpI p gives a proof of the formula (Imp g f), if p is a proof of f.

जर p हे f चा पुरावा असेल, तर ImpI p हे (Imp g f) सूत्राचा पुरावा देते.


The cases of ConjE and ImpE are difficult.

ConjE आणि ImpE ची प्रकरणे कठीण आहेत.


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

आपण पुरावा तयार करणे सुरक्षित करण्यासाठी अवलंबून असलेल्या प्रकारची प्रणाली वापरू शकतो.


First we define a function proves: proof ⇒ (fmla + dummy).

सुरुवातीला, आपण proves: proof ⇒ (fmla + dummy) हे कार्य परिभाषित करतो.


Then we define the subtypes prf f ≡ df (∃p:proof).(proves p=f).

त्यानंतर, आम्ही उपप्रकार prf f ≡ df (∃p:proof).(proves p=f) परिभाषित करतो.


We can give types to the functions which eliminate conjunctions.

आम्ही संयोगांना दूर करणाऱ्या कार्यांना प्रकार देऊ शकतो.


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

conjE आणि impE कार्यांचा आवश्यक परिणाम म्हणजे संबंधित कन्स्ट्रक्टर लागू करणे.


We know that their application is only permitted when it will take legitimate proofs into a legitimate proof.

आम्हाला माहीत आहे की त्यांचे ऍप्लिकेशन केवळ तेव्हाच अनुमत आहे जेव्हा ते कायदेशीर पुराव्यांना कायदेशीर पुराव्यांमध्ये रूपांतरित करेल.


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors Tr, ConjI and ImpI.

आम्ही ट्र, कॉन्जी आणि इम्पी कार्ये कन्स्ट्रक्टर ट्र, कॉन्जी आणि इम्पीच्या क्रियेनुसार परिभाषित करू शकतो.


The types secproof will only contain legitimate proofs.

secproof प्रकारात केवळ कायदेशीर पुरावे असतील.


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

वर सादर केलेल्या proves, conjE 1 आणि impE कार्यांच्या व्याख्या द्या.


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

प्रकार द्या आणि नंतर tr, conjI आणि impI कार्ये परिभाषित करा.


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs, and that all such proofs are contained therein.

सिद्ध करा की secproof प्रकारात केवळ कायदेशीर पुरावे आहेत आणि असे सर्व पुरावे त्यात समाविष्ट आहेत.


Quantification over the universes U0, . . . , Un, . . . allows us to assert the existence of types with certain properties.

U0, . . . , Un, . . . विश्वांवरील परिमाणीकरण आपल्याला विशिष्ट गुणधर्मांसह प्रकारांचे अस्तित्व दर्शविण्यास अनुमती देते.


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined over lists of numbers.

क्विकसॉर्ट फंक्शन qsort नंबरच्या सूचीवर कसे परिभाषित केले जाऊ शकते हे आपण यापूर्वीच पाहिले आहे.


This parametrisation is possible in a language like Miranda.

मिरांडा सारख्या भाषेत हे पॅरामीट्रायझेशन शक्य आहे.


The examples we have seen so far resemble the parametric polymorphic functions permitted by the Hindley-Milner type system.

आतापर्यंत आपण पाहिलेली उदाहरणे हिंडली-मिलनर प्रकार प्रणालीद्वारे परवानगी असलेल्या पॅरामीट्रिक पॉलिमोर्फिक कार्यांसारखीच आहेत.


In the system T we can express different types.

टी प्रणालीमध्ये, आपण विविध प्रकार व्यक्त करू शकतो.


अनुक्रमणिका श्रेणीच्या बाहेर आहे.


We define the function index to have the type (∀l:[A]).(∀n:N).((n <#l)⇒A).

आम्ही इंडेक्स फंक्शन (∀l:[A]).(∀n:N).((n <#l)⇒A) प्रकाराचे आहे असे परिभाषित करतो.


Given a list l, a natural number n, and a proof that n is smaller than the length of l we return the nth element of l.

दिलेल्या सूची l, नैसर्गिक संख्या n, आणि n, l च्या लांबीपेक्षा लहान आहे, याचा पुरावा दिल्यावर, आम्ही l चा n वा घटक परत करतो.


इंडेक्स कसा परिभाषित केला जातो?


दुसरे आणि तिसरे खंड स्पष्ट आहेत.


पहिलामध्ये काय होत आहे?


It is interesting to see that the definition of index can be made either by induction over N with a subsidiary induction over [A], or vice versa.

हे पाहणे मनोरंजक आहे की इंडेक्सची व्याख्या N वर इंडक्शनद्वारे किंवा [A] वर दुय्यम इंडक्शनद्वारे किंवा उलट केली जाऊ शकते.


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

आता आपण व्हॅल्यू रिकर्शनच्या उदाहरणावर परत येऊ शकतो, कारण आम्ही आवश्यक असलेली सर्व सहाय्यक कार्ये परिभाषित केली आहेत.


Taking a special case of the power function, we have pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2).

पॉवर फंक्शनचे एक विशेष उदाहरण घेतल्यास, pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) आहे.


Transforming this into a list definition, we have g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n].

याला सूची व्याख्येत रूपांतरित केल्यास, g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n] आहे.


The subexpression g! (n+1div2) is informal; index takes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

उपअभिव्यक्ती g! (n+1div2) अनौपचारिक आहे; इंडेक्स तिसरा युक्तिवाद घेतो जो एक पुरावा ऑब्जेक्ट आहे, जो अनुप्रयोगास कायदेशीर बनवतो.


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n).

जर आपण हे दर्शवू शकलो की (n+1div2)<#(g n) तर ॲप्लिकेशन कायदेशीर असेल.


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

हे (0< m)⇒(m div2< m) च्या पुराव्यांवरून येईल जे मानक आहे, आणि #(g n) = (n+ 1)(6.1) जे आपल्याला इंडक्शनद्वारे स्थापित करावे लागेल, त्याच वेळी व्याख्येसह.


Transforming again, we define a function which returns a pair (g n , p n ) where p n proves the assertion (6.1).

पुन्हा रूपांतरित करून, आम्ही एक फंक्शन परिभाषित करतो जे (g n , p n ) हे एक जोडपे परत करते जेथे p n विधान (6.1) सिद्ध करते.


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

(g n) मूल्यावरून निकाल (f n) काढण्यासाठी, आम्ही हेड फंक्शन लागू करतो.


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

हे करण्यासाठी, आपल्याला सूची रिक्त नाही हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे हे लक्षात ठेवा.


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it terminates.

वरील फंक्शनच्या व्युत्पत्तीवरून आपण पाहू शकतो की हे सिस्टम पारंपारिक फंक्शनल प्रोग्रामिंग सिस्टमपेक्षा खूप वेगळे आहे, कारण फंक्शनची व्याख्या या वस्तुस्थितीपासून वेगळी केली जाऊ शकत नाही की ते समाप्त होते.


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values to head and index we could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

खरं तर, हे अगदी अचूक नाही — जर आपण असा दृष्टिकोन स्वीकारला असता जो हेड आणि इंडेक्सला डीफॉल्ट किंवा त्रुटी मूल्ये देतो, तर आम्ही वरील निष्कर्षांशिवाय व्युत्पन्न करू शकलो असतो, परंतु एकदा व्युत्पन्न झाल्यावर आम्हाला हे सिद्ध करावे लागेल की फंक्शनद्वारे परत केलेली मूल्ये ‘ठीक’ आहेत आणि त्रुटी किंवा डीफॉल्ट मूल्ये नाहीत.


Using induction over m:N prove that (m div2)< m for all m >0.

m:N वर इंडक्शन वापरून सिद्ध करा की सर्व m >0 साठी (m div2)< m.


How would you argue that this is definable in type theory?

तुम्ही कसे युक्तिवाद कराल की हे प्रकार सिद्धांतात परिभाषित करता येते?


The function is tail recursive if its definition takes a specific form.

जर या कार्याची व्याख्या एका विशिष्ट स्वरूपात असेल, तर ते कार्य शेपटीतील पुनरावृत्तीचे (टेल रिकर्सिव्ह) आहे.


These functions are called tail recursive because the recursive calls are at the end of the code.

या कार्यांना शेपटीतील पुनरावृत्तीचे (टेल रिकर्सिव्ह) म्हणतात, कारण पुनरावृत्तीचे (रिकर्सिव्ह) कॉल कोडच्या शेवटी असतात.


If the condition is true, we make a recursive call.

जर अट सत्य असेल, तर आपण पुनरावृत्तीचा (रिकर्सिव्ह) कॉल करतो.


We perform a parallel assignment in an imperative pseudo-code.

आम्ही अनिवार्य (इम्परेटिव्ह) छद्म-कोडमध्ये समांतर असाइनमेंट करतो.


This is a tail recursive version of the factorial function.

हे फॅक्टोरियल फंक्शनचे शेपटीतील पुनरावृत्तीचे (टेल रिकर्सिव्ह) स्वरूप आहे.


Every primitive recursive function can be given a tail recursive definition.

प्रत्येक आदिम पुनरावृत्ती (प्रिमिटिव्ह रिकर्सिव्ह) कार्याला शेपटीतील पुनरावृत्तीची (टेल रिकर्सिव्ह) व्याख्या दिली जाऊ शकते.


The idea is that the last argument starts off at c.

कल्पना अशी आहे की, शेवटचा युक्तिवाद 'c' पासून सुरू होतो.


The result is a corollary of the following theorem.

याचा परिणाम खालील प्रमेयाचा उपप्रमेय आहे.


The first three arguments are not modified in the recursive calls.

पहिला तीन युक्तिवाद पुनरावृत्तीच्या (रिकर्सिव्ह) कॉलमध्ये सुधारित केले जात नाहीत.


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function.

उपप्रमेय कोणत्याही आदिम पुनरावृत्ती (प्रिमिटिव्ह रिकर्सिव्ह) कार्याचे रूपांतरण (ट्रान्सफॉर्मेशन) समर्थन करते.


A functional program can form an intermediate step in the development of an imperative program.

एक फंक्शनल प्रोग्राम अनिवार्य (इम्परेटिव्ह) प्रोग्रामच्या विकासासाठी एक मध्यवर्ती (इंटरमिजिएट) पायरी तयार करू शकतो.


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

जर आपण कोणताही अनिवार्य (इम्परेटिव्ह) प्रोग्राम घेतला, तर त्याचे फंक्शनल स्वरूप असेल.


सिस्टम जोरदारपणे सामान्यीकरण (स्ट्राँग नॉर्मलायझिंग) करत आहे.


दोन स्पष्ट पर्याय आहेत.


Strict evaluation is the norm for imperative languages.

सख्त मूल्यांकन अनिवार्य (इम्परेटिव्ह) भाषांसाठी एक सामान्य गोष्ट आहे.


Under this discipline, the arguments are evaluated fully.

या शिस्तीनुसार, युक्तिवादांचे पूर्ण मूल्यांकन केले जाते.


The type of a function is but one aspect of its specification.

एका कार्याचा प्रकार (टाईप) हे त्याच्या वैशिष्ट्याचे (स्पेसिफिकेशन) एक पैलू आहे.


The result is ordered and a permutation of the list.

परिणाम क्रमाने (ऑर्डर) आहे आणि सूचीची (लिस्ट) पुनर्रचना (परम्युटेशन) आहे.


We conceive of specifications as statements.

आम्ही वैशिष्ट्यांचा (स्पेसिफिकेशन्स) विचार विधानांप्रमाणे करतो.


This would be obvious to a constructivist.

हे एक रचनावादी (कन्स्ट्रक्टिव्हिस्ट) व्यक्तीला स्पष्ट होईल.


Since the logic is typed, this minimum of type information must be retained to ensure the well-formedness of propositions.

तर्क टाइप केलेला असल्यामुळे, विधानांची सुस्थिती सुनिश्चित करण्यासाठी या किमान प्रकारची माहिती राखणे आवश्यक आहे.


An example of a ‘proof-less’ derivation of (∀x:A).(∃y:B). P from (∃y:B).(∀x:A). P follows.

(∀x:A).(∃y:B). P चे (∃y:B).(∀x:A). P मधून ‘प्रूफ-लेस’ व्युत्पत्तीचे उदाहरण खालीलप्रमाणे आहे.


The derivation can now have the proof object extracted from it, if we name pand q the proofs of (∃y:B).(∀x:A). Pand (∀x:A). P which are assumed to exist.

जर आपण (∃y:B).(∀x:A). P आणि (∀x:A). P च्या पुराव्यांना p आणि q असे नाव दिले, जे अस्तित्वात आहेत असे मानले जाते, तर व्युत्पत्तीमधून पुरावा ऑब्जेक्ट काढला जाऊ शकतो.


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

नैसर्गिक संख्यांसारख्या डेटा प्रकारांचा समावेश असलेल्या निष्कर्षांपर्यंत आम्ही हे पुरावा-विरहित व्युत्पन्न वाढवू शकतो.


Obviously the introduction rules still need to mention the elements of N, and so are unchanged, but we can restate the (N E) rule thus:

स्पष्ट आहे की, परिचयांच्या नियमांना अजूनही N च्या घटकांचा उल्लेख करणे आवश्यक आहे, आणि त्यामुळे ते अपरिवर्तित आहेत, परंतु आम्ही (N E) नियम खालीलप्रमाणे पुन्हा सांगू शकतो:


An example we might prove thus is (∀n:N).(0< f ac n) where the proposition (m < n) was first defined in section 6.1.2, and f ac has the definition f ac0 ≡ df 1 f ac(n+ 1) ≡ df (n+ 1)*(f ac n)

उदाहरणार्थ, आपण (∀n:N).(0< f ac n) सिद्ध करू शकतो, जेथे विधान (m < n) प्रथम विभाग 6.1.2 मध्ये परिभाषित केले गेले होते, आणि f ac ची व्याख्या f ac0 ≡ df 1 f ac(n+ 1) ≡ df (n+ 1)*(f ac n) आहे.


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1), which is itself trivially derivable.

आपल्याला प्रथम (0<1) व्युत्पन्न करणे आवश्यक आहे जे (0< n+ 1) चे एक विशेष प्रकरण आहे, जे स्वतःच सहजपणे व्युत्पन्न करता येते.


In the second case we have to derive (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1))) for which, using the rules (∀I) and (⇒I) top-down, it is sufficient to derive (0< f ac(n+ 1)) on the assumption that n:N and (0< f ac n).

दुसऱ्या प्रकरणात, आपल्याला (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1))) व्युत्पन्न करणे आवश्यक आहे, ज्यासाठी, नियम (∀I) आणि (⇒I) टॉप-डाउन वापरून, हे व्युत्पन्न करणे पुरेसे आहे (0< f ac(n+ 1)) या गृहितकावर की n:N आणि (0< f ac n).


Since f ac(n+ 1) is the product (n+ 1)*(f ac n) and as it is a standard result (and exercise!) that a product of positive numbers is positive, the result is derived.

f ac(n+ 1) हे उत्पादन (n+ 1)*(f ac n) आहे आणि हा एक प्रमाणित परिणाम (आणि व्यायाम!) आहे की सकारात्मक संख्यांचे उत्पादन सकारात्मक आहे, म्हणून परिणाम साधला जातो.


Give ‘proof-less’ derivations of the formulas (B∨C)⇒¬(¬B∧¬C), A⇒¬¬A and (¬A∨¬B)⇒¬(A∧B), and from your derivations extract the corresponding proof objects.

(B∨C)⇒¬(¬B∧¬C), A⇒¬¬A आणि (¬A∨¬B)⇒¬(A∧B) या सूत्रांचे ‘प्रूफ-लेस’ व्युत्पन्न द्या आणि तुमच्या व्युत्पत्तीतून संबंधित पुरावे ऑब्जेक्ट्स काढा.


Find a ‘proof-less’ derivation of the formula (∀x:X).(A⇒B)⇒((∃x:X). A⇒(∃x:X). B) and extract a proof object from the derivation.

(∀x:X).(A⇒B)⇒((∃x:X). A⇒(∃x:X). B) या सूत्राचे ‘प्रूफ-लेस’ व्युत्पन्न शोधा आणि व्युत्पत्तीतून पुरावा ऑब्जेक्ट काढा.


Formalise the ‘proof-less’ derivation of the fact that all values of f ac are positive, assuming the lemma on multiplication, and give the proof object that it generates.

गुणाकारावरील प्रमेय गृहीत धरून, f ac ची सर्व मूल्ये सकारात्मक आहेत या वस्तुस्थितीचे ‘प्रूफ-लेस’ व्युत्पन्न औपचारिक करा आणि ते तयार करते तो पुरावा ऑब्जेक्ट द्या.


Making a suitable definition of the multiplication operation ‘∗’ over N, give a ‘proof-less’ derivation of the lemma that a product of positive numbers is positive.

N वर गुणाकार ऑपरेशन ‘∗’ ची योग्य व्याख्या करून, या प्रमेयाचे ‘प्रूफ-लेस’ व्युत्पन्न द्या की सकारात्मक संख्यांचे उत्पादन सकारात्मक आहे.


This section addresses the problem of the Polish National Flag, which is an inessential simplification of the problem of the Dutch National Flag.

हा विभाग पोलिश राष्ट्रीय ध्वजाच्या समस्येचे निराकरण करतो, जी डच राष्ट्रीय ध्वजाच्या समस्येचे एक अनावश्यक सरलीकरण आहे.


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

आमचा दृष्टिकोन [NPS90] मधील दृष्टिकोनापेक्षा दोन प्रकारे वेगळा आहे.


First, we express the specification in a different way, so as to separate the computational from the proof-theoretic; secondly, we eschew the use of the subset type.

पहिले, आम्ही तपशील एका वेगळ्या पद्धतीने व्यक्त करतो, जेणेकरून गणनात्मक आणि पुरावा-सिद्धांत वेगळे करता येतील; दुसरे म्हणजे, आम्ही सबसेट प्रकाराचा वापर टाळतो.


We shall discuss this type in some detail in chapter 7.

या प्रकारावर आपण अध्याय 7 मध्ये तपशीलवार चर्चा करू.


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

आम्ही ‘समीकरण’ नोटेशनचा देखील वापर करतो जे बहुतेक फंक्शनल प्रोग्रामिंग भाषांमध्ये वापरल्या जाणाऱ्या नोटेशनच्या जवळ आहे.


We assume that the colours are represented by the boolean type, bool (which we shall abbreviate C, for colour), with the value True representing the colour red.

आम्ही असे मानतो की रंग बुलियन प्रकार, bool (ज्याला आम्ही रंग C म्हणून संक्षिप्त करू), ज्यामध्ये True हे लाल रंगाचे प्रतिनिधित्व करते, द्वारे दर्शविले जातात.


One way to express the specification of the problem is then to say (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allWhite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ )) (6.5)

या समस्येचे तपशील व्यक्त करण्याचा एक मार्ग म्हणजे (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allWhite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ )) (6.5) असे म्हणणे.


आज हवामान खूप छान आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदी करायला जात आहे.


The company announced a new product launch.

कंपनीने नवीन उत्पादन सुरू करण्याची घोषणा केली.


तो एक अतिशय प्रतिभावान संगीतकार आहे.


The government is working on new policies.

सरकार नवीन धोरणांवर काम करत आहे.


The research team conducted several experiments.

संशोधन टीमने अनेक प्रयोग केले.


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटाची कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


The economic forecast predicts a recession.

आर्थिक अंदाजानुसार मंदी येण्याची शक्यता आहे.


The complex system requires careful analysis.

गुंतागुंतीच्या प्रणालीसाठी काळजीपूर्वक विश्लेषण आवश्यक आहे.


आव्हानांवर मात करूनही, ते यशस्वी झाले.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

कोरमअभावी सभा तहकूब करण्यात आली.


The project's success depended on meticulous planning.

प्रकल्पाचे यश सूक्ष्म नियोजनावर अवलंबून होते.


तो त्याच्या नाविन्यपूर्ण कल्पनांसाठी ओळखला जातो.


The company's profits increased significantly this quarter.

या तिमाहीत कंपनीचा नफा लक्षणीय वाढला.


The data analysis revealed interesting patterns.

डेटा विश्लेषणातून मनोरंजक नमुने समोर आले.


न्यायाधीशांनी योग्य निर्णय दिला.


The team worked collaboratively to achieve the goal.

लक्ष्य साध्य करण्यासाठी टीमने एकत्रितपणे काम केले.


The impact of climate change is becoming increasingly evident.

हवामान बदलाचा प्रभाव अधिकाधिक स्पष्ट होत आहे.


The intricate design required specialized tools.

गुंतागुंतीच्या डिझाइनसाठी विशेष साधनांची आवश्यकता होती.


सत्यापनची प्रक्रिया वेगळी केली जाते.


We did this above by a simple series of transformations.

वर नमूद केल्याप्रमाणे, आम्ही हे साध्या बदलांच्या मालिकेद्वारे केले.


In general, simply naming the function we aim to compute and writing the specification and derivation in terms of that function can achieve the desired effect.

सर्वसाधारणपणे, ज्या कार्याची गणना करायची आहे त्याचे नाव देऊन आणि त्या कार्यासंबंधी तपशील आणि व्युत्पत्ती (derivation) लिहून, इच्छित परिणाम साधता येतो.


This approach seems to achieve the separation between the logical and the computational to the appropriate degree, without introducing the subset type.

हा दृष्टिकोन, उपसंच प्रकार (subset type) सादर न करता, तार्किक आणि संगणकीय (computational) घटकांमधील योग्य प्रमाणात विभाजन साधतो.


We have found no example in the literature which is not amenable to this kind of treatment.

आम्हाला साहित्यात असे एकही उदाहरण सापडले नाही जे या प्रकारच्या उपचारास योग्य नाही.


Using the subset type to represent a subset brings problems.

उपसंच (subset) दर्शविण्यासाठी उपसंच प्रकार वापरल्यास समस्या येतात.


It is not possible in general to recover the witnessing information from a subset type.

सर्वसाधारणपणे, उपसंच प्रकारातून साक्षीदार माहिती (witnessing information) पुनर्प्राप्त करणे शक्य नाही.


In these cases, the existential type should be used, retaining the witnessing information.

अशा परिस्थितीत, अस्तित्वात्मक प्रकार (existential type) वापरला पाहिजे, साक्षीदार माहिती कायम ठेवत.


An important tool for the programmer and the mathematician is the capability to define an equality relation over a class of objects.

प्रोग्रामर (programmer) आणि गणितज्ञासाठी (mathematician) एक महत्त्वाचे साधन म्हणजे वस्तूंच्या वर्गावर समानता संबंध (equality relation) परिभाषित करण्याची क्षमता.


For instance in this account we stipulated that we would consider as the same two expressions which differ only in their bound variables.

उदाहरणार्थ, या स्पष्टीकरणात, आम्ही असे मानले की, जे दोन अभिव्यक्ती (expressions) केवळ त्यांच्या बांधलेल्या चलांमध्ये (bound variables) भिन्न आहेत, त्यांना समान मानले जाईल.


In a program we might choose to represent finite sets by finite lists.

एका प्रोग्राममध्ये, आम्ही मर्यादित संचांचे (finite sets) प्रतिनिधित्व मर्यादित सूचींद्वारे (finite lists) निवडू शकतो.


By taking as equal those lists which have the same elements, irrespective of their multiplicity or ordering.

ज्या सूचींमध्ये समान घटक आहेत, त्यांची संख्या किंवा क्रम विचारात न घेता, त्यांना समान मानून.


In both cases we can be seen to define a new type by taking the quotient of a type by an equivalence relation.

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, आम्ही एका प्रकाराचा (type) भागाकार (quotient) समतुल्यता संबंधाने (equivalence relation) घेऊन एक नवीन प्रकार परिभाषित करू शकतो.


These types are a part of the Nuprl system.

हे प्रकार नुप्रल प्रणालीचा (Nuprl system) एक भाग आहेत.


We start with an exposition of the quotient type adapted to the context of TT.

आम्ही टीटीच्या संदर्भात (context of TT) रूपांतरित भागाकार प्रकाराच्या (quotient type) प्रदर्शनाने सुरुवात करतो.


The introduction rule breaks unicity of typing.

परिचय नियम टायपिंगची (typing) विशिष्टता (unicity) मोडतो.


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

जर आपण भागाकार प्रकारावर (quotient type) एक कार्य (function) परिभाषित केले, तर समतुल्य घटकांवरील (equivalent elements) मूल्य समान असणे आवश्यक आहे.


The elimination rule for the quotient type must reflect this.

भागाकार प्रकारासाठी (quotient type) निर्मूलन नियमाने (elimination rule) हे प्रतिबिंबित केले पाहिजे.


There is no separate computation rule for the quotient type.

भागाकार प्रकारासाठी (quotient type) कोणतीही स्वतंत्र गणना (computation) नसते.


This has the effect of allowing equivalent elements to be substituted for equivalents in any context.

यामुळे कोणत्याही संदर्भात समतुल्य घटकांना (equivalent elements) समतुल्यांसाठी (equivalents) बदलण्याची परवानगी मिळते.


If an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

जर युक्तिवाद k संगणकीयदृष्ट्या अप्रासंगिक असेल, तर त्याचे मूल्यांकन प्रोग्रामची कार्यक्षमता कमी करेल.


Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

ज्या मूल्यांकनात आपण नेहमी सर्वात डावीकडील बाहेरील रेडेक्स निवडतो, त्याला सामान्य क्रम मूल्यांकन म्हणतात.


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

आळशी मूल्यांकनाखाली, संगणकीयदृष्ट्या अप्रासंगिक वस्तू किंवा संरचित वस्तूंचे घटक दुर्लक्षित केले जातील.


This is exactly the role played by these types in the definition of the head function.

हेच या प्रकारांद्वारे हेड फंक्शनच्या व्याख्येत बजावले जाते.


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

जर आपण l ला एक पुरावा p जो l रिक्त नाही, यासह जोडू शकत असेल तरच hd चा l सूचीवर वापर करणे शक्य आहे.


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

आपण गुणधर्म B सह प्रकार A च्या वस्तूंचा संग्रह कसा दर्शवायला हवा?


According to the principle of complete presentation, we would form the type (∃x:A). B.

संपूर्ण सादरीकरणाच्या तत्त्वानुसार, आम्ही (∃x:A). B प्रकार तयार करू.


This has the consequence that we lose the uniqueness of types in the system TT.

याचा परिणाम असा होतो की आम्ही TT प्रणालीमध्ये प्रकारांचे अद्वितीयता गमावतो.


What are the formal rules for the subset type?

उपसमूह प्रकारासाठी औपचारिक नियम काय आहेत?


We can modify the existential elimination rule (∃E) so that the hypothetical judgement c:C is derived assuming some y:B[a/x].

आपण अस्तित्वातील निर्मूलन नियम (∃E) सुधारू शकतो जेणेकरून काल्पनिक निर्णय c:C काही y:B[a/x] गृहीत धरून काढला जाईल.


Since no new operator is added by the elimination rule, there is no computation rule for the subset type.

निर्मूलन नियमाद्वारे कोणताही नवीन ऑपरेटर जोडला नसल्यामुळे, उपसमूह प्रकारासाठी कोणतीही गणना योजना नाही.


This is also evident from the fact that they fail to satisfy the inversion principle.

हे या वस्तुस्थितीवरून देखील स्पष्ट होते की ते व्यस्त तत्त्व पूर्ण करण्यात अयशस्वी ठरतात.


The first simply uses subset introduction, whilst the second shows that if we are able to derive membership of a subset type then implicit in that derivation is a proof that the element has the property required of it.

पहिला फक्त उपसमूह सादर करतो, तर दुसरा दर्शवितो की जर आपण उपसमूहाचे सदस्यत्व काढण्यास सक्षम असाल तर त्या व्युत्पत्तीमध्ये एक पुरावा आहे की घटकामध्ये आवश्यक गुणधर्म आहे.


This shows that the rules for subsets are very weak.

हे दर्शविते की उपसमूहांसाठीचे नियम खूपच कमकुवत आहेत.


In the judgement (7.2) the term t witnesses the property P of the objects in the subset type.

निर्णयात (7.2) टर्म t उपसमूह प्रकारातील वस्तूंच्या गुणधर्माचे P साक्षीदार आहे.


The case of the extensional theory is different.

विस्तारवादी सिद्धांताची बाब वेगळी आहे.


This in turn makes it possible to give a derivation of a proof object which contains a number of variables in its hypotheses, yet with these variables not appearing free in the proof object.

यामुळे, पुरावा वस्तूची व्युत्पत्ती देणे शक्य होते, ज्यामध्ये त्याच्या गृहितकांमध्ये अनेक व्हेरिएबल्स असतात, तरीही हे व्हेरिएबल्स पुरावा वस्तूमध्ये मुक्तपणे दिसत नाहीत.


A syntactic characterisation of (some of) the stable formulas was first given by Harrop.

स्थिर सूत्रांचे (काही) वाक्यरचनात्मक वैशिष्ट्यीकरण प्रथम हारोप यांनी दिले.


The proposed resolutions all involve a representation of propositions as distinct from types.

प्रस्तावित निराकरणामध्ये, प्रस्तावनांचे प्रकारांपेक्षा वेगळे प्रतिनिधित्व समाविष्ट आहे.


We would expect that all the rules of constructive logic would remain true when judgements of the form b:B are replaced by others stating B is true.

आपण अपेक्षा करू की जेव्हा b:B स्वरूपाचे निर्णय इतर B सत्य आहे असे सांगून बदलले जातात, तेव्हा रचनात्मक तर्कशास्त्राचे सर्व नियम सत्य राहतील.


The definition of a semigroup involves a set and an associative operation.

अर्धगटाची व्याख्या एक संच आणि सहयोगी क्रिया यांचा समावेश करते.


We can model semigroups as abstract data types.

आपण अर्धगटांचे मॉडेल अमूर्त डेटा प्रकारांप्रमाणे तयार करू शकतो.


An identity element is an element that, when combined with any other element, leaves that element unchanged.

एक आयडेंटिटी घटक म्हणजे असा घटक, जो इतर कोणत्याही घटकासोबत एकत्र केल्यास, त्या घटकाला अपरिवर्तित ठेवतो.


The inverse of an element, when combined with the element, results in the identity element.

एका घटकाचा व्यस्त घटक, घटकासोबत एकत्र केल्यास, आयडेंटिटी घटक मिळवतो.


The text discusses inductive definitions in type theory.

हा मजकूर प्रकार सिद्धांतातील आगमनात्मक व्याख्यांवर चर्चा करतो.


Inductive types are formed when we have a monotonic operation.

आगमनात्मक प्रकार तयार होतात जेव्हा आपल्याकडे एक एकसंध क्रिया असते.


The least fixed point of an operator is a crucial concept.

ऑपरेटरचा सर्वात लहान निश्चित बिंदू ही एक महत्त्वाची संकल्पना आहे.


The text also touches upon co-inductive definitions.

हा मजकूर सह-आगमनात्मक व्याख्यांवर देखील स्पर्श करतो.


Co-inductive definitions deal with greatest fixed points.

सह-आगमनात्मक व्याख्या सर्वात मोठ्या निश्चित बिंदूंशी संबंधित आहेत.


Infinite lists are a key example of co-inductive types.

अनंत सूची हे सह-आगमनात्मक प्रकाराचे एक महत्त्वाचे उदाहरण आहे.


The concept of streams is also discussed.

प्रवाहाची संकल्पना देखील चर्चिली जाते.


Streams are often used to model communication between processes.

प्रक्रिया दरम्यान संवाद मॉडेल करण्यासाठी प्रवाह अनेकदा वापरले जातात.


The text explores partial objects and types.

हा मजकूर अंशतः वस्तू आणि प्रकारांचा शोध घेतो.


Unrestricted recursion can lead to non-terminating computations.

अप्रतिबंधित पुनरावृत्तीमुळे न थांबणाऱ्या गणना होऊ शकतात.


The logical interpretation of such systems is complex.

अशा प्रणालींचे तार्किक स्पष्टीकरण गुंतागुंतीचे आहे.


The text mentions the addition of partial types.

हा मजकूर अंशतः प्रकारांच्या समावेशाचा उल्लेख करतो.


These partial types consist of computations of elements.

हे अंशतः प्रकार घटकांच्या गणनेचे बनलेले आहेत.


The text discusses different notions of functions.

हा मजकूर कार्यांच्या विविध कल्पनांवर चर्चा करतो.


Membership predicates are introduced to reason about termination.

समाप्तीबद्दल तर्क करण्यासाठी सदस्यत्व विधेय सादर केले जातात.


The text also touches upon modelling specific kinds of objects.

हा मजकूर विशिष्ट प्रकारच्या वस्तूंच्या मॉडेलिंगवर देखील स्पर्श करतो.


The theorem demonstrates a fundamental property of semigroups.

प्रमेय अर्धगटांचा एक मूलभूत गुणधर्म दर्शवितो.


If the identity element exists, it is unique.

जर आयडेंटिटी घटक अस्तित्वात असेल, तर तो अद्वितीय आहे.


आता आपण हे औपचारिकपणे सिद्ध करू.


The proof uses the transitivity of equality.

सिद्धता समानतेच्या संक्रमणाचा वापर करते.


व्यस्त (inverses) अद्वितीय आहेत, जर ते अस्तित्वात असतील.


‘?’ ही क्रिया सहयोगी आहे.


The results depend on unpacking the triples.

निष्कर्ष त्रिक (triples) उलगडण्यावर अवलंबून असतात.


Dyckhoff found this difficult in the implementation.

डिकॉफला हे अंमलबजावणीत कठीण वाटले.


अभिगृहीते (axioms) हे स्वरूप घेतील.


अर्धगट (Semigroup) एक प्रकार आहे.


The computation rules show that set, op and assoc behave as projections.

गणना नियम दर्शवतात की सेट, ऑप आणि असोस प्रोजेक्शनप्रमाणे वागतात.


हे नियम प्रमेय सिद्ध करू शकतात.


दोन दृष्टिकोन खूप जवळचे आहेत.


Adding rules may disturb formal properties.

नियम जोडल्याने औपचारिक गुणधर्मांमध्ये बाधा येऊ शकते.


आम्ही यावर अधिक सखोल विचार करू.


What are the types of the projection functions?

प्रक्षेपण कार्यांचे प्रकार काय आहेत?


प्रमेय ७.१९ सिद्ध करा.


This chapter looks at the system as a whole.

हे प्रकरण संपूर्ण प्रणालीकडे पाहते.


We investigate questions about the mathematical foundations.

आम्ही गणिती पायाभूत सुविधांबद्दल प्रश्नांची तपासणी करतो.


We discuss the motivation for developing a model theory.

आम्ही मॉडेल सिद्धांत विकसित करण्याच्या प्रेरणेवर चर्चा करतो.


The theory of constructions is a complex topic.

बांधकामांचा सिद्धांत एक गुंतागुंतीचा विषय आहे.


Mathematics can be developed using this theory.

या सिद्धांताचा वापर करून गणित विकसित केले जाऊ शकते.


The system has a sound combination of logic and programming.

या प्रणालीमध्ये तर्कशास्त्र आणि प्रोग्रामिंगचे चांगले मिश्रण आहे.


I hope you share my enthusiasm for the subject.

मला आशा आहे की तुम्हालाही या विषयाबद्दल उत्साह वाटेल.


तो एक रोमांचक शोध होता.


Additions to the system can increase complexity.

प्रणालीमध्ये भर घातल्यास जटिलता वाढू शकते.


We should be certain before adding a feature.

कोणतेही वैशिष्ट्य जोडण्यापूर्वी आपण खात्री केली पाहिजे.


आज्ञाधारक प्रोग्रामिंग निराशाजनक दिसते.


Functional languages offer a brighter prospect.

कार्यात्मक भाषा अधिक उज्ज्वल भविष्य देतात.


Type theory can provide a single foundation.

प्रकार सिद्धांत एकच पाया देऊ शकतो.


Languages based on type theory will be popular.

प्रकार सिद्धांतावर आधारित भाषा लोकप्रिय होतील.


ही एक जटिल गणितीय संकल्पना आहे.


संशोधन अजूनही सुरू आहे.


मी या विषयाबद्दल उत्सुक आहे.


The algorithm is used in functional programming.

अल्गोरिदमचा वापर कार्यात्मक प्रोग्रामिंगमध्ये केला जातो.


प्रणालीची वैशिष्ट्ये बदलू शकतात.


Many programming languages have a lot of features.

अनेक प्रोग्रामिंग भाषांमध्ये बरीच वैशिष्ट्ये आहेत.


Functional languages have clean semantics.

कार्यात्मक भाषांमध्ये स्वच्छ अर्थशास्त्र आहे.


Type theory supports program development.

प्रकार सिद्धांत प्रोग्राम विकासाचे समर्थन करते.


मला भविष्याबद्दल खात्री आहे.


हा सिद्धांत प्रकार सिद्धांताचा एक प्रकार वापरतो.


This approach has been used in the Edinburgh Logical Framework.

हा दृष्टिकोन एडिनबर्ग लॉजिकल फ्रेमवर्कमध्ये वापरला गेला आहे.


The system is stronger than the Milner type system.

ही प्रणाली मिल्नर प्रकार प्रणालीपेक्षा अधिक मजबूत आहे.


आपण C, A∨B मधून काढू शकतो.


The inversion principle applies to the rules for the existential quantifier.

व्युत्क्रम तत्त्व अस्तित्ववाचक परिमाणाकार नियमां(quantifier)ना लागू होते.


The system is designed to support the top-down construction of derivations.

ही प्रणाली व्युत्पत्तीच्या (derivations) शीर्ष-खाली (top-down) बांधकामास समर्थन देण्यासाठी डिझाइन केलेली आहे.


नुप्रलचा भर तार्किक आहे.


Proofs are constructed in a top-down way.

प्रमाणं (Proofs) शीर्ष-खाली पद्धतीने तयार केली जातात.


ही प्रणाली ML85 पेक्षा काहीशी वेगळी आहे.


It features the strong elimination rules.

यात मजबूत (strong) उच्चाटन नियम (elimination rules) आहेत.


The system also augmented in a number of ways.

या प्रणालीत अनेक प्रकारे वाढ (augment) देखील केली आहे.


This is in part due to the implicit nature of the proof objects.

हे अंशतः पुरावा वस्तूंच्या (proof objects) अंतर्निहित स्वरूपामुळे आहे.


T K हे रचनात्मक संचांचे (constructive sets) सिद्धांत आहे.


The principle of complete presentation is central to type theory.

संपूर्ण सादरीकरणाचे तत्त्व प्रकार सिद्धांतासाठी (type theory) महत्वाचे आहे.


They propose that the system T K should separate the two.

त्यांनी प्रस्तावित केले आहे की प्रणाली T K ने या दोन्हींना वेगळे केले पाहिजे.


Inductive constructions are performed along lines similar to section 7.10.

प्रेरक बांधकाम (Inductive constructions) विभाग 7.10 प्रमाणेच केले जातात.


Another difference between T K and T T is that terms in the former theory can be partial.

T K आणि T T मधील आणखी एक फरक म्हणजे, पूर्वीच्या सिद्धांतातील (theory) संज्ञा (terms) अंशतः असू शकतात.


Reasoning about the sets is performed in a rich logical language.

संचांबद्दलचा युक्तिवाद (Reasoning) एका समृद्ध तार्किक भाषेत केला जातो.


Programs can be extracted from constructive proofs.

रचनात्मक पुराव्यांवरून (constructive proofs) प्रोग्राम काढले जाऊ शकतात.


The realizability approach allows a lot of flexibility.

वास्तववादी दृष्टिकोन (realizability approach) खूप लवचिकतेस (flexibility) परवानगी देतो.


आज हवामान सुखद आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदीसाठी जात आहे.


The company announced a new product launch.

कंपनीने नवीन उत्पादन सुरू करण्याची घोषणा केली.


तो एक अतिशय प्रतिभावान संगीतकार आहे.


The government is working on new policies.

सरकार नवीन धोरणांवर काम करत आहे.


The research paper explores the impact of climate change.

संशोधन निबंध हवामान बदलाच्या परिणामांचे परीक्षण करतो.


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटाची कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


The economic situation is improving gradually.

आर्थिक परिस्थिती हळू हळू सुधारत आहे.


ती अनेक भाषांमध्ये अस्खलित आहे.


The project requires careful planning and execution.

या प्रकल्पासाठी काळजीपूर्वक योजना आणि अंमलबजावणी आवश्यक आहे.


पुढील आठवड्यात बैठक आयोजित केली जाईल.


तो त्याच्या क्षेत्रातील एक प्रसिद्ध तज्ञ आहे.


The data analysis revealed interesting insights.

डेटा विश्लेषणातून मनोरंजक माहिती समोर आली.


The company's profits increased significantly.

कंपनीचा नफा लक्षणीय वाढला.


The complex equation was difficult to solve.

गुंतागुंतीचे समीकरण सोडवणे कठीण होते.


कलाकाराचे काम खूप प्रशंसनीय आहे.


The new technology has revolutionized the industry.

नवीन तंत्रज्ञानाने उद्योगात क्रांती घडवून आणली आहे.


The team worked collaboratively to achieve the goal.

संघाने ध्येय साध्य करण्यासाठी एकत्रितपणे काम केले.


The implications of the decision are far-reaching.

या निर्णयाचे दूरगामी परिणाम आहेत.