The program development section discusses the Polish National Flag problem.

પ્રોગ્રામ ડેવલપમેન્ટ વિભાગ પોલિશ નેશનલ ફ્લેગ સમસ્યાની ચર્ચા કરે છે.


વેક્ટરની ચર્ચા વિભાગ 6.4.2 માં કરવામાં આવી છે.


Proof extraction and top-down proof methods are explained.

પ્રૂફ એક્સટ્રેક્શન અને ટોપ-ડાઉન પ્રૂફ પદ્ધતિઓ સમજાવવામાં આવી છે.


Propositional logic is a fundamental concept in this context.

આ સંદર્ભમાં વિધાન તર્ક એક મૂળભૂત ખ્યાલ છે.


Predicate logic extends propositional logic.

વિશેષણ તર્ક વિધાન તર્કને વિસ્તૃત કરે છે.


આ લખાણ કુદરતી સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ કરે છે.


Program transformation techniques are explored.

પ્રોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન તકનીકોનું અન્વેષણ કરવામાં આવે છે.


The map and fold operations are important.

મેપ અને ફોલ્ડ ઓપરેશન્સ મહત્વપૂર્ણ છે.


અલ્ગોરિધમનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.


Imperative programming is also discussed.

ઇમ્પેરેટિવ પ્રોગ્રામિંગની પણ ચર્ચા કરવામાં આવી છે.


Examples from the literature are provided.

સાહિત્યમાંથી ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે.


માર્ટિન-લોફના કાર્યનો સંદર્ભ આપવામાં આવ્યો છે.


The text explores augmenting type theory.

આ લખાણ ટાઇપ થિયરીને વધારવાનું અન્વેષણ કરે છે.


The concept of a specification is explained.

સ્પષ્ટીકરણની વિભાવના સમજાવવામાં આવી છે.


Computational irrelevance and lazy evaluation are key topics.

ગણતરીની અપ્રસ્તુતતા અને આળસુ મૂલ્યાંકન મુખ્ય વિષયો છે.


સબસેટ પ્રકાર રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.


એક્સટેન્શનલ થિયરીની ચર્ચા કરવામાં આવી છે.


વિધાનો પ્રકારો નથી.


ગોડેલ અર્થઘટનનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે.


શું સબસેટ જરૂરી છે?


The book is an introduction to type theory.

આ પુસ્તક ટાઈપ થિયરીનો પરિચય છે.


This chapter introduces the basic concepts.

આ પ્રકરણ મૂળભૂત ખ્યાલોનો પરિચય કરાવે છે.


Type theory brings together logic and programming languages.

ટાઈપ થિયરી તર્ક અને પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓને એકસાથે લાવે છે.


The book is aimed at final-year undergraduates.

આ પુસ્તકનો ઉદ્દેશ્ય અંતિમ વર્ષના અંડરગ્રેજ્યુએટ વિદ્યાર્થીઓ માટે છે.


We begin with introductory material on logic.

આપણે તર્ક પર પ્રારંભિક સામગ્રીથી શરૂઆત કરીએ છીએ.


ટાઈપ થિયરીની સિસ્ટમ જટિલ છે.


Chapter six covers a variety of examples.

પ્રકરણ છ વિવિધ ઉદાહરણોને આવરી લે છે.


From the functional programming point of view.

કાર્યલક્ષી પ્રોગ્રામિંગના દૃષ્ટિકોણથી.


We look at the impact of the quantified types.

અમે ક્વોન્ટિફાઇડ પ્રકારોની અસર જોઈએ છીએ.


Programs can be extracted from constructive proofs.

પ્રોગ્રામ્સને રચનાત્મક પુરાવાઓમાંથી કાઢી શકાય છે.


સિસ્ટમ અભિવ્યક્ત છે.


We look at proposals to augment the system.

અમે સિસ્ટમને વધારવા માટેના પ્રસ્તાવ જોઈએ છીએ.


The incorporation of a class of subset types is crucial.

સબસેટ પ્રકારોના વર્ગનો સમાવેશ નિર્ણાયક છે.


અન્ય દરખાસ્તોમાં ભાગાકાર પ્રકારોનો સમાવેશ થાય છે.


Chapter eight examines the foundations of the system.

પ્રકરણ આઠ સિસ્ટમના પાયાની તપાસ કરે છે.


We end the book with a survey of related systems.

આપણે પુસ્તકને સંબંધિત સિસ્ટમ્સના સર્વેક્ષણ સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ.


અમે પ્રમાણભૂત પરિભાષાનો ઉપયોગ કર્યો છે.


પાઠનું હાર્દ ચોથું પ્રકરણ છે.


Readers familiar with logic can begin here.

તર્કથી પરિચિત વાચકો અહીંથી શરૂઆત કરી શકે છે.


દરેક પ્રકરણમાં કસરતોનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે.


The rule of conjunction introduction combines derivations of two halves of a conjunction.

સંયોજનની રજૂઆતનો નિયમ સંયોજનના બે ભાગોના વ્યુત્પન્નોને જોડે છે.


From proofs of A and B, we can infer A∧B by the rule of conjunction introduction.

A અને B ના પુરાવાથી, આપણે સંયોજનની રજૂઆતના નિયમ દ્વારા A∧B નો અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ.


The assumptions upon which the proof of A∧B depends are those of the proofs of A and B combined.

જે ધારણાઓ પર A∧B નો પુરાવો આધાર રાખે છે તે A અને B ના સંયુક્ત પુરાવાઓ છે.


A simple proof can be built from the two rules we have seen so far.

આપણે અત્યાર સુધી જોયેલા બે નિયમોથી એક સરળ પુરાવો બનાવી શકાય છે.


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction from its constituent parts.

સંયોજન માટે રજૂઆત નિયમ ત્રણ વખત લાગુ પાડવાથી, અમે તેના ઘટક ભાગોમાંથી સંયોજનનો અનુમાન લગાવ્યો છે.


The rule above was called the ∧-introduction rule, since it shows how a formula whose top-level connective is a conjunction can be introduced.

ઉપરોક્ત નિયમને ∧-રજૂઆત નિયમ કહેવામાં આવતો હતો, કારણ કે તે બતાવે છે કે કેવી રીતે એક સૂત્ર કે જેનું ટોચનું સ્તરનું કનેક્ટિવ સંયોજન છે, તેને રજૂ કરી શકાય છે.


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction; in other words it tells us when we can eliminate a conjunction.

તેનાથી વિપરીત, આપણી પાસે એક નિયમ છે જે જણાવે છે કે આપણે સંયોજનના આધારે શું અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તે આપણને જણાવે છે કે આપણે ક્યારે સંયોજનને દૂર કરી શકીએ છીએ.


From a proof of A∧B we can infer both A and B by the rules of conjunction elimination.

A∧B ના પુરાવાથી આપણે સંયોજન નાબૂદીના નિયમો દ્વારા A અને B બંનેનો અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ.


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

આપણી પાસે બીજું એક ઉદાહરણ છે જે રજૂઆત અને નાબૂદીના નિયમોના ઉપયોગને જોડે છે.


ધારણા (A∧B)∧C થી આપણી પાસે...


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation, a fact with which we are familiar.

આ પુરાવો સંયોજન કામગીરીની સહયોગીતા દર્શાવે છે, જે હકીકતથી આપણે પરિચિત છીએ.


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula (A∧B)∧C, with the assumption appearing at three different points in the proof.

ધ્યાન રાખો કે જે એકમાત્ર ધારણા પર પુરાવો આધાર રાખે છે તે સૂત્ર (A∧B)∧C છે, જેમાં ધારણા પુરાવામાં ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર દેખાય છે.


There is another way in which we can read the elimination rules.

બીજી એક રીત છે જેમાં આપણે નાબૂદીના નિયમો વાંચી શકીએ છીએ.


The introduction rule states that we can infer A∧B from A and B.

રજૂઆતનો નિયમ જણાવે છે કે આપણે A અને B માંથી A∧B નો અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ.


The elimination rules state that this is (essentially) the only way we can infer it, since it states that if we can prove A∧B then we can prove each of the component formulae.

નાબૂદીના નિયમો જણાવે છે કે આ (મૂળભૂત રીતે) એકમાત્ર રસ્તો છે જેના દ્વારા આપણે તેનો અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ, કારણ કે તે જણાવે છે કે જો આપણે A∧B સાબિત કરી શકીએ, તો પછી આપણે દરેક ઘટક સૂત્રોને સાબિત કરી શકીએ છીએ.


In giving the rules for implication, ⇒, we first take an informal look at what the connective is meant to mean.

સૂચિતાર્થ, ⇒ માટેના નિયમો આપતી વખતે, આપણે પહેલા અનૌપચારિક રીતે જોઈએ છીએ કે કનેક્ટિવનો અર્થ શું છે.


We think of A⇒B as expressing A implies B or that we can deduce B from A.

આપણે A⇒B ને A, B ને સૂચવે છે અથવા આપણે A માંથી B ને તારવી શકીએ છીએ તેવું વ્યક્ત કરતા વિચારીએ છીએ.


In other words we would like to conclude A⇒B when we have a deduction of B assuming A.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે આપણી પાસે A ધારીને B ની કપાત હોય ત્યારે આપણે A⇒B નો નિષ્કર્ષ કાઢવા માંગીએ છીએ.


What are the assumptions upon which this new proof of A⇒B depends?

આ A⇒B ના નવા પુરાવા કઈ ધારણાઓ પર આધાર રાખે છે?


All those on which the proof of B depends, except the assumption A itself.

તે બધા કે જેના પર B નો પુરાવો આધાર રાખે છે, સિવાય કે ધારણા A પોતે.


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે મનસ્વી x માટે પુરાવાની જરૂર છે, જે બરાબર નિયમ જણાવે છે.


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

આપણે A(a), A(b) વગેરેમાંથી B ના તમામ વ્યક્તિગત પુરાવાઓને મનસ્વી x માટે A(x) માંથી પુરાવા દ્વારા બદલીને આપણો નિયમ મેળવીએ છીએ.


For the first example we assume θ ≡ df ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

પ્રથમ ઉદાહરણ માટે, આપણે ધારીએ છીએ કે θ ≡ df ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) ∃x. P(x) અને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ કે ∃x. Q(x)


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

અનૌપચારિક રીતે અનુમાન સ્પષ્ટ છે, પરંતુ આપણે આપણી સિસ્ટમમાં શું કરીએ?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x) ⇒ P(x) of θ in our proof.

આપણી પાસે એક સાર્વત્રિક ધારણા, θ છે, અને સાર્વત્રિક નાબૂદીનો નિયમ આપણને કહે છે કે આપણે આપણા પુરાવામાં θ ના કોઈપણ ઉદાહરણ P(x) ⇒ P(x) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

જો આપણે અસ્તિત્વલક્ષી નાબૂદીના નિયમનું પછાત વાંચન અપનાવીએ, તો પછી આપણે જોઈએ છીએ કે અસ્તિત્વલક્ષી ધારણાનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો.


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

અસ્તિત્વલક્ષી ધારણા ∃x. P(x) નો ઉપયોગ કરવા માટે, ઉદાહરણ P(x) નો ઉપયોગ કરો અને છેવટે નિયમ (∃E) નો ઉપયોગ કરીને આને રદ કરો.


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1

આમ આગળ વધતા આપણી પાસે P(x) ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) આમાંથી આપણે અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ ∃x. Q(x) (જોકે x ધારણાઓમાંથી એકમાં મુક્ત છે — નિયમ (∃I) પર કોઈ પ્રતિબંધો નથી), અને છેવટે અસ્તિત્વલક્ષી નાબૂદી દ્વારા આપણી પાસે છે: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x) ⇒ Q(x)) (P(x) ⇒ Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x) ∨ B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x) ⇒ T(x)) ∀x.(B(x) ⇒ T(x))

આપણા બીજા ઉદાહરણ માટે, ધારો કે આપણે એવી ધારણા કરીએ છીએ કે દરેક વસ્તુ કાં તો સફરજન છે અથવા કેળું છે: ∀x.(A(x) ∨ B(x)) અને તે બંને સફરજન અને કેળા સ્વાદિષ્ટ છે: ∀x.(A(x) ⇒ T(x)) ∀x.(B(x) ⇒ T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

આપણે બતાવીશું કે બધું જ સ્વાદિષ્ટ છે, ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y) ∨ B(y)) (A(y) ⇒ T(y)) (B(y) ⇒ T(y))

સાર્વત્રિક નાબૂદીના નિયમને ત્રણ વખત લાગુ પાડવાથી આપણને મળે છે (A(y) ∨ B(y)) (A(y) ⇒ T(y)) (B(y) ⇒ T(y))


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

અને પછી આપણે આમાંથી બીજા અને ધારણા A(y) ના આધારે T(y) નું અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ, (⇒E) નો ઉપયોગ કરીને.


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

આપણે B(y) અને સાર્વત્રિક વિધાનમાંથી T(y) નું અનુમાન પણ લગાવી શકીએ છીએ, અને પછી (∨E) લાગુ કરવા માટેની સ્થિતિમાં છીએ.


In the diagram which follows the hypotheses of the central proof are listed vertically.

નીચેના ચિત્રમાં કેન્દ્રીય પુરાવાની પૂર્વધારણાઓ ઊભી રીતે સૂચિબદ્ધ છે.


∀ introduction is then applied, giving . . . ∀x. T(x) (∀I)

પછી ∀ ની રજૂઆત લાગુ કરવામાં આવે છે, જે આપે છે . . . ∀x. T(x) (∀I)


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y) ⇒ ∀x.∃y. A(x, y)

અમારું છેલ્લું ઉદાહરણ ∃y.∀x. A(x, y) ⇒ ∀x.∃y. A(x, y) ના પુરાવાને લગતું છે


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

વાચક ઉપર પાના 18 પરની ચર્ચાનો સંદર્ભ લેવાનું પસંદ કરી શકે છે.


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

સૂચિતાર્થ રજૂઆતનો નિયમ યાદ રાખતા, ∃y.∀x. A(x, y) ની ધારણા પર ∀x.∃y. A(x, y) સાબિત કરવું પૂરતું છે


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

આપણી પાસે અસ્તિત્વલક્ષી ધારણા છે, તેથી જથ્થાત્મકને દૂર કરીને આપણે નિયમ (∃E) દ્વારા તેના બદલે ધારણા ∀x. A(x, y) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ


Using (∀E) we have ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E)

(∀E) નો ઉપયોગ કરીને આપણી પાસે ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E) છે


The rule identifies certain (terms for) functions which have the same behaviour, yet which are represented in different ways.

આ નિયમ અમુક (શબ્દો માટે) કાર્યોને ઓળખે છે જે સમાન વર્તન ધરાવે છે, તેમ છતાં તે જુદી જુદી રીતે રજૂ થાય છે.


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction, and we define their joint transitive closure in the obvious way.

આપણે સામાન્ય રીતે η-ઘટાડાને β-ઘટાડાના પૂરક તરીકે ગણીએ છીએ, અને આપણે તેમની સંયુક્ત સંક્રમક બંધતાને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


The relations generate two convertibility relations, ↔ and ↔βη.

સંબંધો બે રૂપાંતરક્ષમ સંબંધો, ↔ અને ↔βη પેદા કરે છે.


As a consequence of the Church-Rosser theorems, two expressions e and f will be (βη-)convertible if and only if there exists a common (βη-)reduct of e and f.

ચર્ચ-રોસર પ્રમેયના પરિણામ સ્વરૂપે, જો અને માત્ર જો e અને f નું સામાન્ય (βη-)ઘટાડો અસ્તિત્વમાં હોય તો જ બે અભિવ્યક્તિઓ e અને f (βη-)પરિવર્તનક્ષમ હશે.


Two functions with normal forms are convertible if and only if they have the same normal form; in particular we fail to identify λy .(λx .(yx)) λy . y.

સામાન્ય સ્વરૂપો ધરાવતા બે કાર્યો પરિવર્તનક્ષમ છે જો અને માત્ર જો તેમની પાસે સમાન સામાન્ય સ્વરૂપ હોય; ખાસ કરીને, અમે λy .(λx .(yx)) λy . y ને ઓળખવામાં નિષ્ફળ જઈએ છીએ.


It is for this reason that βη-convertibility is defined.

આ જ કારણ છે કે βη-પરિવર્તનક્ષમતા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.


The untyped λ-calculus is a simple theory of (pure) functions, yet computationally it is as strong as other fundamental theories of computation.

અનટાઇપ્ડ λ-કેલ્ક્યુલસ (શુદ્ધ) કાર્યોનો એક સરળ સિદ્ધાંત છે, તેમ છતાં ગણતરીની દ્રષ્ટિએ તે ગણતરીના અન્ય મૂળભૂત સિદ્ધાંતો જેટલું જ મજબૂત છે.


One representation of the natural numbers is as the iterators, n being represented by λf . λx . f(f . . . f(f x). . .)

કુદરતી સંખ્યાઓનું એક પ્રતિનિધિત્વ પુનરાવર્તકો તરીકે છે, જેમાં n ને λf . λx . f(f . . . f(f x). . .) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.


To derive recursive functions, with definitions like f x ≡ df . . . f . . . which can be written f ≡ df λx. . . . f . . . we need to be able to solve equations of the form f ≡ df R f where R is a λ term.

પુનરાવર્તિત કાર્યો મેળવવા માટે, f x ≡ df . . . f . . . જેવી વ્યાખ્યાઓ સાથે જેને f ≡ df λx. . . . f . . . લખી શકાય છે, આપણે f ≡ df R f સ્વરૂપના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સક્ષમ હોવા જોઈએ જ્યાં R એ λ પદ છે.


Each of these expressions has a head normal form, but neither has a normal form.

આ દરેક અભિવ્યક્તિઓનું હેડ નોર્મલ સ્વરૂપ છે, પરંતુ કોઈનું પણ સામાન્ય સ્વરૂપ નથી.


The simply typed λ-calculus could not be simpler: we have only some unspecified base types, carrying no operations, and a single form of type construction, the function space.

સરળ ટાઇપ કરેલ λ-કેલ્ક્યુલસ સરળ હોઈ શકે નહીં: આપણી પાસે ફક્ત કેટલીક અનિશ્ચિત બેઝ પ્રકારો છે, જે કોઈ કામગીરી કરતા નથી, અને પ્રકારના નિર્માણનું એક જ સ્વરૂપ, કાર્ય અવકાશ.


We can extend the system in two different ways, adding both new base types and new constructors.

આપણે સિસ્ટમને બે અલગ-અલગ રીતે વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ, જેમાં નવા બેઝ પ્રકારો અને નવા કન્સ્ટ્રક્ટર ઉમેરવામાં આવે છે.


Familiar type constructors include the product type and the disjoint sum (or disjoint union).

પરિચિત પ્રકારના કન્સ્ટ્રક્ટર્સમાં પ્રોડક્ટ પ્રકાર અને અલગ સમ (અથવા અલગ યુનિયન) શામેલ છે.


In Pascal these together are embodied in the variant record type.

પાસ્કલ માં આ બંને વેરિઅન્ટ રેકોર્ડ પ્રકારમાં સમાવિષ્ટ છે.


The addition of these is standard; we review briefly the addition of the product type to the simply typed λ-calculus now.

આ ઉમેરવાનું પ્રમાણભૂત છે; આપણે હવે સરળ ટાઇપ કરેલ λ-કેલ્ક્યુલસમાં પ્રોડક્ટ પ્રકારના ઉમેરાની સંક્ષિપ્ત સમીક્ષા કરીએ છીએ.


Pairs If x:σ and y:τ then (x, y) :σ×τ The pair (x, y) is a member of the product type.

જો x:σ અને y:τ તો (x, y) :σ×τ જોડી (x, y) પ્રોડક્ટ પ્રકારનું સભ્ય છે.


Projections If p:σ×τ then fst p:σ and snd p:τ. The operations fst and snd project a pair onto its components.

પ્રોજેક્શન જો p:σ×τ તો fst p:σ અને snd p:τ. કામગીરી fst અને snd એક જોડીને તેના ઘટકો પર પ્રોજેક્ટ કરે છે.


To the rules of computation we add the rules fst(p, q)→p snd(p, q)→q which show that fst and snd do indeed behave as projection operations, and we ask also that reduction is preserved by pairing, so that if p→p' then (p, q)→(p', q) (q, p)→(q, p').

ગણતરીના નિયમોમાં આપણે નિયમો fst(p, q)→p snd(p, q)→q ઉમેરીએ છીએ જે દર્શાવે છે કે fst અને snd ખરેખર પ્રોજેક્શન કામગીરી તરીકે વર્તે છે, અને આપણે એ પણ પૂછીએ છીએ કે જો p→p' તો (p, q)→(p', q) (q, p)→(q, p') થાય છે, જેથી જોડી બનાવવાથી ઘટાડો જળવાઈ રહે.


We have added the operations fst and snd as primitives. Alternatively we could think of them as constants.

આપણે fst અને snd કામગીરીને આદિમ તરીકે ઉમેરી છે. વૈકલ્પિક રીતે આપણે તેમને અચળાંકો તરીકે વિચારી શકીએ.


This implies the extensionality rule that an element of a product type is characterised by its components, since if fst p↔↔fst q snd p↔↔snd q then p↔↔(fst p, snd p)↔↔(fst q, snd q)↔↔q

આ એક્સ્ટેન્શનલિટી નિયમ સૂચવે છે કે પ્રોડક્ટ પ્રકારના તત્વને તેના ઘટકો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, કારણ કે જો fst p↔↔fst q snd p↔↔snd q તો p↔↔(fst p, snd p)↔↔(fst q, snd q)↔↔q


પુસ્તક ટેબલ પર છે.


તેણી અખબાર વાંચી રહી છે.


આજે હવામાન ખૂબ જ સુખદ છે.


શું તમે મને આમાં મદદ કરી શકો છો?


હું બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


કંપનીએ એક નવું ઉત્પાદન જાહેર કર્યું.


The government is discussing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ પર ચર્ચા કરી રહી છે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


The economy is showing signs of recovery.

અર્થતંત્ર પુનઃપ્રાપ્તિના સંકેતો દર્શાવે છે.


આ મીટિંગ આવતા અઠવાડિયે યોજાશે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


The implications of the new theory are far-reaching.

નવા સિદ્ધાંતના અર્થઘટનો દૂરગામી છે.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં નોંધપાત્ર પુનર્ગઠન સામેલ છે.


The complex interplay of factors led to the market volatility.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાએ બજારની અસ્થિરતા તરફ દોરી ગઈ.


The philosophical underpinnings of the argument are questionable.

દલીલના તત્વજ્ઞાનીય આધાર પ્રશ્નાર્થ છે.


The data analysis revealed a significant correlation.

ડેટા વિશ્લેષણમાં નોંધપાત્ર સહસંબંધ બહાર આવ્યો.


The project requires a multidisciplinary approach.

પ્રોજેક્ટને બહુ-શિસ્તબદ્ધ અભિગમની જરૂર છે.


The impact of climate change is becoming increasingly evident.

આબોહવા પરિવર્તન ની અસર વધુ ને વધુ સ્પષ્ટ થતી જાય છે.


The committee is reviewing the proposed legislation.

સમિતિ સૂચિત કાયદાની સમીક્ષા કરી રહી છે.


The intricacies of the legal system are often misunderstood.

કાનૂની પ્રણાલીની જટિલતાઓ ઘણીવાર ગેરસમજણ થાય છે.


The system defines a proof of a proposition.

સિસ્ટમ એક દરખાસ્તના પુરાવાની વ્યાખ્યા કરે છે.


Central to type theory is the duality between propositions and types.

પ્રકાર સિદ્ધાંત માટે કેન્દ્રિય દરખાસ્તો અને પ્રકારો વચ્ચેની દ્વૈતતા છે.


A proof of a proposition can be seen as a member of the type.

એક દરખાસ્તનો પુરાવો પ્રકારના સભ્ય તરીકે જોઈ શકાય છે.


We first present type theory as a logical system.

સૌ પ્રથમ, અમે પ્રકાર સિદ્ધાંતને તાર્કિક સિસ્ટમ તરીકે રજૂ કરીએ છીએ.


The chapter begins with an informal examination.

પ્રકરણ એક અનૌપચારિક પરીક્ષાથી શરૂ થાય છે.


We look at the general form that the rules will take.

આપણે નિયમો કયા સામાન્ય સ્વરૂપ લેશે તે જોઈએ છીએ.


With each connective we associate four kinds of rule.

દરેક કનેક્ટિવ સાથે, અમે ચાર પ્રકારના નિયમોને જોડીએ છીએ.


The familiar rules of introduction and elimination describe how certain propositions can be proved.

પરિચય અને નાબૂદીના પરિચિત નિયમો વર્ણવે છે કે અમુક દરખાસ્તો કેવી રીતે સાબિત થઈ શકે છે.


We need to supply not only the syntax but also to explain how to evaluate programs.

આપણે માત્ર સિન્ટેક્સ જ નહીં, પણ પ્રોગ્રામ્સનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરવું તે પણ સમજાવવાની જરૂર છે.


ગણતરીના નિયમો આ સમજાવે છે.


We also give a formation rule which embodies the syntax.

અમે એક રચના નિયમ પણ આપીએ છીએ જે સિન્ટેક્સને સમાવે છે.


The formal presentation of the logical rules is followed by examples.

તાર્કિક નિયમોની ઔપચારિક રજૂઆત પછી ઉદાહરણો આવે છે.


We introduce the logical notions of universal and existential quantifiers.

આપણે સાર્વત્રિક અને અસ્તિત્વલક્ષી ક્વોન્ટિફાયરની તાર્કિક વિભાવનાઓ રજૂ કરીએ છીએ.


પ્રોગ્રામિંગ ડેટા પ્રકારો પર આધારિત છે.


Infinite data types are characterised by principles.

અનંત ડેટા પ્રકારો સિદ્ધાંતો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.


We define an object by recursion and then prove any property by induction.

આપણે પુનરાવર્તન દ્વારા ઑબ્જેક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને પછી ઇન્ડક્શન દ્વારા કોઈપણ મિલકતને સાબિત કરીએ છીએ.


This recursive characterisation carries over to other types.

આ પુનરાવર્તિત લાક્ષણિકતા અન્ય પ્રકારોમાં પણ લાગુ પડે છે.


The assertion of the identity of two values forms a proposition.

બે મૂલ્યોની ઓળખનો દાવો એક દરખાસ્ત બનાવે છે.


Two expressions are convertible if a sequence of reductions leads from the first to the second.

જો ઘટાડાની શ્રેણી પ્રથમથી બીજા તરફ દોરી જાય તો બે અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.


We can prove a program correct in the same system.

આપણે તે જ સિસ્ટમમાં પ્રોગ્રામને સાચો સાબિત કરી શકીએ છીએ.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ એક નવા ઉત્પાદનનું લોન્ચિંગ જાહેર કર્યું.


Please submit your application before the deadline.

કૃપા કરીને સમયમર્યાદા પહેલાં તમારી અરજી સબમિટ કરો.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

હવામાન વિભાગના જણાવ્યા અનુસાર, આવતીકાલે વરસાદની સંભાવના છે.


તે એક ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


મારે આ સપ્તાહના અંતે કરિયાણું ખરીદવાની જરૂર છે.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


તે ઘણી ભાષાઓમાં પ્રવાહિત છે.


The economic situation is improving gradually.

આર્થિક સ્થિતિ ધીમે ધીમે સુધરી રહી છે.


આ પરિષદ આવતા મહિને યોજાશે.


The complex algorithm requires significant computational resources.

જટિલ અલ્ગોરિધમને નોંધપાત્ર કમ્પ્યુટેશનલ સંસાધનોની જરૂર છે.


The implications of the new regulations are far-reaching.

નવા નિયમોના પરિણામો દૂરગામી છે.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચાએ ચેતનાના સ્વરૂપની શોધ કરી.


The company's strategic plan involves global expansion.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં વૈશ્વિક વિસ્તરણ સામેલ છે.


The intricate details of the experiment were meticulously documented.

પ્રયોગની જટિલ વિગતોનું ઝીણવટપૂર્વક દસ્તાવેજીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

આ પડકારો છતાં, તેઓ અડગ રહ્યા અને સફળ થયા.


The artist's unique style is instantly recognizable.

કલાકારની અનોખી શૈલી તરત જ ઓળખી શકાય છે.


The project's success hinges on effective collaboration.

પ્રોજેક્ટની સફળતા અસરકારક સહયોગ પર આધારિત છે.


The implications of climate change are becoming increasingly evident.

આબોહવા પરિવર્તનના પરિણામો વધુને વધુ સ્પષ્ટ થઈ રહ્યા છે.


The theoretical framework provides a basis for understanding the phenomenon.

સૈદ્ધાંતિક માળખું ઘટનાને સમજવા માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે.


આ એક પ્રકાર છે.


This is different from the type formation rules we have seen so far.

આ અત્યાર સુધી આપણે જોયેલા પ્રકારના નિર્માણના નિયમોથી અલગ છે.


The rule of I-formation breaks this rule.

I-નિર્માણનો નિયમ આ નિયમ તોડે છે.


This means that the rules generating the formulas are inextricably mixed up with the rules for derivations.

આનો અર્થ એ છે કે સૂત્રો બનાવતા નિયમો, વ્યુત્પત્તિના નિયમો સાથે અવિભાજ્ય રીતે ભળી જાય છે.


વસ્તુ a તેની જાતને સમકક્ષ છે.


We can derive rules which look stronger than this.

આના કરતા વધુ મજબૂત દેખાતા નિયમો આપણે મેળવી શકીએ છીએ.


આ પદાર્થમાં કોઈ આંતરિક માળખું નથી.


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

સમાનતાનો સાર એ છે કે સમાનને સમાન માટે બદલી શકાય છે.


Suppose that we have some proof p of a proposition P involving a.

ધારો કે આપણી પાસે a ને સમાવિષ્ટ એક દરખાસ્ત P નો પુરાવો p છે.


We should be able to infer the proposition P' resulting from us replacing some of the occurrences of a in P by b.

આપણે દરખાસ્ત P' ને અનુમાનિત કરી શકવા જોઈએ જે P માં a ની કેટલીક ઘટનાઓને b દ્વારા બદલવાથી પરિણમે છે.


We can of course replace all the occurrences of a by making sure that x is not free in C.

અલબત્ત, આપણે ખાતરી કરીને a ની બધી ઘટનાઓને બદલી શકીએ છીએ કે C માં x મુક્ત નથી.


There is one extra refinement in our rule.

આપણા નિયમમાં એક વધારાનું શુદ્ધિકરણ છે.


Theorem 4.4 Leibnitz’s law is derivable.

પ્રમેય 4.4 લિબનીઝનો નિયમ મેળવી શકાય છે.


આપણે J ઓપરેટરને કેવી રીતે દૂર કરીએ?


If we eliminate an r(a) we simply return the object d.

જો આપણે r(a) ને દૂર કરીએ, તો આપણે ફક્ત ઑબ્જેક્ટ d પાછા આપીએ છીએ.


The introduction rule means that equality is reflexive.

પરિચય નિયમનો અર્થ એ છે કે સમાનતા પ્રતિબિંબીત છે.


સમાનતા સંમિત છે.


Finally we show that it is transitive, making it an equivalence relation.

છેવટે, આપણે બતાવીએ છીએ કે તે સંક્રમણશીલ છે, જે તેને સમકક્ષ સંબંધ બનાવે છે.


When we first talked about the different sorts of rule, we observed that it was the elimination rules which specified that all the elements of a type had the form introduced by the introduction rules.

જ્યારે આપણે પ્રથમ વખત વિવિધ પ્રકારના નિયમો વિશે વાત કરી, ત્યારે આપણે જોયું કે તે નાબૂદીના નિયમો હતા જેણે નિર્દિષ્ટ કર્યું કે એક પ્રકારના તમામ તત્વો પરિચય નિયમો દ્વારા રજૂ કરાયેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે.


In order to make the system non-trivial we can add an axiom to the effect that ax:¬(True = False).

સિસ્ટમને બિન-તુચ્છ બનાવવા માટે, આપણે એક સ્વયંસિદ્ધ ઉમેરી શકીએ છીએ કે ax:¬(True = False).


સિસ્ટમની વાક્યરચના જટિલ છે.


આપણે અવેજીના નિયમોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


મુખ્ય પરિણામો સાબિત થાય છે.


A એ એક પ્રકાર છે જે a:A માંથી મેળવી શકાય છે.


આપણે નિયમોમાં થોડો ફેરફાર કરવો પડશે.


પુરાવો રચનાત્મક હશે.


અમે A એક પ્રકાર છે તેનુ વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


The base case for the induction is the derivation.

ઇન્ડક્શન માટેનો આધાર કેસ એ વ્યુત્પન્ન છે.


આપણે ઇન્ડક્શન દ્વારા આગળ વધીએ છીએ.


If we assume the result for the hypotheses.

જો આપણે પૂર્વધારણાઓ માટે પરિણામ ધારીએ.


We can derive A is a type and B is a type.

આપણે મેળવી શકીએ છીએ A એક પ્રકાર છે અને B એક પ્રકાર છે.


There are cases for which the rules are inadequate.

એવા કિસ્સાઓ છે કે જેના માટે નિયમો અપૂરતા છે.


આપણે વધારાની પૂર્વધારણાઓ ઉમેરવી પડશે.


આપણે હવે આને વારાફરતી જોઈએ છીએ.


The first candidate is the rule of ∨-introduction.

પ્રથમ ઉમેદવાર ∨-પરિચયનો નિયમ છે.


આપણે નિયમોમાં સુધારો કરીએ છીએ.


The judgement (A∨B) is a type can be constructed.

(A∨B) એક પ્રકાર છે એવો નિર્ણય બાંધી શકાય છે.


We shall in fact omit the second premiss.

હકીકતમાં, આપણે બીજો પૂર્વધારણા છોડી દઈશું.


The next rule we look at is existential introduction.

આપણે જે પછીનો નિયમ જોઈએ છીએ તે અસ્તિત્વ પરિચય છે.


We make this a third premiss of the rule.

આપણે આને નિયમની ત્રીજી પૂર્વધારણા બનાવીએ છીએ.


The system uses four different notions of equality.

આ સિસ્ટમ સમાનતાની ચાર અલગ-અલગ વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરે છે.


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

વ્યાખ્યાત્મક સમાનતા એ શાબ્દિક ઓળખની નજીક છે જેટલી આપણે મેળવી શકીએ છીએ.


Convertibility is external to the system.

પરિવર્તનક્ષમતા સિસ્ટમની બહારની છે.


Equality functions return values in the type bool.

સમાનતા કાર્યો પ્રકાર bool માં મૂલ્યો પરત કરે છે.


We compare these different relations in sections 5.7 and 5.8.

આપણે વિભાગ 5.7 અને 5.8 માં આ વિવિધ સંબંધોની તુલના કરીએ છીએ.


A truly extensional equality can be added to the system.

એક સાચી વિસ્તૃત સમાનતા સિસ્ટમમાં ઉમેરી શકાય છે.


The system can be augmented in a number of ways.

સિસ્ટમને ઘણી રીતે વધારી શકાય છે.


We look at two means of strengthening it in sections 5.9 and 5.10.

આપણે વિભાગ 5.9 અને 5.10 માં તેને મજબૂત કરવાના બે માધ્યમો જોઈએ છીએ.


The notion of a type of types is inconsistent.

પ્રકારોના પ્રકારની કલ્પના અસંગત છે.


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

આપણે બતાવીએ છીએ કે કેવી રીતે પ્રકારોના ‘બ્રહ્માંડ’ ની શ્રેણી ઉમેરી શકાય છે.


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

આપણે સામાન્ય પદ્ધતિ આપીએ છીએ જેના દ્વારા સારી રીતે સ્થાપિત પ્રકારો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

આપણે પ્રકરણનો અંત કરી-હોવર્ડ આઇસોમોર્ફિઝમ પર બીજા નજર સાથે કરીએ છીએ.


Derivations depend on collections of assumptions.

નિષ્કર્ષ ધારણાઓના સંગ્રહ પર આધાર રાખે છે.


We look at the precise form that these collections take.

આપણે આ સંગ્રહો જે સ્વરૂપ લે છે તેના પર ધ્યાન આપીએ છીએ.


A useful exercise is to make an implementation of it.

તેનો અમલ કરવો એ એક ઉપયોગી કસરત છે.


Mathematical notation is a powerful tool.

ગાણિતિક સંકેત એક શક્તિશાળી સાધન છે.


Assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

ધારણાઓ નિષ્કર્ષના પાંદડા પર દેખાતી નથી.


There is an ordering of dependency between them.

તેમની વચ્ચે અવલંબનનો ક્રમ છે.


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

આપણે સમાનતાની સમપ્રમાણતાના પુરાવા પર પુનર્વિચાર કરી શકીએ છીએ.


ધારો કે આપણે મેળવ્યું છે A એક પ્રકાર છે.


The function returns a function of type (P⇒Q) which expects an argument of type P.

આ ફંક્શન (P⇒Q) પ્રકારનું એક ફંક્શન પાછું આપે છે, જે P પ્રકારના આર્ગ્યુમેન્ટની અપેક્ષા રાખે છે.


We often call the first representation the uncurried form, in contrast to the latter.

આપણે ઘણીવાર પ્રથમ પ્રતિનિધિત્વને અનકર્ડ સ્વરૂપ કહીએ છીએ, જે બાદમાં વિપરીત છે.


The pair of functions we derived above can be seen to map from one function representation to another.

ઉપર્યુક્ત આપણે મેળવેલ ફંક્શન્સની જોડી એક ફંક્શનના પ્રતિનિધિત્વથી બીજામાં મેપ થતી જોઈ શકાય છે.


Consider the case in which we want to return one of two results conditional on some property.

એવા કિસ્સાને ધ્યાનમાં લો કે જેમાં આપણે કેટલીક મિલકત પર શરતી બે પરિણામોમાંથી એક પાછું આપવા માંગીએ છીએ.


We call this the type bool of boolean values and for the sake of tradition call the two values True and False.

આપણે આને બુલિયન મૂલ્યોનો પ્રકાર bool કહીએ છીએ અને પરંપરા ખાતર બે મૂલ્યોને True અને False કહીએ છીએ.


The type bool is simply a finite type containing two values.

પ્રકાર bool એ ફક્ત બે મૂલ્યો ધરાવતો એક મર્યાદિત પ્રકાર છે.


The value of if b then e else f is e if b evaluates to True, otherwise it is f.

જો b નું મૂલ્યાંકન True થાય તો if b then e else f નું મૂલ્ય e છે, અન્યથા તે f છે.


Languages such as Pascal contain a boolean type.

પૅસ્કલ જેવી ભાષાઓમાં બુલિયન પ્રકાર છે.


We eliminate a boolean value by a two-way case switch, conventionally called a conditional expression.

આપણે પરંપરાગત રીતે શરતી અભિવ્યક્તિ તરીકે ઓળખાતા, દ્વિ-માર્ગી કેસ સ્વીચ દ્વારા બુલિયન મૂલ્યને દૂર કરીએ છીએ.


This is stronger than the conventional case switch, as the type of the result can depend upon the value of the boolean.

આ પરંપરાગત કેસ સ્વીચ કરતાં વધુ મજબૂત છે, કારણ કે પરિણામનો પ્રકાર બુલિયનના મૂલ્ય પર આધાર રાખી શકે છે.


Consider the example if tr then False else True.

ઉદાહરણ if tr then False else True ને ધ્યાનમાં લો.


Define functions which behave as the disjunction (‘or’) and material implication (‘implies’) operations over the boolean type.

એવા ફંક્શન્સને વ્યાખ્યાયિત કરો જે બુલિયન પ્રકાર પર વિચ્છેદન ('અથવા') અને ભૌતિક ગર્ભિતાર્થ ('સૂચવે છે') કામગીરી તરીકે વર્તે.


Define the function equiv:bool⇒bool⇒bool so that equiv b1 b2 is True if and only if b1 and b2 are equal.

ફંક્શન equiv:bool⇒bool⇒bool ને વ્યાખ્યાયિત કરો જેથી equiv b1 b2 True હોય જો અને માત્ર જો b1 અને b2 સમાન હોય.


For n a natural number, the type Nn has n elements, 1n, 2n, . . . , nn the subscript showing the type from which the element comes.

n એક કુદરતી સંખ્યા માટે, પ્રકાર Nn માં n તત્વો છે, 1n, 2n, . . . , nn સબસ્ક્રિપ્ટ તે પ્રકાર દર્શાવે છે જેમાંથી તત્વ આવે છે.


We have already seen a two element type, where we identify 12 with True and 22 with False.

આપણે પહેલેથી જ બે તત્વ પ્રકાર જોયો છે, જ્યાં આપણે 12 ને True અને 22 ને False સાથે ઓળખીએ છીએ.


We eliminate an element of an n element type by an n-way case switch.

આપણે n-માર્ગી કેસ સ્વીચ દ્વારા n તત્વ પ્રકારના તત્વને દૂર કરીએ છીએ.


If we have a one element type, the rules may be specialised.

જો આપણી પાસે એક તત્વ પ્રકાર હોય, તો નિયમોને વિશિષ્ટ બનાવી શકાય છે.


The one element type, >, has a logical interpretation.

એક તત્વ પ્રકાર, >, ની તાર્કિક અર્થઘટન છે.


We have already seen the natural numbers as a base type of our λ-calculus in chapter 2.

આપણે પહેલેથી જ કુદરતી સંખ્યાઓને પ્રકરણ 2 માં આપણા λ-કેલ્ક્યુલસના આધાર પ્રકાર તરીકે જોઈ છે.


Natural numbers are either zero or a successor.

કુદરતી સંખ્યાઓ શૂન્ય અથવા અનુગામી છે.


આજે હવામાન સુખદ છે.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


તેણી ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી ગાયક છે.


The company announced its quarterly profits.

કંપનીએ તેના ત્રિમાસિક નફાની જાહેરાત કરી.


The new policy will affect all employees.

નવી નીતિ તમામ કર્મચારીઓને અસર કરશે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સફળ થયા.


The algorithm efficiently sorts the data.

અલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


The government is implementing new regulations.

સરકાર નવા નિયમો લાગુ કરી રહી છે.


The complex equation requires careful analysis.

જટિલ સમીકરણને કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણની જરૂર છે.


The philosophical implications of the theory are profound.

સિદ્ધાંતના તત્વજ્ઞાની અર્થો ઊંડા છે.


The economic downturn has impacted global markets.

આર્થિક મંદીએ વૈશ્વિક બજારોને અસર કરી છે.


The intricacies of quantum physics are fascinating.

ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રની જટિલતાઓ આકર્ષક છે.


The historical context is crucial for understanding the event.

ઘટનાને સમજવા માટે ઐતિહાસિક સંદર્ભ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં નોંધપાત્ર પુનર્ગઠન સામેલ છે.


The implications of artificial intelligence are far-reaching.

કૃત્રિમ બુદ્ધિના અર્થો દૂરગામી છે.


The judge's ruling set a precedent for future cases.

ન્યાયાધીશના ચુકાદાએ ભાવિ કેસો માટે એક દાખલો બેસાડ્યો.


The complex interplay of factors led to the crisis.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાએ કટોકટી તરફ દોરી ગઈ.


The scientific community is debating the validity of the findings.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય તારણોની માન્યતા પર ચર્ચા કરી રહ્યો છે.


ગણતરી જો a→b હોય, તો a↔↔b.


પરાવર્તકતા a↔↔a.


સમપ્રમાણતા જો a↔↔b, તો b↔↔a.


સંક્રમણશીલતા જો a↔↔b અને b↔↔c, તો a↔↔c.


અવેજી જો a↔↔b અને c↔↔d, તો a[c/x]↔↔b[d/x].


We saw in the last section that two terms were convertible if and only if they have the same normal form, this means that the relation of convertibility is decidable.

આપણે છેલ્લા વિભાગમાં જોયું કે બે પદો ત્યારે જ રૂપાંતરિત થઈ શકે છે જો અને માત્ર જો તેમની સામાન્ય સ્વરૂપ સમાન હોય, આનો અર્થ એ છે કે રૂપાંતરની સંબંધ નક્કી કરી શકાય છે.


The definition of convertibility is external to the system —a↔↔bis intended to embody the fact that the two expressionsaandbdenote the same object.

રૂપાંતરની વ્યાખ્યા સિસ્ટમની બહારની છે —a↔↔b એ હકીકતને મૂર્ત સ્વરૂપ આપવા માટે છે કે બે અભિવ્યક્તિઓ a અને b સમાન ઑબ્જેક્ટ દર્શાવે છે.


In the light of the characterisation above, we can identify this object as the normal form of the expression, if we wish.

ઉપરોક્ત લાક્ષણિકતાના પ્રકાશમાં, જો આપણે ઈચ્છીએ તો, આપણે આ ઑબ્જેક્ટને અભિવ્યક્તિના સામાન્ય સ્વરૂપ તરીકે ઓળખી શકીએ છીએ.


In section 4.11 we introduced the rules of substitution which allow in- terconvertible expressions to be substituted for each other in derivations of judgements.

વિભાગ 4.11 માં, અમે અવેજીના નિયમો રજૂ કર્યા જે ચુકાદાઓના વ્યુત્પન્નમાં એકબીજા માટે ઇન્ટરકન્વર્ટિબલ અભિવ્યક્તિઓને બદલવાની મંજૂરી આપે છે.


This emphasizes the fact that judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions, rather than the expressions themselves.

આ હકીકત પર ભાર મૂકે છે કે ચુકાદાઓ અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા પદાર્થો વિશે હોવાનો ઇરાદો ધરાવે છે, અભિવ્યક્તિઓ પોતે જ નહીં.


We shall come back to this important distinction below.

આપણે નીચે આ મહત્વપૂર્ણ તફાવત પર પાછા આવીશું.


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

કારણ કે ‘a↔↔b’ સિસ્ટમનું વિધાન નથી, તેથી અમે તેના આધારે વધુ જટિલ દાવાઓ બનાવી શકતા નથી.


To do this we turn to our third relation, the identity predicate.

આ કરવા માટે, અમે અમારા ત્રીજા સંબંધ, ઓળખ અનુમાન તરફ વળીએ છીએ.


As a primitive proposition (or type) forming operator we have theIoper- ation, forming a type thus: A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

આદિમ દરખાસ્ત (અથવા પ્રકાર) બનાવનાર ઓપરેટર તરીકે, અમારી પાસે Iઓપરેશન છે, જે આ રીતે એક પ્રકાર બનાવે છે: A એક પ્રકાર છે a:A b:A I(A, a, b) એક પ્રકાર છે (IF)


The type is also writtena= A bor evena=bwhen no confusion can result.

પ્રકારને a= A b અથવા a=b પણ લખવામાં આવે છે જ્યારે કોઈ મૂંઝવણ પરિણમી શકતી નથી.


I(A, a, b) is provable, by the objectr(a), whena↔↔b, so we can see the type as an internalisation of convertibility.

I(A, a, b) ઑબ્જેક્ટ r(a) દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે, જ્યારે a↔↔b, તેથી આપણે પ્રકારને રૂપાંતરની આંતરિકતા તરીકે જોઈ શકીએ છીએ.


On top of theItype we can build more complex assertions, such as (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) wherefandgare functions of typeA⇒B.

Itype ની ટોચ પર, અમે વધુ જટિલ દાવાઓ બનાવી શકીએ છીએ, જેમ કે (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) જ્યાં f અને g એ A⇒B પ્રકારના કાર્યો છે.


Proof thatIis the internali- sation of ‘↔↔’ is given by the result Theorem 5.22For closedaandb, the judgementI(A, a, b) is derivable if and only ifa↔↔b.

સાબિતી કે I એ ‘↔↔’ ની આંતરિકતા છે તે પરિણામ પ્રમેય 5.22 દ્વારા આપવામાં આવે છે બંધ a અને b માટે, ચુકાદો I(A, a, b) ત્યારે જ મેળવી શકાય છે જો અને માત્ર જો a↔↔b.


The expressionx= A ydenotes a proposition or type of the system.

અભિવ્યક્તિ x= A y સિસ્ટમનું વિધાન અથવા પ્રકાર દર્શાવે છે.


In order to test for identity in a computation we require a function or operation which returns not a type but rather a valueT rueorF alseof boolean type.

ગણતરીમાં ઓળખ માટે પરીક્ષણ કરવા માટે, અમને એક કાર્ય અથવા ઑપરેશનની જરૂર છે જે પ્રકારને બદલે બૂલિયન પ્રકારનું મૂલ્યT rue અથવા F alse આપે છે.


The system does not permit full general recursion to be used, as in an unrestricted form this can lead to non-termination.

આ સિસ્ટમ સંપૂર્ણ સામાન્ય પુનરાવર્તનને મંજૂરી આપતી નથી, કારણ કે અનિયંત્રિત સ્વરૂપમાં આ બિન-સમાપ્તિ તરફ દોરી શકે છે.


We are already familiar with type theory as a constructive logic, and have seen a number of examples of proofs being built in.

આપણે પહેલેથી જ રચનાત્મક તર્ક તરીકે પ્રકારના સિદ્ધાંતથી પરિચિત છીએ, અને પુરાવાઓ બનાવવામાં આવતા ઘણા ઉદાહરણો જોયા છે.


In this section we look at two aspects of the system which seem not to fit with this identification.

આ વિભાગમાં, અમે સિસ્ટમના બે પાસાઓ જોઈએ છીએ જે આ ઓળખ સાથે બંધબેસતા નથી.


The identification of propositions and types, proofs and objects has been fundamental to our investigation so far.

વિભાવનાઓ અને પ્રકારો, પુરાવાઓ અને પદાર્થોની ઓળખ અત્યાર સુધીની અમારી તપાસ માટે મૂળભૂત રહી છે.


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

આપણે T ને કાર્યાત્મક ભાષા તરીકે જોઈને આપણી ચર્ચા શરૂ કરીએ છીએ.


Every expression has a defined value; every program terminates.

દરેક અભિવ્યક્તિનું નિર્ધારિત મૂલ્ય છે; દરેક પ્રોગ્રામ સમાપ્ત થાય છે.


We can supply an extra parameter to the function, which is to be returned in the case that the list argument is the empty list.

આપણે ફંક્શનમાં વધારાનો પરિમાણ આપી શકીએ છીએ, જે તે સ્થિતિમાં પરત કરવામાં આવશે કે જો લિસ્ટ આર્ગ્યુમેન્ટ ખાલી લિસ્ટ હોય.


The system of types is more expressive than those in common use, allowing as it does dependent product and function spaces.

પ્રકારોની સિસ્ટમ સામાન્ય ઉપયોગમાં લેવાતી સિસ્ટમ કરતાં વધુ અભિવ્યક્ત છે, જે તેના પર આધારિત ઉત્પાદન અને કાર્ય જગ્યાઓને મંજૂરી આપે છે.


We follow this with a more detailed survey of the uses of dependent types, especially in the presence of universes.

આ પછી, અમે આધારિત પ્રકારોના ઉપયોગોનું વધુ વિગતવાર સર્વેક્ષણ કરીએ છીએ, ખાસ કરીને બ્રહ્માંડની હાજરીમાં.


Not only can we use the logical system to reason about the properties of programs, we can also use to system to support program transformation.

માત્ર આપણે પ્રોગ્રામની મિલકતો વિશે તર્ક કરવા માટે લોજિકલ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશનને સપોર્ટ કરવા માટે સિસ્ટમનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ.


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section, with some introduction of quantified types as we go along.

આ વિભાગમાં, અમે કુદરતી સંખ્યાઓ અને સૂચિઓ પરના ઉદાહરણો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ, જેમ જેમ આપણે આગળ વધીએ છીએ તેમ ક્વોન્ટિફાઇડ પ્રકારોનો થોડો પરિચય આપીએ છીએ.


We look at how programs can be extracted from a number of simple derivations.

આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રોગ્રામ્સને ઘણી સરળ વ્યુત્પત્તિઓમાંથી કેવી રીતે કાઢી શકાય છે.


We can define functions head and tail of type (∀l:[A]).(ne l⇒A) and (∀l:[A]).(ne l⇒[A]) with the appropriate properties.

આપણે પ્રકારના કાર્યો હેડ અને ટેઇલને (∀l:[A]).(ne l⇒A) અને (∀l:[A]).(ne l⇒[A]) યોગ્ય ગુણધર્મો સાથે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


We can thus view T as extending an imperative programming language and we give a general result about the transformation of primitive recursive programs into tail-recursive form.

આમ, આપણે T ને એક આવશ્યક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાના વિસ્તરણ તરીકે જોઈ શકીએ છીએ અને અમે આદિમ પુનરાવર્તિત પ્રોગ્રામ્સને પૂંછડી-પુનરાવર્તિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા વિશે સામાન્ય પરિણામ આપીએ છીએ.


This chapter investigates the different ways in which the system of type theory can be used.

આ પ્રકરણ પ્રકારના સિદ્ધાંતની સિસ્ટમને વિવિધ રીતે કેવી રીતે વાપરી શકાય છે તેની તપાસ કરે છે.


We are interested in proofs of expressions like (A⇒B)⇒(A⇒C) which are not of ground type, and which may depend upon assumptions.

આપણને (A⇒B)⇒(A⇒C) જેવા અભિવ્યક્તિઓના પુરાવાઓમાં રસ છે જે ગ્રાઉન્ડ પ્રકારના નથી, અને જે ધારણાઓ પર આધારિત હોઈ શકે છે.


The computation rules are not the only simplifications possible.

ગણતરીના નિયમો એકમાત્ર સંભવિત સરળતાઓ નથી.


For example, the rule of β-reduction is interpreted as saying that the natural deduction proof can be transformed.

ઉદાહરણ તરીકે, β-ઘટાડાના નિયમનો અર્થ એ થાય છે કે કુદરતી કપાતનો પુરાવો રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.


We can simply replace all occurrences of (⇒I) by (⇒I) alt , some of the applications of the latter resulting in vacuous discharges of the hypothesis of the implication.

આપણે ફક્ત (⇒I) ની બધી ઘટનાઓને (⇒I) alt દ્વારા બદલી શકીએ છીએ, બાદમાંની કેટલીક એપ્લિકેશનોના પરિણામે ગર્ભિતતાની પૂર્વધારણાનું ખાલી વિસર્જન થાય છે.


The other class of commutation rules are included in the system studied by Prawitz for more technical reasons.

બીજા પ્રકારના કોમ્યુટેશન નિયમોને વધુ તકનીકી કારણોસર પ્રાવિટ્ઝ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ સિસ્ટમમાં શામેલ કરવામાં આવ્યા છે.


If the object does not represent a proof, it's invalid.

જો ઑબ્જેક્ટ પુરાવો રજૂ કરતું નથી, તો તે અમાન્ય છે.


The cases of ConjE and ImpE are difficult to analyze.

ConjE અને ImpE ના કિસ્સાઓનું વિશ્લેષણ કરવું મુશ્કેલ છે.


We can use dependent types to make proof construction secure.

આપણે પુરાવા બાંધકામને સુરક્ષિત બનાવવા માટે આધારિત પ્રકારોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


First, we define a function 'proves' that returns the object proved.

પ્રથમ, આપણે 'સાબિત કરે છે' એવું એક કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જે સાબિત થયેલ ઑબ્જેક્ટને પરત કરે છે.


Using these, we can give types to the functions which eliminate conjunctions.

આનો ઉપયોગ કરીને, અમે તે કાર્યોને પ્રકારો આપી શકીએ છીએ જે સંયોજનોને દૂર કરે છે.


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

કાર્યો conjE અને impE ની આવશ્યક અસર એ સંબંધિત કન્સ્ટ્રક્ટરને લાગુ પાડવાની છે.


We know that their application is only permitted when it will take legitimate proofs into a legitimate proof.

આપણે જાણીએ છીએ કે તેમનો ઉપયોગ ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે તે કાયદેસરના પુરાવાઓને કાયદેસરના પુરાવામાં લઈ જશે.


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors Tr, ConjI and ImpI.

આપણે કન્સ્ટ્રક્ટર Tr, ConjI અને ImpI ની ક્રિયાને અનુરૂપ કાર્યો tr, conjI અને impI વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


The types secproof will only contain legitimate proofs.

પ્રકારો secproof માં ફક્ત કાયદેસરના પુરાવાઓ જ હશે.


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

ઉપર રજૂ કરાયેલા કાર્યો સાબિત કરે છે, conjE 1 અને impE ની વ્યાખ્યા આપો.


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

પ્રકારો આપો અને પછી કાર્યો tr, conjI અને impI ને વ્યાખ્યાયિત કરો.


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs, and that all such proofs are contained therein.

સાબિત કરો કે પ્રકાર secproof માં ફક્ત કાયદેસરના પુરાવાઓ છે, અને તે બધા પુરાવા તેમાં સમાવિષ્ટ છે.


Quantification over the universes allows us to assert the existence of types with certain properties.

બ્રહ્માંડ પરનું ક્વોન્ટિફિકેશન આપણને ચોક્કસ ગુણધર્મો સાથેના પ્રકારોના અસ્તિત્વને જાહેર કરવાની મંજૂરી આપે છે.


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined over lists of numbers.

આપણે પહેલેથી જ જોયું છે કે ક્વિકસોર્ટ ફંક્શન qsort ને સંખ્યાઓની સૂચિ પર કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.


This parameterization is possible in a language like Miranda.

આ પરિમાણીકરણ મિરાન્ડા જેવી ભાષામાં શક્ય છે.


The subtype of sorted elements of [A] is given by Slist(A).

[A] ના સૉર્ટેડ તત્વોનો સબટાઈપ Slist(A) દ્વારા આપવામાં આવે છે.


Milner polymorphic types contain free type variables which resemble the A:U 0 of the examples above.

મિલનર બહુરંગી પ્રકારોમાં મફત પ્રકારના ચલો છે જે ઉપરના ઉદાહરણોના A:U 0 જેવા જ છે.


In the system T we can express different types.

સિસ્ટમ T માં, આપણે વિવિધ પ્રકારો વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ.


A function of this type is given by λf .(if f bool(eq N (f N0) (f N1)) then f else id).

આ પ્રકારનું કાર્ય λf દ્વારા આપવામાં આવે છે .(જો f bool(eq N (f N0) (f N1)) તો f else id).


Quantifiers over a universe can be used to define weak versions of various familiar type constructors.

બ્રહ્માંડ પરના ક્વોન્ટિફાયરનો ઉપયોગ વિવિધ પરિચિત પ્રકારના કન્સ્ટ્રક્ટરના નબળા સંસ્કરણોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે.


Given a list l, a natural number n, and a proof that n is smaller than the length of l, we return the nth element of l.

આપેલ યાદી l, એક કુદરતી સંખ્યા n, અને એક પુરાવો કે n એ l ની લંબાઈ કરતા નાની છે, અમે l નું nમું તત્વ પાછું આપીએ છીએ.


બીજા અને ત્રીજા કલમો સ્પષ્ટ છે.


What is happening in the first? p is a proof that (n < #[ ]) that is (n < 0), which is ⊥— we can define an element of A from p using abort A.

પહેલામાં શું થઈ રહ્યું છે? p એ સાબિતી છે કે (n < #[ ]) એટલે કે (n < 0), જે ⊥ છે— અમે abort A નો ઉપયોગ કરીને p માંથી A નું તત્વ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


It is interesting to see that the definition of index can be made either by induction over N with a subsidiary induction over [A], or vice versa— the two arguments are independent of each other.

એ જોવું રસપ્રદ છે કે ઇન્ડેક્સની વ્યાખ્યા કાં તો N પર ઇન્ડક્શન દ્વારા [A] પર ગૌણ ઇન્ડક્શન સાથે બનાવી શકાય છે, અથવા તેનાથી વિપરીત— બંને દલીલો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે.


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

હવે આપણે કોર્સ-ઓફ-વેલ્યુઝ પુનરાવર્તનનાં ઉદાહરણ પર પાછા આવી શકીએ છીએ, કારણ કે આપણે જરૂરી તમામ સહાયક કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે.


Taking a special case of the power function, we have pow0 ≡ df 1 pow n ≡ df (pow(n div2)) 2 * 2 (n mod2) which can be rewritten thus, where h is a primitive recursive function, pow0 ≡ df 1 pow(n+1) ≡ df h(pow(n+1div2))n

પાવર ફંક્શનનું એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ લેતા, આપણી પાસે pow0 ≡ df 1 pow n ≡ df (pow(n div2)) 2 * 2 (n mod2) છે જેને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે, જ્યાં h એ એક આદિમ પુનરાવર્તિત કાર્ય છે, pow0 ≡ df 1 pow(n+1) ≡ df h(pow(n+1div2))n


Transforming this into a list definition, we have g0 ≡ df [1] g(n+1) ≡ df (g n) ++ [h((g n) ! (n+1div2))n]

આને યાદીની વ્યાખ્યામાં રૂપાંતરિત કરીને, આપણી પાસે g0 ≡ df [1] g(n+1) ≡ df (g n) ++ [h((g n) ! (n+1div2))n] છે.


The subexpression g! (n+1div2) is informal; index takes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

સબએક્સપ્રેશન g! (n+1div2) અનૌપચારિક છે; ઇન્ડેક્સ ત્રીજી દલીલ લે છે જે એક પુરાવા ઑબ્જેક્ટ છે, જે એપ્લિકેશનને કાયદેસર બનાવે છે.


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2) < #(g n)

જો આપણે બતાવી શકીએ કે (n+1div2) < #(g n) તો એપ્લિકેશન કાયદેસર રહેશે.


This will follow from proofs of (0 < m) ⇒ (m div2 < m) which is standard, and #(g n) = (n+1) (6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

આ (0 < m) ⇒ (m div2 < m) ના પુરાવાથી અનુસરશે જે પ્રમાણભૂત છે, અને #(g n) = (n+1) (6.1) જે આપણે ઇન્ડક્શન દ્વારા સ્થાપિત કરવું પડશે, તે જ સમયે વ્યાખ્યા સાથે.


Transforming again, we define a function which returns a pair (g n , p n ) where p n proves the assertion (6.1).

ફરીથી રૂપાંતરિત કરીને, અમે એક કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જે એક જોડી (g n , p n ) પરત કરે છે જ્યાં p n એ વિધાન (6.1) સાબિત કરે છે.


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

(g n) મૂલ્યમાંથી પરિણામ (f n) કાઢવા માટે, અમે હેડ ફંક્શન લાગુ કરીએ છીએ.


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

યાદ રાખો કે આ કરવા માટે, આપણે એ સાબિતીની જરૂર છે કે યાદી ખાલી નથી.


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it terminates.

ઉપરોક્ત કાર્યના વ્યુત્પન્ન પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સિસ્ટમ પરંપરાગત કાર્યાત્મક પ્રોગ્રામિંગ સિસ્ટમથી તદ્દન અલગ છે, જેમાં કાર્યની વ્યાખ્યાને તે સમાપ્ત થાય છે તેવા પુરાવાથી અલગ કરી શકાતી નથી.


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values to head and index we could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

હકીકતમાં, આ બરાબર સચોટ નથી — જો આપણે તે અભિગમ અપનાવ્યો હોત જે હેડ અને ઇન્ડેક્સને ડિફોલ્ટ અથવા ભૂલ મૂલ્યો આપે છે, તો આપણે ઉપરની જરૂરિયાત વિના વ્યુત્પન્ન કરી શકીએ છીએ, પરંતુ એકવાર વ્યુત્પન્ન થઈ ગયા પછી આપણે સાબિત કરવું પડશે કે કાર્ય દ્વારા પરત કરવામાં આવેલા મૂલ્યો ‘ઓકે’ છે અને ભૂલ અથવા ડિફોલ્ટ મૂલ્યો નથી.


Using induction over m:N prove that (m div2) < m for all m > 0.

m:N પર ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે બધા m > 0 માટે (m div2) < m.


Formalise the derivation of the functions g and pow above.

ઉપરોક્ત કાર્યો g અને pow ના વ્યુત્પન્નને ઔપચારિક બનાવો.


Give a proof that for all lists l and m, #l + #m = #(l++m)

એક પુરાવો આપો કે બધી યાદીઓ l અને m માટે, #l + #m = #(l++m)


Consider the example of ‘Russian multiplication’ given by the definition mul a b ≡ df (mul(2*a) (b div2)) + a*(b mod2)

વ્યાખ્યા દ્વારા આપવામાં આવેલ ‘રશિયન ગુણાકાર’ ના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો mul a b ≡ df (mul(2*a) (b div2)) + a*(b mod2)


How would you argue that this is definable in type theory?

તમે કેવી રીતે દલીલ કરશો કે આ પ્રકારના સિદ્ધાંતમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે?


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

આ પ્રકારને ધ્યાનમાં લો (∃A:U 0 ). P(A) આ પ્રકારની વસ્તુઓ કેવી દેખાય છે?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A) 178CHAPTER 5. EXPLORING TYPE THEORY Ais a (small) type, andpis a proof that it has the propertyP(A).

તે વસ્તુઓના જોડી છે (A, p), A:U 0 અનેp:P(A) 178પ્રકરણ 5. પ્રકાર સિદ્ધાંતનું અન્વેષણ A એક (નાનો) પ્રકાર છે, અને p એ સાબિતી છે કે તેમાં ગુણધર્મP(A) છે.


Suppose we have definedP(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a typeAtogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

ધારો કે આપણે P(A) ને (A⇒A)∧(A⇒A) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે, તો અસ્તિત્વલક્ષી પ્રકારની ઑબ્જેક્ટ એ એક પ્રકારની A સાથે p: (A⇒A)∧(A⇒A) હશે જે A થી પોતાની જાતને કાર્યની જોડી છે.


An object of this type is equiv- alent to an implementation of an abstract type, with signature (written in Miranda notation) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A wheref1andf2are the first and second projections ofp, of course.

આ પ્રકારની ઑબ્જેક્ટ અમૂર્ત પ્રકારના અમલીકરણની સમકક્ષ છે, જેમાં સિગ્નેચર (મિરાન્ડા સંકેતમાં લખાયેલ) abstype A સાથે f1 :: A -> A f2 :: A -> A જ્યાં f1 અને f2 એ p ના પ્રથમ અને બીજા અંદાજો છે, અલબત્ત.


We shall have more to say about quantified types in the following chap- ter, where we look at a series of examples.

આગળના પ્રકરણમાં આપણે ક્વોન્ટિફાઇડ પ્રકારો વિશે વધુ વાત કરીશું, જ્યાં આપણે ઉદાહરણોની શ્રેણી જોઈએ છીએ.


The usual way that we characterise the members of a type is by a pair of rules: the introduction rule explains what objects are permitted to be ele- ments of the type, and the elimination rule (together with the computation rule) characterises these elements as theonlyelements of the type.

પ્રકારના સભ્યોને આપણે જે સામાન્ય રીતે વર્ગીકૃત કરીએ છીએ તે નિયમોની જોડી દ્વારા છે: ઇન્ટ્રોડક્શન નિયમ સમજાવે છે કે કઈ વસ્તુઓને પ્રકારના તત્વો બનવાની મંજૂરી છે, અને નાબૂદી નિયમ (ગણતરીના નિયમ સાથે) આ તત્વોને પ્રકારના એકમાત્ર તત્વો તરીકે દર્શાવે છે.


We could call the latter rules theclosureaxioms for the type.

આપણે બાદમાંના નિયમોને પ્રકાર માટે ક્લોઝર એક્સિઓમ્સ કહી શકીએ.


It is the closure axioms for a typeAwhich allow us to prove properties for all elements of A, and to define functions by recursion overA.

તે એક પ્રકારના ક્લોઝર એક્સિઓમ્સ છે જે આપણને A ના તમામ તત્વો માટે ગુણધર્મો સાબિત કરવાની અને A પર પુનરાવર્તન દ્વારા કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.


The rules we have given for universes correspond to introduction rules; if we wish to define functions by recursion over the universe we need a closure axiom to that effect.

આપણે બ્રહ્માંડ માટે આપેલા નિયમો ઇન્ટ્રોડક્શન નિયમોને અનુરૂપ છે; જો આપણે બ્રહ્માંડ પર પુનરાવર્તન દ્વારા કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માંગીએ છીએ, તો આપણે તે અસર માટે ક્લોઝર એક્સિઓમની જરૂર છે.


In Martin-L ̈of’s treatment of the system, these axioms have been omitted deliberately; for philosophical reasons he has chosen to make the universes open-ended, so that other type forming operations can be added to the system without violating the closure axioms.

સિસ્ટમની માર્ટિન-લોફની સારવારમાં, આ સ્વયંસિદ્ધોને ઇરાદાપૂર્વક છોડી દેવામાં આવ્યા છે; ફિલોસોફિકલ કારણોસર તેણે બ્રહ્માંડને ખુલ્લા રાખવાનું પસંદ કર્યું છે, જેથી અન્ય પ્રકારની રચના કામગીરીને ક્લોઝર એક્સિઓમ્સનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના સિસ્ટમમાં ઉમેરી શકાય.


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric ([Str67]).

ક્લોઝર એક્સિઓમ્સ આપણને બહુરૂપી કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે પેરામેટ્રિક બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે ([Str67]).


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types butN, and which was the successor functionλn .(succ n) onN.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે એક કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જે તમામ પ્રકારો પર ઓળખ કાર્ય હતું પણ N, અને જે N પર અનુગામી કાર્ય λn .(succ n) હતું.


This would have the type (∀A:U 0 ).(A⇒A) just as did the polymorphic identity function, which had a parametric def- inition — we did not perform any analysis on the type variableAin the definition of the identity function, it was simply aparameter.

આમાં (∀A:U 0 ).(A⇒A) પ્રકાર હશે, જેમ બહુરૂપી ઓળખ કાર્ય હતું, જેની પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા હતી — અમે ઓળખ કાર્યની વ્યાખ્યામાં પ્રકારના ચલ A પર કોઈ વિશ્લેષણ કર્યું ન હતું, તે ફક્ત એક પરિમાણ હતું.


Why do we stop with a chain of universesU 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

જ્યારે કુદરતી કાર્યો છે જે સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતા નથી, ત્યારે આપણે બ્રહ્માંડની સાંકળ U 0 , U 1 , . . . સાથે કેમ અટકીએ છીએ?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of theU n .

જે તરત જ ધ્યાનમાં આવે છે તે છે (λn:N). U n જે સ્પષ્ટપણે U n માંથી કોઈમાં પણ વસવાટ કરતું નથી.


To give this a type we need to add the firsttransfiniteuniverseU ω , which is itself a member ofU ω+1 , and so we can iterate through the constructive ordinals.

આને એક પ્રકાર આપવા માટે આપણે પ્રથમ ટ્રાન્સફિનિટ બ્રહ્માંડ U ω ઉમેરવાની જરૂર છે, જે પોતે U ω+1 નું સભ્ય છે, અને તેથી આપણે રચનાત્મક ઓર્ડિનલ્સ દ્વારા પુનરાવર્તન કરી શકીએ છીએ.


Whether this extension is interesting, either proof theoretically or from the point of view of programming, is open to question, but the interested reader may wish to consult [And65] for a similar transfinite theory.

શું આ એક્સ્ટેંશન રસપ્રદ છે, કાં તો પ્રૂફ થિયરીથી અથવા પ્રોગ્રામિંગના દૃષ્ટિકોણથી, તે પ્રશ્નમાં છે, પરંતુ રસ ધરાવતા વાચક સમાન ટ્રાન્સફિનિટ થિયરી માટે [And65] ની સલાહ લેવા ઈચ્છે છે.


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such asNandtree, and the propositions, and to try to extend the type theory with a type of propositions.

બીજી સંભવિત દિશા એ છે કે પ્રકારો કે જે સેટ છે, જેમ કે N અને ટ્રી, અને દરખાસ્તો વચ્ચે તફાવત કરવો, અને દરખાસ્તોના પ્રકાર સાથે પ્રકાર સિદ્ધાંતને વિસ્તૃત કરવાનો પ્રયાસ કરવો.


This has itself been shown to be inconsistent in [Jac89].

આ પોતે [Jac89] માં અસંગત હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે.


If one is prepared to limit the type forming operations, then systems with a type of types can be built consistently.

જો કોઈ પ્રકારની રચના કામગીરીને મર્યાદિત કરવા તૈયાર હોય, તો પછી પ્રકારોના પ્રકારો સાથેની સિસ્ટમ્સ સુસંગત રીતે બનાવી શકાય છે.


બિલાડી સાદડી પર બેઠી હતી.


સમાચારોમાં મોટા ભૂકંપની જાણ કરવામાં આવી હતી.


કૃપા કરીને મીઠું આપો.


The company announced record profits this quarter.

કંપનીએ આ ત્રિમાસિક ગાળામાં વિક્રમી નફાની જાહેરાત કરી છે.


તે બજારમાં જઈ રહ્યો છે.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


આજનું હવામાન ખૂબ જ સુખદ છે.


The research team published their findings in a prestigious journal.

સંશોધન ટીમે પ્રતિષ્ઠિત જર્નલમાં તેમના તારણો પ્રકાશિત કર્યા.


શું તમે મને આમાં મદદ કરી શકો છો?


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


આજે હું ખુશ અનુભવું છું.


The economic forecast predicts a slowdown.

આર્થિક આગાહી મંદીની આગાહી કરે છે.


મકાનનું બાંધકામ ચાલી રહ્યું છે.


The complex system requires careful analysis.

જટિલ સિસ્ટમ માટે સાવચેતીપૂર્વક વિશ્લેષણની જરૂર છે.


તેણી એક ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી કલાકાર છે.


The implications of the new law are far-reaching.

નવા કાયદાના પરિણામો દૂરગામી છે.


The experiment yielded unexpected results.

પ્રયોગમાં અણધાર્યા પરિણામો મળ્યા.


The company is facing significant challenges.

કંપની નોંધપાત્ર પડકારોનો સામનો કરી રહી છે.


The philosophical debate was quite intense.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા ઘણી તીવ્ર હતી.


The intricate design required meticulous attention to detail.

જટિલ ડિઝાઇનમાં વિગતો પર ઝીણવટભર્યું ધ્યાન આપવાની જરૂર હતી.


આજે હવામાન સુખદ છે.


કૃપા કરીને મને મીઠું આપો.


હું બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


તેણી એક પુસ્તક વાંચી રહી છે.


કંપનીએ એક નવું ઉત્પાદન જાહેર કર્યું.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


Could you please explain the concept in more detail?

શું તમે કૃપા કરીને આ ખ્યાલને વધુ વિગતવાર સમજાવી શકો છો?


The economic situation is improving gradually.

આર્થિક સ્થિતિ ધીમે ધીમે સુધરી રહી છે.


અલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સફળ થયા.


સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The complex equation requires careful analysis.

જટિલ સમીકરણને કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણની જરૂર છે.


The philosophical implications of the theory are profound.

સિદ્ધાંતના તત્વજ્ઞાનીય અર્થઘટનો ઊંડા છે.


The company's strategic plan involves global expansion.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં વૈશ્વિક વિસ્તરણ સામેલ છે.


The intricate details of the mechanism were revealed.

પદ્ધતિની જટિલ વિગતો જાહેર કરવામાં આવી હતી.


The implications of climate change are far-reaching.

આબોહવા પરિવર્તનના અસરો દૂરગામી છે.


The judge's decision was based on legal precedent.

ન્યાયાધીશનો નિર્ણય કાયદાકીય દાખલા પર આધારિત હતો.


The algorithm's efficiency is a key factor in its success.

અલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા તેની સફળતામાં એક મુખ્ય પરિબળ છે.


The complex interplay of factors makes prediction difficult.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા આગાહીને મુશ્કેલ બનાવે છે.


The historical context is crucial for understanding the event.

ઘટનાને સમજવા માટે ઐતિહાસિક સંદર્ભ નિર્ણાયક છે.


આજે હવામાન સુખદ છે.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


The company announced its quarterly profits.

કંપનીએ તેના ત્રિમાસિક નફાની જાહેરાત કરી.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


તે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


આ કોન્ફરન્સ આવતા મહિને યોજાશે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The software requires a high-performance processor.

સોફ્ટવેરને ઉચ્ચ-પ્રદર્શન પ્રોસેસરની જરૂર છે.


They discussed the complex geopolitical situation.

તેમણે જટિલ ભૂ-રાજકીય પરિસ્થિતિની ચર્ચા કરી.


The research paper presents novel findings.

સંશોધન પત્ર નવીન તારણો રજૂ કરે છે.


પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સફળ થયા.


The economic forecast predicts a recession.

આર્થિક આગાહી મંદીની આગાહી કરે છે.


The system architecture is highly scalable.

સિસ્ટમ આર્કિટેક્ચર અત્યંત સ્કેલેબલ છે.


He is known for his integrity and honesty.

તે તેની અખંડિતતા અને પ્રમાણિકતા માટે જાણીતા છે.


The company is investing in renewable energy.

કંપની નવીનીકરણીય ઉર્જામાં રોકાણ કરી રહી છે.


The algorithm's time complexity is O(n log n).

એલ્ગોરિધમની સમય જટિલતા O(n log n) છે.


She is a brilliant scientist, making groundbreaking discoveries.

તે એક તેજસ્વી વૈજ્ઞાનિક છે, જે અદભૂત શોધ કરી રહી છે.


The negotiations reached a stalemate after several rounds of talks.

વાટાઘાટોના ઘણાં રાઉન્ડ પછી મડાગાંઠ પર પહોંચી ગઈ.


If an argument is computationally irrelevant, its evaluation will degrade the efficiency of the program.

જો કોઈ દલીલ ગણતરીની દૃષ્ટિએ અપ્રસ્તુત હોય, તો તેનું મૂલ્યાંકન પ્રોગ્રામની કાર્યક્ષમતાને ઘટાડશે.


Normal order evaluation begins evaluation of the whole expression prior to argument evaluation.

સામાન્ય ક્રમનું મૂલ્યાંકન દલીલના મૂલ્યાંકન પહેલાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન શરૂ કરે છે.


If the value of an argument is unnecessary, then it is not evaluated.

જો કોઈ દલીલનું મૂલ્ય બિનજરૂરી હોય, તો તેનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવતું નથી.


In a language with structured data such as pairs and lists, an argument need not be evaluated to normal form.

જોડીઓ અને યાદીઓ જેવા માળખાગત ડેટાવાળી ભાષામાં, દલીલને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર નથી.


Efficient lazy implementations of functional languages like Miranda are feasible.

મિરાન્ડા જેવી કાર્યાત્મક ભાષાઓના કાર્યક્ષમ આળસુ અમલીકરણો શક્ય છે.


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects will simply be ignored.

આળસુ મૂલ્યાંકન હેઠળ, ગણતરીની દૃષ્ટિએ અપ્રસ્તુત વસ્તુઓને સરળતાથી અવગણવામાં આવશે.


The proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

ગણતરીની સુસંગતતાની યોગ્ય વ્યાખ્યા એ હશે જે આળસુ મૂલ્યાંકન શિસ્ત હેઠળ પરિણામની ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા અભિવ્યક્તિના તે ભાગને જ પસંદ કરે છે.


There is another possible approach to computational relevance, and that involves an examination of the different forms that types can take.

ગણતરીની સુસંગતતા માટે બીજો સંભવિત અભિગમ છે, અને તેમાં પ્રકારો લઈ શકે તેવા વિવિધ સ્વરૂપોની તપાસ સામેલ છે.


Computation of objects of these types will never be important.

આ પ્રકારની વસ્તુઓની ગણતરી ક્યારેય મહત્વપૂર્ણ રહેશે નહીં.


An application of hd to a list is only possible if we can pair it with a proof that the list is nonempty.

hd ની યાદીમાં એપ્લિકેશન ત્યારે જ શક્ય છે જો આપણે તેને એવા પુરાવા સાથે જોડી શકીએ કે યાદી ખાલી નથી.


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives.

એવું કહી શકાય કે જ્યારે કનેક્ટિવ્સનો ઉપયોગ કરીને સંયોજનો લેવામાં આવે છે ત્યારે આ પ્રકારની ગણતરીની અપ્રસ્તુતતા જળવાઈ રહે છે.


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

આપણે ગુણધર્મ B સાથે પ્રકાર A ની વસ્તુઓના સંગ્રહને કેવી રીતે રજૂ કરવું જોઈએ?


An alternative approach is to build the ‘subset’ type.

એક વૈકલ્પિક અભિગમ એ ‘સબસેટ’ પ્રકાર બનાવવાનો છે.


This has the consequence that we lose the uniqueness of types.

આના પરિણામે, આપણે પ્રકારોની વિશિષ્ટતા ગુમાવીએ છીએ.


What are the formal rules for the subset type?

સબસેટ પ્રકાર માટેના ઔપચારિક નિયમો શું છે?


સેટને કેવી રીતે દૂર કરવું જોઈએ?


Since no new operator is added by the elimination rule, there is no computation rule for the subset type.

દૂર કરવાના નિયમ દ્વારા કોઈ નવો ઓપરેટર ઉમેરવામાં આવતો ન હોવાથી, સબસેટ પ્રકાર માટે કોઈ ગણતરીનો નિયમ નથી.


This is also evident from the fact that they fail to satisfy the inversion principle.

આ હકીકત પરથી પણ સ્પષ્ટ થાય છે કે તેઓ ઇન્વર્ઝન સિદ્ધાંતને સંતોષવામાં નિષ્ફળ જાય છે.


The first simply uses subset introduction, whilst the second shows that if we are able to derive membership of a subset type then implicit in that derivation is a proof that the element has the property required of it.

પ્રથમ ફક્ત સબસેટની રજૂઆતનો ઉપયોગ કરે છે, જ્યારે બીજું બતાવે છે કે જો આપણે સબસેટ પ્રકારની સભ્યપદ મેળવવા સક્ષમ છીએ, તો તે નિષ્કર્ષમાં એવા પુરાવા છે કે તત્વમાં તેની આવશ્યક મિલકત છે.


This shows that the rules for subsets are very weak.

આ બતાવે છે કે સબસેટ માટેના નિયમો ખૂબ જ નબળા છે.


ચકાસણીના પગલાંને અલગ કરવામાં આવે છે.


We did this above by a simple series of transformations.

આપણે ઉપર સાદી શ્રેણીબદ્ધ ફેરફારો દ્વારા આ કર્યું.


In general, simply naming the function we aim to compute and writing the specification and derivation in terms of that function can achieve the desired effect.

સામાન્ય રીતે, આપણે જે કાર્યની ગણતરી કરવા માંગીએ છીએ તે કાર્યનું નામ આપીને અને તે કાર્યના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટીકરણ અને વ્યુત્પત્તિ લખીને ઇચ્છિત અસર પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.


This approach seems to achieve the separation between the logical and the computational to the appropriate degree, without introducing the subset type.

આ અભિગમ પેટા પ્રકારને રજૂ કર્યા વિના, તાર્કિક અને ગણતરી વચ્ચે યોગ્ય ડિગ્રી સુધી અલગતા પ્રાપ્ત કરે છે.


We have found no example in the literature which is not amenable to this kind of treatment.

અમને સાહિત્યમાં કોઈ એવું ઉદાહરણ મળ્યું નથી જે આ પ્રકારની સારવાર માટે યોગ્ય ન હોય.


Using the subset type to represent a subset brings problems.

પેટા સમૂહને રજૂ કરવા માટે પેટા પ્રકારનો ઉપયોગ સમસ્યાઓ લાવે છે.


It is not possible in general to recover the witnessing information from a subset type.

સામાન્ય રીતે, પેટા પ્રકારમાંથી સાક્ષી માહિતી પુનઃપ્રાપ્ત કરવી શક્ય નથી.


Especially in an intensional system like TT, and so in these cases, the existential type should be used, retaining the witnessing information.

ખાસ કરીને TT જેવી ઇન્ટેન્શનલ સિસ્ટમમાં, અને તેથી આ કિસ્સાઓમાં, અસ્તિત્વલક્ષી પ્રકારનો ઉપયોગ થવો જોઈએ, સાક્ષી માહિતી જાળવી રાખવી.


An important tool for the programmer and the mathematician is the capability to define an equality relation over a class of objects.

પ્રોગ્રામર અને ગણિતશાસ્ત્રી માટે એક મહત્વપૂર્ણ સાધન એ ઑબ્જેક્ટ્સના વર્ગ પર સમાનતા સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ક્ષમતા છે.


For instance in this account we stipulated that we would consider as the same two expressions which differ only in their bound variables.

ઉદાહરણ તરીકે, આ ખાતામાં, અમે એવું નક્કી કર્યું કે અમે તે જ બે અભિવ્યક્તિઓને ધ્યાનમાં લઈશું જે ફક્ત તેમના બંધ ચલોમાં અલગ છે.


In a program we might choose to represent finite sets by finite lists, by taking as equal those lists which have the same elements, irrespective of their multiplicity or ordering.

એક પ્રોગ્રામમાં, અમે મર્યાદિત યાદીઓ દ્વારા મર્યાદિત સમૂહોને રજૂ કરવાનું પસંદ કરી શકીએ છીએ, તે યાદીઓને સમાન ગણીને જેમાં સમાન તત્વો છે, તેમની બહુવિધતા અથવા ઓર્ડરિંગને ધ્યાનમાં લીધા વિના.


In both cases we can be seen to define a new type by taking the quotient of a type by an equivalence relation.

બંને કિસ્સાઓમાં, આપણે સમકક્ષ સંબંધ દ્વારા પ્રકારનો ભાગ લઈને નવો પ્રકાર વ્યાખ્યાયિત કરતા જોઈ શકીએ છીએ.


These types are a part of the Nuprl system.

આ પ્રકારો ન્યુપ્રલ સિસ્ટમનો એક ભાગ છે.


We start with an exposition of the quotient type adapted to the context of TT, and then compare it with the congruence type.

આપણે TT ના સંદર્ભમાં અનુકૂલિત ક્વોશન્ટ પ્રકારના પ્રદર્શનથી શરૂઆત કરીએ છીએ, અને પછી તેની તુલના કોન્ગ્રુઅન્સ પ્રકાર સાથે કરીએ છીએ.


Because of the number of hypotheses in the following rule, we write them in a vertical list.

નીચેના નિયમમાં પૂર્વધારણાઓની સંખ્યાને કારણે, અમે તેમને વર્ટિકલ સૂચિમાં લખીએ છીએ.


In forming the type, we have to verify that the predicate is an equivalence relation.

પ્રકારની રચનામાં, આપણે ચકાસવું પડશે કે અનુમાન એ સમકક્ષ સંબંધ છે.


The introduction rule breaks unicity of typing.

પરિચય નિયમ ટાઇપિંગની એકતાને તોડે છે.


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

જો આપણે ક્વોશન્ટ પ્રકાર પર એક કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો સમકક્ષ તત્વો પરનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.


The elimination rule for the quotient type, which is the rule introducing functions over the type must reflect this.

ક્વોશન્ટ પ્રકાર માટેનો નાબૂદી નિયમ, જે પ્રકાર પર કાર્યોનો પરિચય આપતો નિયમ છે, તેણે આ પ્રતિબિંબિત કરવું જોઈએ.


There is no separate computation rule for the quotient type, but there is a rule indicating that equivalent elements are deemed to be equal.

ક્વોશન્ટ પ્રકાર માટે કોઈ અલગ ગણતરી નિયમ નથી, પરંતુ એક નિયમ છે જે સૂચવે છે કે સમકક્ષ તત્વોને સમાન માનવામાં આવે છે.


બિલાડી સાદડી પર બેઠી હતી.


સમાચારોમાં મોટા ભૂકંપની જાણ કરવામાં આવી હતી.


મહેરબાની કરીને દરવાજો બંધ કરો.


હું બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


આજનું હવામાન ખૂબ જ સુખદ છે.


તે એક પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


The company announced its quarterly earnings.

કંપનીએ તેની ત્રિમાસિક કમાણીની જાહેરાત કરી.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The research paper explores the impact of climate change.

સંશોધન પત્ર આબોહવા પરિવર્તનની અસરની ચર્ચા કરે છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


આ પડકારો છતાં, તેઓ સફળ થયા.


The complex system requires careful analysis.

જટિલ સિસ્ટમ માટે સાવચેતીપૂર્વક વિશ્લેષણની જરૂર છે.


કલાકારનું કાર્ય ખૂબ જ વખાણાયું છે.


આર્થિક આગાહી વૃદ્ધિની આગાહી કરે છે.


The meeting was adjourned until next week.

આગામી સપ્તાહ સુધી મીટિંગ સ્થગિત કરવામાં આવી હતી.


The software update includes new features.

સોફ્ટવેર અપડેટમાં નવી સુવિધાઓ શામેલ છે.


The philosophical debate was quite intense.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા ઘણી તીવ્ર હતી.


The historical evidence supports the theory.

ઐતિહાસિક પુરાવા સિદ્ધાંતને સમર્થન આપે છે.


ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


The company is expanding its operations globally.

કંપની વૈશ્વિક સ્તરે તેના કામગીરીનો વિસ્તાર કરી રહી છે.


The theory of constructions is a complex topic.

બાંધકામનો સિદ્ધાંત એક જટિલ વિષય છે.


Type theory provides a foundation for programming.

ટાઈપ થિયરી પ્રોગ્રામિંગ માટે એક આધાર પૂરો પાડે છે.


મને આશા છે કે તમે સારા છો.


The book discusses various aspects of functional programming.

પુસ્તક ફંક્શનલ પ્રોગ્રામિંગના વિવિધ પાસાઓની ચર્ચા કરે છે.


શું તમે કૃપા કરીને તે ફરીથી કહી શકો છો?


આજનું હવામાન સુખદ છે.


This is a significant advancement in the field.

આ ક્ષેત્રમાં એક નોંધપાત્ર પ્રગતિ છે.


ચાલો બજારમાં જઈએ.


The algorithm's efficiency is crucial for its performance.

અલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા તેના પ્રદર્શન માટે નિર્ણાયક છે.


તમને મળીને મને ખૂબ આનંદ થયો.


The research paper explores the intricacies of type systems.

સંશોધન પત્ર ટાઇપ સિસ્ટમની જટિલતાઓની શોધ કરે છે.


કૃપા કરીને વધુ વિગતો આપો.


The company is experiencing rapid growth.

કંપની ઝડપી વૃદ્ધિનો અનુભવ કરી રહી છે.


The concept of lambda calculus is fundamental to functional programming.

લેમ્ડા કેલ્ક્યુલસનો ખ્યાલ ફંક્શનલ પ્રોગ્રામિંગ માટે મૂળભૂત છે.


તમારો મનપસંદ રંગ કયો છે?


The project requires careful planning and execution.

પ્રોજેક્ટને કાળજીપૂર્વક આયોજન અને અમલની જરૂર છે.


The proof of the theorem is quite involved.

પ્રમેયનો પુરાવો ખૂબ જ જટિલ છે.


મારે આ કાર્યમાં થોડી મદદની જરૂર છે.


The conference will feature leading experts in the field.

આ કોન્ફરન્સમાં આ ક્ષેત્રના અગ્રણી નિષ્ણાતો ભાગ લેશે.


Could you please explain that in simpler terms?

શું તમે કૃપા કરીને તે સરળ શબ્દોમાં સમજાવી શકો છો?


આ સિસ્ટમ ટાઇપ થિયરીના એક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરે છે.


This approach has been used in the Edinburgh Logical Framework.

આ અભિગમ એડિનબર્ગ લોજિકલ ફ્રેમવર્કમાં ઉપયોગમાં લેવાયો છે.


The complexity of logics like Hoare’s logic is greater than might at first be thought.

હોરેની લોજિક જેવી લોજિકની જટિલતા, પ્રથમ નજરે લાગે છે તેના કરતા વધારે છે.


First we give the formation rule which introduces the new type expression.

સૌ પ્રથમ, અમે ફોર્મેશન નિયમ આપીએ છીએ જે નવું પ્રકારનું અભિવ્યક્તિ રજૂ કરે છે.


The elements of the type are then described by a number of introduction rules.

પ્રકારના તત્વોને પછી અનેક પરિચય નિયમો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.


These are the closure or induction rules.

આ ક્લોઝર અથવા ઇન્ડક્શન નિયમો છે.


This idea can be traced back to Gentzen.

આ વિચાર ગેન્ટઝેન સુધી પાછો શોધી શકાય છે.


આપણે તેને ટાઇપ થિયરીમાં કેવી રીતે ઉઠાવી શકીએ?


Given proof objects, p, u, v, of the appropriate type we form the new proof object.

યોગ્ય પ્રકારના પુરાવા પદાર્થો, p, u, v ને જોતાં, અમે નવો પુરાવો પદાર્થ બનાવીએ છીએ.


This is a new expression form, but we can see how it may be simplified.

આ એક નવું અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપ છે, પરંતુ આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તેને કેવી રીતે સરળ બનાવી શકાય.


A proof of A∨B is either inl a or inr b.

A∨B નો પુરાવો કાં તો inl a અથવા inr b છે.


આમ, આપણે આ ઇન્વર્ઝનને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ.


If the introduction rules for the connective θ take the form.

જો કનેક્ટિવ θ માટેના પરિચય નિયમો આ સ્વરૂપ લે છે.


We define a new elimination object θ−elim.

આપણે એક નવું નાબૂદી પદાર્થ θ−elim વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


Given a proof K i a 1 . . . a m i of φ, we can simplify the proof of C given by (θE).

φ ના પુરાવા K i a 1 . . . a m i ને જોતાં, આપણે (θE) દ્વારા આપવામાં આવેલ C ના પુરાવાને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.


Let us now consider an example of another connective, conjunction.

ચાલો હવે બીજા કનેક્ટિવ, સંયોજનનું ઉદાહરણ જોઈએ.


The introduction rule is a:A b:B (a, b):A∧B (∧I)


How does this rule relate to the usual ones?

આ નિયમ સામાન્ય નિયમો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?


The inversion principle applies to the rules for the existential quantifier.

ઇન્વર્ઝન સિદ્ધાંત અસ્તિત્વલક્ષી જથ્થાત્મક માટેના નિયમોને લાગુ પડે છે.


There is a difficulty in inverting the rules for implication.

ગર્ભિતાર્થ માટેના નિયમોને ઉલટાવવામાં મુશ્કેલી છે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ એક નવા ઉત્પાદનના લોન્ચની જાહેરાત કરી.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


આજનું હવામાન ખૂબ જ સુખદ છે.


તે એક ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


The government is working on new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ પર કામ કરી રહી છે.


Please submit your application before the deadline.

કૃપા કરીને સમયમર્યાદા પહેલાં તમારી અરજી સબમિટ કરો.


The research team made a significant discovery.

સંશોધન ટીમે એક મહત્વપૂર્ણ શોધ કરી.


The economy is facing several challenges.

અર્થતંત્ર અનેક પડકારોનો સામનો કરી રહ્યું છે.


તે ત્રણ ભાષાઓમાં પ્રવાહિત છે.


The project requires careful planning and execution.

પ્રોજેક્ટને કાળજીપૂર્વક આયોજન અને અમલની જરૂર છે.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ અડગ રહ્યા અને સફળ થયા.


The algorithm efficiently solves complex problems.

અલ્ગોરિધમ કાર્યક્ષમ રીતે જટિલ સમસ્યાઓનું સમાધાન કરે છે.


The implications of the new law are far-reaching.

નવા કાયદાના પરિણામો દૂરગામી છે.


The company's innovative approach disrupted the market.

કંપનીના નવીન અભિગમે બજારને વિક્ષેપિત કર્યું.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા વાસ્તવિકતાના સ્વભાવ પર કેન્દ્રિત હતી.


The intricate details of the design were impressive.

ડિઝાઇનના જટિલ વિગતો પ્રભાવશાળી હતી.


The economic downturn affected various sectors.

આર્થિક મંદીએ વિવિધ ક્ષેત્રોને અસર કરી.


The scientific community is constantly evolving.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય સતત વિકસિત થઈ રહ્યો છે.


The artist's work reflects a deep understanding of human emotion.

કલાકારનું કાર્ય માનવ લાગણીની ઊંડી સમજણ દર્શાવે છે.


The complex interplay of factors led to the crisis.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાએ કટોકટી તરફ દોરી ગઈ.


Elements of this type are functions with a b c providing the proof of associativity at the triple a, b, c.

આ પ્રકારના તત્વો એવા કાર્યો છે જે a, b, c ની ત્રિપુટી પર સહયોગીતાનો પુરાવો પૂરો પાડે છે.


We then define the class of semigroups thus: Semigroup ≡ df (∃A:U 0 ).(∃?:A⇒A⇒A).(Semi A ?)

પછી આપણે અર્ધજૂથોના વર્ગને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: અર્ધજૂથ ≡ df (∃A:U 0 ).(∃?:A⇒A⇒A).(અર્ધ A ?)


An elementary result about semigroups is that the identity is unique.

અર્ધજૂથો વિશેનું એક પ્રાથમિક પરિણામ એ છે કે ઓળખ અનન્ય છે.


આપણે હવે ઔપચારિક રીતે આ બતાવીએ છીએ.


Using the notational conventions of section 5.2.1, we write set, op and assoc for the three projection functions from the triples above.

વિભાગ 5.2.1 ની સંકેત પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઉપરની ત્રિપુટીઓમાંથી ત્રણ પ્રોજેક્શન કાર્યો માટે સેટ, ઓપ અને એસોસ લખીએ છીએ.


Theorem 7.18 Given a particular member S:Semigroup we shall write A, ?, f for the three projections setS, opS and assocS.

પ્રમેય 7.18 એક ચોક્કસ સભ્ય S:Semigroup ને જોતાં, આપણે ત્રણ પ્રોજેક્શન સેટS, opS અને assocS માટે A, ?, f લખીશું.


If we assume that (∀a:A). a ? ι=a∧a=ι ? a (∀a:A). a ? ι ′ =a∧a=ι ′ ? a are inhabited, then we can show that ι=ι ′ is inhabited.

જો આપણે એવું માનીએ કે (∀a:A). a ? ι=a∧a=ι ? a (∀a:A). a ? ι ′ =a∧a=ι ′ ? a વસવાટ કરે છે, તો પછી આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે ι=ι ′ વસવાટ કરે છે.


This shows that the identity is unique if it exists.

આ બતાવે છે કે જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો ઓળખ અનન્ય છે.


Proof: Take g: (∀a:A). a ? ι=a∧a=ι ? a apply it to ι ′ , and take the first projection.

પુરાવો: g લો: (∀a:A). a ? ι=a∧a=ι ? a તેને ι ′ પર લાગુ કરો, અને પ્રથમ પ્રોજેક્શન લો.


આપણી પાસે fst(g ι ′ ) :ι ′ ? ι=ι ′ (7.29) છે


Similarly, if we take h: (∀a:A). a ? ι ′ =a∧a=ι ′ ? a apply it to ι, and take the second projection, we obtain snd(h ι) :ι=ι ′ ? ι(7.30)

તેવી જ રીતે, જો આપણે h લઈએ: (∀a:A). a ? ι ′ =a∧a=ι ′ ? a તેને ι પર લાગુ કરો, અને બીજું પ્રોજેક્શન લો, તો આપણને snd(h ι) :ι=ι ′ ? ι(7.30) મળે છે.


By (7.29), (7.30) and the transitivity of equality, we have that ι=ι ′ is inhabited, as required.

(7.29), (7.30) અને સમાનતાની સંક્રમણશીલતા દ્વારા, આપણી પાસે છે કે ι=ι ′ જરૂરીયાત મુજબ વસવાટ કરે છે.


Theorem 7.19 Using the same convention as above, if for a particular element a of A it is the case that a ? a ′ =ι∧ι=a ′ ? a a ? a ′′ =ι∧ι=a ′′ ? a are both inhabited, then a ′ =a ′′ is inhabited, proving that inverses are unique if they exist.

પ્રમેય 7.19 ઉપરની જેમ જ સંમેલનનો ઉપયોગ કરીને, જો A ના કોઈ ચોક્કસ તત્વ a માટે એવું બને છે કે a ? a ′ =ι∧ι=a ′ ? a a ? a ′′ =ι∧ι=a ′′ ? a બંને વસવાટ કરે છે, તો પછી a ′ =a ′′ વસવાટ કરે છે, જે સાબિત કરે છે કે જો વ્યસ્ત અસ્તિત્વમાં હોય તો તે અનન્ય છે.


Proof: Exercise: the proof uses the fact that the operation ‘?’ is associative.

પુરાવો: કસરત: પુરાવો એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે ‘?’ ની કામગીરી સહયોગી છે.


The results depend upon us repeatedly unpacking the triples (A,(?, f)) and upon the system having the capability of giving temporary names to objects.

પરિણામો આપણને વારંવાર ત્રિપુટીઓ (A,(?, f)) ને અનપેક કરવા અને સિસ્ટમમાં ઑબ્જેક્ટ્સને અસ્થાયી નામો આપવાની ક્ષમતા પર આધાર રાખે છે.


Dyckhoff found that as this was difficult in the implementation available to him, it would be more appropriate to axiomatise the theory directly.

ડિકહોફે શોધી કાઢ્યું કે આ તેના માટે ઉપલબ્ધ અમલીકરણમાં મુશ્કેલ હોવાથી, સિદ્ધાંતને સીધી રીતે અક્ષીય બનાવવું વધુ યોગ્ય રહેશે.


For semigroups, axioms would take the form.

અર્ધજૂથો માટે, સ્વયંસિદ્ધો આ સ્વરૂપ લેશે.


Formation Rule for Semigroup Semigroup is a type (SemiF)

અર્ધજૂથ માટે રચના નિયમ અર્ધજૂથ એક પ્રકાર છે (SemiF)


Writing the three hypotheses in a vertical list, we have the introduction rule Introduction Rule for Semigroup A is type ?:A⇒A⇒A r: (∀a, b, c:A).( (a ? b)? c=a ?(b ? c) ) SG A ? r:Semigroup (SemiI)

ત્રણ પૂર્વધારણાઓને ઊભી યાદીમાં લખીને, આપણી પાસે પરિચય નિયમ છે અર્ધજૂથ માટે પરિચય નિયમ A એ પ્રકાર છે ?:A⇒A⇒A r: (∀a, b, c:A).( (a ? b)? c=a ?(b ? c) ) SG A ? r:Semigroup (SemiI)


Elimination Rules for Semigroup S:Semigroup setSis a type (SemiE 1 ) S:Semigroup opS:setS ⇒setS ⇒setS (SemiE 2 ) S:Semigroup assocS: (∀a, b, c:setS).( (a(opS)b)(opS)c =a(opS)(b(opS)c) ) (SemiE 3 )

અર્ધજૂથ માટે નાબૂદી નિયમો S:Semigroup setSis એક પ્રકાર (SemiE 1 ) S:Semigroup opS:setS ⇒setS ⇒setS (SemiE 2 ) S:Semigroup assocS: (∀a, b, c:setS).( (a(opS)b)(opS)c =a(opS)(b(opS)c) ) (SemiE 3 )