The algorithm computes whether a CFG matches a string.

एल्गोरिदम यह गणना करता है कि क्या एक सीएफजी एक स्ट्रिंग से मेल खाता है।


Context-free grammars can capture every regular expression.

संदर्भ-मुक्त व्याकरण हर नियमित अभिव्यक्ति को पकड़ सकते हैं।


हम ऐसे व्याकरण को परिभाषित कर सकते हैं जो Φ की गणना करते हैं।


The algorithm yields the sequence of rules.

एल्गोरिदम नियमों के क्रम को उत्पन्न करता है।


इस पेड़ को पार्स ट्री के रूप में जाना जाता है।


Context-free grammars are strictly more powerful than regular expressions.

संदर्भ-मुक्त व्याकरण नियमित अभिव्यक्तियों की तुलना में सख्ती से अधिक शक्तिशाली हैं।


The function MATCHPAREN can be computed by a context free grammar.

फंक्शन MATCHPAREN की गणना एक संदर्भ मुक्त व्याकरण द्वारा की जा सकती है।


A simple grammar computing PAL can be described.

PAL की गणना करने वाले एक सरल व्याकरण का वर्णन किया जा सकता है।


Prove that there is a context free grammar that computes NPAL.

सिद्ध करें कि एक संदर्भ मुक्त व्याकरण है जो NPAL की गणना करता है।


Even though context-free grammars are more powerful than regular expressions, there are some simple languages that are not captured by context free grammars.

हालांकि संदर्भ-मुक्त व्याकरण नियमित अभिव्यक्तियों की तुलना में अधिक शक्तिशाली हैं, कुछ सरल भाषाएँ हैं जिन्हें संदर्भ मुक्त व्याकरण द्वारा कैप्चर नहीं किया जाता है।


The context-free pumping lemma is even more cumbersome to state.

संदर्भ-मुक्त पंपिंग लेम्मा को बताना और भी बोझिल है।


If a long enough string is matched by a grammar, there must be a variable that is repeated in the derivation.

यदि एक पर्याप्त लंबी स्ट्रिंग व्याकरण से मेल खाती है, तो व्युत्पत्ति में एक चर होना चाहिए जो दोहराया जाता है।


We can show that even the simple function F is not context free.

हम दिखा सकते हैं कि सरल फ़ंक्शन F भी संदर्भ मुक्त नहीं है।


फंक्शन G संदर्भ मुक्त है।


हम संदर्भ-मुक्त पंपिंग लेम्मा का उपयोग करते हैं।


सीएफजी के लिए शून्यता का निर्णय लिया जा सकता है।


The proof is easier to see if we transform the grammar to Chomsky Normal Form.

यदि हम व्याकरण को चॉम्स्की सामान्य रूप में बदलते हैं तो प्रमाण देखना आसान है।


We start by marking all variables as non-empty.

हम सभी चरों को गैर-रिक्त के रूप में चिह्नित करके शुरू करते हैं।


The equivalence problem for context free grammars is uncomputable.

संदर्भ मुक्त व्याकरण के लिए समानता की समस्या की गणना नहीं की जा सकती है।


We can often trade expressiveness of the model for amenability to analysis.

हम अक्सर विश्लेषण के लिए मॉडल की अभिव्यक्ति को अनुकूलता के लिए व्यापार कर सकते हैं।


The discovery of calculus ushered in a golden age of problem-solving.

कैलकुलस की खोज ने समस्या-समाधान के स्वर्णिम युग की शुरुआत की।


Mathematicians manipulated infinitesimal quantities and infinite series cavalierly.

गणितज्ञों ने इन्फिनिटेसिमल मात्राओं और अनंत श्रृंखलाओं में लापरवाही से हेरफेर किया।


This led to a growing sense of unease in the foundations of the subject.

इससे विषय की नींव में बेचैनी की भावना बढ़ने लगी।


The hope was to show that all the true results of mathematics can be obtained by starting with a number of axioms.

आशा यह थी कि यह दिखाया जाए कि गणित के सभी सही परिणाम कुछ स्वयंसिद्धों से शुरुआत करके प्राप्त किए जा सकते हैं।


This effort was known as the Hilbert program.

इस प्रयास को हिल्बर्ट कार्यक्रम के रूप में जाना जाता था।


For every sound proof system for sufficiently rich mathematical statements, there is a mathematical statement that is true but is not provable in this system.

पर्याप्त समृद्ध गणितीय कथनों के लिए प्रत्येक सुदृढ़ प्रमाण प्रणाली के लिए, एक गणितीय कथन है जो सत्य है लेकिन इस प्रणाली में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।


At the highest level, a mathematical statement is simply a piece of text.

उच्चतम स्तर पर, एक गणितीय कथन बस पाठ का एक टुकड़ा है।


Mathematical statements contain assertions whose truth does not depend on any empirical fact.

गणितीय कथनों में ऐसे दावे शामिल हैं जिनकी सच्चाई किसी भी अनुभवजन्य तथ्य पर निर्भर नहीं करती है।


For example, the following is a mathematical statement: “The number is prime”.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक गणितीय कथन है: “यह संख्या अभाज्य है”।


Mathematical statements do not have to involve numbers.

गणितीय कथनों में संख्याओं का होना आवश्यक नहीं है।


A proof for a statement is another piece of text that certifies the truth of the statement.

एक कथन का प्रमाण पाठ का एक और टुकड़ा है जो कथन की सच्चाई को प्रमाणित करता है।


If there is a valid proof for a statement then the statement is true.

यदि किसी कथन के लिए एक वैध प्रमाण है तो कथन सत्य है।


These are quite minimal requirements for a proof system.

ये एक प्रमाण प्रणाली के लिए काफी न्यूनतम आवश्यकताएं हैं।


We formally define proof systems as an algorithm.

हम औपचारिक रूप से प्रमाण प्रणालियों को एक एल्गोरिदम के रूप में परिभाषित करते हैं।


One version of Gödel’s Incompleteness Theorem is an immediate consequence of the uncomputability of the Halting problem.

गोडेल की अपूर्णता प्रमेय का एक संस्करण हॉल्टिंग समस्या की अघुलनशीलता का तत्काल परिणाम है।


We will need to formally define the notion of a “proof system”.

हमें औपचारिक रूप से “प्रमाण प्रणाली” की धारणा को परिभाषित करने की आवश्यकता होगी।


The 1700’s and 1800’s were a time of great discoveries in mathematics.

1700 और 1800 का दशक गणित में महान खोजों का समय था।


The discovery of calculus ushered a golden age of problem solving.

कैलकुलस की खोज ने समस्या समाधान के स्वर्ण युग की शुरुआत की।


Many longstanding challenges succumbed to the new tools that were discovered.

कई लंबे समय से चली आ रही चुनौतियाँ नई खोजी गई तकनीकों के आगे झुक गईं।


Mathematicians manipulated infinitesimal quantities and infinite series cavalierly.

गणितज्ञों ने इन्फिनिटेसिमल मात्राओं और अनंत श्रृंखलाओं में लापरवाही से हेरफेर किया।


The theorem is potentially easier to prove than the previous one.

प्रमेय को पिछले वाले की तुलना में साबित करना संभावित रूप से आसान है।


This configuration can be thought of as a string.

इस विन्यास को एक स्ट्रिंग के रूप में सोचा जा सकता है।


A program halts on input x if and only if there is a sequence of configurations.

एक प्रोग्राम इनपुट x पर रुकता है यदि और केवल यदि विन्यासों का एक क्रम है।


We can encode such a sequence of configurations as a binary string.

हम विन्यासों के ऐसे क्रम को एक बाइनरी स्ट्रिंग के रूप में एन्कोड कर सकते हैं।


For every Turing machine M, there is a finite alphabet Σ, and a configuration of M is a string.

प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन M के लिए, एक परिमित वर्णमाला Σ है, और M का एक विन्यास एक स्ट्रिंग है।


The proof is obtained by a reduction from the Halting problem.

प्रमाण को हॉल्टिंग समस्या से कटौती द्वारा प्राप्त किया जाता है।


We can define a quantified mixed predicate NEXT(훼,훽) that is true if and only if 훽 is the configuration encoding the next step after 훼.

हम एक परिमाणित मिश्रित प्रिडिकेट NEXT(훼,훽) को परिभाषित कर सकते हैं जो तब सत्य होता है जब और केवल जब 훽 훼 के बाद अगले चरण को एन्कोडिंग करने वाला विन्यास होता है।


This reduces computing HALTONZERO to computing QMS.

यह HALTONZERO की गणना को QMS की गणना तक कम कर देता है।


There are several other ways to show that QMS is uncomputable.

QMS को अघुलनशील दिखाने के कई अन्य तरीके हैं।


We will show a transformation of every quantified mixed statement φ into a quantified integer statement ξ.

हम प्रत्येक परिमाणित मिश्रित कथन φ को एक परिमाणित पूर्णांक कथन ξ में बदलने का तरीका दिखाएंगे।


To remove string-valued variables from a statement, we encode every string by a pair integer.

एक कथन से स्ट्रिंग-मूल्यवान चरों को हटाने के लिए, हम प्रत्येक स्ट्रिंग को एक जोड़ी पूर्णांक द्वारा एन्कोड करते हैं।


We can then replace all calls to |x| by n and all calls to xᵢ by COORD(X,i).

फिर हम |x| के सभी कॉलों को n से और xᵢ के सभी कॉलों को COORD(X,i) से बदल सकते हैं।


This means that if we are able to define COORD via a quantified integer statement, then we obtain a proof.

इसका मतलब है कि यदि हम COORD को एक परिमाणित पूर्णांक कथन के माध्यम से परिभाषित करने में सक्षम हैं, तो हमें एक प्रमाण प्राप्त होता है।


The sequence of prime numbers we consider is the following:

अभाज्य संख्याओं का क्रम जिसे हम मानते हैं, वह इस प्रकार है:


We fix C to be a sufficiently large constant.

हम C को एक पर्याप्त रूप से बड़ा स्थिरांक मानते हैं।


The running time of an algorithm is not a number, it is a function of the length of the input.

एक एल्गोरिदम का रनिंग टाइम एक संख्या नहीं है, यह इनपुट की लंबाई का एक फलन है।


We do not formally define the notion of running time in this chapter.

हम इस अध्याय में रनिंग टाइम की धारणा को औपचारिक रूप से परिभाषित नहीं करते हैं।


While the difference between O(n) and O(n^2) time can be crucial in practice.

जबकि O(n) और O(n^2) समय के बीच का अंतर व्यवहार में महत्वपूर्ण हो सकता है।


One of the interesting phenomena of computing is that there is often a kind of a “threshold phenomenon” or “zero-one law” for running time.

कंप्यूटिंग की दिलचस्प घटनाओं में से एक यह है कि अक्सर रनिंग टाइम के लिए एक प्रकार का “थ्रेशोल्ड घटना” या “शून्य-एक नियम” होता है।


Many natural problems can either be solved in polynomial running time or require exponential time to solve.

कई प्राकृतिक समस्याओं को या तो बहुपद रनिंग टाइम में हल किया जा सकता है या उन्हें हल करने के लिए घातीय समय की आवश्यकता होती है।


The chapter discusses several examples of important computational problems.

यह अध्याय महत्वपूर्ण संगणनात्मक समस्याओं के कई उदाहरणों पर चर्चा करता है।


Graphs can be used to model a great many of the data that we encounter.

ग्राफ का उपयोग हमारे सामने आने वाले डेटा के एक बड़े हिस्से को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।


Finding the shortest path in a graph is a common problem.

ग्राफ में सबसे छोटा रास्ता खोजना एक आम समस्या है।


We can find the shortest path using a breadth first search (BFS).

हम एक चौड़ाई-प्रथम खोज (BFS) का उपयोग करके सबसे छोटा रास्ता खोज सकते हैं।


Dijkstra’s algorithm is a well-known generalization of BFS to weighted graphs.

डिक्स्ट्रा का एल्गोरिदम भारित ग्राफ के लिए BFS का एक प्रसिद्ध सामान्यीकरण है।


The longest path problem is the task of finding the length of the longest simple path.

सबसे लंबा पथ समस्या सबसे लंबे सरल पथ की लंबाई ज्ञात करने का कार्य है।


Finding the longest path is a generalization of the Hamiltonian path problem.

सबसे लंबा पथ खोजना हैमिल्टनियन पथ समस्या का एक सामान्यीकरण है।


The minimum cut problem is the task of finding the minimum number of edges.

न्यूनतम कट समस्या न्यूनतम संख्या में किनारों को खोजने का कार्य है।


Computing minimum cuts is useful in many applications since minimum cuts often correspond to bottlenecks.

न्यूनतम कट की गणना कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है क्योंकि न्यूनतम कट अक्सर बाधाओं के अनुरूप होते हैं।


The Max-Flow Min-Cut Theorem reduces the task of computing a minimum cut.

मैक्स-फ्लो मिन-कट प्रमेय न्यूनतम कट की गणना के कार्य को कम करता है।


A valid flow has the property that the amount of water leaving the source is the same as the amount entering the sink.

एक वैध प्रवाह में यह गुण होता है कि स्रोत से निकलने वाले पानी की मात्रा सिंक में प्रवेश करने वाली मात्रा के समान होती है।


Maximizing a linear function is known as linear programming.

एक रैखिक फलन को अधिकतम करना रैखिक प्रोग्रामिंग के रूप में जाना जाता है।


The global minimum cut of a graph can be computed in polynomial time.

एक ग्राफ के वैश्विक न्यूनतम कट की गणना बहुपद समय में की जा सकती है।


The maximum cut problem is the task of finding the subset that maximizes the number of edges cut.

अधिकतम कट समस्या उस उपसमुच्चय को खोजने का कार्य है जो काटे गए किनारों की संख्या को अधिकतम करता है।


Convexity arises time and again in the context of efficient computation.

कुटिलता कुशल गणना के संदर्भ में बार-बार उत्पन्न होती है।


One of the basic tasks in machine learning is empirical risk minimization.

मशीन लर्निंग में बुनियादी कार्यों में से एक अनुभवजन्य जोखिम न्यूनीकरण है।


A propositional formula involves variables and logical operators.

एक प्रस्तावना सूत्र में चर और तार्किक ऑपरेटर शामिल होते हैं।


The satisfiability problem is the task of determining if a formula has a satisfying assignment.

संतुष्टि समस्या यह निर्धारित करने का कार्य है कि क्या किसी सूत्र में एक संतोषजनक असाइनमेंट है।


The 2SAT problem is to find out if there is an assignment that satisfies the formula.

2SAT समस्या यह पता लगाना है कि क्या कोई ऐसा असाइनमेंट है जो सूत्र को संतुष्ट करता है।


We can think of every constraint as an implication.

हम प्रत्येक बाधा को एक निहितार्थ के रूप में सोच सकते हैं।


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

यह एल्गोरिदम निर्देशित ग्राफ़ में कनेक्टिविटी समस्या को कुशलता से हल करता है।


Changing from two to three variables can significantly impact computational complexity.

दो से तीन चरों में बदलाव से कम्प्यूटेशनल जटिलता पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ सकता है।


Despite considerable effort, no significantly better algorithm than brute force is known for 3SAT.

काफी प्रयास के बावजूद, 3SAT के लिए ब्रूट फोर्स एल्गोरिदम से बेहतर कोई एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है।


The difference between two and three variables often highlights the difference between tractable and intractable problems.

दो और तीन चरों के बीच का अंतर अक्सर सुगम और दुर्गम समस्याओं के बीच के अंतर को उजागर करता है।


Solving linear equations is a frequently encountered problem.

रैखिक समीकरणों को हल करना एक अक्सर सामना की जाने वाली समस्या है।


Gaussian elimination can solve linear equations in polynomial time.

गाऊसी उन्मूलन बहुपद समय में रैखिक समीकरणों को हल कर सकता है।


Algorithms exist to handle linear inequalities, with some loss of precision.

कुछ सटीकता के नुकसान के साथ, रैखिक असमानताओं को संभालने के लिए एल्गोरिदम मौजूद हैं।


Integer solutions for linear equalities or inequalities are known to be integer programming problems.

रैखिक समानता या असमानता के लिए पूर्णांक समाधान पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्याएं हैं।


The input length corresponds to the number of bits needed to describe a number.

इनपुट की लंबाई किसी संख्या का वर्णन करने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या से मेल खाती है।


There is a huge difference between having a billion dollars and having nine dollars.

एक अरब डॉलर और नौ डॉलर होने में बहुत बड़ा अंतर है।


Finding the prime factors of a given integer is a computationally intensive task.

किसी दिए गए पूर्णांक के अभाज्य गुणनखंडों को खोजना एक कम्प्यूटेशनल रूप से गहन कार्य है।


Solving quadratic equations in several variables is a classical problem.

कई चरों में द्विघात समीकरणों को हल करना एक शास्त्रीय समस्या है।


The determinant of a matrix is an important quantity in linear algebra.

एक मैट्रिक्स का निर्धारक रैखिक बीजगणित में एक महत्वपूर्ण मात्रा है।


The determinant is non-zero if and only if the matrix is non-singular.

निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स गैर-एकल है।


The permanent of a matrix is defined similarly to the determinant.

एक मैट्रिक्स का स्थायी निर्धारक के समान ही परिभाषित किया गया है।


The permanent of a matrix arises in combinatorics and graph theory.

एक मैट्रिक्स का स्थायी संयोजन और ग्राफ सिद्धांत में उत्पन्न होता है।


Zero-sum games are games where one player's gain is another player's loss.

शून्य-राशि खेल ऐसे खेल हैं जहाँ एक खिलाड़ी का लाभ दूसरे खिलाड़ी का नुकसान होता है।


The Min Max Theorem is a result of linear programming duality.

मिन मैक्स प्रमेय रैखिक प्रोग्रामिंग द्वैत का परिणाम है।


Finding a Nash equilibrium for general games is computationally challenging.

सामान्य खेलों के लिए नैश संतुलन खोजना कम्प्यूटेशनल रूप से चुनौतीपूर्ण है।


Determining whether a number is prime has been a problem since ancient times.

यह निर्धारित करना कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, प्राचीन काल से ही एक समस्या रही है।


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

ट्यूरिंग मशीनें कंप्यूटर विज्ञान में एक मौलिक अवधारणा हैं।


The extended Church-Turing Thesis is a significant principle.

विस्तारित चर्च-ट्यूरिंग थीसिस एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है।


Polynomial time is a crucial concept in algorithm analysis.

कलन विधि विश्लेषण में बहुपद समय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।


Exponential time complexity can make problems intractable.

घातीय समय जटिलता समस्याओं को दुर्जेय बना सकती है।


RAM machines are closer to real-world computing architectures.

RAM मशीनें वास्तविक दुनिया की कंप्यूटिंग वास्तुकला के करीब हैं।


The difference between polynomial and exponential time is important.

बहुपद और घातीय समय के बीच का अंतर महत्वपूर्ण है।


We can simulate NAND-RAM programs with Turing machines.

हम ट्यूरिंग मशीनों के साथ NAND-RAM प्रोग्राम का अनुकरण कर सकते हैं।


The proof involves careful accounting of steps.

प्रमाण में चरणों का सावधानीपूर्वक लेखा-जोखा शामिल है।


Understanding the definitions is crucial.

परिभाषाओं को समझना महत्वपूर्ण है।


The extended Church-Turing thesis is a cornerstone of theoretical computer science.

विस्तारित चर्च-ट्यूरिंग थीसिस सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान का एक आधार है।


Quantum computers pose a challenge to the thesis.

क्वांटम कंप्यूटर थीसिस के लिए एक चुनौती पेश करते हैं।


The concept of computability is central to the discussion.

संगणनीयता की अवधारणा इस चर्चा के केंद्र में है।


The choice of model can affect efficiency.

मॉडल का चुनाव दक्षता को प्रभावित कर सकता है।


We often care about the difference between polynomial and exponential time.

हम अक्सर बहुपद और घातीय समय के बीच के अंतर की परवाह करते हैं।


The theorem relates RAM and Turing machines.

प्रमेय RAM और ट्यूरिंग मशीनों को जोड़ता है।


The proof follows the simulation of RAM machines.

प्रमाण RAM मशीनों के अनुकरण का अनुसरण करता है।


The main message is about the equivalence of models.

मुख्य संदेश मॉडलों की समानता के बारे में है।


All reasonable computational models are equivalent.

सभी उचित कम्प्यूटेशनल मॉडल समतुल्य हैं।


The universal NAND-RAM program simulates other programs.

यूनिवर्सल NAND-RAM प्रोग्राम अन्य प्रोग्रामों का अनुकरण करता है।


The program U has a polynomial overhead.

प्रोग्राम यू में एक बहुपद ओवरहेड है।


The time hierarchy theorem is a fundamental concept in theoretical computer science.

समय पदानुक्रम प्रमेय सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में एक मौलिक अवधारणा है।


Can you explain the concept of non-uniform computation?

क्या आप गैर-समान संगणना की अवधारणा समझा सकते हैं?


The proof of the time hierarchy theorem is quite complex.

समय पदानुक्रम प्रमेय का प्रमाण काफी जटिल है।


We can compute more functions if we have more time.

यदि हमारे पास अधिक समय है, तो हम अधिक कार्यों की गणना कर सकते हैं।


The function TIMEDEVAL is computed in polynomial time.

फंक्शन TIMEDEVAL बहुपद समय में गणना की जाती है।


Non-uniform computation is different from uniform complexity classes.

गैर-समान संगणना समान जटिलता वर्गों से भिन्न है।


The theorem relies on the existence of an efficient universal NAND-RAM program.

प्रमेय एक कुशल सार्वभौमिक NAND-RAM प्रोग्राम के अस्तित्व पर निर्भर करता है।


Let's discuss the implications of the time hierarchy theorem.

आइए समय पदानुक्रम प्रमेय के निहितार्थ पर चर्चा करें।


The proof uses the concept of 'unrolling the loop'.

प्रमाण 'लूप को खोलना' की अवधारणा का उपयोग करता है।


The algorithm UNROLL transforms a Turing machine into a circuit.

एल्गोरिदम UNROLL एक ट्यूरिंग मशीन को एक सर्किट में बदल देता है।


I am reading a book about computer science.

मैं कंप्यूटर विज्ञान के बारे में एक किताब पढ़ रहा हूँ।


Can you help me understand this complex topic?

क्या आप इस जटिल विषय को समझने में मेरी मदद कर सकते हैं?


आज मौसम बहुत सुहावना है।


I need to finish this assignment by tomorrow.

मुझे कल तक यह असाइनमेंट पूरा करना होगा।


सप्ताहांत के लिए आपकी क्या योजनाएँ हैं?


फिल्म बहुत दिलचस्प थी।


I am going to the market to buy some groceries.

मैं कुछ किराने का सामान खरीदने के लिए बाजार जा रहा हूँ।


आज सुबह ट्रैफिक बहुत खराब था।


This is a very important concept to grasp.

यह समझने के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है।


व्याख्यान काफी जानकारीपूर्ण था।


आज मौसम सुहावना है।


क्या आप कृपया नमक पास कर सकते हैं?


I am going to the market to buy groceries.

मैं किराने का सामान खरीदने के लिए बाजार जा रहा हूँ।


The company announced a new product launch.

कंपनी ने एक नए उत्पाद के लॉन्च की घोषणा की।


The research team is working on a new project.

अनुसंधान टीम एक नई परियोजना पर काम कर रही है।


वह एक बहुत ही प्रतिभाशाली संगीतकार है।


The government is implementing new policies.

सरकार नई नीतियाँ लागू कर रही है।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


She enjoys reading novels in her free time.

वह अपने खाली समय में उपन्यास पढ़ना पसंद करती है।


The economic situation is improving gradually.

आर्थिक स्थिति धीरे-धीरे सुधर रही है।


The software requires frequent updates to function properly.

सॉफ्टवेयर को ठीक से काम करने के लिए बार-बार अपडेट की आवश्यकता होती है।


सम्मेलन अगले सप्ताह आयोजित किया जाएगा।


The company's profits increased significantly this quarter.

इस तिमाही में कंपनी का मुनाफा काफी बढ़ गया।


The complex system requires careful configuration.

जटिल प्रणाली को सावधानीपूर्वक कॉन्फ़िगरेशन की आवश्यकता होती है।


वह अपने क्षेत्र में एक प्रसिद्ध विशेषज्ञ हैं।


The negotiations are ongoing and complex.

बातचीत जारी है और जटिल है।


The intricate details of the code are difficult to understand.

कोड के जटिल विवरणों को समझना मुश्किल है।


She is a highly respected leader in the community.

वह समुदाय में एक अत्यधिक सम्मानित नेता हैं।


The political landscape is constantly evolving.

राजनीतिक परिदृश्य लगातार बदल रहा है।


The computational model simulates the behavior of the system.

कम्प्यूटेशनल मॉडल सिस्टम के व्यवहार का अनुकरण करता है।


The algorithm efficiently solves complex problems.

यह एल्गोरिदम कुशलता से जटिल समस्याओं का समाधान करता है।


Reductions are used to relate computational complexity.

कम्प्यूटेशनल जटिलता को संबंधित करने के लिए कटौती का उपयोग किया जाता है।


The theorem demonstrates the hardness of 01EQ.

प्रमेय 01EQ की कठिनाई को दर्शाता है।


We will reduce 3SAT to the latter problems.

हम 3SAT को बाद की समस्याओं तक कम करेंगे।


यह प्रमाण में एक महत्वपूर्ण कदम है।


एल्गोरिदम बहुपद समय में चलता है।


The input formula has n variables and m clauses.

इनपुट सूत्र में n चर और m खंड हैं।


We need to show that 3SAT(φ) = 01EQ(R(φ)).

हमें यह दिखाना होगा कि 3SAT(φ) = 01EQ(R(φ))।


The proof is split into completeness and soundness.

प्रमाण को पूर्णता और सुदृढ़ता में विभाजित किया गया है।


मान लीजिए कि 3SAT(φ) = 1।


The reduction is described in Algorithm 14.3.

कमी को एल्गोरिदम 14.3 में वर्णित किया गया है।


We can use this to reduce 3SAT to the quadratic equations problem.

हम इसका उपयोग 3SAT को द्विघात समीकरण समस्या तक कम करने के लिए कर सकते हैं।


The takeaway technique is adding auxiliary variables.

मुख्य तकनीक सहायक चर जोड़ना है।


The subset sum problem is also known as the knapsack problem.

उपसमुच्चय योग समस्या को थैला समस्या के रूप में भी जाना जाता है।


हम 01EQ से कम करते हैं।


The independent set problem is related to scheduling problems.

स्वतंत्र सेट समस्या शेड्यूलिंग समस्याओं से संबंधित है।


Finding larger independent sets can be challenging.

बड़े स्वतंत्र सेट खोजना चुनौतीपूर्ण हो सकता है।


अब हम 3SAT को स्वतंत्र सेट तक कम करते हैं।


The algorithm constructing G based on φ takes polynomial time.

φ के आधार पर G का निर्माण करने वाला एल्गोरिदम बहुपद समय लेता है।


This completes the proof of the completeness condition.

यह पूर्णता की स्थिति के प्रमाण को पूरा करता है।


नमस्ते, आप कैसे हैं?


आज मौसम बहुत सुहावना है।


मैं बाज़ार जा रहा हूँ।


कृपया मुझे नमक देना।


आपका नाम क्या है?


कंपनी ने एक नए उत्पाद की घोषणा की।


The government is discussing new policies.

सरकार नई नीतियों पर चर्चा कर रही है।


The economy is showing signs of recovery.

अर्थव्यवस्था में सुधार के संकेत दिख रहे हैं।


The research team published their findings.

अनुसंधान टीम ने अपने निष्कर्ष प्रकाशित किए।


The software update includes several bug fixes.

सॉफ्टवेयर अपडेट में कई बग फिक्स शामिल हैं।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


Despite the challenges, they persevered.

चुनौतियों के बावजूद, उन्होंने हार नहीं मानी।


The complexities of the situation are significant.

स्थिति की जटिलताएँ महत्वपूर्ण हैं।


The implications of the decision are far-reaching.

इस निर्णय के दूरगामी परिणाम हैं।


The philosophical debate centered on existentialism.

दार्शनिक बहस अस्तित्ववाद पर केंद्रित थी।


The quantum entanglement phenomenon is fascinating.

क्वांटम उलझाव की घटना आकर्षक है।


The computational model accurately predicts the outcome.

कम्प्यूटेशनल मॉडल सटीक रूप से परिणाम की भविष्यवाणी करता है।


The intricate details of the project were meticulously planned.

परियोजना के जटिल विवरणों की सावधानीपूर्वक योजना बनाई गई थी।


The negotiations reached an impasse due to conflicting interests.

विरोधी हितों के कारण बातचीत गतिरोध पर पहुँच गई।


The company's strategic shift aims to capture a larger market share.

कंपनी का रणनीतिक बदलाव एक बड़ा बाजार हिस्सा हासिल करने का लक्ष्य रखता है।


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

एल्गोरिदम की दक्षता इसके प्रदर्शन में एक महत्वपूर्ण कारक है।


The company announced a new product launch next month.

कंपनी ने अगले महीने एक नए उत्पाद के लॉन्च की घोषणा की।


Despite the challenges, they persevered and achieved their goals.

चुनौतियों के बावजूद, उन्होंने हार नहीं मानी और अपने लक्ष्यों को प्राप्त किया।


Could you please explain the concept in simpler terms?

क्या आप कृपया इस अवधारणा को सरल शब्दों में समझा सकते हैं?


The research paper explores the implications of quantum computing.

शोध पत्र क्वांटम कंप्यूटिंग के निहितार्थों की पड़ताल करता है।


She is a highly skilled professional in her field.

वह अपने क्षेत्र में एक उच्च कुशल पेशेवर हैं।


The government is implementing new policies to boost the economy.

सरकार अर्थव्यवस्था को बढ़ावा देने के लिए नई नीतियां लागू कर रही है।


The data analysis revealed some unexpected patterns.

डेटा विश्लेषण ने कुछ अप्रत्याशित पैटर्न का खुलासा किया।


He is known for his innovative approach to problem-solving.

वह समस्या-समाधान के लिए अपने नवीन दृष्टिकोण के लिए जाने जाते हैं।


The project requires a significant investment of resources.

परियोजना को संसाधनों के महत्वपूर्ण निवेश की आवश्यकता है।


The complexity of the system makes it difficult to understand.

सिस्टम की जटिलता इसे समझना मुश्किल बना देती है।


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

कोरम की कमी के कारण बैठक स्थगित कर दी गई।


The artist's work reflects a deep understanding of human emotions.

कलाकार का काम मानवीय भावनाओं की गहरी समझ को दर्शाता है।


The software update includes several bug fixes and performance improvements.

सॉफ्टवेयर अपडेट में कई बग फिक्स और प्रदर्शन सुधार शामिल हैं।


The economic forecast predicts a period of slow growth.

आर्थिक पूर्वानुमान धीमी वृद्धि की अवधि की भविष्यवाणी करता है।


She is a brilliant scientist who has made significant contributions to the field.

वह एक प्रतिभाशाली वैज्ञानिक हैं जिन्होंने इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया है।


The company is facing stiff competition in the market.

कंपनी को बाजार में कड़ी प्रतिस्पर्धा का सामना करना पड़ रहा है।


The study examined the correlation between diet and health.

अध्ययन ने आहार और स्वास्थ्य के बीच संबंध की जांच की।


He is a man of great integrity and honesty.

वह महान ईमानदारी और सत्यनिष्ठा वाले व्यक्ति हैं।


The project's success depends on effective collaboration.

परियोजना की सफलता प्रभावी सहयोग पर निर्भर करती है।


The P versus NP problem is a major unsolved problem in computer science.

पी बनाम एनपी समस्या कंप्यूटर विज्ञान में एक प्रमुख अनसुलझी समस्या है।


If P equals NP, then many currently intractable problems would become efficiently solvable.

यदि P, NP के बराबर है, तो कई वर्तमान में जटिल समस्याएं कुशलता से हल हो जाएंगी।


The implications of P=NP are vast, potentially revolutionizing fields like cryptography.

P=NP के निहितार्थ विशाल हैं, जो संभावित रूप से क्रिप्टोग्राफी जैसे क्षेत्रों में क्रांति ला सकते हैं।


Finding a polynomial-time algorithm for an NP-complete problem would prove P=NP.

एनपी-पूर्ण समस्या के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिदम खोजना P=NP साबित करेगा।


Many believe that P does not equal NP, but this remains unproven.

कई मानते हैं कि P, NP के बराबर नहीं है, लेकिन यह अभी भी साबित नहीं हुआ है।


The Clay Mathematics Institute offers a million-dollar prize for a solution to the P versus NP problem.

क्ले गणित संस्थान पी बनाम एनपी समस्या के समाधान के लिए एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार प्रदान करता है।


Computer scientists are actively researching the P versus NP problem.

कंप्यूटर वैज्ञानिक सक्रिय रूप से पी बनाम एनपी समस्या पर शोध कर रहे हैं।


If P=NP, then breaking most modern encryption would be trivial.

यदि P=NP है, तो अधिकांश आधुनिक एन्क्रिप्शन को तोड़ना आसान होगा।


The P versus NP problem is one of the seven Millennium Prize Problems.

पी बनाम एनपी समस्या सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक है।


A solution to P versus NP could have profound implications for artificial intelligence.

पी बनाम एनपी का समाधान कृत्रिम बुद्धिमत्ता के लिए गहरा प्रभाव डाल सकता है।


The difficulty of the P versus NP problem stems from the nature of computational complexity.

पी बनाम एनपी समस्या की कठिनाई कम्प्यूटेशनल जटिलता की प्रकृति से उपजी है।


Many real-world optimization problems are NP-complete.

कई वास्तविक दुनिया की अनुकूलन समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं।


The implications of P=NP extend beyond computer science, impacting fields like economics.

P=NP के निहितार्थ कंप्यूटर विज्ञान से परे हैं, जो अर्थशास्त्र जैसे क्षेत्रों को प्रभावित करते हैं।


The question of P versus NP is a fundamental question in theoretical computer science.

पी बनाम एनपी का प्रश्न सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में एक मौलिक प्रश्न है।


If P=NP, then finding the best solution to many problems would be as easy as verifying a solution.

यदि P=NP है, तो कई समस्याओं का सबसे अच्छा समाधान खोजना किसी समाधान को सत्यापित करने जितना आसान होगा।


The P versus NP problem is a major focus of research in computational complexity theory.

पी बनाम एनपी समस्या कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में शोध का एक प्रमुख केंद्र है।


The existence of NP-intermediate problems is a topic of ongoing research.

एनपी-मध्यवर्ती समस्याओं का अस्तित्व चल रहे शोध का विषय है।


The Cook-Levin theorem is a cornerstone in the study of NP-completeness.

कुक-लेविन प्रमेय एनपी-पूर्णता के अध्ययन में एक आधारशिला है।


The implications of P=NP are still being explored by researchers.

P=NP के निहितार्थों की अभी भी शोधकर्ताओं द्वारा खोज की जा रही है।


The P versus NP problem is a central topic in the field of algorithms.

पी बनाम एनपी समस्या एल्गोरिदम के क्षेत्र में एक केंद्रीय विषय है।


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

एल्गोरिदम की दक्षता इसके प्रदर्शन में एक महत्वपूर्ण कारक है।


This chapter explores the consequences of an efficient algorithm for NP-complete problems.

यह अध्याय NP-पूर्ण समस्याओं के लिए एक कुशल एल्गोरिदम के परिणामों की पड़ताल करता है।


If P=NP, then we can find the optimal solution.

यदि P=NP है, तो हम इष्टतम समाधान ढूंढ सकते हैं।


प्रमाण का विचार सरल है।


We will explore some of the consequences of the “3SAT easy” scenario.

हम “3SAT आसान” परिदृश्य के कुछ परिणामों का पता लगाएंगे।


The fastest known algorithm for 3SAT requires more than 2^0.35n to solve n variable formulas.

3SAT के लिए सबसे तेज़ ज्ञात एल्गोरिदम को n चर सूत्रों को हल करने के लिए 2^0.35n से अधिक की आवश्यकता होती है।


This chapter shows some of the truly breathtaking consequences.

यह अध्याय कुछ वास्तव में लुभावने परिणामों को दर्शाता है।


It’s not enough to know if a formula is satisfiable: we want to discover the actual satisfying assignment.

यह जानना पर्याप्त नहीं है कि कोई सूत्र संतुष्ट करने योग्य है या नहीं: हम वास्तविक संतुष्ट असाइनमेंट की खोज करना चाहते हैं।


मान लीजिए कि P=NP है।


We can use a similar argument to show that if P=NP then we can find a satisfying assignment.

हम यह दिखाने के लिए एक समान तर्क का उपयोग कर सकते हैं कि यदि P=NP है तो हम एक संतोषजनक असाइनमेंट पा सकते हैं।


प्रमाण के पीछे का विचार सरल है।


We can continue in this way to recover all the bits.

हम सभी बिट्स को पुनर्प्राप्त करने के लिए इस तरह से जारी रख सकते हैं।


To analyze Algorithm 16.2, note that it makes 2anb invocations to STARTSWITH V.

एल्गोरिदम 16.2 का विश्लेषण करने के लिए, ध्यान दें कि यह STARTSWITH V के लिए 2anb आह्वान करता है।


We claim that at every step l = 0,...,anb-1, we maintain the invariant.

हम दावा करते हैं कि हर चरण l = 0,...,anb-1 पर, हम अपरिवर्तनीयता बनाए रखते हैं।


Theorem 16.1 allows us to find solutions for NP problems if P=NP, but it is not immediately clear that we can find the optimal solution.

प्रमेय 16.1 हमें NP समस्याओं के समाधान खोजने की अनुमति देता है यदि P=NP, लेकिन यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि हम इष्टतम समाधान पा सकते हैं।


This is actually an excellent question for you to attempt on your own.

यह वास्तव में आपके लिए स्वयं प्रयास करने के लिए एक उत्कृष्ट प्रश्न है।


विचार सरल है।


In this case the function f would be the map that on input a pair x,y outputs 0 if the pair (x,y) does not represent some graph and a simple path inside the graph respectively.

इस मामले में फ़ंक्शन f वह मानचित्र होगा जो इनपुट पर एक जोड़ी x,y को 0 आउटपुट करता है यदि जोड़ी (x,y) क्रमशः कुछ ग्राफ और ग्राफ के अंदर एक सरल पथ का प्रतिनिधित्व नहीं करती है।


The proof follows by generalizing our ideas from the longest path example above.

प्रमाण ऊपर दिए गए सबसे लंबे पथ के उदाहरण से हमारे विचारों को सामान्यीकृत करके अनुसरण करता है।


We can use binary search to hone down on the right value.

हम सही मान पर ध्यान केंद्रित करने के लिए बाइनरी खोज का उपयोग कर सकते हैं।


The chapter provides a basic overview of probability theory.

यह अध्याय संभाव्यता सिद्धांत का एक बुनियादी अवलोकन प्रदान करता है।


Einstein famously said, "God does not play dice."

आइंस्टीन ने प्रसिद्ध रूप से कहा, "ईश्वर पासा नहीं खेलते।"


We will review some basic notions in probability theory.

हम संभाव्यता सिद्धांत में कुछ बुनियादी धारणाओं की समीक्षा करेंगे।


This chapter is a non-mathematical overview.

यह अध्याय गैर-गणितीय अवलोकन है।


The sample space will consist of all possible outcomes.

नमूना स्थान सभी संभावित परिणामों से मिलकर बनेगा।


An event is simply a subset of the sample space.

एक घटना बस नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय है।


Random variables assign a number to an outcome.

यादृच्छिक चर एक परिणाम को एक संख्या निर्दिष्ट करते हैं।


We will use the setting of tossing n random coins.

हम n यादृच्छिक सिक्कों को उछालने की सेटिंग का उपयोग करेंगे।


Each outcome is obtained with a probability of 2 raised to the power of -n.

प्रत्येक परिणाम 2 की घात -n की प्रायिकता के साथ प्राप्त होता है।


The probability of an event is the fraction of outcomes in the subset.

किसी घटना की प्रायिकता उपसमुच्चय में परिणामों का अंश है।


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well.

मानव मस्तिष्क संभाव्य तर्क को अच्छी तरह से करने के लिए विकसित नहीं हुआ है।


We will not need to deal directly with these questions here.

हमें यहां सीधे इन सवालों से निपटने की आवश्यकता नहीं होगी।


The nature of randomness and probability is a topic of great philosophical depth.

यादृच्छिकता और संभाव्यता की प्रकृति महान दार्शनिक गहराई का विषय है।


We can describe the experiment of tossing n coins as choosing a string uniformly at random.

हम n सिक्कों को उछालने के प्रयोग का वर्णन एक स्ट्रिंग को समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुनकर कर सकते हैं।


The probability that X has an even number of ones.

इस बात की प्रायिकता कि X में सम संख्या में एक हैं।


The intersection of A and B contains two elements.

A और B का प्रतिच्छेदन दो तत्व रखता है।


The expectation of a random variable X, denoted by E[X].

एक यादृच्छिक चर X की अपेक्षा, जिसे E[X] द्वारा दर्शाया गया है।


If A is an event, then 1A is the random variable.

यदि A एक घटना है, तो 1A यादृच्छिक चर है।


Two events A and B are independent if the fact that A happens makes B neither more nor less likely to happen.

दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि A के घटित होने से B के घटित होने की संभावना न तो अधिक होती है और न ही कम।


Subtle correlations are often behind surprises and errors in probability and statistical analysis.

सूक्ष्म सहसंबंध अक्सर संभाव्यता और सांख्यिकीय विश्लेषण में आश्चर्य और त्रुटियों के पीछे होते हैं।


Randomized algorithms are often used when deterministic algorithms are too complex.

यादृच्छिक एल्गोरिदम का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब निश्चित एल्गोरिदम बहुत जटिल होते हैं।


The Monte Carlo method is a class of computational algorithms that rely on repeated random sampling to obtain numerical results.

मोंटे कार्लो विधि कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम का एक वर्ग है जो संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए बार-बार यादृच्छिक नमूने पर निर्भर करता है।


In this chapter, we will explore several examples of randomized algorithms.

इस अध्याय में, हम यादृच्छिक एल्गोरिदम के कई उदाहरणों का पता लगाएंगे।


Randomness can be a powerful tool in computer science.

कंप्यूटर विज्ञान में यादृच्छिकता एक शक्तिशाली उपकरण हो सकती है।


The algorithm uses randomness to find an approximate solution to the maximum cut problem.

एल्गोरिदम अधिकतम कट समस्या का अनुमानित समाधान खोजने के लिए यादृच्छिकता का उपयोग करता है।


We will analyze the probability of success for these algorithms.

हम इन एल्गोरिदम के लिए सफलता की संभावना का विश्लेषण करेंगे।


The concept of success amplification is crucial for many randomized algorithms.

सफलता प्रवर्धन की अवधारणा कई यादृच्छिक एल्गोरिदम के लिए महत्वपूर्ण है।


The algorithm is guaranteed to cut at least half of the edges in expectation.

एल्गोरिदम को उम्मीद में कम से कम आधे किनारों को काटने की गारंटी है।


The algorithm chooses a random cut by selecting a subset of vertices.

एल्गोरिदम शीर्षों के एक सबसेट का चयन करके एक यादृच्छिक कट चुनता है।


Each edge is cut with a probability of 1/2.

प्रत्येक किनारे को 1/2 की संभावना के साथ काटा जाता है।


The expected number of cut edges is m/2.

कट किनारों की अपेक्षित संख्या m/2 है।


The algorithm is extremely simple to implement.

एल्गोरिदम को लागू करना बेहद आसान है।


We can amplify the probability of success by repeating the process.

हम प्रक्रिया को दोहराकर सफलता की संभावना को बढ़ा सकते हैं।


The probability of success can be amplified by repeating the algorithm multiple times.

एल्गोरिदम को कई बार दोहराकर सफलता की संभावना को बढ़ाया जा सकता है।


The algorithm outputs the best cut found in the repetitions.

एल्गोरिदम दोहराव में पाए गए सबसे अच्छे कट को आउटपुट करता है।


Randomized algorithms work in the worst case scenario.

यादृच्छिक एल्गोरिदम सबसे खराब स्थिति में काम करते हैं।


The algorithm is guaranteed to cut half of the edges of the input graph in expectation.

एल्गोरिदम को उम्मीद में इनपुट ग्राफ के आधे किनारों को काटने की गारंटी है।


The chance of winning the lottery is very small.

लॉटरी जीतने की संभावना बहुत कम है।


Randomized algorithms can be very useful in practice.

यादृच्छिक एल्गोरिदम व्यवहार में बहुत उपयोगी हो सकते हैं।


Let's explore the applications of randomized algorithms.

आइए यादृच्छिक एल्गोरिदम के अनुप्रयोगों का पता लगाएं।


आज मौसम सुहावना है।


क्या आप कृपया नमक पास कर सकते हैं?


मैं बाज़ार जा रहा हूँ।


कंपनी ने एक नए उत्पाद की घोषणा की।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


वह एक बहुत ही प्रतिभाशाली संगीतकार हैं।


The government is implementing new policies.

सरकार नई नीतियाँ लागू कर रही है।


The research paper explores the impact of climate change.

शोध पत्र जलवायु परिवर्तन के प्रभाव की पड़ताल करता है।


चुनौतियों के बावजूद, वे सफल हुए।


आर्थिक पूर्वानुमान वृद्धि की भविष्यवाणी करता है।


The software update includes several bug fixes.

सॉफ्टवेयर अपडेट में कई बग फिक्स शामिल हैं।


वह अपने क्षेत्र में एक प्रसिद्ध विशेषज्ञ हैं।


समिति प्रस्ताव की समीक्षा करेगी।


The complex equation requires careful analysis.

जटिल समीकरण के लिए सावधानीपूर्वक विश्लेषण की आवश्यकता होती है।


She demonstrated exceptional leadership skills.

उन्होंने असाधारण नेतृत्व कौशल का प्रदर्शन किया।


The new regulations will affect the industry.

नए नियम उद्योग को प्रभावित करेंगे।


The data analysis revealed significant trends.

डेटा विश्लेषण ने महत्वपूर्ण रुझानों का खुलासा किया।


वह अपने नवीन विचारों के लिए जाने जाते हैं।


परियोजना में कुछ देरी हो रही है।


The algorithm's efficiency is crucial for large datasets.

बड़े डेटासेट के लिए एल्गोरिदम की दक्षता महत्वपूर्ण है।


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC प्रोग्राम बूलियन सर्किट के बराबर हैं।


आप सीधे धारा 16.4.1 पर जा सकते हैं।


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position, whether there is a strategy that guarantees that White wins within steps.

क्वांटिफायर के स्तरों से जुड़े एक कथन का एक और उदाहरण यह जांचना होगा कि, एक शतरंज की स्थिति को देखते हुए, क्या कोई ऐसी रणनीति है जो गारंटी देती है कि व्हाइट चरणों के भीतर जीत जाता है।


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

यह पता चला है कि यदि P=NP है तो हम इस तरह की समस्याओं को भी हल कर सकते हैं।


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V, there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a that on input x ∈ {0,1}n returns 1 if and only if ∃ y0 ∈{0,1}m ∀ y1 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1.

यदि P=NP है तो प्रत्येक a ∈ ℕ, बहुपद p ∶ ℕ → ℕ और बहुपद-समय एल्गोरिथ्म V के लिए, एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म SOLVE V,a है जो इनपुट x ∈ {0,1}n पर 1 लौटाता है यदि और केवल यदि ∃ y0 ∈{0,1}m ∀ y1 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1।


To understand the idea behind the proof, consider the special case where we want to decide, given x ∈ {0,1}n, whether for every y ∈ {0,1}n there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

प्रमाण के पीछे के विचार को समझने के लिए, उस विशेष मामले पर विचार करें जहां हम यह तय करना चाहते हैं, x ∈ {0,1}n को देखते हुए, कि क्या प्रत्येक y ∈ {0,1}n के लिए z ∈ {0,1}n मौजूद है जैसे कि V(xyz) = 1।


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

फंक्शन F पर विचार करें जैसे कि F(xy) = 1 यदि z ∈ {0,1}n मौजूद है जैसे कि V(xyz) = 1।


Since V runs in polynomial-time F ∈NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′ that on input x,y outputs 1 if and only if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

चूंकि V बहुपद-समय F ∈NP में चलता है और इसलिए यदि P=NP है, तो एक एल्गोरिथ्म V′ है जो इनपुट x,y पर 1 आउटपुट करता है यदि और केवल यदि z ∈ {0,1}n मौजूद है जैसे कि V(xyz) = 1।


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1, which means it is false if and only if the following condition (*) holds: there exists some y ∈ {0,1}n such that V′(xy) = 0.

अब हम देख सकते हैं कि मूल कथन जिस पर हम विचार कर रहे हैं, वह सत्य है यदि और केवल यदि प्रत्येक y ∈ {0,1}n के लिए, V′(xy) = 1, जिसका अर्थ है कि यह गलत है यदि और केवल यदि निम्नलिखित शर्त (*) लागू होती है: कुछ y ∈ {0,1}n मौजूद है जैसे कि V′(xy) = 0।


But for every x ∈ {0,1}n, the question of whether the condition (*) is itself in NP (as we assumed V′ can be computed in polynomial time) and hence under the assumption that P=NP we can determine in polynomial time whether the condition (*), and hence our original statement, is true.

लेकिन प्रत्येक x ∈ {0,1}n के लिए, इस सवाल का कि क्या शर्त (*) स्वयं NP में है (जैसा कि हमने माना था कि V′ को बहुपद समय में गणना की जा सकती है) और इसलिए इस धारणा के तहत कि P=NP हम बहुपद समय में यह निर्धारित कर सकते हैं कि शर्त (*), और इसलिए हमारा मूल कथन, सत्य है।


हम प्रेरण द्वारा प्रमेय को सिद्ध करते हैं।


We assume that there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a−1 that can solve the problem (16.4) for a − 1 and use that to solve the problem for a.

हम मानते हैं कि एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म SOLVE V,a−1 है जो a − 1 के लिए समस्या (16.4) को हल कर सकता है और इसका उपयोग a के लिए समस्या को हल करने के लिए करते हैं।


For a = 1, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation since V runs in polynomial time.

a = 1 के लिए, SOLVE V,a−1(x) = 1 यदि और केवल यदि V(x) = 1 जो एक बहुपद-समय गणना है क्योंकि V बहुपद समय में चलता है।


For every x,y0, define the statement φ x,y0 to be the following: φ x,y0 = ∀ y1 ∈{0,1}m ∃ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1

प्रत्येक x,y0 के लिए, कथन φ x,y0 को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित करें: φ x,y0 = ∀ y1 ∈{0,1}m ∃ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1


By the definition of SOLVE V,a, for every x ∈ {0,1}n, our goal is that SOLVE V,a(x) = 1 if and only if there exists y0 ∈ {0,1}m such that φ x,y0 is true.

SOLVE V,a की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक x ∈ {0,1}n के लिए, हमारा लक्ष्य यह है कि SOLVE V,a(x) = 1 यदि और केवल यदि y0 ∈ {0,1}m मौजूद है जैसे कि φ x,y0 सत्य है।


The negation of φ x,y0 is the statement φ x,y0 = ∃ y1 ∈{0,1}m ∀ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 0 where ℜ is ∃ if ℜ was ∀ and ℜ is ∀ otherwise.

φ x,y0 का निषेध कथन φ x,y0 = ∃ y1 ∈{0,1}m ∀ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 0 है जहाँ ℜ ∃ है यदि ℜ ∀ था और ℜ अन्यथा ∀ है।


The crucial observation is that φ x,y0 is exactly a statement of the form we consider with a − 1 quantifiers instead of a, and hence by our inductive hypothesis there is some polynomial time algorithm S that on input xy0 outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि φ x,y0 बिल्कुल उस रूप का एक कथन है जिस पर हम a के बजाय a − 1 क्वांटिफायर के साथ विचार करते हैं, और इसलिए हमारी आगमनात्मक परिकल्पना से xy0 इनपुट पर कुछ बहुपद समय एल्गोरिथ्म S है जो 1 आउटपुट करता है यदि और केवल यदि φ x,y0 सत्य है।


If we let S be the algorithm that on input x,y0 outputs 1 − S(xy0) then we see that S outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

यदि हम S को वह एल्गोरिथ्म बनने दें जो इनपुट x,y0 पर 1 − S(xy0) आउटपुट करता है तो हम देखते हैं कि S 1 आउटपुट करता है यदि और केवल यदि φ x,y0 सत्य है।


Hence we can rephrase the original statement (16.4) as follows: ∃ y0 ∈{0,1}m S(xy0) = 1 (16.5) but since S is a polynomial-time algorithm, Eq. (16.5) is clearly a statement in NP and hence under our assumption that P=NP there is a polynomial time algorithm that on input x ∈ {0,1}n, will determine if (16.5) is true and so also if the original statement (16.4) is true.

इसलिए हम मूल कथन (16.4) को इस प्रकार दोहरा सकते हैं: ∃ y0 ∈{0,1}m S(xy0) = 1 (16.5) लेकिन चूंकि S एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है, समीकरण। (16.5) स्पष्ट रूप से NP में एक कथन है और इसलिए हमारी धारणा के तहत कि P=NP एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है जो इनपुट x ∈ {0,1}n पर, यह निर्धारित करेगा कि (16.5) सत्य है या नहीं और इसलिए यदि मूल कथन (16.4) सत्य है।


The algorithm of Theorem 16.6 can also solve the search problem as well: find the value y0 that certifies the truth of (16.4).

प्रमेय 16.6 का एल्गोरिथ्म खोज समस्या को भी हल कर सकता है: मान y0 ज्ञात करें जो (16.4) की सच्चाई को प्रमाणित करता है।


आज मौसम सुहावना है।


क्या आप कृपया नमक पास कर सकते हैं?


मैं बाज़ार जा रहा हूँ।


कंपनी ने एक नए उत्पाद की घोषणा की।


The research paper explores the impact of climate change.

शोध पत्र जलवायु परिवर्तन के प्रभाव की पड़ताल करता है।


वह एक बहुत ही प्रतिभाशाली संगीतकार है।


The government is implementing new policies.

सरकार नई नीतियाँ लागू कर रही है।


The algorithm efficiently sorts the data.

एल्गोरिदम कुशलता से डेटा को सॉर्ट करता है।


She enjoys reading novels in her free time.

वह अपने खाली समय में उपन्यास पढ़ना पसंद करती है।


आर्थिक पूर्वानुमान वृद्धि की भविष्यवाणी करता है।


The software update includes several bug fixes.

सॉफ्टवेयर अपडेट में कई बग फिक्स शामिल हैं।


They are planning a vacation to the mountains.

वे पहाड़ों पर छुट्टी की योजना बना रहे हैं।


The committee discussed the proposed changes.

समिति ने प्रस्तावित परिवर्तनों पर चर्चा की।


The system architecture is designed for scalability.

सिस्टम आर्किटेक्चर को मापनीयता के लिए डिज़ाइन किया गया है।


वह एक समर्पित शिक्षक हैं।


The election results were announced yesterday.

चुनाव के नतीजे कल घोषित किए गए।


कोड बिना किसी त्रुटि के संकलित होता है।


वह पियानो बजाना सीख रही है।


The company is facing financial challenges.

कंपनी वित्तीय चुनौतियों का सामना कर रही है।


The data analysis revealed interesting insights.

डेटा विश्लेषण ने दिलचस्प अंतर्दृष्टि का खुलासा किया।


At the end of the day, it simply says that if X and Y are random variables that depend on two disjoint sets S and T of coins, then they are independent.

दिन के अंत में, यह बस इतना कहता है कि यदि X और Y यादृच्छिक चर हैं जो सिक्कों के दो अलग-अलग सेट S और T पर निर्भर करते हैं, तो वे स्वतंत्र हैं।


Proof of Lemma 18.6. Let a, b ∈ ℝ, and let A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} and B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}.

लेम्मा 18.6 का प्रमाण। मान लीजिए a, b ∈ ℝ, और मान लीजिए A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} और B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}।


Since S and T are disjoint, we can reorder the indices so that S = {0,...,k−1} and T = {k,...,k+m−1} without affecting any of the probabilities.

चूंकि S और T अलग-अलग हैं, हम सूचकांकों को पुन: व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि S = {0,...,k−1} और T = {k,...,k+m−1} किसी भी संभावना को प्रभावित किए बिना।


Hence we can write Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n where C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.

इसलिए हम लिख सकते हैं Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n जहाँ C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}।


Another way to write this using string concatenation is that C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, and hence |C| = |A||B|2 n−k−m , which means that |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].

स्ट्रिंग संयोजन का उपयोग करके इसे लिखने का एक और तरीका यह है कि C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, और इसलिए |C| = |A||B|2 n−k−m , जिसका अर्थ है कि |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b] ।


If X and Y are independent random variables then (letting S X , S Y denote the sets of all numbers that have positive probability of being the output of X and Y, respectively):

यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं तो (S X , S Y को उन सभी संख्याओं के सेट को दर्शाते हुए जिनकी X और Y के आउटपुट होने की सकारात्मक संभावना है, क्रमशः):


P[XY] = ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a∧Y = b]⋅ab = (1) ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a]Pr[Y = b]⋅ab = (2) ( ∑ a∈S X Pr[X = a]⋅a)(∑ b∈S Y Pr[Y = b]⋅b) = (3) P[X]P[Y] where the first equality (= (1) ) follows from the independence of X and Y, the second equality (= (2) ) follows by “opening the paren- theses” of the right-hand side, and the third equality (= (3) ) follows from the definition of expectation.

P[XY] = ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a∧Y = b]⋅ab = (1) ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a]Pr[Y = b]⋅ab = (2) ( ∑ a∈S X Pr[X = a]⋅a)(∑ b∈S Y Pr[Y = b]⋅b) = (3) P[X]P[Y] जहाँ पहली समानता (= (1) ) X और Y की स्वतंत्रता से अनुसरण करती है, दूसरी समानता (= (2) ) दाईं ओर के “कोष्ठकों को खोलने” से अनुसरण करती है, और तीसरी समानता (= (3) ) अपेक्षा की परिभाषा से अनुसरण करती है।


Another useful fact is that if X and Y are independent random variables, then so are F(X) and G(Y) for all functions F,G ∶ ℝ → ℝ.

एक और उपयोगी तथ्य यह है कि यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो सभी कार्यों F,G ∶ ℝ → ℝ के लिए F(X) और G(Y) भी हैं।


This is intuitively true since learning F(X) can only provide us with less information than does learning X itself.

यह सहज रूप से सच है क्योंकि F(X) सीखने से हमें X को स्वयं सीखने की तुलना में कम जानकारी मिल सकती है।


Hence, if learning X does not teach us anything about Y (and so also about G(Y)) then neither will learning F(X).

इसलिए, यदि X सीखने से हमें Y (और इसलिए G(Y) के बारे में भी) के बारे में कुछ भी नहीं सिखाता है तो F(X) सीखने से भी ऐसा नहीं होगा।


Indeed, to prove this we can write for every a,b ∈ ℝ: probability theory 101 537 Pr[F(X) = a∧G(Y) = b] =∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x∧Y = y] = ∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x]Pr[Y = y] = ( ∑ x s.t. F(x)=a Pr[X = x] ) ⋅ ( ∑ y s.t. G(y)=b Pr[Y = y] ) = Pr[F(X) = a]Pr[G(Y) = b].

वास्तव में, इसे साबित करने के लिए हम प्रत्येक a,b ∈ ℝ के लिए लिख सकते हैं: प्रायिकता सिद्धांत 101 537 Pr[F(X) = a∧G(Y) = b] =∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x∧Y = y] = ∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x]Pr[Y = y] = ( ∑ x s.t. F(x)=a Pr[X = x] ) ⋅ ( ∑ y s.t. G(y)=b Pr[Y = y] ) = Pr[F(X) = a]Pr[G(Y) = b] ।


18.2.2 Collections of independent random variables We can extend the notions of independence to more than two random variables: we say that the random variables X 0 ,...,X n−1 are mutually independent if for every a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].

18.2.2 स्वतंत्र यादृच्छिक चरों का संग्रह हम स्वतंत्रता की धारणाओं को दो से अधिक यादृच्छिक चरों तक बढ़ा सकते हैं: हम कहते हैं कि यादृच्छिक चर X 0 ,...,X n−1 परस्पर स्वतंत्र हैं यदि प्रत्येक a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ के लिए, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ]।


And similarly, we have that Lemma 18.7— Expectation of product of independent random variables. If X 0 ,...,X n−1 are mutually independent then P[ ∏ n−1 i=0 X i ] = ∏ n−1 i=0 P[X i ].

और इसी तरह, हमारे पास है कि लेम्मा 18.7— स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की अपेक्षा। यदि X 0 ,...,X n−1 परस्पर स्वतंत्र हैं तो P[ ∏ n−1 i=0 X i ] = ∏ n−1 i=0 P[X i ]।


Lemma 18.8— Functions preserve independence. If X 0 ,...,X n−1 are mu- tually independent, and Y 0 ,...,Y n−1 are defined as Y i = F i (X i )for some functions F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ, then Y 0 ,...,Y n−1 are mutually independent as well.

लेम्मा 18.8— फ़ंक्शन स्वतंत्रता को संरक्षित करते हैं। यदि X 0 ,...,X n−1 परस्पर स्वतंत्र हैं, और Y 0 ,...,Y n−1 को कुछ फ़ंक्शन F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ के लिए Y i = F i (X i ) के रूप में परिभाषित किया गया है, तो Y 0 ,...,Y n−1 भी परस्पर स्वतंत्र हैं।


We leave provingLemma 18.7andLemma 18.8as Exercise 18.6andExercise 18.7.

हम लेम्मा 18.7 और लेम्मा 18.8 को व्यायाम 18.6 और व्यायाम 18.7 के रूप में साबित करना छोड़ देते हैं।


It is a good idea for you stop now and do these exercises to make sure you are comfortable with the notion of independence, as we will use it heavily later on in this course.

आपके लिए अब रुकना और इन अभ्यासों को करना एक अच्छा विचार है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि आप स्वतंत्रता की धारणा से सहज हैं, क्योंकि हम इस पाठ्यक्रम में बाद में इसका बहुत उपयोग करेंगे।


18.3 CONCENTRATION AND TAIL BOUNDS The name “expectation” is somewhat misleading.

18.3 सांद्रता और टेल बाउंड्स “अपेक्षा” नाम कुछ हद तक भ्रामक है।


For example, suppose that you and I place a bet on the outcome of 10 coin tosses, where if they all come out to be 1 ’s then I pay you 100,000 dollars and other- wise you pay me 10 dollars.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप और मैं 10 सिक्कों के उछाल के परिणाम पर दांव लगाते हैं, जहाँ यदि वे सभी 1 के रूप में आते हैं तो मैं आपको 100,000 डॉलर का भुगतान करता हूँ और अन्यथा आप मुझे 10 डॉलर का भुगतान करते हैं।


If we let X ∶ {0,1} 10 → ℝbe the random variable denoting your gain, then we see that P[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90.

यदि हम X ∶ {0,1} 10 → ℝ को यादृच्छिक चर मानते हैं जो आपके लाभ को दर्शाता है, तो हम देखते हैं कि P[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90।


But we don’t really “expect” the result of this experiment to be for you to gain 90 dollars.

लेकिन हम वास्तव में इस प्रयोग के परिणाम की उम्मीद नहीं करते हैं कि आप 90 डॉलर प्राप्त करें।


The map 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) inverts the map 푥 ↦ 퐸 푘 (푥).

मैप 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) मैप 푥 ↦ 퐸 푘 (푥) को उलट देता है।


Defining security is not a trivial matter.

सुरक्षा को परिभाषित करना कोई आसान काम नहीं है।


सिस्टम को गोपनीयता की आवश्यकता नहीं होनी चाहिए।


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

एक क्रिप्टोसिसटम सुरक्षित होना चाहिए, भले ही कुंजी को छोड़कर सिस्टम के बारे में सब कुछ सार्वजनिक ज्ञान हो।


यादृच्छिकता के बिना कोई गोपनीयता नहीं है।


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key.

हर क्रिप्टोग्राफिक योजना के केंद्र में एक गुप्त कुंजी होती है।


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

क्रिप्टोग्राफी के लिए रहस्यों को चुनने के लिए यादृच्छिकता उत्पन्न करने की आवश्यकता होती है।


Randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

यादृच्छिकता जनरेटर अक्सर सुरक्षित प्रणालियों का अकिलीज़ हील साबित होते हैं।


Breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

यादृच्छिकता उत्पन्न करने की प्रक्रिया को तोड़ना सिस्टम के पूर्ण टूटने का कारण बन सकता है।


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the key.

एक एन्क्रिप्शन योजना सुरक्षित है यदि कुंजी को पुनर्प्राप्त करना संभव नहीं है।


An encryption scheme reveals absolutely nothing about the message.

एक एन्क्रिप्शन योजना संदेश के बारे में बिल्कुल कुछ भी प्रकट नहीं करती है।


इस उदाहरण को व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है।


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

पूर्ण गोपनीयता एक अत्यंत मजबूत स्थिति है।


एन्क्रिप्शन बेहद सरल है।


वन-टाइम पैड कुशल है।


To communicate n bits you need to store a key of length n.

एन बिट्स संचारित करने के लिए आपको एन लंबाई की एक कुंजी संग्रहीत करने की आवश्यकता है।


The Soviets have used the one-time pad for their confidential communication.

सोवियत संघ ने अपनी गोपनीय संचार के लिए वन-टाइम पैड का उपयोग किया है।


पूर्ण गोपनीयता के लिए लंबी कुंजियों की आवश्यकता होती है।


We can use computational hardness to achieve many cryptographic goals.

हम कई क्रिप्टोग्राफिक लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए कम्प्यूटेशनल कठोरता का उपयोग कर सकते हैं।


An encryption scheme is computationally secret if no polynomial time algorithm can break it.

एक एन्क्रिप्शन योजना कम्प्यूटेशनल रूप से गुप्त है यदि कोई बहुपद समय एल्गोरिदम इसे तोड़ नहीं सकता है।


It's not hard to see that if F is in BPP then it can be computed in exponential time.

यह देखना मुश्किल नहीं है कि यदि F BPP में है तो इसे घातीय समय में संगणित किया जा सकता है।


The proof readily follows by enumerating over all the (exponentially many) choices for the random coins.

प्रमाण आसानी से यादृच्छिक सिक्कों के लिए सभी (घातीय रूप से कई) विकल्पों को सूचीबद्ध करके अनुसरण करता है।


We omit the formal proof, as doing it by yourself is an excellent way to get comfortable with Definition 20.1.

हम औपचारिक प्रमाण छोड़ देते हैं, क्योंकि इसे स्वयं करना परिभाषा 20.1 से परिचित होने का एक उत्कृष्ट तरीका है।


A priori it is not at all clear that the same holds for a function in BPP, but this does turn out to be the case.

ए प्रियोरी यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि BPP में एक फ़ंक्शन के लिए भी यही बात लागू होती है, लेकिन यह मामला सामने आता है।


The standard BPP guarantee corresponds to the middle figure, where for every input x, at least two thirds of the choices r for a random tape will result in A computing the correct value.

मानक BPP गारंटी मध्य आकृति से मेल खाती है, जहाँ प्रत्येक इनपुट x के लिए, यादृच्छिक टेप के लिए कम से कम दो-तिहाई विकल्प r के परिणामस्वरूप A सही मान की गणना करेगा।


That is, every column is colored green in at least two thirds of its coordinates.

अर्थात, प्रत्येक कॉलम को कम से कम दो-तिहाई निर्देशांकों में हरा रंग दिया गया है।


In the left figure we have an “average case” guarantee where the algorithm is only guaranteed to output the correct answer with probability two thirds over a random input.

बाईं आकृति में हमारे पास एक “औसत मामला” गारंटी है जहाँ एल्गोरिदम को केवल एक यादृच्छिक इनपुट पर दो-तिहाई संभावना के साथ सही उत्तर देने की गारंटी है।


That is, at least two thirds of the rows are all green.

अर्थात, कम से कम दो-तिहाई पंक्तियाँ सभी हरी हैं।


Theorem 20.8 (BPP ⊆ P / poly) is proven by amplifying the success of a BPP algorithm until we have the “offline BPP” guarantee, and then hardwiring the choice of the randomness r to obtain a non-uniform deterministic algorithm.

प्रमेय 20.8 (BPP ⊆ P / poly) को एक BPP एल्गोरिदम की सफलता को तब तक बढ़ाकर सिद्ध किया गया है जब तक कि हमारे पास “ऑफ़लाइन BPP” गारंटी न हो जाए, और फिर यादृच्छिकता r के चुनाव को हार्डवायर करके एक गैर-समान निश्चित एल्गोरिदम प्राप्त किया जा सके।


That is, for every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ such that for every n > 0, F ↾ n ∈ SIZE(a n b) where F ↾ n is the restriction of F to inputs in {0,1} n.

अर्थात, प्रत्येक F ∈ BPP के लिए, कुछ a, b ∈ ℕ मौजूद हैं जैसे कि प्रत्येक n > 0 के लिए, F ↾ n ∈ SIZE(a n b) जहाँ F ↾ n {0,1} n में इनपुट के लिए F का प्रतिबंध है।


The idea behind the proof is that we can first amplify by repetition the probability of success from 2/3 to 1 − 0.1 ⋅ 2 −n.

प्रमाण के पीछे का विचार यह है कि हम पहले सफलता की संभावना को दोहराव से 2/3 से 1 − 0.1 ⋅ 2 −n तक बढ़ा सकते हैं।


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of “favorable coins” which is a string r of length polynomial in n such that if r is used for the randomness then we output the right answer on all of the possible 2 n inputs.

यह हमें यह दिखाने की अनुमति देगा कि प्रत्येक n ∈ ℕ के लिए “अनुकूल सिक्कों” का एक ही निश्चित विकल्प मौजूद है जो n में बहुपद लंबाई का एक स्ट्रिंग r है जैसे कि यदि r का उपयोग यादृच्छिकता के लिए किया जाता है तो हम सभी संभावित 2 n इनपुट पर सही उत्तर देते हैं।


We can then use the standard “unravelling the loop” technique to transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program, and “hardwire” the favorable choice of random coins modeling randomized computation to transform the RNAND-CIRC program into a plain old deterministic NAND-CIRC program.

फिर हम RNAND-TM प्रोग्राम को RNAND-CIRC प्रोग्राम में बदलने के लिए मानक “लूप को खोलना” तकनीक का उपयोग कर सकते हैं, और RNAND-CIRC प्रोग्राम को एक साधारण पुराने निश्चित NAND-CIRC प्रोग्राम में बदलने के लिए यादृच्छिक गणना का मॉडलिंग करने वाले यादृच्छिक सिक्कों के अनुकूल विकल्प को “हार्डवायर” कर सकते हैं।


मान लीजिए कि F ∈ BPP।


Let P be a polynomial-time RNAND-TM program that computes F as per Definition 20.1.

मान लीजिए P एक बहुपद-समय RNAND-TM प्रोग्राम है जो परिभाषा 20.1 के अनुसार F की गणना करता है।


Using Theorem 20.5, we can amplify the success probability of P to obtain an RNAND-TM program P′ that is at most a factor of O(n) slower (and hence still polynomial time) such that for every x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n, where m is the number of coin tosses that P′ uses on inputs of length n.

प्रमेय 20.5 का उपयोग करते हुए, हम P की सफलता की संभावना को बढ़ाने के लिए एक RNAND-TM प्रोग्राम P′ प्राप्त कर सकते हैं जो अधिकतम O(n) का एक कारक धीमा है (और इसलिए अभी भी बहुपद समय) जैसे कि प्रत्येक x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n, जहाँ m सिक्का उछालों की संख्या है जिसका उपयोग P′ लंबाई n के इनपुट पर करता है।


For every x ∈ {0,1} n, define the “bad” event B x to hold if P′(x) ≠ F(x), where the sample space for this event consists of the coins of P′.

प्रत्येक x ∈ {0,1} n के लिए, “बुरा” घटना B x को परिभाषित करें यदि P′(x) ≠ F(x), जहाँ इस घटना के लिए नमूना स्थान P′ के सिक्कों से बना है।


Then by (20.5), Pr[B x] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n for every x ∈ {0,1} n.

फिर (20.5) द्वारा, Pr[B x] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n प्रत्येक x ∈ {0,1} n के लिए।


Since there are 2 n many such x’s, by the union bound we see that the probability that the union of the events {B x} x∈{0,1} n is at most 0.1.

चूंकि ऐसे कई x हैं, संघ सीमा से हम देखते हैं कि घटनाओं {B x} x∈{0,1} n के संघ की संभावना अधिकतम 0.1 है।


This means that if we choose r ∼ {0,1} m, then with probability at least 0.9 it will be the case that for every x ∈ {0,1} n, F(x) = P′(x; r).

इसका मतलब है कि यदि हम r ∼ {0,1} m चुनते हैं, तो कम से कम 0.9 की संभावना के साथ यह मामला होगा कि प्रत्येक x ∈ {0,1} n के लिए, F(x) = P′(x; r)।


The algorithm is used to encrypt sensitive data.

यह एल्गोरिदम संवेदनशील डेटा को एन्क्रिप्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है।


She couldn't even imagine the possibilities.

वह संभावनाओं की कल्पना भी नहीं कर सकती थी।


Computational hardness is essential for cryptographic applications.

क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोगों के लिए कम्प्यूटेशनल कठोरता आवश्यक है।


The adversary will not be able to guess the message.

विरोधी संदेश का अनुमान नहीं लगा पाएगा।


We will show that we can obtain a computationally secret cryptosystem.

हम दिखाएंगे कि हम एक कम्प्यूटेशनल रूप से गुप्त क्रिप्टोसिसटम प्राप्त कर सकते हैं।


Stream ciphers are widely used in practice.

स्ट्रीम सिफर व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।


The key is much shorter than the plaintext.

कुंजी सादे पाठ से बहुत छोटी है।


A cryptographic pseudorandom generator is defined.

एक क्रिप्टोग्राफिक स्यूडोरैंडम जनरेटर को परिभाषित किया गया है।


The optimal PRG conjecture implies the following.

इष्टतम PRG अनुमान निम्नलिखित को दर्शाता है।


Suppose that the crypto PRG conjecture is true.

मान लीजिए कि क्रिप्टो PRG अनुमान सही है।


प्रमाण चित्र में दर्शाया गया है।


We simply take the one-time pad on L bit plaintexts.

हम बस L बिट सादे पाठ पर एक-बार पैड लेते हैं।


Computational secrecy follows from the condition of a pseudorandom generator.

कम्प्यूटेशनल गोपनीयता एक स्यूडोरैंडम जनरेटर की स्थिति से आती है।


The two most widely used forms of encryption are stream ciphers and block ciphers.

एन्क्रिप्शन के दो सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले रूप स्ट्रीम सिफर और ब्लॉक सिफर हैं।


If P=NP then there is no computationally secret encryption scheme.

यदि P=NP तो कोई कम्प्यूटेशनल रूप से गुप्त एन्क्रिप्शन योजना नहीं है।


आगे का हिस्सा बेहद मजबूत है।


We focus on showing only the "furthermore" part.


People have been dreaming about heavier-than-air flight.

लोग कम से कम लियोनार्डो दा विंची के समय से हवा से भारी उड़ान का सपना देख रहे हैं।


ऐलिस लाइन में शोर इंजेक्ट करेगी।


They realized that cryptography would find new applications.

उन्हें एहसास हुआ कि क्रिप्टोग्राफी नए अनुप्रयोग खोजेगी।


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

क्विबिट की स्थिति को 0 और 1 के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है।


Quantum computers utilize qubits instead of classical bits.

क्वांटम कंप्यूटर क्लासिकल बिट्स के बजाय क्विट्स का उपयोग करते हैं।


Alice and Bob's agreement probability is cos^2(π/8).

एलीस और बॉब की सहमति की संभावना cos^2(π/8) है।


The overall probability of winning the game is at least 0.8.

खेल जीतने की कुल संभावना कम से कम 0.8 है।


Quantum mechanics enabled a gain in Bell’s Inequality.

क्वांटम यांत्रिकी ने बेल की असमानता में लाभ सक्षम किया।


Consider the following analogous probabilistic strategy for Alice and Bob.

एलीस और बॉब के लिए निम्नलिखित अनुरूप संभाव्य रणनीति पर विचार करें।


In the classical setting, we modeled computation as obtained by a sequence of basic operations.

क्लासिकल सेटिंग में, हमने गणना को बुनियादी कार्यों के अनुक्रम द्वारा प्राप्त के रूप में मॉडल किया।


We defined the class P to consist of all infinite functions.

हमने वर्ग P को सभी अनंत कार्यों से मिलकर परिभाषित किया।


A quantum circuit is analogous to a Boolean circuit.

एक क्वांटम सर्किट एक बूलियन सर्किट के समान है।


The No Cloning Theorem is a crucial concept.

नो क्लोनिंग प्रमेय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।


We cannot reuse quantum states without measuring them.

हम उन्हें मापे बिना क्वांटम राज्यों का पुन: उपयोग नहीं कर सकते।


Quantum circuits use unitary matrices to express operations.

क्वांटम सर्किट संचालन को व्यक्त करने के लिए एकात्मक मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं।


The Hadamard operation is also used in quantum circuits.

हैडामर्ड ऑपरेशन का उपयोग क्वांटम सर्किट में भी किया जाता है।


A quantum circuit computes a function f.

एक क्वांटम सर्किट एक फ़ंक्शन f की गणना करता है।


We can define the quantum analog of P/poly.

हम P/poly के क्वांटम एनालॉग को परिभाषित कर सकते हैं।


Quantum computing might seem exponentially powerful.

क्वांटम कंप्यूटिंग घातीय रूप से शक्तिशाली लग सकता है।


The exponentially long vector description does not imply that quantum computers are exponentially powerful.

घातीय रूप से लंबा वेक्टर विवरण यह नहीं दर्शाता है कि क्वांटम कंप्यूटर घातीय रूप से शक्तिशाली हैं।


QNAND-CIRC programs are the quantum analog of NAND-CIRC programs.

QNAND-CIRC प्रोग्राम NAND-CIRC प्रोग्राम के क्वांटम एनालॉग हैं।


We can define uniform computational models.

हम समान कम्प्यूटेशनल मॉडल को परिभाषित कर सकते हैं।


यह व्यापक रूप से माना जाता है कि NP ⊈ BQP।


Alice sends to Bob the triple (p, g, g^a mod p).

ऐलिस बॉब को ट्रिपल (p, g, g^a mod p) भेजती है।


Bob sends a message x ∈ {0,1}L to Alice.

बॉब ऐलिस को एक संदेश x ∈ {0,1}L भेजता है।


The Diffie-Hellman key exchange protocol can be thought of as a public key encryption.

डिफ़ी-हेलमैन कुंजी विनिमय प्रोटोकॉल को सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन के रूप में सोचा जा सकता है।


Integrity is often more fundamental than secrecy.

अखंडता अक्सर गोपनीयता से अधिक मौलिक है।


Digital signature schemes are the analog of public key encryption for authentication.

डिजिटल हस्ताक्षर योजनाएं प्रमाणीकरण के लिए सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन के अनुरूप हैं।


We want a proof for a statement X where we can rigorously show that the proofs reveals absolutely no additional information about X beyond the fact that it is true.

हम एक कथन X के लिए एक प्रमाण चाहते हैं जहाँ हम कठोरता से दिखा सकते हैं कि प्रमाण X के बारे में बिल्कुल कोई अतिरिक्त जानकारी प्रकट नहीं करता है, इस तथ्य से परे कि यह सच है।


After all, if we can compute NAND then we can use this to run any algorithm P on the encrypted data.

आखिरकार, यदि हम NAND की गणना कर सकते हैं तो हम इसका उपयोग एन्क्रिप्टेड डेटा पर किसी भी एल्गोरिदम P को चलाने के लिए कर सकते हैं।


The idea in secure multiparty computation is that n parties interact together to compute some function F(x0, ..., xn-1).

सुरक्षित मल्टीपार्टी गणना में विचार यह है कि n पार्टियाँ कुछ फ़ंक्शन F(x0, ..., xn-1) की गणना करने के लिए एक साथ बातचीत करती हैं।


We can formally define the notion of security of an encryption scheme.

हम औपचारिक रूप से एक एन्क्रिप्शन योजना की सुरक्षा की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं।


Perfect secrecy ensures that an adversary does not learn anything about the plaintext from the ciphertext.

पूर्ण गोपनीयता यह सुनिश्चित करती है कि एक विरोधी सिफरटेक्स्ट से प्लेनटेक्स्ट के बारे में कुछ भी नहीं सीखता है।


The one-time pad is a perfectly secret encryption with the length of the key equaling the length of the message.

वन-टाइम पैड एक पूरी तरह से गुप्त एन्क्रिप्शन है जिसकी कुंजी की लंबाई संदेश की लंबाई के बराबर होती है।


Computational secrecy can be as good as perfect secrecy.

कम्प्यूटेशनल गोपनीयता पूर्ण गोपनीयता जितनी अच्छी हो सकती है।


There are many cryptographic tools that go well beyond private key encryption.

ऐसे कई क्रिप्टोग्राफिक उपकरण हैं जो निजी कुंजी एन्क्रिप्शन से बहुत आगे जाते हैं।


Modern science has embraced Democritus’ point of view.

आधुनिक विज्ञान ने डेमोक्रिटस के दृष्टिकोण को अपनाया है।


In computational language, in all these theories the state of a system with n particles could be stored in an array of O(n) numbers.

कम्प्यूटेशनल भाषा में, इन सभी सिद्धांतों में n कणों वाली एक प्रणाली की स्थिति को O(n) संख्याओं की एक सरणी में संग्रहीत किया जा सकता है।


Suppose that we buy one of those baseball pitching machines, and aim it at a soft plastic wall.

मान लीजिए कि हम उन बेसबॉल पिचिंग मशीनों में से एक खरीदते हैं, और इसे एक नरम प्लास्टिक की दीवार पर निशाना बनाते हैं।


If we shoot baseballs at the plastic wall, then some of the baseballs would bounce off the metal barrier.

यदि हम प्लास्टिक की दीवार पर बेसबॉल शूट करते हैं, तो कुछ बेसबॉल धातु की बाधा से उछल जाएंगे।


If we now carve out an additional slit in the metal barrier then more balls would get through, and so the plastic wall would be even more dented.

यदि अब हम धातु की बाधा में एक अतिरिक्त स्लिट बनाते हैं तो अधिक गेंदें निकल जाएंगी, और इसलिए प्लास्टिक की दीवार और अधिक दबी हुई होगी।


Amazingly, if we shoot with a “photon gun” (i.e., a laser) at a wall equipped with photon detectors through some barrier, then in some positions of the wall we will see fewer hits when the two slits are open than when only one of them is.

आश्चर्यजनक रूप से, यदि हम कुछ बाधा के माध्यम से फोटॉन डिटेक्टरों से लैस दीवार पर एक “फोटॉन गन” (यानी, एक लेजर) से शूट करते हैं, तो दीवार की कुछ स्थितियों में हम कम हिट देखेंगे जब दो स्लिट खुले हों, बजाय इसके कि उनमें से केवल एक खुला हो।


Quantum mechanics associates a number α known as an amplitude with each probabilistic experiment.

क्वांटम यांत्रिकी प्रत्येक संभाव्य प्रयोग के साथ एक संख्या α को एक आयाम के रूप में जोड़ती है।


The algorithm's steps are complex, involving quantum Fourier transforms.

इस एल्गोरिदम के चरण जटिल हैं, जिसमें क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म शामिल हैं।


Shor's algorithm is used for factoring large numbers.

शोर का एल्गोरिदम बड़ी संख्याओं को गुणनखंड करने के लिए उपयोग किया जाता है।


The Quantum Fourier Transform is a key component of Shor's algorithm.

क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म शोर के एल्गोरिदम का एक महत्वपूर्ण घटक है।


We can use classical results in number theory to obtain prime factors.

हम अभाज्य गुणनखंड प्राप्त करने के लिए संख्या सिद्धांत में शास्त्रीय परिणामों का उपयोग कर सकते हैं।


The algorithm involves repeated steps to find the period of a function.

एल्गोरिदम में एक फ़ंक्शन की अवधि ज्ञात करने के लिए बार-बार चरण शामिल होते हैं।


The Quantum Fourier Transform helps in recovering the period.

क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म अवधि को पुनः प्राप्त करने में मदद करता है।


The algorithm's efficiency depends on the Quantum Fourier Transform.

एल्गोरिदम की दक्षता क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म पर निर्भर करती है।


The Quantum Fourier Transform is not the same as computing the Fourier transform.

क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म की गणना करने जैसा नहीं है।


The algorithm uses qubits to perform calculations.

एल्गोरिदम गणना करने के लिए क्यूबिट्स का उपयोग करता है।


एल्गोरिदम का इनपुट एक संख्या M है।


The output of the algorithm is the prime factorization of M.

एल्गोरिदम का आउटपुट M का अभाज्य गुणनखंडन है।


The algorithm repeats a series of operations.

एल्गोरिदम संचालन की एक श्रृंखला को दोहराता है।


एल्गोरिदम यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग करता है।


The algorithm is complex and requires advanced knowledge.

एल्गोरिदम जटिल है और इसके लिए उन्नत ज्ञान की आवश्यकता होती है।


The algorithm is used in quantum computing.

एल्गोरिदम का उपयोग क्वांटम कंप्यूटिंग में किया जाता है।


The algorithm's steps involve mathematical functions.

एल्गोरिदम के चरणों में गणितीय कार्य शामिल हैं।


The algorithm is a significant advancement in the field.

यह एल्गोरिदम इस क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण प्रगति है।


Understanding the algorithm requires a strong background in mathematics.

एल्गोरिदम को समझने के लिए गणित में मजबूत पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।


The algorithm's goal is to factorize numbers efficiently.

एल्गोरिदम का लक्ष्य संख्याओं को कुशलता से गुणनखंड करना है।


The algorithm uses the properties of quantum mechanics.

एल्गोरिदम क्वांटम यांत्रिकी के गुणों का उपयोग करता है।


The book provides an introduction to theoretical computer science.

यह पुस्तक सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान का परिचय प्रदान करती है।


Essential Discrete Mathematics for Computer Science is a key resource.

कंप्यूटर विज्ञान के लिए आवश्यक असतत गणित एक महत्वपूर्ण संसाधन है।


The authors discuss combinatorial lower bound arguments.

लेखक संयोजी निचली सीमा तर्कों पर चर्चा करते हैं।


The nature of computation is explored in detail.

गणना की प्रकृति का विस्तार से पता लगाया गया है।


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity is presented.

तंत्रिका गतिविधि में निहित विचारों का एक तार्किक कलन प्रस्तुत किया गया है।


Randomized algorithms are a focus of the study.

यादृच्छिक एल्गोरिदम अध्ययन का एक केंद्र हैं।


Probability and computing techniques are used in algorithms.

एल्गोरिदम में प्रायिकता और कंप्यूटिंग तकनीकों का उपयोग किया जाता है।


The EDVAC report is a historical document.

EDVAC रिपोर्ट एक ऐतिहासिक दस्तावेज है।


Building a modern computer from first principles is the goal.

पहले सिद्धांतों से एक आधुनिक कंप्यूटर बनाना लक्ष्य है।


The PageRank citation ranking brings order to the web.

पेजरैंक उद्धरण रैंकिंग वेब में व्यवस्था लाती है।


Types and programming languages are discussed.

प्रकारों और प्रोग्रामिंग भाषाओं पर चर्चा की गई है।


Classes of recursively enumerable sets are examined.

पुनरावर्ती रूप से गणनीय सेटों की कक्षाओं की जांच की जाती है।


Small universal Turing machines are a topic of research.

छोटे सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनें शोध का एक विषय हैं।


Discrete mathematics and its applications are explored.

असतत गणित और उसके अनुप्रयोगों का पता लगाया गया है।


Finite automata and their decision problems are analyzed.

परिमित ऑटोमेटा और उनकी निर्णय समस्याओं का विश्लेषण किया जाता है।


गणना के मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं।


The history of combinatorial optimization is reviewed.

संयोजन अनुकूलन के इतिहास की समीक्षा की जाती है।


A symbolic analysis of relay and switching circuits is provided.

रिले और स्विचिंग सर्किट का एक प्रतीकात्मक विश्लेषण प्रदान किया गया है।


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps is discussed.

O(logn) अंकगणितीय चरणों में संख्याओं का गुणनखंडन पर चर्चा की गई है।


Logical dreams are explored in this work.

इस कार्य में तार्किक सपनों का पता लगाया गया है।


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

यदि आप क्वांटम यांत्रिकी से भ्रमित हैं, तो आप अकेले नहीं हैं।


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

क्वांटम यांत्रिकी जीती: यह पता चला है कि वास्तव में दूर स्थित वस्तुओं की अवस्थाओं के बीच सहसंबंध बनाने के लिए माप का उपयोग करना संभव है जिसे किसी भी पूर्व सिद्धांत द्वारा समझाया नहीं जा सकता है।


Suppose that Alice and Bob try to convince you they have telepathic ability.

मान लीजिए कि ऐलिस और बॉब आपको यह समझाने की कोशिश करते हैं कि उनके पास टेलीपैथिक क्षमता है।


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

दूसरे शब्दों में, ऐलिस और बॉब को दो बिट्स आउटपुट करने की आवश्यकता है जो असहमत हों यदि x = y = 1 और अन्यथा सहमत हों।


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

ऐलिस और बॉब के लिए 3/4 की प्रायिकता के साथ सफल होना मुश्किल नहीं है: बस हमेशा एक ही बिट आउटपुट करें।


For every two functions f, g : {0,1} → {0,1}, Pr [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.

प्रत्येक दो कार्यों f, g : {0,1} → {0,1} के लिए, Pr [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4।


An amazing experimentally verified fact is that quantum mechanics allows for “telepathy”.

एक अद्भुत प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित तथ्य यह है कि क्वांटम यांत्रिकी “टेलीपैथी” की अनुमति देता है।


In the quantum setting, a single bit operation corresponds to any linear map OP : ℝ2 → ℝ2 that is norm preserving.

क्वांटम सेटिंग में, एक एकल बिट ऑपरेशन किसी भी रैखिक मानचित्र OP : ℝ2 → ℝ2 के अनुरूप होता है जो मानदंड को संरक्षित करता है।


The state of a quantum system of n qubits is modeled by an 2n dimensional vector ψ of unit norm.

n क्वबिट्स की एक क्वांटम प्रणाली की स्थिति को इकाई मानदंड के एक 2n आयामी वेक्टर ψ द्वारा मॉडल किया गया है।


When we measure an n-qubit system in a state ψ = ∑x∈{0,1}n ψx |x⟩, then we observe the value x ∈ {0,1}n with probability |ψx|2.

जब हम एक अवस्था ψ = ∑x∈{0,1}n ψx |x⟩ में एक n-क्विबिट प्रणाली को मापते हैं, तो हम प्रायिकता |ψx|2 के साथ मान x ∈ {0,1}n का निरीक्षण करते हैं।


Recall that in the classical case, Alice and Bob can succeed in the “Bell Game” with probability at most 3/4 = 0.75.

याद रखें कि शास्त्रीय मामले में, ऐलिस और बॉब “बेल गेम” में अधिकतम 3/4 = 0.75 की प्रायिकता के साथ सफल हो सकते हैं।


Alice takes the first qubit of the system to her room, and Bob takes the qubit to his room.

ऐलिस सिस्टम का पहला क्वबिट अपने कमरे में ले जाती है, और बॉब क्वबिट को अपने कमरे में ले जाता है।


Now, when Alice receives x if x = 0 she does nothing and if x = 1 she applies the unitary map R−π/8 to her qubit.

अब, जब ऐलिस x प्राप्त करती है यदि x = 0 तो वह कुछ नहीं करती है और यदि x = 1 तो वह अपने क्वबिट पर एकात्मक मानचित्र R−π/8 लागू करती है।


When Bob receives y, if y = 0 he does nothing and if y = 1 he applies the unitary map Rπ/8 to his qubit.

जब बॉब y प्राप्त करता है, यदि y = 0 तो वह कुछ नहीं करता है और यदि y = 1 तो वह अपने क्वबिट पर एकात्मक मानचित्र Rπ/8 लागू करता है।


Then each one of them measures their qubit and sends this as their response.

फिर उनमें से प्रत्येक अपने क्वबिट को मापता है और इसे अपनी प्रतिक्रिया के रूप में भेजता है।


Recall that to win the game Bob and Alice want their outputs to be more likely to differ if x = y = 1 and to be more likely to agree otherwise.

याद रखें कि खेल जीतने के लिए बॉब और ऐलिस चाहते हैं कि उनके आउटपुट भिन्न होने की अधिक संभावना हो यदि x = y = 1 और अन्यथा सहमत होने की अधिक संभावना हो।


If x = y = 0 then the state does not change.

यदि x = y = 0 तो स्थिति नहीं बदलती है।


Because the state ψ is proportional to |00⟩ + |11⟩, the measurements of Bob and Alice will always agree.

चूंकि स्थिति ψ |00⟩ + |11⟩ के समानुपाती है, इसलिए बॉब और ऐलिस के माप हमेशा सहमत होंगे।


Hence in the case x = y = 0, Alice and Bob always win.

इसलिए x = y = 0 के मामले में, ऐलिस और बॉब हमेशा जीतते हैं।


If x = 0 and y = 1 then after Alice measures her bit, if she gets 0 then the system collapses to the state |00⟩, in which case after Bob performs his rotation, his qubit is in the state cos(π/8)|0⟩ + sin(π/8)|1⟩.

यदि x = 0 और y = 1 तो ऐलिस के अपने बिट को मापने के बाद, यदि उसे 0 मिलता है तो सिस्टम स्थिति |00⟩ में ढह जाता है, जिस स्थिति में बॉब के अपने रोटेशन करने के बाद, उसका क्वबिट स्थिति cos(π/8)|0⟩ + sin(π/8)|1⟩ में होता है।