कार्यक्रम चलाया जाएगा।


Vectors are fundamental in linear algebra.

वेक्टर रैखिक बीजगणित में मौलिक हैं।


Proof extraction is a key concept in type theory.

प्रमाण निष्कर्षण टाइप सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।


एल्गोरिदम डेटा को रूपांतरित करता है।


वह एक किताब पढ़ रहा है।


आज मौसम सुहावना है।


वह बाज़ार गई।


कंपनी नया सॉफ्टवेयर विकसित कर रही है।


बैठक दोपहर 2 बजे शुरू होगी।


कृपया अधिक जानकारी प्रदान करें।


The research paper explores new methodologies.

शोध पत्र नई पद्धतियों की पड़ताल करता है।


सिस्टम को आगे के विश्लेषण की आवश्यकता है।


परिणाम अप्रत्याशित थे।


डेटा सुरक्षित रूप से संग्रहीत है।


फंक्शन एक मान लौटाता है।


टीम लगन से काम कर रही है।


परियोजना समय पर है।


एल्गोरिदम की दक्षता महत्वपूर्ण है।


The model was trained on a large dataset.

मॉडल को एक बड़े डेटासेट पर प्रशिक्षित किया गया था।


The theory is based on several assumptions.

सिद्धांत कई मान्यताओं पर आधारित है।


Type theory provides a framework that brings together logic and programming languages.

टाइप सिद्धांत एक ऐसा ढांचा प्रदान करता है जो तर्क और प्रोग्रामिंग भाषाओं को एक साथ लाता है।


The book is accessible to interested final-year undergraduates.

यह पुस्तक रुचि रखने वाले अंतिम वर्ष के स्नातक छात्रों के लिए सुलभ है।


We begin with introductory material on logic and functional programming.

हम तर्क और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग पर प्रारंभिक सामग्री से शुरुआत करते हैं।


टाइप सिद्धांत की प्रणाली जटिल है।


Chapter six covers a variety of examples and larger case studies.

अध्याय छह विभिन्न उदाहरणों और बड़े केस स्टडीज को शामिल करता है।


After a lengthy discussion of recursion, we look at the impact of the quantified types.

पुनरावृत्ति पर लंबी चर्चा के बाद, हम परिमाणित प्रकारों के प्रभाव को देखते हैं।


The system is expressive, as witnessed by the previous chapter.

यह प्रणाली अभिव्यंजक है, जैसा कि पिछले अध्याय में देखा गया है।


Crucial to them is the incorporation of a class of subset types.

उनके लिए महत्वपूर्ण उपसमुच्चय प्रकारों के एक वर्ग का समावेश है।


Chapter eight examines the foundations of the system.

अध्याय आठ प्रणाली की नींव की जांच करता है।


We have used standard terminology whenever were able.

हमने जब भी संभव हो, मानक शब्दावली का उपयोग किया है।


प्रत्येक अध्याय में अभ्यास शामिल हैं।


The world is full of potential applications, after all.

आखिरकार, दुनिया संभावित अनुप्रयोगों से भरी है।


Thanks are due to colleagues from both institutions.

दोनों संस्थानों के सहयोगियों का धन्यवाद।


The text itself was prepared using the LaTeX document preparation system.

पाठ स्वयं LaTeX दस्तावेज़ तैयारी प्रणाली का उपयोग करके तैयार किया गया था।


The editorial and production staff at Addison-Wesley have been most helpful.

एडिसन-वेस्ली के संपादकीय और उत्पादन कर्मचारियों ने बहुत मदद की है।


Alice is a joy, and makes me realise how much more there is to life than type theory.

ऐलिस एक खुशी है, और मुझे एहसास कराती है कि टाइप सिद्धांत से जीवन में कितना अधिक है।


मुझे आपको देखकर बहुत खुशी हुई।


क्या आप कृपया मेरी इसमें मदद कर सकते हैं?


आज मौसम बहुत सुहावना है।


I need to go to the market to buy some vegetables.

मुझे कुछ सब्जियां खरीदने के लिए बाजार जाना है।


The rule of conjunction introduction combines derivations.

संयोजन परिचय का नियम व्युत्पत्तियों को जोड़ता है।


From proofs of A and B, we can infer A∧B.

A और B के प्रमाणों से, हम A∧B का अनुमान लगा सकते हैं।


Assumptions for A∧B are those of A and B combined.

A∧B के लिए धारणाएँ A और B के संयुक्त हैं।


A simple proof can be built from the two rules.

दो नियमों से एक सरल प्रमाण बनाया जा सकता है।


Applying the introduction rule three times, we infer the conjunction.

परिचय नियम को तीन बार लागू करने पर, हम संयोजन का अनुमान लगाते हैं।


The rule shows how a formula with a conjunction can be introduced.

यह नियम दिखाता है कि संयोजन वाली एक सूत्र को कैसे पेश किया जा सकता है।


हम एक संयोजन को समाप्त कर सकते हैं।


From a proof of A∧B we can infer both A and B.

A∧B के प्रमाण से हम A और B दोनों का अनुमान लगा सकते हैं।


We have another example combining introduction and elimination.

हमारे पास परिचय और उन्मूलन को मिलाने का एक और उदाहरण है।


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation.

यह प्रमाण संयोजन संचालन की साहचर्यता को दर्शाता है।


The introduction rule states we can infer A∧B from A and B.

परिचय नियम बताता है कि हम A और B से A∧B का अनुमान लगा सकते हैं।


The elimination rules state this is essentially the only way.

उन्मूलन नियम बताते हैं कि यह अनिवार्य रूप से एकमात्र तरीका है।


We think of A⇒B as expressing A implies B.

हम A⇒B को A का अर्थ B व्यक्त करने के रूप में सोचते हैं।


We would like to conclude A⇒B when we have a deduction of B assuming A.

हम A⇒B का निष्कर्ष निकालना चाहेंगे जब हमारे पास A मानकर B का कटौती हो।


What are the assumptions upon which this new proof of A⇒B depends?

A⇒B के इस नए प्रमाण की धारणाएँ क्या हैं?


The reason we no longer depend upon A is that A has become the hypothesis.

इसका कारण है कि अब हम A पर निर्भर नहीं हैं, क्योंकि A परिकल्पना बन गई है।


This is reinforced by the elimination rule for ⇒.

यह ⇒ के लिए उन्मूलन नियम द्वारा प्रबलित है।


From proofs of A and A⇒B, we can infer B.

A और A⇒B के प्रमाणों से, हम B का अनुमान लगा सकते हैं।


We can discharge the three assumptions B, A and (A∧B)⇒C in turn.

हम बारी-बारी से तीन धारणाओं B, A और (A∧B)⇒C को छोड़ सकते हैं।


In this example, we see how a deduction can be free of assumptions.

इस उदाहरण में, हम देखते हैं कि कैसे एक कटौती धारणाओं से मुक्त हो सकती है।


The rule identifies certain functions which have the same behaviour, yet which are represented in different ways.

यह नियम उन निश्चित कार्यों की पहचान करता है जिनका व्यवहार समान है, फिर भी जिन्हें अलग-अलग तरीकों से दर्शाया गया है।


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction, and we define their joint transitive closure in the obvious way.

हम आम तौर पर η-रिडक्शन को β-रिडक्शन के सहायक के रूप में मानते हैं, और हम स्पष्ट तरीके से उनके संयुक्त सकर्मक समापन को परिभाषित करते हैं।


The relations generate two convertibility relations, ↔ and ↔βη.

संबंध दो परिवर्तनीय संबंध उत्पन्न करते हैं, ↔ और ↔βη।


We can also ask the more general question of which expressions have the same computational behaviour.

हम यह अधिक सामान्य प्रश्न भी पूछ सकते हैं कि किन भावों का कम्प्यूटेशनल व्यवहार समान है।


The untyped λ-calculus is a simple theory of (pure) functions, yet computationally it is as strong as other fundamental theories of computation.

अटाईप्ड λ-कैलकुलस (शुद्ध) कार्यों का एक सरल सिद्धांत है, फिर भी कम्प्यूटेशनल रूप से यह अन्य मौलिक गणना सिद्धांतों जितना ही मजबूत है।


One representation of the natural numbers is as the iterators.

प्राकृतिक संख्याओं का एक प्रतिनिधित्व पुनरावर्तक के रूप में है।


Each of these expressions has a head normal form, but neither has a normal form.

इनमें से प्रत्येक भाव का एक शीर्ष सामान्य रूप है, लेकिन किसी का भी सामान्य रूप नहीं है।


The untyped λ-calculus is powerful, containing as it does the fixed point combinators.

अटाईप्ड λ-कैलकुलस शक्तिशाली है, जिसमें फिक्स्ड पॉइंट कम्बिनेटर्स शामिल हैं।


We begin by defining a system with function types (and a number of base types), progressively adding further types and objects.

हम फ़ंक्शन प्रकारों (और कई आधार प्रकारों) के साथ एक प्रणाली को परिभाषित करके शुरू करते हैं, धीरे-धीरे आगे के प्रकारों और वस्तुओं को जोड़ते हैं।


In typed lambda calculi each λ-expression (or term, we use these interchangeably) has a type.

टाइप्ड लैम्डा कैलकुलि में प्रत्येक λ-अभिव्यक्ति (या पद, हम इनका परस्पर उपयोग करते हैं) का एक प्रकार होता है।


We can only form an application when the type of the argument is the same as the type of the domain of the function.

हम केवल एक अनुप्रयोग बना सकते हैं जब तर्क का प्रकार फ़ंक्शन के डोमेन के प्रकार के समान हो।


कई परिणाम भी आगे बढ़ते हैं।


This is no accident, as we can prove Theorem 2.19.

यह कोई दुर्घटना नहीं है, क्योंकि हम प्रमेय 2.19 को साबित कर सकते हैं।


We can present the calculus in a slightly different form, closer to the practice in programming languages.

हम कैलकुलस को थोड़ा अलग रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, जो प्रोग्रामिंग भाषाओं में अभ्यास के करीब है।


We assume throughout that all contexts Γ are consistent in containing at most one occurrence of each variable.

हम यह मानकर चलते हैं कि सभी संदर्भ Γ सुसंगत हैं, जिनमें प्रत्येक चर की अधिकतम एक घटना होती है।


The rule giving the type of an abstraction has one unusual aspect.

एक अमूर्तता का प्रकार देने वाले नियम का एक असामान्य पहलू है।


This method, introduced in [Tai67] and known as the reducibility method, is a general means of proof for systems which are typed.

यह विधि, [Tai67] में पेश की गई और रिड्यूसिबिलिटी विधि के रूप में जानी जाती है, उन प्रणालियों के लिए प्रमाण का एक सामान्य साधन है जो टाइप किए गए हैं।


We can extend the system in two different ways, adding both new base types and new constructors.

हम सिस्टम को दो अलग-अलग तरीकों से विस्तारित कर सकते हैं, नए आधार प्रकार और नए कंस्ट्रक्टर दोनों को जोड़कर।


Familiar type constructors include the product type and the disjoint sum (or disjoint union).

परिचित प्रकार के कंस्ट्रक्टर में उत्पाद प्रकार और असंयुक्त योग (या असंयुक्त संघ) शामिल हैं।


The pair (x, y) is a member of the product type.

जोड़ा (x, y) उत्पाद प्रकार का एक सदस्य है।


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

दूसरे शब्दों में, हमें मनमाने x के लिए एक प्रमाण की आवश्यकता है, जो बिल्कुल वही है जो नियम कहता है।


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ के उन्मूलन का नियम अस्तित्वगत उन्मूलन के लिए निम्नलिखित का सुझाव देता है: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

हम A(a), A(b) आदि से B के सभी व्यक्तिगत प्रमाणों को एक मनमाने x के लिए A(x) से एक प्रमाण से बदलकर अपना नियम प्राप्त करते हैं।


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

पहले उदाहरण के लिए हम मानते हैं θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) और यह साबित करने की कोशिश करते हैं कि ∃x. Q(x)


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

अनौपचारिक रूप से निष्कर्ष स्पष्ट है, लेकिन हम अपने सिस्टम में क्या करते हैं?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

हमारे पास एक सार्वभौमिक धारणा, θ है, और सार्वभौमिक उन्मूलन का नियम हमें बताता है कि हम अपने प्रमाण में θ के किसी भी उदाहरण P(x)⇒P(x) का उपयोग कर सकते हैं।


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

यदि हम अस्तित्वगत उन्मूलन के नियम की पश्चगामी व्याख्या अपनाते हैं, तो हम देखते हैं कि अस्तित्वगत धारणा का उपयोग कैसे करें।


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

एक अस्तित्वगत धारणा ∃x. P(x) का उपयोग करने के लिए, उदाहरण P(x) का उपयोग करें और अंत में नियम (∃E) का उपयोग करके इसे डिस्चार्ज करें।


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have:

इस प्रकार आगे बढ़ते हुए हमारे पास P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) है। इससे हम ∃x. Q(x) का अनुमान लगा सकते हैं (भले ही x धारणाओं में से एक में मुक्त हो — नियम (∃I) पर कोई प्रतिबंध नहीं हैं), और अंत में अस्तित्वगत उन्मूलन द्वारा हमारे पास है:


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

हमारे दूसरे उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम यह धारणा बनाते हैं कि प्रत्येक वस्तु या तो एक सेब है या एक केला: ∀x.(A(x)∨B(x)) और यह कि सेब और केले दोनों स्वादिष्ट हैं: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

हम दिखाएंगे कि सब कुछ स्वादिष्ट है, ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

सार्वभौमिक उन्मूलन नियम को तीन बार लागू करने पर हमारे पास (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y)) है।


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

और फिर हम (⇒E) का उपयोग करके, इनमें से दूसरे और धारणा A(y) के आधार पर T(y) का अनुमान लगा सकते हैं।


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

हम इसी तरह B(y) और सार्वभौमिक कथन से T(y) का अनुमान लगा सकते हैं, और फिर (∨E) लागू करने की स्थिति में हैं।


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

हमारा अंतिम उदाहरण ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y) के प्रमाण से संबंधित है


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

पाठक पृष्ठ 18 पर ऊपर की चर्चा को वापस संदर्भित करना चाह सकते हैं।


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

निहितार्थ परिचय के नियम को याद करते हुए, ∃y.∀x. A(x, y) की धारणा पर ∀x.∃y. A(x, y) को साबित करना पर्याप्त है


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

हमारे पास एक अस्तित्वगत धारणा है, इसलिए क्वांटिफायर को हटाकर हम नियम (∃E) द्वारा इसके बजाय धारणा ∀x. A(x, y) का उपयोग कर सकते हैं


Using (∀E) we have ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E)

(∀E) का उपयोग करके हमारे पास ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E) है


Now, we can deduce . . . ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) using (∀I), since x is not free in the assumptions (and therefore arbitrary).

अब, हम अनुमान लगा सकते हैं . . . ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) (∀I) का उपयोग करके, क्योंकि x धारणाओं में मुक्त नहीं है (और इसलिए मनमाना है)।


किताब मेज़ पर है।


कृपया दरवाज़ा बंद कर दीजिए।


आपका नाम क्या है?


आज मौसम बहुत सुहावना है।


I am going to the market to buy groceries.

मैं बाज़ार सब्ज़ी खरीदने जा रहा हूँ।


Could you please help me with this problem?

क्या आप इस समस्या में मेरी मदद कर सकते हैं?


The company announced a new product launch.

कंपनी ने एक नए उत्पाद के लॉन्च की घोषणा की।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


The research paper explores the implications of quantum entanglement.

शोध पत्र क्वांटम उलझाव के निहितार्थों की पड़ताल करता है।


Despite the challenges, the project was successfully completed.

चुनौतियों के बावजूद, परियोजना सफलतापूर्वक पूरी हो गई।


The government implemented new policies to boost the economy.

सरकार ने अर्थव्यवस्था को बढ़ावा देने के लिए नई नीतियाँ लागू कीं।


The complex system requires careful calibration.

जटिल प्रणाली को सावधानीपूर्वक अंशांकन की आवश्यकता है।


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

दार्शनिक बहस चेतना की प्रकृति पर केंद्रित थी।


The software update fixed several critical bugs.

सॉफ्टवेयर अपडेट ने कई महत्वपूर्ण बग को ठीक किया।


The artist's unique style is instantly recognizable.

कलाकार की अनूठी शैली तुरंत पहचानी जाती है।


The economic forecast predicts a period of growth.

आर्थिक पूर्वानुमान विकास की अवधि की भविष्यवाणी करता है।


The scientific community is actively researching the effects of climate change.

वैज्ञानिक समुदाय जलवायु परिवर्तन के प्रभावों पर सक्रिय रूप से शोध कर रहा है।


The intricate design of the machine was a marvel of engineering.

मशीन का जटिल डिज़ाइन इंजीनियरिंग का एक अजूबा था।


The implications of the new law are far-reaching.

नए कानून के निहितार्थ दूरगामी हैं।


The study examined the correlation between diet and health.

अध्ययन ने आहार और स्वास्थ्य के बीच संबंध की जांच की।


The system defines a duality between propositions and types.

यह प्रणाली प्रस्तावों और प्रकारों के बीच एक द्वैतता को परिभाषित करती है।


A proof of a proposition can be seen as a member of the type.

एक प्रस्ताव का प्रमाण प्रकार के सदस्य के रूप में देखा जा सकता है।


We first present type theory as a logical system.

हम पहले प्रकार सिद्धांत को एक तार्किक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत करते हैं।


The chapter begins with an informal examination of what it means for something to be a proof.

अध्याय इस बात की अनौपचारिक जांच से शुरू होता है कि किसी चीज का प्रमाण होना क्या है।


With each connective we associate four kinds of rule.

प्रत्येक संयोजक के साथ हम चार प्रकार के नियम जोड़ते हैं।


The familiar rules of introduction and elimination describe how certain propositions can be proved.

परिचय और उन्मूलन के परिचित नियम बताते हैं कि कुछ प्रस्तावों को कैसे सिद्ध किया जा सकता है।


From the programming point of view they assert the existence of certain objects.

प्रोग्रामिंग के दृष्टिकोण से वे कुछ वस्तुओं के अस्तित्व का दावा करते हैं।


The computation rules explain how to evaluate or run programs.

गणना नियम बताते हैं कि कार्यक्रमों का मूल्यांकन या संचालन कैसे करें।


We also give a formation rule which embodies the syntax of the connective.

हम एक निर्माण नियम भी देते हैं जो संयोजक के वाक्यविन्यास को समाहित करता है।


The formal presentation of the logical rules is followed by examples.

तार्किक नियमों की औपचारिक प्रस्तुति के बाद उदाहरण दिए गए हैं।


Programming is dependent on the presence of data types.

प्रोग्रामिंग डेटा प्रकारों की उपस्थिति पर निर्भर है।


Infinite data types are characterized by principles of definition by recursion.

अनंत डेटा प्रकारों को पुनरावर्तन द्वारा परिभाषा के सिद्धांतों द्वारा चित्रित किया जाता है।


दोनों तरीके साथ-साथ चलते हैं।


This recursive characterisation carries over to other types.

यह पुनरावर्ती लक्षण वर्णन अन्य प्रकारों पर लागू होता है।


The assertion of the identity of two values forms a fundamental atomic proposition.

दो मानों की पहचान का दावा एक मौलिक परमाणु प्रस्ताव बनाता है।


There is another relation linking items, generated by '→'.

एक और संबंध है जो वस्तुओं को जोड़ता है, जो '→' द्वारा उत्पन्न होता है।


This means that our system gives an integrated treatment of programming and verification.

इसका मतलब है कि हमारी प्रणाली प्रोग्रामिंग और सत्यापन का एक एकीकृत उपचार देती है।


Our first view of the material is an informal account of what it is to have a proof.

सामग्री का हमारा पहला दृश्य इस बात का एक अनौपचारिक विवरण है कि प्रमाण होना क्या है।


A proof of A∧B will be a pair of proofs.

A∧B का प्रमाण प्रमाणों की एक जोड़ी होगी।


A proof of A⇒B consists of a method or function.

A⇒B का प्रमाण एक विधि या फ़ंक्शन से बना है।


आज धूप बहुत तेज चमक रही है।


क्या आप कृपया मुझे नमक दे सकते हैं?


I am going to the market to buy some vegetables.

मैं कुछ सब्जियां खरीदने के लिए बाजार जा रहा हूँ।


The company announced a new product launch.

कंपनी ने एक नए उत्पाद के लॉन्च की घोषणा की।


The research team is working on a new algorithm.

अनुसंधान टीम एक नए एल्गोरिदम पर काम कर रही है।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

चुनौतियों के बावजूद, उन्होंने हार नहीं मानी और सफलता प्राप्त की।


The government is implementing new policies to boost the economy.

सरकार अर्थव्यवस्था को बढ़ावा देने के लिए नई नीतियां लागू कर रही है।


The doctor advised him to take rest and avoid strenuous activities.

डॉक्टर ने उन्हें आराम करने और ज़ोरदार गतिविधियों से बचने की सलाह दी।


The complex equation required multiple iterations to solve.

जटिल समीकरण को हल करने के लिए कई पुनरावृत्तियों की आवश्यकता थी।


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

दार्शनिक बहस ने चेतना की प्रकृति की खोज की।


The intricate design of the software required expert coding skills.

सॉफ्टवेयर के जटिल डिजाइन के लिए विशेषज्ञ कोडिंग कौशल की आवश्यकता थी।


The implications of the new scientific discovery are far-reaching.

नई वैज्ञानिक खोज के निहितार्थ दूरगामी हैं।


The artist's work is a profound commentary on modern society.

कलाकार का काम आधुनिक समाज पर एक गहन टिप्पणी है।


The economic downturn has affected various sectors of the industry.

आर्थिक मंदी ने उद्योग के विभिन्न क्षेत्रों को प्रभावित किया है।


The committee deliberated for hours before reaching a consensus.

सहमति पर पहुंचने से पहले समिति ने घंटों विचार-विमर्श किया।


The algorithm's efficiency was significantly improved through optimization.

अनुकूलन के माध्यम से एल्गोरिदम की दक्षता में काफी सुधार हुआ।


The historical analysis revealed a pattern of recurring events.

ऐतिहासिक विश्लेषण में बार-बार होने वाली घटनाओं का एक पैटर्न सामने आया।


The company's strategic plan involves expansion into new markets.

कंपनी की रणनीतिक योजना में नए बाजारों में विस्तार शामिल है।


The intricate details of the contract were carefully reviewed by the legal team.

अनुबंध के जटिल विवरणों की कानूनी टीम द्वारा सावधानीपूर्वक समीक्षा की गई।


The philosophical implications of artificial intelligence are being widely debated.

कृत्रिम बुद्धिमत्ता के दार्शनिक निहितार्थों पर व्यापक रूप से बहस हो रही है।


The function returns a function of type (P⇒Q) which expects an argument of type P.

यह फ़ंक्शन (P⇒Q) प्रकार का एक फ़ंक्शन लौटाता है जो P प्रकार के एक तर्क की अपेक्षा करता है।


We often call the first representation the uncurried form, in contrast to the latter.

हम अक्सर पहले निरूपण को अनकर्ड रूप कहते हैं, बाद वाले के विपरीत।


The pair of functions we derived above can be seen to map from one function representation to another.

ऊपर हमने जिन कार्यों को व्युत्पन्न किया है, उन्हें एक फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व से दूसरे में मैप करते हुए देखा जा सकता है।


The system we are building here is one in which propositions, or formulas, are identified with types, and vice versa.

यहाँ हम जिस प्रणाली का निर्माण कर रहे हैं, वह एक ऐसी प्रणाली है जिसमें प्रस्तावों, या सूत्रों को प्रकारों के साथ पहचाना जाता है, और इसके विपरीत।


Consider the case in which we want to return one of two results conditional on some property.

उस स्थिति पर विचार करें जिसमें हम कुछ संपत्ति पर सशर्त दो परिणामों में से एक लौटाना चाहते हैं।


We call this the type bool of boolean values and for the sake of tradition call the two values True and False.

हम इसे बूलियन मानों का प्रकार bool कहते हैं और परंपरा के लिए दो मानों को True और False कहते हैं।


The type bool is simply a finite type containing two values.

प्रकार bool बस दो मानों वाला एक परिमित प्रकार है।


The role of the type is computational: we can build the expression if . . . then . . . else . . . in our language, allowing case switches in computations.

प्रकार की भूमिका कम्प्यूटेशनल है: हम अपनी भाषा में if . . . then . . . else . . . अभिव्यक्ति का निर्माण कर सकते हैं, जो गणनाओं में केस स्विच की अनुमति देता है।


To recap, True and False are values of the type bool, whilst ⊥ and > are the false and true propositions.

संक्षेप में, True और False प्रकार bool के मान हैं, जबकि ⊥ और > झूठे और सच्चे प्रस्ताव हैं।


Languages such as Pascal contain a boolean type — if we reason about these programs we use an external logical language to construct statements about the language, we are not constructing expressions of type bool which are expressions of the language.

पास्कल जैसी भाषाओं में एक बूलियन प्रकार होता है — यदि हम इन कार्यक्रमों के बारे में तर्क करते हैं तो हम भाषा के बारे में कथन बनाने के लिए एक बाहरी तार्किक भाषा का उपयोग करते हैं, हम प्रकार bool की अभिव्यक्तियाँ नहीं बना रहे हैं जो भाषा की अभिव्यक्तियाँ हैं।


The two rules above require no explanation.

ऊपर दिए गए दो नियमों के लिए किसी स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है।


We eliminate a boolean value by a two-way case switch, conventionally called a conditional expression.

हम एक बूलियन मान को दो-तरफा केस स्विच द्वारा समाप्त करते हैं, जिसे पारंपरिक रूप से एक सशर्त अभिव्यक्ति कहा जाता है।


This is stronger than the conventional case switch, as the type of the result can depend upon the value of the boolean.

यह पारंपरिक केस स्विच से अधिक मजबूत है, क्योंकि परिणाम का प्रकार बूलियन के मान पर निर्भर हो सकता है।


We embody the case switching mechanism in the following rules.

हम निम्नलिखित नियमों में केस स्विचिंग तंत्र को शामिल करते हैं।


The ‘then’ or ‘else’ case is selected, according to the value of the boolean.

बूलियन के मान के अनुसार, ‘then’ या ‘else’ केस का चयन किया जाता है।


Consider the example if tr then False else True This has the type bool if we assume that tr:bool.

उदाहरण पर विचार करें यदि tr then False else True यदि हम मानते हैं कि tr:bool तो इसका प्रकार bool है।


Similarly, λx (bool∧bool) .(if(f st x)then(snd x)else False) which has type (bool∧bool)⇒bool is the (Classical) conjunction operation on bool.

इसी तरह, λx (bool∧bool) .(if(f st x)then(snd x)else False) जिसका प्रकार (bool∧bool)⇒bool है, bool पर (क्लासिक) संयोजन ऑपरेशन है।


For n a natural number, the type N n has n elements, 1 n , 2 n , . . . , n n the subscript showing the type from which the element comes.

एक प्राकृतिक संख्या n के लिए, प्रकार N n में n तत्व होते हैं, 1 n , 2 n , . . . , n n सब्सक्रिप्ट यह दर्शाता है कि तत्व किस प्रकार से आता है।


We have already seen a two element type, where we identify 1 2 with True and 2 2 with False.

हमने पहले ही एक दो तत्व प्रकार देखा है, जहाँ हम 1 2 को True और 2 2 को False के साथ पहचानते हैं।


We eliminate an element of an n element type by an n-way case switch.

हम एक n-तरफा केस स्विच द्वारा एक n तत्व प्रकार के एक तत्व को समाप्त करते हैं।


This is a fundamental concept in type theory.

यह टाइप सिद्धांत में एक मौलिक अवधारणा है।


The rules generate formulas independently of the elements.

नियम तत्वों से स्वतंत्र रूप से सूत्रों को उत्पन्न करते हैं।


The rule of information breaks this rule.

सूचना का नियम इस नियम को तोड़ता है।


A necessary condition for I(A, a, b) to be a type is that a:A.

I(A, a, b) के एक प्रकार होने के लिए एक आवश्यक शर्त है कि a:A।


This means that the rules generating the formulas are inextricably mixed up with the rules for derivations.

इसका मतलब है कि सूत्रों को उत्पन्न करने वाले नियम व्युत्पत्तियों के नियमों के साथ अविभाज्य रूप से मिश्रित हैं।


वस्तु a स्वयं के समतुल्य है।


We can derive rules which look stronger than this.

हम ऐसे नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इससे अधिक मजबूत लगते हैं।


इस वस्तु की कोई आंतरिक संरचना नहीं है।


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

समानता का सार यह है कि बराबर को बराबर से बदला जा सकता है।


Suppose that we have some proof p of a proposition P involving a.

मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रस्ताव P का कुछ प्रमाण p है जिसमें a शामिल है।


We should be able to infer the proposition P' resulting from us replacing some of the occurrences of a in P by b.

हमें प्रस्ताव P' का अनुमान लगाने में सक्षम होना चाहिए जो P में a की कुछ घटनाओं को b से बदलकर प्राप्त होता है।


We can of course replace all the occurrences of a by making sure that x is not free in C.

निश्चित रूप से, हम यह सुनिश्चित करके a की सभी घटनाओं को बदल सकते हैं कि C में x मुक्त नहीं है।


There is one extra refinement in our rule.

हमारे नियम में एक अतिरिक्त शोधन है।


We allow the formula C to mention the equality proof object r too.

हम सूत्र C को समानता प्रमाण वस्तु r का भी उल्लेख करने की अनुमति देते हैं।


लाइबनिज का नियम व्युत्पन्न है।


समानता प्रतिवर्तक है।


समानता सममित है।


Finally we show that it is transitive, making it an equivalence relation.

अंत में हम दिखाते हैं कि यह संक्रामक है, जिससे यह एक तुल्यता संबंध बन जाता है।


We observed that it was the elimination rules which specified that all the elements of a type had the form introduced by the introduction rules.

हमने देखा कि यह उन्मूलन नियम थे जिन्होंने निर्दिष्ट किया कि एक प्रकार के सभी तत्वों में वह रूप था जो परिचय नियमों द्वारा पेश किया गया था।


In order to make the system non-trivial we can add an axiom.

सिस्टम को गैर-तुच्छ बनाने के लिए हम एक स्वयंसिद्ध जोड़ सकते हैं।


The system uses four different notions of equality.

यह प्रणाली समानता की चार अलग-अलग धारणाओं का उपयोग करती है।


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

परिभाषात्मक समानता शाब्दिक पहचान के जितना करीब हम पहुँच सकते हैं।


Convertibility is external to the system.

परिवर्तनीयता प्रणाली के बाहर है।


Equality functions return values in the type bool.

समानता फ़ंक्शन प्रकार bool में मान लौटाते हैं।


We compare these different relations in sections 5.7 and 5.8.

हम इन विभिन्न संबंधों की तुलना खंड 5.7 और 5.8 में करते हैं।


A truly extensional equality can be added to the system.

एक वास्तविक विस्तारवादी समानता को प्रणाली में जोड़ा जा सकता है।


The system can be augmented in a number of ways.

प्रणाली को कई तरीकों से बढ़ाया जा सकता है।


We look at two means of strengthening it in sections 5.9 and 5.10.

हम इसे मजबूत करने के दो तरीकों पर खंड 5.9 और 5.10 में विचार करते हैं।


The notion of a type of types is inconsistent.

प्रकारों के प्रकार की धारणा असंगत है।


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

हम दिखाते हैं कि कैसे प्रकारों के ‘ब्रह्मांडों’ की एक श्रृंखला जोड़ी जा सकती है।


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

हम सामान्य तंत्र देते हैं जिसके द्वारा अच्छी तरह से स्थापित प्रकारों को परिभाषित किया जाता है।


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

हम अध्याय को करी हावर्ड समरूपता पर दूसरी नज़र के साथ समाप्त करते हैं।


Derivations depend in general upon collections of assumptions.

व्युत्पत्ति, सामान्य तौर पर, मान्यताओं के संग्रह पर निर्भर करती है।


We look at the precise form that these collections take.

हम उस सटीक रूप को देखते हैं जो ये संग्रह लेते हैं।


A useful exercise is to make an implementation of it.

एक उपयोगी अभ्यास इसका कार्यान्वयन करना है।


Mathematical notation is a powerful tool.

गणितीय संकेतन एक शक्तिशाली उपकरण है।


Assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

मान्यताएँ व्युत्पत्ति के पत्तों पर प्रकट नहीं होती हैं।


There is an ordering of dependency between them.

उनके बीच निर्भरता का एक क्रम है।


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

हम समानता की समरूपता के प्रमाण पर पुनर्विचार कर सकते हैं।


We can discharge the assumptions, but not in any order.

हम मान्यताओं को छोड़ सकते हैं, लेकिन किसी भी क्रम में नहीं।


The research paper explores the concept of supercombinator abstraction in type theory.

यह शोध पत्र टाइप सिद्धांत में सुपरकॉम्बिनेटर एब्स्ट्रैक्शन की अवधारणा की पड़ताल करता है।


Definition 5.10 defines a proper subexpression within a lambda expression.

परिभाषा 5.10 लैम्डा अभिव्यक्ति के भीतर एक उचित उप-अभिव्यक्ति को परिभाषित करती है।


The supercombinator abstraction of 'e' over 'x' involves identifying maximal free expressions.

'x' पर 'e' का सुपरकॉम्बिनेटर एब्स्ट्रैक्शन अधिकतम मुक्त अभिव्यक्तियों की पहचान करना शामिल है।


We will now look at a specific example of supercombinator abstraction.

अब हम सुपरकॉम्बिनेटर एब्स्ट्रैक्शन का एक विशिष्ट उदाहरण देखेंगे।


The redex (II) is visible in this supercombinator abstraction.

इस सुपरकॉम्बिनेटर एब्स्ट्रैक्शन में रेडक्स (II) दिखाई देता है।


The system TTc0 is defined from TT0 by modifying type forming rules.

सिस्टम TTc0 को TT0 से टाइप बनाने के नियमों में संशोधन करके परिभाषित किया गया है।


Lemma 5.13 discusses the embedding of the system TT0 within TTc0.

प्रमेय 5.13 सिस्टम TT0 को TTc0 के भीतर एम्बेड करने पर चर्चा करता है।


For readability, we retain the old notation of type forming operations.

पढ़ने में आसानी के लिए, हम टाइप बनाने के संचालन के पुराने संकेतन को बनाए रखते हैं।


Give the combinator and supercombinator abstractions for the term h.

पद h के लिए कॉम्बिनेटर और सुपरकॉम्बिनेटर एब्स्ट्रैक्शन दें।


Follow the evaluation behavior of the expression h(II)(II)3.

अभिव्यक्ति h(II)(II)3 के मूल्यांकन व्यवहार का पालन करें।


In this section, we will prove that every term of the type theory TTc0 has a normal form.

इस खंड में, हम साबित करेंगे कि टाइप सिद्धांत TTc0 के प्रत्येक पद का एक सामान्य रूप है।


The proof is based on Martin-Löf’s proof of normalization.

यह प्रमाण मार्टिन-लोफ के सामान्यीकरण के प्रमाण पर आधारित है।


The result is proved in such a way that it has important corollaries.

परिणाम इस तरह से सिद्ध किया गया है कि इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं।


We have to prove things in a different manner than in the typed λ-calculus.

हमें टाइप किए गए λ-कैलकुलस की तुलना में अलग तरीके से चीजों को साबित करना होगा।


We work by induction over the derivations of closed judgements.

हम बंद निर्णयों के व्युत्पन्न पर प्रेरण द्वारा काम करते हैं।


Our proof will show that each closed term is reducible to a stable term.

हमारा प्रमाण दिखाएगा कि प्रत्येक बंद पद एक स्थिर पद तक कम करने योग्य है।


Because assumptions in open derivations can be discharged, we need to look at open judgements.

चूंकि खुली व्युत्पत्तियों में धारणाओं को छुट्टी दी जा सकती है, इसलिए हमें खुली निर्णयों को देखने की आवश्यकता है।


We require two conditions of the functions a' and A'.

हमें कार्यों a' और A' की दो शर्तें चाहिए।


Theorem 5.14 presents Normalisation for TTc0.

प्रमेय 5.14 TTc0 के लिए सामान्यीकरण प्रस्तुत करता है।


We must go through the constructs of the theory in turn.

हमें सिद्धांत के निर्माणों से बारी-बारी से गुजरना होगा।


The system's rules are modified slightly to ensure the rule 'a:A A is a type' is derivable.

नियमों को थोड़ा संशोधित किया गया है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि नियम 'a:A A एक प्रकार है' व्युत्पन्न है।


We can derive A is a type and B is a type, so using (∧F) we derive (A∧B) is a type.

हम A एक प्रकार है और B एक प्रकार है, व्युत्पन्न कर सकते हैं, इसलिए (∧F) का उपयोग करके हम (A∧B) एक प्रकार है, व्युत्पन्न करते हैं।


In each of these rules we have a new type expression (BorA) appearing below the line — we should only introduce such an expression if it is a type.

इनमें से प्रत्येक नियम में हमारे पास एक नया प्रकार का भाव (B या A) रेखा के नीचे दिखाई दे रहा है - हमें केवल इस तरह के भाव को पेश करना चाहिए यदि यह एक प्रकार का है।


We therefore revise the rules to q:A B is a type inl q: (A∨B) (∨I ′ 1 )

इसलिए हम नियमों को संशोधित करते हैं q:A B एक प्रकार है inl q: (A∨B) (∨I ′ 1 )


In practice we shall suppress this third premiss.

व्यवहार में हम इस तीसरे आधार को दबा देंगे।


The revised rules are p:(A∨B) [x:A] . . . u:C[inl x/z] [y:B] . . . v:C[inr y/z] [z:(A∨B)] . . . C is a type vcases ′′ x,y p u v:C[p/z] (∨E ′′ )

संशोधित नियम हैं p:(A∨B) [x:A] . . . u:C[inl x/z] [y:B] . . . v:C[inr y/z] [z:(A∨B)] . . . C एक प्रकार है vcases ′′ x,y p u v:C[p/z] (∨E ′′ )


The final case we should consider is one in which the last rule applied is a substitution.

अंतिम मामला जिस पर हमें विचार करना चाहिए वह वह है जिसमें लागू किया गया अंतिम नियम एक प्रतिस्थापन है।


By induction we have a derivation of B(c) is a type.

प्रेरण द्वारा हमारे पास B(c) एक प्रकार है का व्युत्पन्न है।


Applying the instance of (S 1 ) which follows, the result is clear.

(S 1 ) के उदाहरण को लागू करने पर, जो अनुसरण करता है, परिणाम स्पष्ट है।


Theorem 5.5 Using the modified system of rules outlined above, given a derivation of a:A we can construct a derivation of A is a type.

प्रमेय 5.5 ऊपर उल्लिखित नियमों की संशोधित प्रणाली का उपयोग करते हुए, a:A के व्युत्पन्न को देखते हुए हम A एक प्रकार है का व्युत्पन्न बना सकते हैं।


The proof proceeds by induction over the derivation of a:A and follows the outline sketched above.

प्रमाण a:A के व्युत्पन्न पर प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है और ऊपर रेखांकित रूपरेखा का अनुसरण करता है।


In a language like Pascal, or indeed Miranda, the types of expressions are unique.

पास्कल या वास्तव में मिरांडा जैसी भाषा में, भावों के प्रकार अद्वितीय हैं।


The duplication of the function space and product types, since these types can be seen as special cases of the universal and existential types.

फंक्शन स्पेस और उत्पाद प्रकारों का दोहराव, क्योंकि इन प्रकारों को सार्वभौमिक और अस्तित्वगत प्रकारों के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है।


We remedy this by labelling the injection operators with their range type, so that inl (N∨A) 0 : (N∨A)

हम इंजेक्शन ऑपरेटरों को उनकी श्रेणी के प्रकार के साथ लेबल करके इसे ठीक करते हैं, ताकि inl (N∨A) 0 : (N∨A)


In the theory T T 0 , if from a consistent collection of assumptions we can derive the judgements a:A and a:B then A↔↔B.

सिद्धांत T T 0 में, यदि मान्यताओं के एक सुसंगत संग्रह से हम निर्णय a:A और a:B व्युत्पन्न कर सकते हैं तो A↔↔B।


The proof is performed by induction over the derivation of a:A.

प्रमाण a:A के व्युत्पन्न पर प्रेरण द्वारा किया जाता है।


Consider first the case of a variable x:A.

पहले एक चर x:A के मामले पर विचार करें।


Judgements of this sort will be derived in one of two ways.

इस तरह के निर्णय दो तरीकों में से एक में व्युत्पन्न किए जाएंगे।


The reasons the result fails for T T 0 are •The duplication of the function space and product types, since these types can be seen as special cases of the universal and existential types.

T T 0 के लिए परिणाम विफल होने के कारण हैं •फंक्शन स्पेस और उत्पाद प्रकारों का दोहराव, क्योंकि इन प्रकारों को सार्वभौमिक और अस्तित्वगत प्रकारों के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है।


In a similar way, for the elimination rule, the (cases p f g) expression can only have two types if both f and g have two, a contradiction.

इसी तरह, उन्मूलन नियम के लिए, (केस p f g) भाव में केवल दो प्रकार हो सकते हैं यदि f और g दोनों में दो हैं, एक विरोधाभास।


गणना यदि a→b तो a↔↔b।


रिफ्लेक्सिविटी a↔↔a।


समरूपता यदि a↔↔b तो b↔↔a।


संक्रमणशीलता यदि a↔↔b और b↔↔c तो a↔↔c।


प्रतिस्थापन यदि a↔↔b और c↔↔d तो a[c/x]↔↔b[d/x]।


We saw in the last section that two terms were convertible if and only if they have the same normal form, this means that the relation of convertibility is decidable.

हमने पिछले खंड में देखा कि दो पद तभी परिवर्तनीय थे जब और केवल तभी जब उनके समान सामान्य रूप थे, इसका मतलब है कि परिवर्तनीयता का संबंध तय किया जा सकता है।


The definition of convertibility is external to the system —a↔↔bis intended to embody the fact that the two expressionsaandbdenote the same object.

परिवर्तनीयता की परिभाषा सिस्टम के बाहर है —a↔↔b का उद्देश्य इस तथ्य को शामिल करना है कि दो भाव a और b एक ही वस्तु को दर्शाते हैं।


In the light of the characterisation above, we can identify this object as the normal form of the expression, if we wish.

उपरोक्त लक्षण वर्णन के प्रकाश में, हम इस वस्तु को अभिव्यक्ति के सामान्य रूप के रूप में पहचान सकते हैं, यदि हम चाहें।


In section 4.11 we introduced the rules of substitution which allow in- terconvertible expressions to be substituted for each other in derivations of judgements.

अनुच्छेद 4.11 में हमने प्रतिस्थापन के नियमों को पेश किया, जो परस्पर परिवर्तनीय भावों को निर्णयों के व्युत्पन्न में एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापित करने की अनुमति देते हैं।


This emphasizes the fact that judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions, rather than the expressions themselves.

यह इस तथ्य पर जोर देता है कि निर्णय भावों द्वारा दर्शाई गई वस्तुओं के बारे में होने चाहिए, न कि स्वयं भावों के बारे में।


We shall come back to this important distinction below.

हम नीचे इस महत्वपूर्ण अंतर पर वापस आएंगे।


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

चूंकि ‘a↔↔b’ सिस्टम का प्रस्ताव नहीं है, इसलिए हम इसके आधार पर अधिक जटिल दावे बनाने में असमर्थ हैं।


To do this we turn to our third relation, the identity predicate.

ऐसा करने के लिए, हम अपने तीसरे संबंध, पहचान विधेय की ओर मुड़ते हैं।


As a primitive proposition (or type) forming operator we have theIoper- ation, forming a type thus: A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

एक आदिम प्रस्ताव (या प्रकार) बनाने वाले ऑपरेटर के रूप में हमारे पास Ioper-ation है, जो इस प्रकार एक प्रकार बनाता है: A एक प्रकार है a:A b:A I(A, a, b) एक प्रकार है (IF)


The type is also writtena= A bor evena=bwhen no confusion can result.

प्रकार को a= A b या यहां तक कि a=b भी लिखा जाता है जब कोई भ्रम नहीं हो सकता है।


I(A, a, b) is provable, by the objectr(a), whena↔↔b, so we can see the type as an internalisation of convertibility.

I(A, a, b) को वस्तु r(a) द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, जब a↔↔b, इसलिए हम प्रकार को परिवर्तनीयता के आंतरिककरण के रूप में देख सकते हैं।


On top of theItype we can build more complex assertions, such as (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) wherefandgare functions of typeA⇒B.

Iप्रकार के शीर्ष पर हम अधिक जटिल दावे बना सकते हैं, जैसे (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) जहाँ f और g प्रकार A⇒B के फलन हैं।


Proof thatIis the internali-sation of ‘↔↔’ is given by the result Theorem 5.22For closedaandb, the judgementI(A, a, b) is derivable if and only ifa↔↔b.

प्रमाण है कि I ‘↔↔’ का आंतरिककरण है, परिणाम प्रमेय 5.22 द्वारा दिया गया है। बंद a और b के लिए, निर्णय I(A, a, b) व्युत्पन्न है यदि और केवल यदि a↔↔b।


प्रमाण: स्पष्ट रूप से ‘यदि’ भाग मान्य है।


Suppose thatp:I(A, a, b) is derivable; taking normal forms`a latheorem 5.14 we have p ′ :I(A ′ , a ′ , b ′ ) but for this to be derivable, it must be the case thata ′ ≡b ′ , which means thata↔↔b2

मान लीजिए कि p:I(A, a, b) व्युत्पन्न है; सामान्य रूप लेते हुए प्रमेय 5.14 में हमारे पास p ′ :I(A ′ , a ′ , b ′ ) है, लेकिन इसके व्युत्पन्न होने के लिए, यह मामला होना चाहिए कि a ′ ≡b ′ , जिसका अर्थ है कि a↔↔b2


The system does not permit full general recursion to be used.

यह प्रणाली पूर्ण सामान्य पुनरावर्तन के उपयोग की अनुमति नहीं देती है।


We are already familiar with type theory as a constructive logic.

हम पहले से ही रचनात्मक तर्क के रूप में टाइप सिद्धांत से परिचित हैं।


Every expression has a defined value; every program terminates.

प्रत्येक अभिव्यक्ति का एक परिभाषित मूल्य होता है; प्रत्येक प्रोग्राम समाप्त होता है।


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

हम अपनी चर्चा एक कार्यात्मक भाषा के रूप में टी को देखकर शुरू करते हैं।


This chapter investigates the different ways in which the system of type theory can be used.

यह अध्याय उन विभिन्न तरीकों की जांच करता है जिनमें टाइप सिद्धांत की प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है।


We can supply an extra parameter to the function, which is to be returned in the case that the list argument is the empty list.

हम फ़ंक्शन में एक अतिरिक्त पैरामीटर प्रदान कर सकते हैं, जिसे उस स्थिति में वापस किया जाना है जब सूची तर्क खाली सूची है।


The crucial reduction to ensure ‘directness of proof’ is that embodied in our computation rules.

यह सुनिश्चित करने के लिए महत्वपूर्ण कटौती कि 'प्रमाण की प्रत्यक्षता' हमारे गणना नियमों में निहित है।


We are interested in proofs of expressions like (A⇒B)⇒(A⇒C) which are not of ground type.

हमें (A⇒B)⇒(A⇒C) जैसे भावों के प्रमाण में रुचि है जो ग्राउंड टाइप के नहीं हैं।


The identification of propositions and types, proofs and objects has been fundamental to our investigation so far.

प्रस्तावों और प्रकारों, प्रमाणों और वस्तुओं की पहचान अब तक हमारी जांच के लिए मौलिक रही है।


This is not the most natural way to proceed; in the next chapter we look at the ways in which functions are most naturally implemented in the language.

यह आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक तरीका नहीं है; अगले अध्याय में हम उन तरीकों पर गौर करेंगे जिनसे कार्यों को भाषा में सबसे स्वाभाविक रूप से लागू किया जाता है।


The alternative rule, which we call (⇒I) alt would discharge all assumptions of A.

वैकल्पिक नियम, जिसे हम (⇒I) alt कहते हैं, A की सभी धारणाओं को खारिज कर देगा।


The system of types is more expressive than those in common use, allowing as it does dependent product and function spaces.

प्रकारों की प्रणाली सामान्य उपयोग में आने वालों की तुलना में अधिक अभिव्यंजक है, जो इसे आश्रित उत्पाद और फ़ंक्शन स्पेस की अनुमति देती है।


We follow this with a more detailed survey of the uses of dependent types, especially in the presence of uni- verses.

हम इसका अनुसरण आश्रित प्रकारों के उपयोगों के अधिक विस्तृत सर्वेक्षण के साथ करते हैं, विशेष रूप से ब्रह्मांडों की उपस्थिति में।


In this section we look at two aspects of the system which seem not to fit with this identification.

इस खंड में हम सिस्टम के दो पहलुओं पर गौर करते हैं जो इस पहचान के अनुरूप नहीं लगते हैं।


We can use the logical system to reason about the properties of programs.

हम कार्यक्रमों के गुणों के बारे में तर्क करने के लिए तार्किक प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं।


We can also use to system to support program transformation.

हम प्रोग्राम परिवर्तन का समर्थन करने के लिए सिस्टम का भी उपयोग कर सकते हैं।


Finally, we show how we can develop imperative programs within a type-theoretic framework.

अंत में, हम दिखाते हैं कि हम टाइप-सैद्धांतिक ढांचे के भीतर अनिवार्य कार्यक्रमों को कैसे विकसित कर सकते हैं।


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section, with some introduction of quantified types as we go along.

हम इस खंड में प्राकृतिक संख्याओं और सूचियों पर उदाहरणों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, साथ ही आगे बढ़ते हुए परिमाणित प्रकारों का कुछ परिचय देते हैं।


This is not the most natural way to proceed.

यह आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक तरीका नहीं है।


The proof theorist who studies the general behaviour of logical systems is interested in such behaviour.

प्रमाण सिद्धांतकार जो तार्किक प्रणालियों के सामान्य व्यवहार का अध्ययन करता है, वह ऐसे व्यवहार में रुचि रखता है।


The identity function is thus defined for all ‘small’ types uniformly.

इस प्रकार, पहचान फ़ंक्शन को सभी 'छोटे' प्रकारों के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

एक प्रकार पर विचार करें जैसे (∃A:U 0 )। P(A) इस प्रकार की वस्तुएँ कैसी दिखती हैं?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A).

वे वस्तुओं के जोड़े हैं (A, p), A:U 0 और p:P(A)।


Suppose we have defined P(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a type Atogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

मान लीजिए कि हमने P(A) को (A⇒A)∧(A⇒A) के रूप में परिभाषित किया है, तो अस्तित्वगत प्रकार की एक वस्तु एक प्रकार A होगी साथ ही p: (A⇒A)∧(A⇒A) जो A से स्वयं तक के कार्यों का एक जोड़ा है।


An object of this type is equivalent to an implementation of an abstract type, with signature (written in Miranda notation) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A wheref1andf2are the first and second projections ofp, of course.

इस प्रकार की एक वस्तु एक अमूर्त प्रकार के कार्यान्वयन के बराबर है, जिसमें हस्ताक्षर (मिरांडा संकेतन में लिखा गया है) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A जहां f1 और f2 निश्चित रूप से p के पहले और दूसरे प्रक्षेपण हैं।


We shall have more to say about quantified types in the following chapter, where we look at a series of examples.

हम अगले अध्याय में परिमाणित प्रकारों के बारे में अधिक बातें करेंगे, जहाँ हम उदाहरणों की एक श्रृंखला पर नज़र डालेंगे।


The usual way that we characterise the members of a type is by a pair of rules: the introduction rule explains what objects are permitted to be elements of the type, and the elimination rule (together with the computation rule) characterises these elements as theonlyelements of the type.

एक प्रकार के सदस्यों को चित्रित करने का सामान्य तरीका नियमों की एक जोड़ी द्वारा है: परिचय नियम बताता है कि किन वस्तुओं को प्रकार के तत्व होने की अनुमति है, और उन्मूलन नियम (गणना नियम के साथ) इन तत्वों को प्रकार के एकमात्र तत्वों के रूप में चित्रित करता है।


It is the closure axioms for a type A which allow us to prove properties for all elements of A, and to define functions by recursion over A.

यह एक प्रकार A के लिए क्लोजर अभिगृहीत हैं जो हमें A के सभी तत्वों के लिए गुणों को साबित करने और A पर पुनरावर्तन द्वारा कार्यों को परिभाषित करने की अनुमति देते हैं।


The rules we have given for universes correspond to introduction rules; if we wish to define functions by recursion over the universe we need a closure axiom to that effect.

हमने ब्रह्मांडों के लिए जो नियम दिए हैं, वे परिचय नियमों के अनुरूप हैं; यदि हम ब्रह्मांड पर पुनरावर्तन द्वारा कार्यों को परिभाषित करना चाहते हैं तो हमें उस प्रभाव के लिए एक क्लोजर अभिगृहीत की आवश्यकता है।


In Martin-L ̈of’s treatment of the system, these axioms have been omitted deliberately; for philosophical reasons he has chosen to make the universes open-ended, so that other type forming operations can be added to the system without violating the closure axioms.

सिस्टम के मार्टिन-एलओएफ के उपचार में, इन अभिगृहीतों को जानबूझकर छोड़ दिया गया है; दार्शनिक कारणों से उन्होंने ब्रह्मांडों को खुला बनाने का फैसला किया है, ताकि अन्य प्रकार के निर्माण कार्यों को क्लोजर अभिगृहीतों का उल्लंघन किए बिना सिस्टम में जोड़ा जा सके।


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric ([Str67]).

क्लोजर अभिगृहीत हमें बहुरूपी कार्यों को परिभाषित करने की अनुमति देते हैं जो पैरामीट्रिक होने में विफल रहते हैं ([Str67])।


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types but N, and which was the successor function λn .(succ n) on N.

उदाहरण के लिए, हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं जो N को छोड़कर सभी प्रकारों पर पहचान फ़ंक्शन था, और जो N पर उत्तराधिकारी फ़ंक्शन λn .(succ n) था।


This would have the type (∀A:U 0 ).(A⇒A) just as did the polymorphic identity function, which had a parametric def- inition — we did not perform any analysis on the type variable Ain the definition of the identity function, it was simply aparameter.

इसका प्रकार (∀A:U 0 )।(A⇒A) होगा, ठीक उसी तरह जैसे बहुरूपी पहचान फ़ंक्शन ने किया था, जिसकी एक पैरामीट्रिक परिभाषा थी - हमने पहचान फ़ंक्शन की परिभाषा में प्रकार चर A पर कोई विश्लेषण नहीं किया, यह बस एक पैरामीटर था।


Why do we stop with a chain of universes U 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

हम U 0 , U 1 , . . . के ब्रह्मांडों की एक श्रृंखला के साथ क्यों रुकते हैं, जब प्राकृतिक कार्य हैं जिन्हें सिस्टम में परिभाषित नहीं किया जा सकता है?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of the U n .

स्पष्ट एक जो दिमाग में आता है वह है (λn:N)। U n जो स्पष्ट रूप से U n में से किसी में भी निवास नहीं करता है।


To give this a type we need to add the first transfinite universe U ω , which is itself a member of U ω+1 , and so we can iterate through the constructive ordinals.

इसे एक प्रकार देने के लिए हमें पहले ट्रांसफिनिट ब्रह्मांड U ω को जोड़ने की आवश्यकता है, जो स्वयं U ω+1 का सदस्य है, और इसलिए हम रचनात्मक क्रमसूचक के माध्यम से पुनरावृति कर सकते हैं।


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such as N and tree, and the propositions, and to try to extend the type theory with a type of propositions.

एक और संभावित दिशा उन प्रकारों के बीच अंतर करना है जो सेट हैं, जैसे N और पेड़, और प्रस्ताव, और प्रस्तावों के एक प्रकार के साथ प्रकार सिद्धांत का विस्तार करने का प्रयास करना।


When we first introduced algebraic types in the previous chapter, section 4.9, we described what we meant by an algebraic type, and then introduced the rules for a particular type, tree, of binary trees.

जब हमने पहली बार पिछले अध्याय, अनुभाग 4.9 में बीजगणितीय प्रकारों का परिचय दिया, तो हमने वर्णन किया कि हमारा मतलब बीजगणितीय प्रकार से क्या है, और फिर द्विआधारी पेड़ों के एक विशेष प्रकार, पेड़ के लिए नियमों का परिचय दिया।


A list is either empty, [ ], or can be thought of as having a first element, or head, a and a remainder, or tail, x.

एक सूची या तो खाली है, [ ], या यह माना जा सकता है कि इसका पहला तत्व, या सिर, a और एक शेष, या पूंछ, x है।


The double colon ‘::’ is often pronounced ‘cons’.

डबल कोलन ‘::’ को अक्सर ‘कंस’ कहा जाता है।


If the object does not represent a proof, the analysis does not apply.

यदि वस्तु प्रमाण का प्रतिनिधित्व नहीं करती है, तो विश्लेषण लागू नहीं होता है।


The cases of ConjE and ImpE are difficult to understand.

ConjE और ImpE के मामले समझना मुश्किल है।


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

हम प्रमाण निर्माण को सुरक्षित बनाने के लिए निर्भर प्रकार तंत्र का उपयोग कर सकते हैं।


First we define a function proves:proof⇒(f mla+dummy).

सबसे पहले, हम एक फ़ंक्शन परिभाषित करते हैं: proves:proof⇒(f mla+dummy)।


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors.

हम कंस्ट्रक्टर की क्रिया के अनुरूप फ़ंक्शन tr, conjI और impI को परिभाषित कर सकते हैं।


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

फ़ंक्शन conjE और impE का आवश्यक प्रभाव संबंधित कंस्ट्रक्टर को लागू करना है।


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

ऊपर पेश किए गए फ़ंक्शन proves, conjE 1 और impE की परिभाषाएँ दें।


Quantification over the universes U0, . . . , Un, . . . allows us to assert the existence of types.

ब्रह्मांडों U0, . . . , Un, . . . पर परिमाणीकरण हमें प्रकारों के अस्तित्व का दावा करने की अनुमति देता है।


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined over lists of numbers.

हमने पहले ही देखा है कि क्विकसॉर्ट फ़ंक्शन qsort को संख्याओं की सूचियों पर कैसे परिभाषित किया जा सकता है।


This parametrization is possible in a language like Miranda.

यह पैरामीट्रिज़ेशन मिरांडा जैसी भाषा में संभव है।


The examples we have seen so far resemble the parametric polymorphic functions.

अब तक हमने जो उदाहरण देखे हैं, वे पैरामीट्रिक बहुरूपी कार्यों से मिलते-जुलते हैं।


A function of this type is given by λf .(if f bool(eq N (f N0) (f N1)) then f else id).

इस प्रकार का एक फ़ंक्शन λf द्वारा दिया गया है। (यदि f bool(eq N (f N0) (f N1)) तो f अन्यथा id)।


Quantifiers over a universe can be used to define weak versions of various familiar type constructors.

एक ब्रह्मांड पर परिमाणीकरण का उपयोग विभिन्न परिचित प्रकार के कंस्ट्रक्टर के कमजोर संस्करणों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।


Given elements a:A and b:B we can define F a,b :P rod A B.

तत्वों a:A और b:B को देखते हुए, हम F a,b :P rod A B को परिभाषित कर सकते हैं।


Observe that p F a,b ≡ df F a,b A(λx A . λy B . x) ≡ df (λC:U 0 ).(λf:A⇒B⇒C).(f a b)A(λx A . λy B . x) →(λf:A⇒B⇒A).(f a b) (λx A . λy B . x) →(λx A . λy B . x)a b →λy B . a b →a

ध्यान दें कि p F a,b ≡ df F a,b A(λx A . λy B . x) ≡ df (λC:U 0)।(λf:A⇒B⇒C)।(f a b)A(λx A . λy B . x) →(λf:A⇒B⇒A)।(f a b) (λx A . λy B . x) →(λx A . λy B . x)a b →λy B . a b →a


This shows that the function F a,b can be thought of as representing the pair formed from a and b.

यह दर्शाता है कि फ़ंक्शन F a,b को a और b से बने जोड़े का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है।


Existential quantification over a universe offers a rich collection of examples.

एक ब्रह्मांड पर अस्तित्वगत परिमाणीकरण उदाहरणों का एक समृद्ध संग्रह प्रदान करता है।


We can think of P1 ∧ . . . ∧ Pn as a signature and the tuple (p1, . . . , pn) as an implementation of the signature.

हम P1 ∧ . . . ∧ Pn को एक हस्ताक्षर के रूप में और टपल (p1, . . . , pn) को हस्ताक्षर के कार्यान्वयन के रूप में सोच सकते हैं।


The type (∃A:U 0 ). P can therefore be thought of as an abstract type.

इसलिए प्रकार (∃A:U 0)। P को एक अमूर्त प्रकार के रूप में सोचा जा सकता है।


We can interpret existential quantification over a universe in a different way.

हम एक ब्रह्मांड पर अस्तित्वगत परिमाणीकरण की एक अलग तरीके से व्याख्या कर सकते हैं।


Given a list l, a natural number n, and a proof that n is smaller than the length of l, we return the nth element of l.

एक सूची l, एक प्राकृतिक संख्या n, और इस बात का प्रमाण दिया गया है कि n, l की लंबाई से छोटा है, तो हम l का nवां तत्व लौटाते हैं।


दूसरी और तीसरी धाराएँ स्पष्ट हैं।


What is happening in the first? p is a proof that (n < #[ ]) that is (n < 0), which is ⊥— we can define an element of A from p using abort A .

पहले में क्या हो रहा है? p इस बात का प्रमाण है कि (n < #[ ]) यानी (n < 0), जो ⊥ है— हम abort A का उपयोग करके p से A का एक तत्व परिभाषित कर सकते हैं।


It is interesting to see that the definition of index can be made either by induction over N with a subsidiary induction over [A], or vice versa— the two arguments are independent of each other.

यह देखना दिलचस्प है कि इंडेक्स की परिभाषा या तो N पर प्रेरण द्वारा [A] पर एक सहायक प्रेरण के साथ बनाई जा सकती है, या इसके विपरीत— दोनों तर्क एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

अब हम मान-मूल्य पुनरावर्तन के उदाहरण पर वापस आ सकते हैं, क्योंकि हमने उन सभी सहायक कार्यों को परिभाषित किया है जिनकी आवश्यकता है।


Taking a special case of the power function, we have pow0 ≡ df 1 pow n ≡ df (pow(n div2)) 2 * 2 (n mod2) which can be rewritten thus, where h is a primitive recursive function, pow0 ≡ df 1 pow(n+ 1) ≡ df h(pow(n+1div2))n

पावर फ़ंक्शन का एक विशेष मामला लेते हुए, हमारे पास pow0 ≡ df 1 pow n ≡ df (pow(n div2)) 2 * 2 (n mod2) है जिसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ h एक आदिम पुनरावर्ती फ़ंक्शन है, pow0 ≡ df 1 pow(n+ 1) ≡ df h(pow(n+1div2))n


Transforming this into a list definition, we have g0 ≡ df [1] g(n+ 1) ≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]

इसे एक सूची परिभाषा में बदलते हुए, हमारे पास g0 ≡ df [1] g(n+ 1) ≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n] है


The subexpression g! (n+1div2) is informal; index takes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

उप-अभिव्यक्ति g! (n+1div2) अनौपचारिक है; इंडेक्स एक तीसरा तर्क लेता है जो एक प्रमाण वस्तु है, जो अनुप्रयोग को वैध बनाता है।


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2) < #(g n) This will follow from proofs of (0< m) ⇒ (m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

अनुप्रयोग वैध होगा यदि हम दिखा सकते हैं कि (n+1div2) < #(g n) यह (0< m) ⇒ (m div2< m) के प्रमाणों से अनुसरण करेगा जो मानक है, और #(g n) = (n+ 1)(6.1) जिसे हमें प्रेरण द्वारा स्थापित करना होगा, परिभाषा के साथ ही।


Transforming again, we define a function which returns a pair (g n , p n ) where p n proves the assertion (6.1).

फिर से बदलते हुए, हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं जो एक जोड़ी (g n , p n ) लौटाता है जहाँ p n अभिकथन (6.1) को साबित करता है।


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

परिणाम (f n) को मान (g n) से निकालने के लिए हम हेड फ़ंक्शन लागू करते हैं।


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

याद रखें कि ऐसा करने के लिए हमें इस बात का प्रमाण चाहिए कि सूची खाली नहीं है।


We can use (6.1) again here to show this, as it states that all the values (g n) have positive length, and so none of them can be empty.

हम इसे दिखाने के लिए यहां फिर से (6.1) का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि यह बताता है कि सभी मान (g n) की लंबाई धनात्मक है, और इसलिए उनमें से कोई भी खाली नहीं हो सकता है।


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it terminates.

हम ऊपर दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से देख सकते हैं कि सिस्टम एक पारंपरिक कार्यात्मक प्रोग्रामिंग सिस्टम से काफी अलग है, इस मायने में कि एक फ़ंक्शन की परिभाषा को इस बात के प्रमाण से अलग नहीं किया जा सकता है कि यह समाप्त होता है।


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values to head and index we could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

वास्तव में, यह पूरी तरह से सटीक नहीं है— यदि हमने उस दृष्टिकोण को अपनाया होता जो हेड और इंडेक्स को डिफ़ॉल्ट या त्रुटि मान देता है तो हम उन अनुमानों के बिना व्युत्पन्न कर सकते थे जिनकी हमें ऊपर आवश्यकता थी, लेकिन एक बार व्युत्पन्न होने के बाद हमें यह साबित करना होगा कि फ़ंक्शन द्वारा लौटाए गए मान ‘ठीक’ हैं और त्रुटि या डिफ़ॉल्ट मान नहीं हैं।


Using induction over m:N prove that (m div2) < m for all m > 0.

m:N पर प्रेरण का उपयोग करके साबित करें कि सभी m > 0 के लिए (m div2) < m।


Formalise the derivation of the functions g and pow above.

ऊपर दिए गए कार्यों g और pow के व्युत्पन्न को औपचारिक रूप दें।


Give a proof that for all lists l and m, #l + #m = #(l++m)

एक प्रमाण दें कि सभी सूचियों l और m के लिए, #l + #m = #(l++m)


Consider the example of ‘Russian multiplication’ given by the definition mul a0 ≡ df 0 mul a b ≡ df (mul(2*a) (b div2)) +a*(b mod2)

परिभाषा mul a0 ≡ df 0 mul a b ≡ df (mul(2*a) (b div2)) +a*(b mod2) द्वारा दिए गए ‘रूसी गुणन’ के उदाहरण पर विचार करें।


How would you argue that this is definable in type theory?

आप कैसे तर्क देंगे कि यह टाइप सिद्धांत में परिभाषित करने योग्य है?


The function is tail recursive if its definition takes a specific form.

एक फ़ंक्शन टेल रिकर्सिव है यदि इसकी परिभाषा एक विशिष्ट रूप लेती है।


These functions are called tail recursive since the only recursive calls the right hand sides make to f are in the tail of the code.

इन कार्यों को टेल रिकर्सिव कहा जाता है क्योंकि दाहिने हाथ की ओर से f को किए जाने वाले एकमात्र रिकर्सिव कॉल कोड के टेल में होते हैं।


If the condition c ~a is true, we make a recursive call.

यदि शर्त c ~a सत्य है, तो हम एक रिकर्सिव कॉल करते हैं।


To illustrate the point, there follows a tail recursive version of the factorial function.

इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए, फैक्टोरियल फ़ंक्शन का एक टेल रिकर्सिव संस्करण नीचे दिया गया है।


यह कोई अलग घटना नहीं है।


The idea of the transformation is that the last argument starts off at c.

रूपांतरण का विचार यह है कि अंतिम तर्क c पर शुरू होता है।


The result is a corollary of the following theorem.

परिणाम निम्नलिखित प्रमेय का एक परिणाम है।


Note that in the action of tprim the first three arguments are not modified in the recursive calls.

ध्यान दें कि tprim की क्रिया में पहले तीन तर्क रिकर्सिव कॉल में संशोधित नहीं होते हैं।


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function into a tail recursive one.

परिणाम किसी भी आदिम रिकर्सिव फ़ंक्शन को टेल रिकर्सिव में बदलने को सही ठहराता है।


We can prove similar theorems for the other recursion operators in the system.

हम सिस्टम में अन्य रिकर्सन ऑपरेटरों के लिए इसी तरह के प्रमेय साबित कर सकते हैं।


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

यदि हम कोई भी अनिवार्य कार्यक्रम लेते हैं तो उसके लिए एक कार्यात्मक रूप होगा।


However that tail recursion may not be formalizable in TT, since it may lead to non-termination.

हालांकि वह टेल रिकर्सन टीटी में औपचारिक नहीं हो सकता है, क्योंकि यह गैर-समाप्ति की ओर ले जा सकता है।


Give tail recursive forms of the recursion operators over lists and trees.

सूचियों और पेड़ों पर रिकर्सन ऑपरेटरों के टेल रिकर्सिव रूप दें।


Comment on the space efficiency of the tail recursive form of the factorial function.

फैक्टोरियल फ़ंक्शन के टेल रिकर्सिव रूप की स्थान दक्षता पर टिप्पणी करें।


This section provides a survey of examples in the published literature.

यह खंड प्रकाशित साहित्य में उदाहरणों का एक सर्वेक्षण प्रदान करता है।


In Martin-Löf’s work there are few examples.

मार्टिन-लोफ के काम में कुछ ही उदाहरण हैं।


The extensional version of the theory contains a proof of the axiom of choice.

सिद्धांत के विस्तारवादी संस्करण में पसंद के स्वयंसिद्ध का प्रमाण शामिल है।


As well as a proof of the axiom of choice, the Padova notes contain small examples but nothing large-scale.

पसंद के स्वयंसिद्ध के प्रमाण के साथ-साथ, पाडोवा नोट्स में छोटे उदाहरण हैं लेकिन कुछ भी बड़े पैमाने पर नहीं है।


A substantial derivation of a parsing algorithm is given.

एक पार्सिंग एल्गोरिदम का एक महत्वपूर्ण व्युत्पन्न दिया गया है।


The system is sufficiently close to type theory for the majority of their examples to be comprehensible.

प्रणाली उनके अधिकांश उदाहरणों के लिए टाइप सिद्धांत के पर्याप्त करीब है ताकि वे समझने योग्य हो सकें।


The logic is typed to ensure the well-formedness of propositions.

तर्क को प्रस्तावों की सुगठितता सुनिश्चित करने के लिए टाइप किया गया है।


An example of a ‘proof-less’ derivation of (∀x:A).(∃y:B). P from (∃y:B).(∀x:A). P follows.

(∀x:A).(∃y:B). P से (∃y:B).(∀x:A). P का एक 'प्रमाण-रहित' व्युत्पन्न उदाहरण इस प्रकार है।


The derivation can now have the proof object extracted from it.

अब व्युत्पन्न से प्रमाण वस्तु को निकाला जा सकता है।


We have only considered the weak existential elimination rule in this way.

हमने केवल इस तरह से कमजोर अस्तित्वगत उन्मूलन नियम पर विचार किया है।


To use these rules, which we need to do to prove the axiom of choice.

इन नियमों का उपयोग करने के लिए, जो हमें पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित करने के लिए करने की आवश्यकता है।


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

हम इस प्रमाण-रहित व्युत्पन्न को प्राकृतिक संख्याओं जैसे डेटा प्रकारों से जुड़े परिणामों तक बढ़ा सकते हैं।


Obviously the introduction rules still need to mention the elements of N.

जाहिर है कि परिचय नियमों को अभी भी N के तत्वों का उल्लेख करने की आवश्यकता है।


An example we might prove thus is (∀n:N).(0< f ac n).

एक उदाहरण जिसे हम इस प्रकार साबित कर सकते हैं वह है (∀n:N).(0< f ac n)।


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1).

हमें पहले (0<1) प्राप्त करना होगा जो (0< n+ 1) का एक विशेष मामला है।


In the second case we have to derive (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1))).

दूसरे मामले में हमें (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1))) प्राप्त करना होगा।


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

हमारा दृष्टिकोण [NPS90] में दिए गए दृष्टिकोण से दो तरह से अलग है।


First, we express the specification in a different way.

सबसे पहले, हम विशिष्टता को एक अलग तरीके से व्यक्त करते हैं।


We shall discuss this type in some detail in chapter 7.

हम अध्याय 7 में इस प्रकार पर कुछ विस्तार से चर्चा करेंगे।


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

हम एक 'समीकरण' संकेतन का भी उपयोग करते हैं जो अधिकांश कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपयोग किए जाने वाले संकेतन के करीब है।


We assume that the colours are represented by the boolean type, bool.

हम मानते हैं कि रंगों को बूलियन प्रकार, bool द्वारा दर्शाया गया है।


One way to express the specification of the problem is then to say (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]).

समस्या की विशिष्टता को व्यक्त करने का एक तरीका यह कहना है (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C])।


What we seek is, in fact, a function which returns the pair of lists (l ′ , l ′′ ).

वास्तव में, हम एक ऐसा फ़ंक्शन चाहते हैं जो सूचियों की जोड़ी (l ′ , l ′′ ) लौटाता है।


This is the general form that a specification in type theory should take.

यह सामान्य रूप है जो टाइप सिद्धांत में एक विशिष्टता को लेना चाहिए।


We have applied the axiom of choice to the first to obtain the second.

हमने दूसरे को प्राप्त करने के लिए पहले पर पसंद के स्वयंसिद्ध को लागू किया है।


It is not hard to show that this type is inhabited.

यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि इस प्रकार में निवास है।


अभिव्यक्ति का मूल्यांकन किया जाता है।


If an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

यदि कोई तर्क k गणनात्मक रूप से अप्रासंगिक है, तो इसका मूल्यांकन कार्यक्रम की दक्षता को कम कर देगा।


Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

मूल्यांकन जिसमें हम हमेशा सबसे बाएं बाहरी रेडक्स का चयन करते हैं, उसे सामान्य क्रम मूल्यांकन कहा जाता है।


In a language with structured data such as pairs and lists, there is a further clause to the definition.

जोड़े और सूचियों जैसे संरचित डेटा वाली भाषा में, परिभाषा के लिए एक और खंड है।


This will usually imply that it is evaluated to weak head normal form.

इसका मतलब आमतौर पर होगा कि इसका मूल्यांकन कमजोर शीर्ष सामान्य रूप में किया जाता है।


Recent research has shown that efficient lazy implementations of functional languages like Miranda are feasible.

हाल के शोध से पता चला है कि मिरांडा जैसी कार्यात्मक भाषाओं के कुशल आलसी कार्यान्वयन संभव हैं।


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

आलसी मूल्यांकन के तहत गणनात्मक रूप से अप्रासंगिक वस्तुओं या संरचित वस्तुओं के घटकों को बस अनदेखा कर दिया जाएगा।


Indeed, it can be argued that the proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

वास्तव में, यह तर्क दिया जा सकता है कि गणनात्मक प्रासंगिकता की उचित परिभाषा वह होगी जो किसी अभिव्यक्ति के केवल उस हिस्से को चुनती है जिसका उपयोग आलसी मूल्यांकन अनुशासन के तहत परिणाम की गणना में किया जाता है।


There is another possible approach to computational relevance, and that involves an examination of the different forms that types can take.

गणनात्मक प्रासंगिकता का एक और संभावित दृष्टिकोण है, और इसमें उन विभिन्न रूपों की जांच शामिल है जो प्रकार ले सकते हैं।


Since there are no closed normal forms in ⊥ and there is only the trivial T, computation of objects of these types will never be important.

चूंकि ⊥ में कोई बंद सामान्य रूप नहीं हैं और केवल तुच्छ T है, इन प्रकार की वस्तुओं की गणना कभी भी महत्वपूर्ण नहीं होगी।


What is of importance is whether the type is inhabited or not in any particular case.

महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या प्रकार किसी विशेष मामले में आबाद है या नहीं।


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

hd का एक सूची l पर अनुप्रयोग तभी संभव है जब हम l को एक प्रमाण p के साथ जोड़ सकते हैं कि l खाली नहीं है।


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives ∧, ⇒ and ∀.

यह तर्क दिया जा सकता है कि इस तरह की गणनात्मक अप्रासंगिकता को संरक्षित किया जाता है जब संयोजनों को संयोजकों ∧, ⇒ और ∀ का उपयोग करके लिया जाता है।


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

हमें संपत्ति B के साथ प्रकार A की वस्तुओं के संग्रह का प्रतिनिधित्व कैसे करना चाहिए?


According to the principle of complete presentation, we would form the type (∃x:A). B consisting of pairs of objects and the proofs that they have the property P.

पूर्ण प्रस्तुति के सिद्धांत के अनुसार, हम प्रकार (∃x:A). B बनाएंगे जिसमें वस्तुओं के जोड़े और प्रमाण शामिल हैं कि उनमें संपत्ति P है।


This is how we have dealt with the type so far in this exposition.

इस प्रदर्शनी में अब तक हमने प्रकार से इसी तरह निपटा है।


An alternative approach is to build the ‘subset’ type {x:A|B} whose members consist of those a in A which have the property B[a/x].

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण 'सबसेट' प्रकार {x:A|B} का निर्माण करना है जिसके सदस्य A में वे a हैं जिनमें संपत्ति B[a/x] है।


What are the formal rules for the subset type?

सबसेट प्रकार के लिए औपचारिक नियम क्या हैं?


The rules we give now are those first proposed in [NP83], and used in [C+86a], page 167, and [BCMS89], section 3.4.2.

अब हम जो नियम देते हैं, वे [NP83] में पहली बार प्रस्तावित किए गए थे, और [C+86a], पृष्ठ 167, और [BCMS89], अनुभाग 3.4.2 में उपयोग किए गए थे।


एक सेट को कैसे समाप्त किया जाना चाहिए?


बिल्ली चटाई पर बैठी थी।


क्या आप कृपया नमक पास कर सकते हैं?


समाचार में एक बड़े भूकंप की खबर दी गई।


He is studying computer science at the university.

वह विश्वविद्यालय में कंप्यूटर विज्ञान का अध्ययन कर रहा है।


The company announced its quarterly earnings.

कंपनी ने अपनी तिमाही आय की घोषणा की।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


चुनौतियों के बावजूद, वे सफल हुए।


The research paper explores new methodologies.

शोध पत्र नई पद्धतियों की पड़ताल करता है।


The government implemented new policies to boost the economy.

सरकार ने अर्थव्यवस्था को बढ़ावा देने के लिए नई नीतियां लागू कीं।


The philosophical debate centered on the nature of reality.

दार्शनिक बहस वास्तविकता की प्रकृति पर केंद्रित थी।


The intricate design of the software required extensive testing.

सॉफ्टवेयर के जटिल डिजाइन के लिए व्यापक परीक्षण की आवश्यकता थी।


The artist's innovative techniques revolutionized the art world.

कलाकार की नवीन तकनीकों ने कला जगत में क्रांति ला दी।


The economic downturn significantly impacted global trade.

आर्थिक मंदी ने वैश्विक व्यापार को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किया।


The complex interplay of factors led to the crisis.

कारकों की जटिल अंतःक्रिया ने संकट को जन्म दिया।


The judge delivered a verdict after a lengthy trial.

न्यायाधीश ने लंबी सुनवाई के बाद फैसला सुनाया।


The scientists conducted experiments to verify the hypothesis.

वैज्ञानिकों ने परिकल्पना को सत्यापित करने के लिए प्रयोग किए।


The team worked collaboratively to achieve their goals.

टीम ने अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए मिलकर काम किया।


The museum showcased artifacts from ancient civilizations.

संग्रहालय ने प्राचीन सभ्यताओं की कलाकृतियों का प्रदर्शन किया।


The company is committed to sustainable practices.

कंपनी टिकाऊ प्रथाओं के लिए प्रतिबद्ध है।


The intricate details of the plan were carefully considered.

योजना के जटिल विवरणों पर सावधानीपूर्वक विचार किया गया।


सत्यापन के चरण अलग-अलग हैं।


We did this above by a simple series of transformations.

हमने यह ऊपर सरल परिवर्तनों की एक श्रृंखला द्वारा किया।


In general, simply naming the function we aim to compute and writing the specification and derivation in terms of that function can achieve the desired effect.

सामान्य तौर पर, जिस फ़ंक्शन की हम गणना करना चाहते हैं, उसका नामकरण करना और उस फ़ंक्शन के संदर्भ में विनिर्देश और व्युत्पत्ति लिखना वांछित प्रभाव प्राप्त कर सकता है।


This approach seems to achieve the separation between the logical and the computational to the appropriate degree, without introducing the subset type.

यह दृष्टिकोण उपसमुच्चय प्रकार को पेश किए बिना, तार्किक और कम्प्यूटेशनल के बीच उचित डिग्री तक अलगाव प्राप्त करता प्रतीत होता है।


We have found no example in the literature which is not amenable to this kind of treatment.

हमें साहित्य में कोई ऐसा उदाहरण नहीं मिला है जो इस प्रकार के उपचार के लिए उत्तरदायी न हो।


Using the subset type to represent a subset brings problems.

उपसमुच्चय को दर्शाने के लिए उपसमुच्चय प्रकार का उपयोग करने से समस्याएँ आती हैं।


It is not possible in general to recover the witnessing information from a subset type.

सामान्य तौर पर, उपसमुच्चय प्रकार से साक्षी जानकारी को पुनर्प्राप्त करना संभव नहीं है।


Especially in an intensional system like TT, and so in these cases, the existential type should be used, retaining the witnessing information.

विशेष रूप से टीटी जैसे एक इंटेंशनल सिस्टम में, और इसलिए इन मामलों में, अस्तित्वगत प्रकार का उपयोग किया जाना चाहिए, साक्षी जानकारी को बनाए रखते हुए।


An important tool for the programmer and the mathematician is the capability to define an equality relation over a class of objects.

प्रोग्रामर और गणितज्ञ के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण वस्तुओं के एक वर्ग पर समानता संबंध को परिभाषित करने की क्षमता है।


For instance in this account we stipulated that we would consider as the same two expressions which differ only in their bound variables.

उदाहरण के लिए, इस खाते में हमने यह निर्धारित किया कि हम दो अभिव्यक्तियों को समान मानेंगे जो केवल उनके बाध्य चरों में भिन्न हैं।


In a program we might choose to represent finite sets by finite lists, by taking as equal those lists which have the same elements, irrespective of their multiplicity or ordering.

एक प्रोग्राम में हम परिमित सेटों को परिमित सूचियों द्वारा दर्शाने का विकल्प चुन सकते हैं, उन सूचियों को समान मानकर जिनमें समान तत्व हैं, उनकी बहुलता या क्रम की परवाह किए बिना।


In both cases we can be seen to define a new type by taking the quotient of a type by an equivalence relation.

दोनों ही मामलों में हम एक तुल्यता संबंध द्वारा एक प्रकार का भागफल लेकर एक नया प्रकार परिभाषित करते हुए देखे जा सकते हैं।


These types are a part of the Nuprl system.

ये प्रकार नुप्रल प्रणाली का एक हिस्सा हैं।


We start with an exposition of the quotient type adapted to the context of TT.

हम टीटी के संदर्भ के लिए अनुकूलित भागफल प्रकार की व्याख्या से शुरू करते हैं।


Because of the number of hypotheses in the following rule, we write them in a vertical list.

निम्नलिखित नियम में परिकल्पनाओं की संख्या के कारण, हम उन्हें एक ऊर्ध्वाधर सूची में लिखते हैं।


In forming the type, we have to verify that the predicate is an equivalence relation.

प्रकार बनाते समय, हमें यह सत्यापित करना होगा कि विधेय एक तुल्यता संबंध है।


The introduction rule breaks unicity of typing.

परिचय नियम टाइपिंग की विशिष्टता को तोड़ता है।


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

यदि हम भागफल प्रकार पर एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, तो समतुल्य तत्वों पर मान समान होना चाहिए।


The elimination rule for the quotient type, which is the rule introducing functions over the type must reflect this.

भागफल प्रकार के लिए उन्मूलन नियम, जो प्रकार पर फ़ंक्शन पेश करने वाला नियम है, इसे प्रतिबिंबित करना चाहिए।


There is no separate computation rule for the quotient type.

भागफल प्रकार के लिए कोई अलग गणना नियम नहीं है।


The smallest solution of the equation is called the least fixed point of the operator.

समीकरण का सबसे छोटा समाधान ऑपरेटर का सबसे छोटा निश्चित बिंदु कहलाता है।


We can formalise by saying that L is the smallest such set.

हम यह कहकर औपचारिक रूप दे सकते हैं कि L सबसे छोटा ऐसा सेट है।


Not every equation has a solution or a least solution.

हर समीकरण का समाधान या सबसे छोटा समाधान नहीं होता है।


The least solution of the equation is called the least fixed point of the operator.


To show that the equation has a solution we consider the sequence of sets.

यह दिखाने के लिए कि समीकरण का समाधान है, हम सेट के अनुक्रम पर विचार करते हैं।


In general, the superscript may be an infinite ordinal number.

सामान्य तौर पर, सुपरस्क्रिप्ट एक अनंत क्रमसूचक संख्या हो सकती है।


This fixed point is the least fixed point of Θ.

यह निश्चित बिंदु Θ का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है।


We shall use the notation L for the operator of which L is the least fixed point.

हम उस ऑपरेटर के लिए L संकेतन का उपयोग करेंगे जिसका L सबसे छोटा निश्चित बिंदु है।


How do we characterise that L is the least solution?

हम कैसे चित्रित करते हैं कि L सबसे छोटा समाधान है?


We need to express that elements only go in by the action of the operator L.

हमें यह व्यक्त करने की आवश्यकता है कि तत्व केवल ऑपरेटर L की क्रिया से ही अंदर जाते हैं।


We do this by giving an elimination rule which constructs a function by recursion over L.

हम यह एक उन्मूलन नियम देकर करते हैं जो L पर पुनरावर्तन द्वारा एक फ़ंक्शन बनाता है।


To make such a definition it is necessary and sufficient to state a value at [ ] and a way of going from a value at x to a value at (n::x).

ऐसी परिभाषा बनाने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि [ ] पर एक मान और x पर एक मान से (n::x) पर एक मान तक जाने का एक तरीका बताया जाए।


Consider the example of the sum function, which returns the sum of a numerical list.

योग फ़ंक्शन का उदाहरण लें, जो एक संख्यात्मक सूची का योग लौटाता है।


This is characterised by the function g.

यह फ़ंक्शन g द्वारा चित्रित किया गया है।


Before we give a type theoretic treatment of inductive definitions, we observe that there is a link between inductively defined sets and well-founded orderings.

प्रेरक परिभाषाओं का एक प्रकार का सैद्धांतिक उपचार देने से पहले, हम देखते हैं कि प्रेरक रूप से परिभाषित सेट और अच्छी तरह से स्थापित आदेशों के बीच एक संबंध है।


Every inductive set has an ordering given by comparing the stages at which the elements go into the set.

प्रत्येक प्रेरक सेट में एक क्रम होता है जो उन चरणों की तुलना करके दिया जाता है जिन पर तत्व सेट में जाते हैं।


We define ‖x‖≡ df the α such that x ∈ Θ α+1 − Θ α

हम ‖x‖≡ df α को परिभाषित करते हैं जैसे कि x ∈ Θ α+1 − Θ α


This characterisation also suggests that we can give a representation of inductively defined sets by means of well-founded recursion.

यह लक्षण वर्णन यह भी सुझाव देता है कि हम अच्छी तरह से स्थापित पुनरावर्तन के माध्यम से प्रेरक रूप से परिभाषित सेट का प्रतिनिधित्व दे सकते हैं।


Formation of inductive types is permitted when we have a monotonic operation Θ : Type ⇒ Type.

प्रेरक प्रकारों का निर्माण तब अनुमत है जब हमारे पास एक मोनोटोनिक ऑपरेशन Θ : प्रकार ⇒ प्रकार हो।


There are two approaches to verifying the monotonicity of an operator.

एक ऑपरेटर की मोनोटोनिसिटी को सत्यापित करने के दो दृष्टिकोण हैं।


The theorem demonstrates a fundamental property of semigroups.

प्रमेय अर्धसमूहों के एक मूलभूत गुण को दर्शाता है।


If you assume that (∀a:A). a ? ι=a∧a=ι ? a are inhabited, then we can show that ι=ι ′ is inhabited.

यदि आप यह मान लें कि (∀a:A). a ? ι=a∧a=ι ? a आबाद हैं, तो हम दिखा सकते हैं कि ι=ι ′ आबाद है।


This shows that the identity is unique if it exists.

यह दर्शाता है कि यदि पहचान मौजूद है तो वह अद्वितीय है।


The proof uses the fact that the operation ‘?’ is associative.

प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि ऑपरेशन ‘?’ साहचर्य है।


The results depend upon us repeatedly unpacking the triples (A,(?, f)).

परिणाम इस बात पर निर्भर करते हैं कि हम बार-बार त्रिक (A,(?, f)) को खोलते हैं।


For semigroups, axioms would take the form.

अर्धसमूहों के लिए, अभिगृहीत रूप लेंगे।


The computation rules show that set, op and assoc behave as projections.

गणना नियम दिखाते हैं कि सेट, ऑप और एसोसिएट प्रक्षेपण के रूप में व्यवहार करते हैं।


Using these rules we can prove results such as theorems 7.18, 7.19 in a similar way to those above.

इन नियमों का उपयोग करके हम प्रमेय 7.18, 7.19 जैसे परिणामों को ऊपर दिए गए लोगों के समान तरीके से सिद्ध कर सकते हैं।


In comparing the two approaches, it is clear that they are very close.

दोनों दृष्टिकोणों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि वे बहुत करीब हैं।


A disadvantage of adding rules to the system is that we may well disturb the formal properties of the system.

सिस्टम में नियम जोड़ने का एक नुकसान यह है कि हम सिस्टम के औपचारिक गुणों को अच्छी तरह से बाधित कर सकते हैं।


This chapter marks a return to looking at the system as a whole.

यह अध्याय पूरे सिस्टम को देखने की वापसी को चिह्नित करता है।


We investigate various questions about the mathematical foundations of the system.

हम सिस्टम की गणितीय नींव के बारे में विभिन्न प्रश्नों की जांच करते हैं।


The technique used here is that of realizability, which forms one sort of model of the formal system.

यहाँ उपयोग की जाने वाली तकनीक यथार्थता की है, जो औपचारिक प्रणाली का एक प्रकार का मॉडल बनाती है।


We discuss the motivation for developing a model theory of T in the subsequent section.

हम बाद के खंड में टी के मॉडल सिद्धांत को विकसित करने की प्रेरणा पर चर्चा करते हैं।


The topic of realizability is interesting not just from the proof-theoretic point of view.

यथार्थता का विषय केवल प्रमाण-सिद्धांत के दृष्टिकोण से ही दिलचस्प नहीं है।


We conclude the discussion with an overview of Schroeder-Heister and Dybjer’s work on the inversion of proof rules.

हम प्रमाण नियमों के व्युत्क्रम पर श्रोएडर-हेइस्टर और डायबजर के काम के अवलोकन के साथ चर्चा समाप्त करते हैं।


At an intuitive level, if we are given the introduction rules for a type then we seem to know all the forms that elements can take.

एक सहज स्तर पर, यदि हमें एक प्रकार के लिए परिचय नियम दिए जाते हैं तो हम उन सभी रूपों को जानते हैं जो तत्व ले सकते हैं।


We also look at a primitive justification of the inversion principle itself.

हम व्युत्क्रम सिद्धांत के एक आदिम औचित्य पर भी विचार करते हैं।


We follow this with a discussion of the technique of realizability, which is used to give interpretations of intuitionistic systems.

हम इसके बाद यथार्थता की तकनीक पर चर्चा करते हैं, जिसका उपयोग अंतर्ज्ञानवादी प्रणालियों की व्याख्या देने के लिए किया जाता है।


We conclude with a discussion of the various rules for existential elimination, and what consequences the choice of rules has for our implementation of modules.

हम अस्तित्वगत उन्मूलन के लिए विभिन्न नियमों पर चर्चा के साथ निष्कर्ष निकालते हैं, और नियमों के चुनाव का हमारे मॉड्यूल के कार्यान्वयन पर क्या परिणाम होता है।


आज मौसम सुहावना है।


क्या आप कृपया मुझे नमक दे सकते हैं?


I am going to the market to buy some vegetables.

मैं कुछ सब्जियां खरीदने के लिए बाजार जा रहा हूँ।


The company announced a new product launch.

कंपनी ने एक नए उत्पाद के लॉन्च की घोषणा की।


The research paper explores the implications of quantum entanglement.

शोध पत्र क्वांटम उलझाव के निहितार्थों की पड़ताल करता है।


She is a talented musician and plays the sitar beautifully.

वह एक प्रतिभाशाली संगीतकार हैं और सितार बहुत खूबसूरती से बजाती हैं।


The government is implementing new policies to boost the economy.

सरकार अर्थव्यवस्था को बढ़ावा देने के लिए नई नीतियां लागू कर रही है।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


वह बहुत दयालु और उदार व्यक्ति हैं।


The conference will be held next month in Delhi.

सम्मेलन अगले महीने दिल्ली में आयोजित किया जाएगा।


The study revealed a significant correlation between diet and health.

अध्ययन में आहार और स्वास्थ्य के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध का पता चला।


The software update includes several bug fixes and performance improvements.

सॉफ्टवेयर अपडेट में कई बग फिक्स और प्रदर्शन सुधार शामिल हैं।


She enjoys reading novels and watching movies in her free time.

वह अपने खाली समय में उपन्यास पढ़ना और फिल्में देखना पसंद करती है।


The economic forecast predicts a period of slow growth.

आर्थिक पूर्वानुमान धीमी वृद्धि की अवधि की भविष्यवाणी करता है।


The complex equation requires advanced mathematical techniques to solve.

जटिल समीकरण को हल करने के लिए उन्नत गणितीय तकनीकों की आवश्यकता होती है।


वह हिंदी और अंग्रेजी दोनों में धाराप्रवाह है।


The company's profits increased significantly this quarter.

इस तिमाही में कंपनी का मुनाफा काफी बढ़ गया।


The research team is investigating the effects of climate change on biodiversity.

अनुसंधान टीम जैव विविधता पर जलवायु परिवर्तन के प्रभावों की जांच कर रही है।


The new operating system has improved security features.

नए ऑपरेटिंग सिस्टम में बेहतर सुरक्षा विशेषताएं हैं।


She is a dedicated teacher who inspires her students.

वह एक समर्पित शिक्षक हैं जो अपने छात्रों को प्रेरित करती हैं।


आज मौसम सुहावना है।


क्या आप कृपया नमक पास कर सकते हैं?


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वह एक बहुत ही प्रतिभाशाली संगीतकार हैं।


The government is working on new policies.

सरकार नई नीतियों पर काम कर रही है।


Please submit your application by Friday.

कृपया शुक्रवार तक अपना आवेदन जमा करें।


The research paper explores the impact of climate change.

शोध पत्र जलवायु परिवर्तन के प्रभाव की पड़ताल करता है।


वह तीन भाषाओं में धाराप्रवाह है।


The project requires a detailed analysis.

परियोजना के लिए विस्तृत विश्लेषण की आवश्यकता है।


आर्थिक पूर्वानुमान वृद्धि की भविष्यवाणी करता है।


The software update includes new features.

सॉफ्टवेयर अपडेट में नई सुविधाएँ शामिल हैं।


The company's stock price increased significantly.

कंपनी के शेयर की कीमत में उल्लेखनीय वृद्धि हुई।


The complex system requires careful maintenance.

जटिल प्रणाली को सावधानीपूर्वक रखरखाव की आवश्यकता है।


The philosophical debate centered on the nature of reality.

दार्शनिक बहस वास्तविकता की प्रकृति पर केंद्रित थी।


The implications of the new law are far-reaching.

नए कानून के निहितार्थ दूरगामी हैं।


The intricate design of the engine is remarkable.

इंजन का जटिल डिज़ाइन उल्लेखनीय है।


The historical context is crucial for understanding the events.

घटनाओं को समझने के लिए ऐतिहासिक संदर्भ महत्वपूर्ण है।


The scientific community is actively researching the topic.

वैज्ञानिक समुदाय सक्रिय रूप से इस विषय पर शोध कर रहा है।


The concept of 'extra premisses' is crucial in this context.

'अतिरिक्त आधार' की अवधारणा इस संदर्भ में महत्वपूर्ण है।


Understanding 'derivation' is key to grasping the argument.

'व्युत्पत्ति' को समझना तर्क को समझने की कुंजी है।


The elimination rule is a fundamental principle.

उन्मूलन नियम एक बुनियादी सिद्धांत है।


Alternative versions of the rule provide flexibility.

नियम के वैकल्पिक संस्करण लचीलापन प्रदान करते हैं।


The motivation for generalization is important.

सामान्यीकरण के लिए प्रेरणा महत्वपूर्ण है।


Propositional logic forms the basis of the system.

कथनात्मक तर्क प्रणाली का आधार बनता है।


Introduction rules are essential for building proofs.

प्रमाण बनाने के लिए परिचय नियम आवश्यक हैं।


Efficiency is a key consideration in computation.

गणना में दक्षता एक महत्वपूर्ण विचार है।


Lazy evaluation can improve performance.

आलसी मूल्यांकन प्रदर्शन में सुधार कर सकता है।


The elimination rule is used to derive conclusions.

निष्कर्ष निकालने के लिए उन्मूलन नियम का उपयोग किया जाता है।


Equality is a fundamental concept in mathematics.

समानता गणित में एक मौलिक अवधारणा है।


The rule for extensional equality is important.

विस्तारित समानता का नियम महत्वपूर्ण है।


The equality function is used for comparisons.

तुलना के लिए समानता फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।


The equality proposition is a key element.

समानता प्रस्ताव एक महत्वपूर्ण तत्व है।


The equivalence rule is used for substitutions.

प्रतिस्थापन के लिए समतुल्यता नियम का उपयोग किया जाता है।


Error values can cause problems in programs.

त्रुटि मान कार्यक्रमों में समस्याएँ पैदा कर सकते हैं।


Evaluation is a crucial step in computation.

मूल्यांकन गणना में एक महत्वपूर्ण कदम है।


आलसी मूल्यांकन गणना में देरी करता है।


The termination of evaluation is important.

मूल्यांकन का समापन महत्वपूर्ण है।


Examples are used to illustrate concepts.

उदाहरण अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।