The program development process is crucial for software engineering.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ಗೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


Vectors are fundamental in linear algebra.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ.


She enjoys reading books in her free time.

ಅವಳು ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಉಪ್ಪು ಕೊಡುತ್ತೀರಾ?


ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಿದೆ.


ಅವರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ.


The transformation of the code is complex.

ಕೋಡ್‌ನ ರೂಪಾಂತರವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.


The weather forecast predicts rain tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


She is studying the principles of type theory.

ಅವಳು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ.


The research paper explores new concepts.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


ಸಭೆಯು ಮಧ್ಯಾಹ್ನ 2 ಗಂಟೆಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.


The algorithm's efficiency is a key factor.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.


The book discusses various programming paradigms.

ಪುಸ್ತಕವು ವಿವಿಧ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಬಲವಾದ ಪಾಸ್‌ವರ್ಡ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The data is analyzed using statistical methods.

ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


ಯೋಜನೆಯು ನಿಗದಿತ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ ಹಿಂದೆ ಇದೆ.


The company is expanding its operations.

ಕಂಪನಿಯು ತನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿದೆ.


The results of the experiment were inconclusive.

ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದವು.


The concept of well-founded recursion is important.

ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The rule of conjunction introduction combines derivations.

ಸಂಯೋಗ ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ.


From proofs of A and B, we can infer A∧B.

A ಮತ್ತು B ಯ ಪುರಾವೆಗಳಿಂದ, ನಾವು A∧B ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು.


The assumptions for A∧B are those of A and B combined.

A∧B ಗಾಗಿ ಊಹೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ.


A simple proof can be built from the rules we have seen.

ನಾವು ನೋಡಿದ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.


Applying the introduction rule three times, we infer the conjunction.

ಪರಿಚಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


The rule shows how a formula with a conjunction can be introduced.

ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಯಮವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.


We can introduce a conjunction when we have proofs of its parts.

ನಾವು ಅದರ ಭಾಗಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ನಾವು ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು.


Conversely, we have a rule to infer on the basis of a conjunction.

ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಂಯೋಗದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನುಮಾನಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


From a proof of A∧B we can infer both A and B.

A∧B ಯ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ನಾವು A ಮತ್ತು B ಎರಡನ್ನೂ ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು.


We have another example combining introduction and elimination.

ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation.

ಈ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಯೋಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.


The introduction rule states we can infer A∧B from A and B.

ಪರಿಚಯ ನಿಯಮವು ನಾವು A ಮತ್ತು B ಯಿಂದ A∧B ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


The elimination rules state this is essentially the only way.

ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ.


We think of A⇒B as expressing A implies B.

A⇒B ಅನ್ನು A, B ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.


We would like to conclude A⇒B when we have a deduction of B assuming A.

A ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿ B ಯ ಕಡಿತವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಾಗ A⇒B ಅನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.


The assumptions upon which the proof of B depends, except A itself.

B ಯ ಪುರಾವೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಊಹೆಗಳು, A ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.


A has become the hypothesis in the formula A⇒B.

A ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ A⇒B.


Given proofs of A and A⇒B, we can infer B.

A ಮತ್ತು A⇒B ಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು B ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು.


From a proof of the formula B, we can infer the formula A⇒B.

ಸೂತ್ರ B ಯ ಪುರಾವೆಯಿಂದ, ನಾವು ಸೂತ್ರ A⇒B ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು.


In a substantial proof there will be many occurrences of rules.

ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳ ಅನೇಕ ಘಟನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.


ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಆಕರ್ಷಕ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


This book provides an introduction to type theory.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಚಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The author discusses the Curry-Howard isomorphism.

ಲೇಖಕರು ಕರಿ-ಹೋವರ್ಡ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ.


Functional programming and type theory are closely related.

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.


The book is aimed at computer science students.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.


We will explore the concept of dependent types.

ನಾವು ಅವಲಂಬಿತ ವಿಧಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.


ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.


Understanding the nuances requires careful study.

நுணுக்கಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು.


The book covers various examples and case studies.

ಪುಸ್ತಕವು ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


Recursion is a fundamental concept in programming.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The author also discusses the application of type theory.

ಲೇಖಕರು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯದ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ.


The book provides a detailed overview of the subject.

ಪುಸ್ತಕವು ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The formal system is examined from various perspectives.

ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.


The book is suitable for both beginners and experts.

ಪುಸ್ತಕವು ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು ತಜ್ಞರಿಗಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.


The Curry-Howard isomorphism connects logic and programming.

ಕರಿ-ಹೋವರ್ಡ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ.


The text explores the relationship between proofs and programs.

ಪಠ್ಯವು ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


The book delves into the intricacies of type systems.

ಪುಸ್ತಕವು ಟೈಪ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.


The author provides a comprehensive analysis of the topic.

ಲೇಖಕರು ವಿಷಯದ ಸಮಗ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ.


The book is a valuable resource for researchers.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಸಂಪನ್ಮೂಲವಾಗಿದೆ.


The concepts presented require a strong foundation in logic.

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಅಡಿಪಾಯ ಬೇಕು.


The concept of η-reduction is important in lambda calculus.

λ-ಗಣಿತದಲ್ಲಿ η-ಕಡಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


If x is not free in e, then λx.(ex) reduces to η e.

x, e ನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, λx.(ex) η e ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.


The expressions have the same computational behavior.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.


The rule identifies functions with the same behavior.

ಈ ನಿಯಮವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ.


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ η-ಕಡಿತವನ್ನು β-ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಪೂರಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.


We can prove a Church-Rosser theorem for this relation.

ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಚರ್ಚ್-ರೋಸರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.


The rule is read as symmetrical, equating its two sides.

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.


Show that if we write I for λx . x then λx . x(II) λx . xI are both head normal forms.

λx . x ಗಾಗಿ ನಾವು I ಅನ್ನು ಬರೆದರೆ λx . x(II) λx . xI ಎರಡೂ ಹೆಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.


ಪ್ರಮೇಯ 2.10 ರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯ 2.12 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


We can also ask which expressions have the same computational behavior.

ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕೇಳಬಹುದು.


This section introduces convertibility relations.

ಈ ವಿಭಾಗವು ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ.


The relations generate two convertibility relations.

ಸಂಬಂಧಗಳು ಎರಡು ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ.


Two expressions will be convertible if and only if there exists a common reduct.

ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿತವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.


Two functions with normal forms are convertible if and only if they have the same normal form.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.


The untyped λ-calculus is a simple theory of pure functions.

ಟೈಪ್ ಮಾಡದ λ-ಗಣಿತವು ಶುದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ.


It is Turing-complete, exhibiting an equivalence with Turing computability.

ಇದು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್-ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.


One representation of the natural numbers is as the iterators.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ನಿರೂಪಣೆಯೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಕಗಳಾಗಿವೆ.


We need to be able to solve equations of the form f ≡ R f.

f ≡ R f ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬೇಕು.


Each of these expressions has a head normal form.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೆಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.


The simply typed λ-calculus could not be simpler.

ಸರಳವಾಗಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಿದ λ-ಗಣಿತವು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ x ಗಾಗಿ ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ನಿಯಮವು ಹೇಳುವುದಾಗಿದೆ.


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ನಿಯಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

A(a), A(b) ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ B ಯ ಎಲ್ಲಾ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ x ಗಾಗಿ A(x) ನಿಂದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಮ್ಮ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ನಾವು θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ∃x. Q(x) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

ನಾವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, θ, ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿರ್ಮೂಲನದ ನಿಯಮವು ನಮ್ಮ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ θ ನ ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆ P(x)⇒P(x) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

ಅಸ್ತಿತ್ವದ ನಿರ್ಮೂಲನದ ನಿಯಮದ ಹಿಮ್ಮುಖ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆ ∃x ಅನ್ನು ಬಳಸಲು. P(x) , ಉದಾಹರಣೆ P(x) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ವಿಸರ್ಜಿಸಿ (∃E).


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have:

ಈ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ ನಾವು P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ∃x ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು. Q(x) (x ಒಂದು ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ — ನಿಯಮದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ (∃I)), ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವೂ ಸೇಬು ಅಥವಾ ಬಾಳೆಹಣ್ಣು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ: ∀x.(A(x)∨B(x)) ಮತ್ತು ಸೇಬು ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು ಎರಡೂ ರುಚಿಕರವಾಗಿವೆ: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

ನಾವು ಎಲ್ಲವೂ ರುಚಿಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y)) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಊಹೆ A(y) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು T(y) ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು, (⇒E) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ.


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿ B(y) ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ T(y) ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ (∨E) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತೇವೆ.


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

ನಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ಉದಾಹರಣೆಯು ∃y.∀x ನ ಪುರಾವೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

ಓದುಗರು ಮೇಲಿನ ಪುಟ 18 ರಲ್ಲಿನ ಚರ್ಚೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಲು ಬಯಸಬಹುದು.


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

ಅನುಮಾನ ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ∃y.∀x ನ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ∀x.∃y. A(x, y) ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. A(x, y)


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

ನಾವು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ನಾವು ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ (∃E) ಬದಲಿಗೆ ಊಹೆ ∀x ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. A(x, y)


Using (∀E) we have ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E)

(∀E) ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ∀x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. A(x, y) A(x, y) (∀E)


Now, we can deduce ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) using (∀I), since x is not free in the assumptions (and therefore arbitrary).

ಈಗ, ನಾವು ∀x ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು. ∃y. A(x, y) (∀I) (∀I) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ x ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ).


ಪುಸ್ತಕ ಮೇಜಿನ ಮೇಲಿದೆ.


ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರೇನು?


ನಾನು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


ಇವತ್ತು ಹವಾಮಾನ ಬಹಳ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ಬಾಗಿಲು ಮುಚ್ಚಿ.


ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


ಅವನು ತುಂಬಾ ಬುದ್ಧಿವಂತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ.


The government is working on a new policy.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಇದನ್ನು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೇ?


The research team is conducting experiments.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಿದೆ.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The implications of the decision are far-reaching.

ನಿರ್ಧಾರದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


The complex system requires careful analysis.

ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The philosophical debate continues to evolve.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.


The company's financial performance exceeded expectations.

ಕಂಪನಿಯ ಆರ್ಥಿಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ.


The theoretical framework provides a basis for understanding.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟುವಿಕೆಯು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The intricate details of the project were discussed.

ಯೋಜನೆಯ ಜಟಿಲ ವಿವರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಯಿತು.


The implications of quantum entanglement are still being explored.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್‌ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪರಿಶೋಧಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.


The algorithm's efficiency is paramount for large datasets.

ದೊಡ್ಡ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗಿದೆ.


The concept of lambda symbols is used to form functions.

ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.


The expression includes the type of the domain of the function formed.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The rule gives the type of function applications.

ನಿಯಮವು ಕಾರ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


This is precisely the rule of β-reduction.

ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ β-ಕಡಿತದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ.


An actual parameter is substituted for the formal parameter.

ಔಪಚಾರಿಕ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ವಾಸ್ತವಿಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The notation we have given for functions is complete.

ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನೀಡಿದ ಸಂಕೇತವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.


In most cases we shall indicate the type by a subscript.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಉಪಲಿಪಿಯಿಂದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.


Function application is left associative.

ಕಾರ್ಯ ಅನ್ವಯವು ಎಡ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ.


What type operation does ∨ correspond to?

ಯಾವ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ∨ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ?


Given a member q of A we have a corresponding member of A∨B.

A ಯ ಸದಸ್ಯ q ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು A∨B ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


This kind of type is often known as a disjoint union.

ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


Pascal does not handle this construction very happily.

ಪಾಸ್ಕಲ್ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂತೋಷದಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


Is there a type-secure way of dealing with such disjoint unions?

ಅಂತಹ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಪ್ರಕಾರ-ಸುರಕ್ಷಿತ ಮಾರ್ಗವಿದೆಯೇ?


What is the effect of this case statement?

ಈ ಕೇಸ್ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವೇನು?


The last rules we gave were for the type ⊥, the absurd proposition.

ನಾವು ನೀಡಿದ ಕೊನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಪ್ರಕಾರ ⊥ ಗಾಗಿ ಇದ್ದವು, ಅಸಂಬದ್ಧ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ.


This rule says that if we can find a member p of the empty type then our program should abort.

ಖಾಲಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸದಸ್ಯ p ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ನಮ್ಮ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಈ ನಿಯಮ ಹೇಳುತ್ತದೆ.


That completes our second reading of the rules.

ಅದು ನಿಯಮಗಳ ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.


We shall explore the correspondence further in the coming sections.

ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.


We assume throughout this section that we have already derived the various type hypotheses.

ಈ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.


ಇಂದು ಸೂರ್ಯ ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದಾನೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಉಪ್ಪನ್ನು ಕೊಡುವಿರಾ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ನಾನು ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The company announced its quarterly earnings report.

ಕಂಪನಿಯು ತನ್ನ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ ಗಳಿಕೆಯ ವರದಿಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು.


The research team is working on a new project.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ಹೊಸ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.


She is a talented musician and plays the piano beautifully.

ಅವಳು ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರಳು ಮತ್ತು ಪಿಯಾನೋವನ್ನು ಸುಂದರವಾಗಿ ನುಡಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತಿದೆ.


Despite the challenges, they persevered and achieved their goals.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


The conference brought together experts from various fields.

ಸಮ್ಮೇಳನವು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ತಜ್ಞರನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿತು.


He is known for his innovative ideas and creative solutions.

ಅವರು ತಮ್ಮ ನವೀನ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ.


The project requires a significant investment of time and resources.

ಯೋಜನೆಗೆ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ಗಣನೀಯ ಹೂಡಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The company's success is attributed to its strong leadership and dedicated employees.

ಕಂಪನಿಯ ಯಶಸ್ಸಿಗೆ ಅದರ ಬಲವಾದ ನಾಯಕತ್ವ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಪಿತ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳನ್ನು ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.


The complex interplay of factors makes it difficult to predict the outcome.

ಅಂಶಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.


The ancient ruins provide valuable insights into the past.

ಪ್ರಾಚೀನ ಅವಶೇಷಗಳು ಭೂತಕಾಲದ ಬಗ್ಗೆ ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.


The artist's unique style is instantly recognizable.

ಕಲಾವಿದನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.


The economic forecast predicts a period of growth.

ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


The scientific community is constantly seeking new discoveries.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೊಸ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆ.


The intricate design of the building is a testament to the architect's skill.

ಕಟ್ಟಡದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸವು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಯ ಕೌಶಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ವಾದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


This is a fundamental concept in type theory.

ಇದು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The system identifies propositions with types.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ವಿಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ.


ನಾವು ಬೂಲಿಯನ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


The value of 'if b then e else f' is e if b evaluates to True.

'b' ಸತ್ಯವೆಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಿದರೆ, 'if b then e else f' ನ ಮೌಲ್ಯವು 'e' ಆಗಿದೆ.


Consider the case where we want to return one of two results.

ನಾವು ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು ಬಯಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.


The type bool is a finite type containing two values.

ಟೈಪ್ ಬೂಲ್ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವಿಧವಾಗಿದೆ.


These definitions form a template for the definition of any type with a finite set of members.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.


We eliminate a boolean value by a two-way case switch.

ನಾವು ಎರಡು-ದಾರಿ ಕೇಸ್ ಸ್ವಿಚ್ ಮೂಲಕ ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.


The computation rules are if True then c else d -> c.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯಮಗಳು ಹೀಗಿವೆ: ಸತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ c, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ d -> c.


Define functions which behave as the disjunction ('or') and material implication ('implies') operations over the boolean type.

ಬೂಲಿಯನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಭಜನೆ ('ಅಥವಾ') ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೂಚನೆ ('ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ') ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.


For n a natural number, the type Nn has n elements.

n ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, Nn ಪ್ರಕಾರವು n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


We eliminate an element of an n-element type by an n-way case switch.

ನಾವು n-ದಾರಿ ಕೇಸ್ ಸ್ವಿಚ್ ಮೂಲಕ n-ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.


Explain how to define the equality function equaln.

ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು equaln ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.


The successor and predecessor of m n are (m+1)n and (m−1)n.

m n ನ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳು (m+1)n ಮತ್ತು (m−1)n ಆಗಿವೆ.


If we have a one element type, the rules may be specialised.

ಒಂದು ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷಗೊಳಿಸಬಹುದು.


The one element type, >, has a logical interpretation.

ಒಂದು ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರ, >, ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


We have already seen the natural numbers as a base type.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


Natural numbers are either zero or a successor.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಯಾಗಿವೆ.


The proof principle which goes along with primitive recursion is mathematical induction.

ಆರಂಭಿಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಗುವ ಪುರಾವೆ ತತ್ವವೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್.


ಇದು ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ.


The rule of information breaks this rule.

ಮಾಹಿತಿಯ ನಿಯಮವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ.


ವಸ್ತುವೇ ತನಗೆ ಸಮನಾಗಿದೆ.


We can derive rules which look stronger than this.

ನಾವು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.


ಈ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆ ಇಲ್ಲ.


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

ಸಮಾನತೆಯ ಸಾರವೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.


Suppose that we have some proof of a proposition.

ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಕೆಲವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


We should be able to infer the proposition.

ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬೇಕು.


We can of course replace all the occurrences.

ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.


There is one extra refinement in our rule.

ನಮ್ಮ ನಿಯಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಇದೆ.


ಲೈಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.


ನಾವು ಜೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ?


If we eliminate an r(a) we simply return the object d.

ನಾವು r(a) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ವಸ್ತುವನ್ನು d ಎಂದು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ.


The introduction rule means that equality is reflexive.

ಪರಿಚಯ ನಿಯಮ ಎಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯು ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿದೆ.


ಸಮಾನತೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.


ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಇದು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


When we first talked about the different sorts of rule.

ನಾವು ಮೊದಲು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದಾಗ.


ನಾವು ಈಗ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


In a similar way, we can show that for the natural numbers.

ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದು.


Nothing we have specified in the system so far prevents there being a single element at each type.

ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಯಾವುದೂ ಪ್ರತಿ ವಿಧದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಲು ತಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ.


ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.


ನಾವು ಬದಲಿ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.


A rule is derivable if we have derivations.

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.


ಊಹೆಗಳನ್ನು ವಿಸರ್ಜಿಸಬೇಕು.


We expect the rule a:A A is a type should be derivable.

ನಿಯಮ a:A A ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪಡೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ.


ಪುರಾವೆ ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.


ನಾವು A ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


The base case for the induction is the derivation.

ಪ್ರೇರಣೆಗಾಗಿ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.


ನಾವು ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.


We can derive A is a type and B is a type.

ನಾವು A ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು B ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದು.


There are cases for which the rules are inadequate.

ನಿಯಮಗಳು ಸಾಕಷ್ಟಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ.


ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


The first candidate is the rule of ∨-introduction.

ಮೊದಲ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯು ∨-ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ.


ನಾವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.


The judgement (A∨B) is a type can be constructed.

(A∨B) ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.


We shall in fact omit the second premiss.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.


The next rule we look at is existential introduction.

ನಾವು ನೋಡುವ ಮುಂದಿನ ನಿಯಮ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ.


We need to know that the family P is a type.

P ಕುಟುಂಬವು ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.


We make this a third premiss of the rule.

ನಾವು ಇದನ್ನು ನಿಯಮದ ಮೂರನೇ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


The system uses four different notions of equality.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯು ಅಕ್ಷರಶಃ ಗುರುತಿಗೆ ನಾವು ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದೇವೆ.


Convertibility is external to the system.

ಪರಿವರ್ತನೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೊರಗಿನದು.


There are equality functions, which return values in the type bool.

ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಅದು ಬೂಲ್ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


ನಾವು ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ.


A truly extensional equality can be added to the system.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು.


The system can be augmented in a number of ways.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.


The notion of a type of types is inconsistent.

ಪ್ರಕಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

ಪ್ರಕಾರಗಳ 'ವಿಶ್ವ'ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

ನಾವು ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ಕರಿ-ಹೋವರ್ಡ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಎರಡನೇ ನೋಟದೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.


The derivations we construct depend upon collections of assumptions.

ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಊಹೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ.


We look at the precise form that these collections take.

ಈ ಸಂಗ್ರಹಗಳು ಯಾವ ನಿಖರ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


A useful exercise for anyone interested in a formal system is to make an implementation of it.

ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ವ್ಯಾಯಾಮವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು.


Mathematical notation is a powerful tool.

ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವು ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.


The assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

ಊಹೆಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


There is an ordering of dependency between them.

ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಅವಲಂಬನೆಯ ಕ್ರಮವಿದೆ.


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬಹುದು.


ನಾವು A ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


ನಂತರ ನಾವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ವಿಸರ್ಜಿಸಬಹುದು.


ಬೆಕ್ಕು ಚಾಪೆಯ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತಿತ್ತು.


ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರೇನು?


ಇವತ್ತು ಹವಾಮಾನ ಬಹಳ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ಬಾಗಿಲು ಮುಚ್ಚಿ.


ನಾನು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆ ಘೋಷಿಸಿತು.


ನೀವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೇ?


The research paper explores the impact of climate change.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


ಅವಳು ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರಳು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


The government implemented new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿದೆ.


ಅವರು ತುಂಬಾ ದಯಾಳು ವ್ಯಕ್ತಿ.


ನಾಳೆ ಸಭೆ ನಡೆಯಲಿದೆ.


ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಆಗಾಗ್ಗೆ ನವೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ.


The artist's work is displayed in the gallery.

ಕಲಾವಿದನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಗ್ಯಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ.


The complex equation was difficult to solve.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು.


ತಂಡವು ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್ ಗೆದ್ದಿತು.


The book provides a detailed analysis of the topic.

ಪುಸ್ತಕವು ವಿಷಯದ ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The project's success depended on collaboration.

ಯೋಜನೆಯ ಯಶಸ್ಸು ಸಹಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿತ್ತು.


The concept of convertibility is central to the system.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.


Two terms are convertible if and only if they have the same normal form.

ಎರಡು ಪದಗಳು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದವು, ಅವು ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.


The definition of convertibility is external to the system.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೊರಗಿನದು.


Judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions.

ನಿರ್ಣಯಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.


We shall come back to this important distinction below.

ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಈ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

ಏಕೆಂದರೆ ‘a↔↔b’ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆಯಲ್ಲ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


As a primitive proposition (or type) forming operator we have the I operation.

ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರಕಾರ) ರಚಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ನಾವು I ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


The type is also written a = A b or even a = b when no confusion can result.

ಪ್ರಕಾರವನ್ನು a = A b ಅಥವಾ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗದಿದ್ದಾಗ a = b ಎಂದು ಸಹ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


I(A, a, b) is provable, by the object r(a), when a↔↔b.

a↔↔b ಆದಾಗ, I(A, a, b) ಅನ್ನು ವಸ್ತು r(a) ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.


On top of the I type we can build more complex assertions.

I ಪ್ರಕಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.


Proof that I is the internalisation of ‘↔↔’ is given by the result.

I ಯು ‘↔↔’ ನ ಆಂತರಿಕೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.


The expression x = A y denotes a proposition or type of the system.

x = A y ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


An equality function is a boolean valued function which can be used in a computation.

ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು.


An equality function (or equality operation) over the type A is a term equal A of type equal A : A ⇒ A ⇒ bool.

A ಪ್ರಕಾರದ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯ (ಅಥವಾ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ) ಎಂದರೆ equal A : A ⇒ A ⇒ bool ಪ್ರಕಾರದ equal A ಎಂಬ ಪದವಾಗಿದೆ.


Note that one consequence of the definition is that for closed a, b if a↔↔b then equal A a b↔↔True.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ a, b ಗಾಗಿ a↔↔b ಆಗಿದ್ದರೆ equal A a b↔↔True.


A predicate is representable if and only if it is formally decidable.

ಒಂದು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ.


We can prove by induction over the construction of ground types that equality is decidable for them.

ನೆಲದ ಪ್ರಕಾರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅವುಗಳಿಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.


It seems highly unlikely that this is so.

ಇದು ನಿಜವೆಂದು ತೋರುವುದು ಬಹಳ ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ.


For the functional programmer the interest of such a proof is that two expressions which are not prima facie equivalent in fact have the same meaning.

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್‌ಗೆ ಅಂತಹ ಪುರಾವೆಯ ಆಸಕ್ತಿಯೆಂದರೆ, ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.


In order to extend the theory to embrace this kind of equality reasoning, we have radically to modify the theory.

ಸಮಾನತೆಯ ತರ್ಕದ ಈ ರೀತಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


The identity function is defined for all ‘small’ types uniformly.

ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ 'ಸಣ್ಣ' ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.


(∃A:U 0 ). P(A) ನಂತಹ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 and p:P(A).

ಅವು ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿವೆ (A, p), A:U 0 ಮತ್ತು p:P(A).


Suppose we have defined P(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A).

ನಾವು P(A) ಅನ್ನು (A⇒A)∧(A⇒A) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


An object of this type is equivalent to an implementation of an abstract type.

ಈ ಪ್ರಕಾರದ ವಸ್ತುವೆಂದರೆ ಅಮೂರ್ತ ಪ್ರಕಾರದ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


We shall have more to say about quantified types in the following chapter.

ನಾವು ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣಿತ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.


The introduction rule explains what objects are permitted to be elements of the type.

ಪರಿಚಯ ನಿಯಮವು ಯಾವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.


It is the closure axioms for a type A which allow us to prove properties for all elements of A.

ಇದು ಪ್ರಕಾರ A ಗಾಗಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಾಂಶವಾಗಿದ್ದು, A ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric.

ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಾಂಶಗಳು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಲು ವಿಫಲವಾಗುವ ಬಹುರೂಪಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types but N.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, N ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


Why do we stop with a chain of universes U 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರುವಾಗ ನಾವು U 0 , U 1 , . . . ವಿಶ್ವಗಳ ಸರಪಳಿಯೊಂದಿಗೆ ಏಕೆ ನಿಲ್ಲಬೇಕು?


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such as N and tree, and the propositions.

ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ನಿರ್ದೇಶನವೆಂದರೆ, N ಮತ್ತು ಮರಗಳಂತಹ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು.


When we first introduced algebraic types in the previous chapter, section 4.9, we described what we meant by an algebraic type.

ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗ 4.9 ರಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ನಾವು ಏನನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದೇವೆ.


A list is either empty, [ ], or can be thought of as having a first element, or head, a and a remainder, or tail, x.

ಪಟ್ಟಿಯು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, [ ], ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಮುಖ್ಯಸ್ಥ, a ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗ, ಅಥವಾ ಬಾಲ, x.


The list with head a and tail x is written (a::x).

a ಶಿರೋಭಾಗ ಮತ್ತು x ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು (a::x) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.


Definitions by recursion take the form sum[ ]≡ df 0.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು sum[ ]≡ df 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.


Elements of lists can have any type, as long as we keep the lists homogeneous.

ನಾವು ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಪಟ್ಟಿಗಳ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.


Lists form one of the standard data types in functional programming.

ಪಟ್ಟಿಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡೇಟಾ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.


Using lrec define the function map which takes as arguments a function f and a list [a 1 , . . . a n ], and returns the list [f a 1 , . . . f a n ].

lrec ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇದು ವಾದಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯ f ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿ [a 1 , . . . a n ] ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿ [f a 1 , . . . f a n ] ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.


In general, we can think of the elements of any algebraic type as trees.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರಗಳೆಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಬಹುದು.


The system does not permit full general recursion to be used.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮರುಕಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


We are already familiar with type theory as a constructive logic.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ರಚನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕವಾಗಿ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ.


Every expression has a defined value; every program terminates.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


We can use the logical system to reason about the properties of programs.

ನಾವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತರ್ಕಿಸಲು ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

ನಾವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಭಾಷೆಯಾಗಿ T ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.


Because the language is terminating, a number of familiar functions need to be defined in novel ways.

ಭಾಷೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಹಲವಾರು ಪರಿಚಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಸ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


We are able thus to express more precisely the true types of functions.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.


This intermingling of verification and computation is characteristic of type theory.

ಪರಿಶೀಲನೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್‌ನ ಈ ಮಿಶ್ರಣವು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section.

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.


Primitive recursion defines a value at (n+1) from the value at the immediate predecessor n.

ಆರಂಭಿಕ ಮರುಕಳಿಕೆಯು (n+1) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣದ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ n ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.


What do we do when m is out of the range 0, . . . , n−1?

m ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಹೊರಗಿರುವಾಗ ನಾವು ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ 0, . . . , n−1?


The system of types is more expressive than those in common use.

ಟೈಪ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತವಾಗಿದೆ.


We can supply an extra parameter to the function, which is to be returned in the case that the list argument is the empty list.

ನಾವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಬಹುದು, ಇದು ಪಟ್ಟಿ ವಾದವು ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.


The head function can be given the type head 3 : nelist A → A.

ಹೆಡ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಟೈಪ್ ಹೆಡ್ 3 : ನೆಲಿಸ್ಟ್ ಎ → ಎ ನೀಡಬಹುದು.


Two standard functions which we can define without difficulty are the function returning the length of a list, usually written #, and the function which joins two lists together, ++.

ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲದೆ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದರೆ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ # ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ++.


This is not the most natural way to proceed.

ಇದು ಮುಂದುವರಿಯಲು ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ.


The identification of propositions and types, proofs and objects has been fundamental to our investigation so far.

ಪ್ರಸ್ತಾವನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಮ್ಮ ತನಿಖೆಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.


The crucial reduction to ensure ‘directness of proof’ is that embodied in our computation rules.

‘ಪುರಾವೆಯ ನೇರತೆಯನ್ನು’ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಡಿತವು ನಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿದೆ.


We can simply replace all occurrences of (⇒I) by (⇒I) alt.

ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ (⇒I) ನ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳನ್ನು (⇒I) alt ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.


The other class of commutation rules are included in the system studied by Prawitz for more technical reasons.

ಇತರ ವರ್ಗದ ಪರಿವರ್ತನೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಾವಿಟ್ಜ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.


If the object does not represent a proof, it is not a proof.

ವಸ್ತುವೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪುರಾವೆಯಲ್ಲ.


ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ConjE 2 ಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.


ImpI p gives a proof of the formula (Imp g f), if p is a proof of f.

p ಎಂಬುದು f ನ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ImpI p ಸೂತ್ರದ (Imp g f) ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


ImpE p1 p2 is a proof of f if p1 proves g and p2 proves (Imp g f).

p1 ಯು g ಅನ್ನು ಮತ್ತು p2 ಯು (Imp g f) ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ ImpE p1 p2 ಯು f ನ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ.


Some applications of the constructors do not produce proofs.

ನಿರ್ಮಾಣಕಾರರ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

ಪುರಾವೆ ರಚನೆಯನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿಸಲು ನಾವು ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


First we define a function proves: proof ⇒ (fmla + dummy).

ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರೂವ್ಸ್ ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಪುರಾವೆ ⇒ (fmla + ಡಮ್ಮಿ).


Then we define the subtypes prf f ≡ df (∃p:proof).(proves p=f).

ನಂತರ ನಾವು ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ prf f ≡ df (∃p:ಪುರಾವೆ).(ಪ್ರೂವ್ಸ್ p=f).


Using these we can give types to the functions which eliminate conjunctions.

ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

ಕಾರ್ಯಗಳಾದ conjE ಮತ್ತು impE ಯ ಅಗತ್ಯ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ಮಾಣಕಾರನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು.


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors Tr, ConjI and ImpI.

ನಾವು ಟ್ರ್, ಕಾಂಜಿ ಮತ್ತು ಇಂಪಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣಕಾರರಾದ ಟ್ರ್, ಕಾಂಜಿ ಮತ್ತು ಇಂಪಿ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


The types secproof will only contain legitimate proofs.

secproof ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮಾತ್ರ ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಪ್ರೂವ್ಸ್, ಕಾಂಜೆ 1 ಮತ್ತು ಇಂಪಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಟ್ರ್, ಕಾಂಜಿ ಮತ್ತು ಇಂಪಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs, and that all such proofs are contained therein.

secproof ಪ್ರಕಾರವು ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಪುರಾವೆಗಳು ಅದರಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


Quantification over the universes allows us to assert the existence of types with certain properties.

ವಿಶ್ವಗಳ ಮೇಲಿನ ಪರಿಮಾಣೀಕರಣವು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined over lists of numbers.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಿಕ್ಸಾರ್ಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


This parametrisation is possible in a language like Miranda.

ಮಿರಾಂಡಾದಂತಹ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ನಿಯತಾಂಕೀಕರಣ ಸಾಧ್ಯ.


The subtype of sorted elements of [A] is given by Slist(A) ≡ df (∃l:[A]).(sorted l).

[A] ನ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳ ಉಪವರ್ಗವನ್ನು Slist(A) ≡ df (∃l:[A]).(sorted l) ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.


Milner polymorphic types contain free type variables which resemble the A:U0 of the examples above.

ಮಿಲ್ನರ್ ಬಹುರೂಪಿ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಉಚಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ A:U0 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.


Given a listl, a natural numbern,anda proof thatnis smaller than the length oflwe return thenth element ofl.

ಒಂದು ಪಟ್ಟಿl ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆn, ಮತ್ತು n, l ನ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು l ನ n ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ.


ಸೂಚಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ?


ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ.


What is happening in the first?p is a proof that (n <#[ ]) that is (n <0), which is⊥— we can define an element ofAfrompusingabort A .

ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ? p ಎಂಬುದು (n <#[ ]) ಅಂದರೆ (n <0) ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ⊥— ನಾವು abort A ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು p ನಿಂದ A ಯ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


It is interesting to see that the definition ofindexcan be made either by induction overN with a subsidiary induction over [A], orvice versa— the two arguments are independent of each other.

index ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು N ಮೇಲೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ [A] ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ—ಎರಡು ವಾದಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ.


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

ಈಗ ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು.


Taking a special case of thepowerfunction, we have pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) which can be rewritten thus, wherehis a primitive recursive function, pow0≡ df 1 pow(n+ 1)≡ df h(pow(n+1div2))n

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಮರುಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ h ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮರುಕಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, pow0≡ df 1 pow(n+ 1)≡ df h(pow(n+1div2))n


Transforming this into a list definition, we have g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]

ಇದನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನಾವು g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n] ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


The subexpressiong! (n+1div2) is informal;indextakes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

ಉಪ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿg! (n+1div2) ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆ; ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಮೂರನೇ ವಾದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅದು ಪುರಾವೆ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕಾನೂನುಬದ್ಧಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n)

ನಾವು (n+1div2)<#(g n) ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಕಾನೂನುಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

ಇದು (0< m)⇒(m div2< m) ನ ಪುರಾವೆಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು #(g n) = (n+ 1)(6.1) ಇದನ್ನು ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ.


Transforming again, we define a function which returns apair (g n , p n ) wherep n proves the assertion (6.1).

ಮತ್ತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನಾವು (g n , p n ) ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ p n ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು (6.1) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

(g n) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ (f n) ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಾವು ಹೆಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಪಟ್ಟಿ ಖಾಲಿಯಲ್ಲ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ನಮಗೆ ಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.


We can use (6.1) again here to show this, as it states that all the values (g n) have positive length, and so none of them can be empty.

ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ (6.1) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು (g n) ಧನಾತ್ಮಕ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಖಾಲಿಯಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it termi- nates.

ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಾವು ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values toheadandindexwe could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ — ನಾವು ಹೆಡ್ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ ಅಥವಾ ದೋಷ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಲ್ಲದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಒಮ್ಮೆ ಪಡೆದ ನಂತರ ನಾವು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ‘ಸರಿ’ ಮತ್ತು ದೋಷ ಅಥವಾ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.


Exercises 6.11. Using induction overm:Nprove that (m div2)< mfor allm >0.

ಅಭ್ಯಾಸಗಳು 6.11. m:N ಮೇಲೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬಳಸಿ (m div2)< m ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ m >0 ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


6.12. Formalise the derivation of the functionsgandpowabove.

6.12. ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿ.


6.13. Give a proof that for all listslandm, #l+ #m= #(l++m)

6.13. ಎಲ್ಲಾ ಪಟ್ಟಿಗಳು l ಮತ್ತು m ಗಾಗಿ, #l+ #m= #(l++m) ಎಂದು ಪುರಾವೆ ನೀಡಿ.


The logic is typed, this minimum of type information must be retained.

ತರ್ಕವನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಈ ಕನಿಷ್ಠ ರೀತಿಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.


An example of a ‘proof-less’ derivation of (∀x:A).(∃y:B). P from (∃y:B).(∀x:A). P follows.

(∀x:A).(∃y:B). P ನಿಂದ (∃y:B).(∀x:A). P ಯ ‘ಪ್ರೂಫ್-ಲೆಸ್’ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉದಾಹರಣೆ ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ.


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಡೇಟಾ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಈ ಪ್ರೂಫ್-ಲೆಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1), which is itself trivially derivable.

ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು (0<1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು, ಇದು (0< n+ 1) ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ತನ್ನಿಂದ ತಾನೇ ಪಡೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ.


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

[NPS90] ರಲ್ಲಿನ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ನಮ್ಮ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.


The problem, baldly stated, is this: given a sequence of items which are either red or white, return a permuted sequence in which all the red items precede the white.

ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ನೇರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು: ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ಬಿಳಿ ಬಣ್ಣದ ವಸ್ತುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕೆಂಪು ವಸ್ತುಗಳು ಬಿಳಿಯ ಬಣ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಬರುವಂತೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿ.


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

ನಾವು ‘ಸಮೀಕರಣಾತ್ಮಕ’ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇದೆ.


One way to express the specification of the problem is then to say (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ ))

ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ )) ಎಂದು ಹೇಳುವುದು.


What we seek is, in fact, a function which returns the pair of lists (l ′ , l ′′ ) corresponding to eachl, so we modify the specification to read (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l)))

ನಾವು ಹುಡುಕುವುದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ l ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಜೋಡಿ (l ′ , l ′′ ) ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಿವರಣೆಯನ್ನು (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l))) ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.


This pair consists precisely of the function required together with a proof that is has the property required of it.

ಈ ಜೋಡಿಯು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


This is the general form that a specification in type theory should take.

ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಿವರಣೆಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಇದು.


We can prove the statement by giving a term fand proving the formula 6.7.

ನಾವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ನೀಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ 6.7 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.


Alternatively, we can develop the proof from the top down, reducing the existential statement 6.6 to 6.5.

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಹೇಳಿಕೆ 6.6 ಅನ್ನು 6.5 ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.


We transform the program for maxsub beginning with a case analysis.

ನಾವು ಕೇಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ maxsub ಗಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.


Take the argument [ ] maxsub[ ] = ((f old bimax)◦(map ′ sum)◦sublists ′ ) [ ]

ವಾದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ [ ] maxsub[ ] = ((f old bimax)◦(map ′ sum)◦sublists ′ ) [ ]


ಈಗ ನಾವು (a::x) ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ.


The sub-expression indicated is a composition of two map ′ s, so we replace it with map ′ (sum◦((::)a)) (f rontlists ′ x)

ಸೂಚಿಸಲಾದ ಉಪ-ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡು map ′ ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು map ′ (sum◦((::)a)) (f rontlists ′ x) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.


Here we have an interaction between f old and map ′ , and as the conditions of theorem 6.17 apply, we have a+ ( ((f old bimax)◦(map ′ sum)◦f rontlists ′ )x)

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು f old ಮತ್ತು map ′ ನಡುವೆ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 6.17 ರ ಷರತ್ತುಗಳು ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು a+ ( ((f old bimax)◦(map ′ sum)◦f rontlists ′ )x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


We can make these equations a definition of the maxsub function, and it can be seen that its complexity dependent on the length of the list.

ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು maxsub ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.


Our programming focus has been functional in the development so far.

ನಮ್ಮ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಗಮನವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.


The function is tail recursive if its definition takes a specific form.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


These functions are called tail recursive since the recursive calls are in the tail of the code.

ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮರುಕಳಿಸುವ ಕರೆಗಳು ಕೋಡ್‌ನ ಬಾಲದಲ್ಲಿವೆ.


If the condition is true, we make a recursive call which transforms the argument.

ಷರತ್ತು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅದು ವಾದವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.


We perform the parallel assignment and so in an imperative pseudo-code we have while.

ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಆಜ್ಞಾತ್ಮಕ ಸೂಡೋ-ಕೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


This is not an isolated phenomenon; every primitive recursive function can be given a tail recursive definition.

ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿದ್ಯಮಾನವಲ್ಲ; ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಮರುಕಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.


The idea of the transformation is that the last argument starts off at c.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಕೊನೆಯ ವಾದವು c ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.


The result is a corollary of the following theorem.

ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.


Note that in the action of tprim the first three arguments are not modified in the recursive calls.

tprim ನ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮೂರು ವಾದಗಳನ್ನು ಮರುಕಳಿಸುವ ಕರೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function into a tail recursive one.

ಪರಿಣಾಮವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಚೀನ ಮರುಕಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ.


We can prove similar theorems for the other recursion operators in the system.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಇತರ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಆಜ್ಞಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪವಿರುತ್ತದೆ.


However that tail recursion may not be formalizable.

ಆದರೆ ಆ ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


Give tail recursive forms of the recursion operators over lists and trees.

ಪಟ್ಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳ ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವ ರೂಪಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.


Comment on the space efficiency of the tail recursive form of the factorial function.

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಬಾಲ ಮರುಕಳಿಸುವ ರೂಪದ ಸ್ಥಳ ದಕ್ಷತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.


This section provides a survey of examples in the published literature.

ಈ ವಿಭಾಗವು ಪ್ರಕಟಿತ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


In Martin-Löf’s work there are few examples.

ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.


The extensional version of the theory contains a proof of the axiom of choice.

ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಸ್ತರಣಾ ಆವೃತ್ತಿಯು ಆಯ್ಕೆಯ ಅಕ್ಷಿಯ ಪ್ರೂಫ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


A source of many examples is the Programming Methodology Group.

ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲವೆಂದರೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರ ಗುಂಪು.


We shall look at their work later when we look at extensions of the theory.

ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಾವು ನಂತರ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


This chapter contains an account of the proposals concerning ways in which the system may be augmented.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಖಾತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The verification steps are separated for clarity.

ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲನೆ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ.


We used a series of transformations to achieve this.

ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ನಾವು ಸರಣಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.


Naming the function and writing the specification helps.

ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಸರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


This approach separates the logical and computational aspects.

ಈ ವಿಧಾನವು ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ.


We found no examples that couldn't be treated this way.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗದ ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿಲ್ಲ.


ಉಪವಿಭಾಗ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತರಬಹುದು.


It's not always possible to recover witnessing information.

ಸಾಕ್ಷಿ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


Existential types should be used in such cases.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.


Quotient types are important for programmers.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್‌ಗಳಿಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.


We consider expressions the same if they differ only in bound variables.

ಬೌಂಡ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.


Finite sets can be represented by finite lists.

ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಪಟ್ಟಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


We define a new type by taking the quotient of a type.

ಪ್ರಕಾರದ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹೊಸ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


An equivalence relation is reflexive, symmetric, and transitive.

ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ.


The formation rule for A//E x,y is complex.

A//E x,y ಗಾಗಿ ರಚನೆ ನಿಯಮವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.


We have to verify that the predicate is an equivalence relation.

ವಿಶೇಷಣವು ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.


The introduction rule breaks unicity of typing.

ಪರಿಚಯ ನಿಯಮವು ಟೈಪಿಂಗ್‌ನ ಏಕತೆಯನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ.


If a function is defined over a quotient type, the value on equivalent elements has to be equal.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪ್ರಕಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು.


The elimination rule for the quotient type reflects this.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮವು ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.


Equivalent elements are deemed to be equal.

ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


This allows equivalent elements to be substituted.

ಇದು ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


In such a situation, if an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ ವಾದ ಕೆ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


The alternative, of normal order evaluation is to begin evaluation of the whole expression, prior to argument evaluation.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು.


Definition 7.1 Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1 ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಡಭಾಗದ ಹೊರಗಿನ ರೆಡೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


If in addition we ensure that no redex is evaluated more than once we call the evaluation lazy.

ಒಂದು ವೇಳೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ರೆಡೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಸೋಮಾರಿತನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.


In a language with structured data such as pairs and lists, there is a further clause to the definition.

ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಗಳಂತಹ ರಚನಾತ್ಮಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಷರತ್ತು ಇದೆ.


This will usually imply that it is evaluated to weak head normal form.

ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದುರ್ಬಲ ಹೆಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


Recent research has shown that efficient lazy implementations of functional languages like Miranda are feasible.

ಇತ್ತೀಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಮಿರಾಂಡಾದಂತಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಭಾಷೆಗಳ ದಕ್ಷ ಸೋಮಾರಿತನ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸಿದೆ.


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

ಸೋಮಾರಿತನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಅಪ್ರಸ್ತುತ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ರಚನಾತ್ಮಕ ವಸ್ತುಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Indeed, it can be argued that the proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯ ಸರಿಯಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೋಮಾರಿತನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಶಿಸ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಆ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು.


There is another possible approach to computational relevance, and that involves an examination of the different forms that types can take.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನವಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರಕಾರಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.


Since there are no closed normal forms in ⊥ and there is only the trivial T, computation of objects of these types will never be important.

⊥ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ T ಇರುವುದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವಸ್ತುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಎಂದಿಗೂ ಮುಖ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


What is of importance is whether the type is inhabited or not in any particular case.

ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಾರವು ವಾಸಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

ಪಟ್ಟಿ l ಗೆ hd ಯ ಅನ್ವಯವು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ನಾವು l ಅನ್ನು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ p ಯೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ.


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives ∧, ⇒ and ∀.

ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ∧, ⇒ ಮತ್ತು ∀ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಈ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಅಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು.


A different perspective on the topic in the context of the extensional theory is given in section 3.4.

ವಿಸ್ತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ವಿಭಾಗ 3.4 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.


Compute the result of the expression hd((2 :: a), b) using the lazy evaluation strategy discussed above.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೋಮಾರಿತನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ hd((2 :: a), b) ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.


Discuss why combination of formulas by the connectives ∧, ⇒ and ∀ should preserve computational irrelevance.

ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ∧, ⇒ ಮತ್ತು ∀ ಮೂಲಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಗಣಿತದ ಅಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.


Examine the examples of the previous chapter to find cases of computational irrelevance.

ಗಣಿತದ ಅಪ್ರಸ್ತುತತೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

ಗುಣಲಕ್ಷಣ B ಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕಾರ A ಯ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು?


According to the principle of complete presentation, we would form the type (∃x:A). B consisting of pairs of objects and the proofs that they have the property P.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ (∃x:A). ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ P ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ B.


ಇಂದು ಹವಾಮಾನವು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೇ?


I am going to the market to buy some groceries.

ನಾನು ಕೆಲವು ದಿನಸಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವುದಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿತು.


The research team is working on a new project.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ಹೊಸ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.


ಅವರು ತುಂಬಾ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರ.


The meeting will be held tomorrow morning.

ನಾಳೆಯ ಬೆಳಿಗ್ಗೆ ಸಭೆ ನಡೆಯಲಿದೆ.


ಅವಳು ತನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ.


The government is implementing new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತಿದೆ.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


The book provides a comprehensive overview of the subject.

ಪುಸ್ತಕವು ವಿಷಯದ ಸಮಗ್ರ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The project requires careful planning and execution.

ಯೋಜನೆಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The economic situation is improving gradually.

ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಕ್ರಮೇಣ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತಿದೆ.


The software is designed to be user-friendly.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅನ್ನು ಬಳಕೆದಾರ ಸ್ನೇಹಿಯಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.


The complex equation was difficult to solve.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು.


The philosophical debate explored the nature of reality.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ವಾಸ್ತವದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


The implications of the new discovery are far-reaching.

ಹೊಸ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


The intricate details of the mechanism were fascinating.

ವಿಧಾನದ ಜಟಿಲ ವಿವರಗಳು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದ್ದವು.


The existential representation of the set of non-empty lists is a key concept.

ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The theorem proves the uniqueness of the identity element in a semigroup.

ಪ್ರಮೇಯವು ಅರೆಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಅಂಶದ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


We will now formally show that the identity element is unique.

ನಾವು ಈಗ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


The proof uses the associativity property of the operation.

ಪುರಾವೆಯು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹವರ್ತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The results depend on unpacking triples and the system's naming capability.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಟ್ರಿಪಲ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಹೆಸರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ.


Dyckhoff found it more appropriate to axiomatize the theory directly.

ಡೈಕ್‌ಹಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಕ್ಷೀಯಗೊಳಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು.


The introduction rule defines the formation of a semigroup.

ಪರಿಚಯ ನಿಯಮವು ಅರೆಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.


Computation rules show how set, op, and assoc behave as projections.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯಮಗಳು ಸೆಟ್, ಆಪ್ ಮತ್ತು ಅಸೋಕ್ ಹೇಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.


Comparing the two approaches reveals their close relationship.

ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


Adding rules can disrupt formal system properties.

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಬಹುದು.


This chapter examines the mathematical foundations of the system.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.


We investigate questions about the system's foundations.

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.


The technique of realizability forms a model of the formal system.

ವಾಸ್ತವಿಕತೆಯ ತಂತ್ರವು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.


Realizability provides a mechanism for extracting computational content.

ವಾಸ್ತವಿಕತೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


We discuss the various rules for existential elimination.

ನಾವು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗಾಗಿ ವಿವಿಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.


A semantics is important to avoid circularity and ambiguity.

ಸುತ್ತೋಲೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಒಂದು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


A semantics can show that a system is consistent.

ಒಂದು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.


Term models depend on reduction and normal form.

ಟರ್ಮ್ ಮಾದರಿಗಳು ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ.


Term models form the canonical model of type theory.

ಟರ್ಮ್ ಮಾದರಿಗಳು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.


ಸ್ಮಿತ್ ಟೈಪ್-ಫ್ರೀ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾನೆ.


Allen examines the definition of the system.

ಅಲೆನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾನೆ.


The definition requires that the set contains an empty list.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೆಟ್ ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


If the set contains an element, it must also contain the result of applying the operator to that element.

ಸೆಟ್ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಹ ಅದು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.


Lists can only be created in this specific way, according to the definition.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ರಚಿಸಬಹುದು.


We can represent a list (n::x) as a pair (n, x).

ನಾವು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು (n::x) ಒಂದು ಜೋಡಿ (n, x) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


The notation (n::x) is commonly used instead of the pair representation.

(n::x) ಸಂಕೇತವನ್ನು ಜೋಡಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Not every equation has a solution or a least solution.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಹಾರ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.


A sufficient condition for a least solution is that the operator is monotonic.

ಕಡಿಮೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದೆ.


The least solution of the equation is called the least fixed point of the operator.

ಸಮೀಕರಣದ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


We consider a sequence of sets to show that the equation has a solution.

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.


This sequence must have a fixed point, assuming we are working in some universe set.

ನಾವು ಕೆಲವು ವಿಶ್ವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.


The superscript may be an infinite ordinal number.

ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನಂತ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.


This fixed point is the least fixed point of the operator.

ಈ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.


The intersection of all solutions is itself a solution for a monotonic operator.

ಏಕತಾನತೆಯ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಛೇದಕವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.


We shall use the notation L for the operator of which L is the least fixed point.

L ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿರುವ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಾಗಿ ನಾವು L ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


The equation characterizes that L is a fixed point of L.

ಸಮೀಕರಣವು L, L ನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.


We need to express that elements only go in by the action of the operator L.

ಆಪರೇಟರ್ L ನ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಂಶಗಳು ಒಳಗೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


We do this by giving an elimination rule which constructs a function by recursion over L.

ನಾವು ಇದನ್ನು ವಿನಾಶ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು L ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ.


It is necessary and sufficient to state a value at [ ] and a way of going from a value at x to a value at (n::x).

[ ] ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು x ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ (n::x) ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೇಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.


We have to give a way of going from a value at an object of type T to a value at an object of type LT.

ಟೈಪ್ T ಯ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ LT ಟೈಪ್‌ನ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಾವು ನೀಡಬೇಕಾಗಿದೆ.


Consider the example of the sum function, which returns the sum of a numerical list.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪಟ್ಟಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.


ಇಂದು ಹವಾಮಾನವು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ಬಾಗಿಲು ಮುಚ್ಚಿ.


ನಾನು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರೇನು?


ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


The government is discussing new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆ.


ಅವರು ತುಂಬಾ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರ.


The research team published their findings.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


The complex equation requires careful analysis.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The philosophical implications of the theory are profound.

ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಾತ್ವಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಆಳವಾಗಿವೆ.


The intricacies of international relations are often misunderstood.

ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


The judge's ruling set a precedent for future cases.

ನ್ಯಾಯಾಧೀಶರ ತೀರ್ಪು ಭವಿಷ್ಯದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು.


The company's innovative approach disrupted the market.

ಕಂಪನಿಯ ನವೀನ ವಿಧಾನವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸಿತು.


Understanding the nuances of the language is crucial for effective communication.

ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂವಹನಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಷೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The scientific community is debating the ethical considerations of the new technology.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ನೈತಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆ.


The implications of quantum entanglement are still being explored by physicists.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್‌ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇನ್ನೂ ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.


The intricate details of the historical event were meticulously documented.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಘಟನೆಯ ಜಟಿಲ ವಿವರಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ.


The theory of constructions is a complex topic.

ರಚನೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


Type theory provides a foundation for programming.

ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ಗೆ ಒಂದು ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.


The book discusses various aspects of functional programming.

ಪುಸ್ತಕವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


Can you please help me with this problem?

ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೇ?


The research paper explores the applications of type theory.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


It is important to understand the concepts.

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ.


Functional programming languages offer many advantages.

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.


ಇಂದು ಹವಾಮಾನವು ತುಂಬಾ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


The article delves into the intricacies of the lambda calculus.

ಲೇಖನವು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ನ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.


I am learning a new programming language.

ನಾನು ಹೊಸ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


Type theory is used in the development of compilers.

ಕಂಪೈಲರ್‌ಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


ನೀವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನನಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದೇ?


The paper presents a novel approach to program verification.

ಪ್ರಬಂಧವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಪರಿಶೀಲನೆಗೆ ಒಂದು ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


ನನಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಓದುವುದು ಇಷ್ಟ.


The system is based on the principles of type theory.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.


ವಾರಾಂತ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಯೋಜನೆಗಳೇನು?


The research explores the relationship between logic and programming.

ಸಂಶೋಧನೆಯು ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


ಇದು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಸವಾಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


The book provides a comprehensive overview of the field.

ಪುಸ್ತಕವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಮಗ್ರ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The quick brown rabbit jumps over the lazy frogs.

ಚುರುಕಾದ ಕಂದು ಮೊಲವು ಸೋಮಾರಿಯಾದ ಕಪ್ಪೆಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿಗಿಯುತ್ತದೆ.


Please submit your application before the deadline.

ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಗಡುವು ಮುಗಿಯುವ ಮೊದಲು ಸಲ್ಲಿಸಿ.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


She enjoys reading novels and listening to music.

ಅವಳು ಕಾದಂಬರಿಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಗೀತವನ್ನು ಕೇಳುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The company is experiencing rapid growth this year.

ಈ ವರ್ಷ ಕಂಪನಿಯು ತ್ವರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಿದೆ.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The new technology has revolutionized the industry.

ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದೆ.


He is a highly skilled software engineer with years of experience.

ಅವರು ವರ್ಷಗಳ ಅನುಭವ ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ನುರಿತ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದಾರೆ.


The government announced new policies to address the economic crisis.

ಆರ್ಥಿಕ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


The research team is conducting experiments to find a cure for the disease.

ರೋಗಕ್ಕೆ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಿದೆ.


The complexities of international relations are often underestimated.

ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.


The philosophical implications of artificial intelligence are far-reaching.

ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಯ ತಾತ್ವಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿಗಳಾಗಿವೆ.


The company's strategic plan involves a significant investment in renewable energy.

ಕಂಪನಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಯೋಜನೆಯು ನವೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಧನದಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಹೂಡಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The intricate details of the legal proceedings were meticulously examined.

ಕಾನೂನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜಟಿಲ ವಿವರಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಯಿತು.


The algorithm's efficiency is paramount for processing large datasets.

ದೊಡ್ಡ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗಿದೆ.


Despite facing numerous setbacks, the project team remained undeterred.

ಅನೇಕ ಹಿನ್ನಡೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೂ, ಯೋಜನಾ ತಂಡವು ವಿಚಲಿತರಾಗಲಿಲ್ಲ.


The socio-economic disparities within the region require urgent attention.

ಪ್ರದೇಶದೊಳಗಿನ ಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ತುರ್ತು ಗಮನ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The implications of climate change on global ecosystems are increasingly evident.

ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಸರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತಿವೆ.


The ethical considerations surrounding genetic engineering are complex and multifaceted.

ಆನುವಂಶಿಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸುತ್ತಲಿನ ನೈತಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬಹುಮುಖಿ.


The convergence of technology and art has given rise to new forms of creative expression.

ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕಲೆಯ ಸಮ್ಮಿಲನವು ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ.