The rule of conjunction introduction combines derivations.

সংযোগ প্রবর্তনের নিয়মটি ডেরিভেশনগুলিকে একত্রিত করে।


From proofs of A and B, we can infer A and B.

A এবং B এর প্রমাণ থেকে, আমরা A এবং B অনুমান করতে পারি।


The assumptions upon which the proof depends are those of the proofs combined.

প্রমাণের ভিত্তি তৈরি করে এমন অনুমানগুলি হল মিলিত প্রমাণগুলির অনুরূপ।


A simple proof can be built from the two rules we have seen.

আমরা যে দুটি নিয়ম দেখেছি, তা থেকে একটি সাধারণ প্রমাণ তৈরি করা যেতে পারে।


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction.

তিনবার সংযোগের জন্য প্রবর্তন নিয়ম প্রয়োগ করে, আমরা সংযোগটি অনুমান করেছি।


The rule states that we can introduce a conjunction when we have proofs of its two component halves.

নিয়মটি বলে যে আমরা একটি সংযোগ উপস্থাপন করতে পারি যখন এটির দুটি উপাদান অংশের প্রমাণ আমাদের কাছে থাকে।


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction.

অন্যদিকে, আমাদের কাছে এমন একটি নিয়ম রয়েছে যা একটি সংযোগের ভিত্তিতে আমরা কী অনুমান করতে পারি তা বর্ণনা করে।


From a proof of A and B we can infer both A and B.

A এবং B এর প্রমাণ থেকে আমরা A এবং B উভয়ই অনুমান করতে পারি।


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

আমাদের কাছে আরেকটি উদাহরণ রয়েছে যা প্রবর্তন এবং বিলোপের নিয়মগুলির ব্যবহারকে একত্রিত করে।


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation.

এই প্রমাণটি সংযোগ ক্রিয়ার সহ-সংযুক্তি প্রদর্শন করে।


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula.

লক্ষ্য করুন যে প্রমাণটি যে একক অনুমানের উপর নির্ভরশীল তা হল সূত্রটি।


The elimination rules state that this is essentially the only way we can infer it.

বিলোপের নিয়মগুলি বলে যে এটি মূলত আমরা এটি অনুমান করতে পারি এমন একমাত্র উপায়।


We think of A implies B as expressing A implies B.

আমরা A ইম্প্লাইস B কে A ইম্প্লাইস B প্রকাশ করে এমনভাবে বিবেচনা করি।


In other words we would like to conclude A implies B when we have a deduction of B assuming A.

অন্য কথায়, আমরা A ধরে B এর একটি ডিডাকশন পেলে A ইম্প্লাইস B সিদ্ধান্তে আসতে চাই।


What are the assumptions upon which this new proof depends?

এই নতুন প্রমাণটি কোন অনুমানের উপর নির্ভরশীল?


All those on which the proof of B depends, except the assumption A itself.

B এর প্রমাণ যার উপর নির্ভরশীল, সেইগুলির সবই, A অনুমানটি বাদ দিয়ে।


This is reinforced by the elimination rule for implication.

এটি ইম্প্লিকেশন এর জন্য বিলোপের নিয়ম দ্বারা আরও শক্তিশালী হয়।


From proofs of A and A implies B, we can infer B.

A এবং A ইম্প্লাইস B এর প্রমাণ থেকে, আমরা B অনুমান করতে পারি।


We can discharge the three assumptions in turn.

আমরা ক্রমানুসারে তিনটি অনুমান বাতিল করতে পারি।


In this example, we see how a deduction can be free of assumptions.

এই উদাহরণে, আমরা দেখি কিভাবে একটি ডিডাকশন অনুমান মুক্ত হতে পারে।


The program development section discusses the Polish National Flag problem.

প্রোগ্রাম ডেভেলপমেন্ট বিভাগ পোলিশ ন্যাশনাল ফ্ল্যাগ সমস্যা নিয়ে আলোচনা করে।


৬.৪.২ ধারায় ভেক্টর নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।


The book explores the concept of constructive type theory.

বইটি গঠনমূলক প্রকার তত্ত্বের ধারণাটি অনুসন্ধান করে।


We will examine the background in both logic and computing.

আমরা যুক্তি এবং কম্পিউটিং উভয় ক্ষেত্রেই পটভূমি পরীক্ষা করব।


Testing cannot ensure the absence of errors.

পরীক্ষা ত্রুটিমুক্ততা নিশ্চিত করতে পারে না।


A formal proof of correctness can guarantee that a program meets its specification.

সঠিকতার একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ গ্যারান্টি দিতে পারে যে একটি প্রোগ্রাম তার স্পেসিফিকেশন পূরণ করে।


The type system will have to be more powerful.

টাইপ সিস্টেমটিকে আরও শক্তিশালী হতে হবে।


We are interested in developing a language in which correctness is guaranteed.

আমরা এমন একটি ভাষা তৈরি করতে আগ্রহী যেখানে সঠিকতা নিশ্চিত করা হয়।


Classical logic is accepted as the standard foundation of mathematics.

ক্লাসিক্যাল যুক্তি গণিতের আদর্শ ভিত্তি হিসেবে গৃহীত হয়।


প্রতিটি প্রস্তাবনা সত্য বা মিথ্যা।


এটি পরোক্ষ প্রমাণের একটি নীতি।


We can give a different, constructive, rendering of mathematics.

আমরা গণিতের একটি ভিন্ন, গঠনমূলক, উপস্থাপনা দিতে পারি।


Our logic is proof-functional rather than truth-functional.

আমাদের যুক্তি সত্য-কার্যকরীর পরিবর্তে প্রমাণ-কার্যকরী।


A proof of the conjunction A∧B can be seen as a pair of proofs.

সংযোগ A∧B এর প্রমাণকে প্রমাণের একটি জোড়া হিসাবে দেখা যেতে পারে।


The Curry Howard Isomorphism is the central theme.

ক্যারি হাওয়ার্ড আইসোমরফিজম হল মূল বিষয়।


We shall write p:P to mean, interchangeably, ‘pis of typeP’ and ‘pis a proof of proposition P’.

আমরা p:P লিখব যার অর্থ, বিনিময়যোগ্যভাবে, ‘p হল P প্রকারের’ এবং ‘p হল প্রস্তাব P এর প্রমাণ’।


Proofs of A⇒B are functions from A to B.

A⇒B এর প্রমাণ A থেকে B পর্যন্ত ফাংশন।


The type A∨B is the disjoint union or sum of the types A and B.

প্রকার A∨B হল প্রকার A এবং B এর বিচ্ছিন্ন সংযোগ বা যোগফল।


Functional programmers will be familiar with the idea that functions defined by recursion have their properties proved by induction.

ফাংশনাল প্রোগ্রামাররা এই ধারণার সাথে পরিচিত হবেন যে পুনরাবৃত্তি দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি আবেশ দ্বারা প্রমাণিত হয়।


The system here integrates the process of program development and proof.

এখানে সিস্টেমটি প্রোগ্রাম উন্নয়ন এবং প্রমাণের প্রক্রিয়াকে একত্রিত করে।


Type theory provides a framework that brings together logic and programming languages.

টাইপ তত্ত্ব এমন একটি কাঠামো সরবরাহ করে যা যুক্তি এবং প্রোগ্রামিং ভাষাগুলিকে একত্রিত করে।


The book can be thought of as giving both a first and a second course in type theory.

বইটিকে টাইপ তত্ত্বের প্রথম এবং দ্বিতীয় উভয় কোর্সের একটি উপস্থাপনা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।


We begin with introductory material on logic and functional programming.

আমরা যুক্তি এবং কার্যকরী প্রোগ্রামিং সম্পর্কিত প্রাথমিক উপাদান দিয়ে শুরু করি।


টাইপ তত্ত্বের সিস্টেমটি জটিল।


Much of our understanding of a complex formal system must derive from out using it.

একটি জটিল আনুষ্ঠানিক সিস্টেম সম্পর্কে আমাদের বেশিরভাগ ধারণা এটির ব্যবহারের মাধ্যমে আসে।


After a lengthy discussion of recursion, we look at the impact of the quantified types.

পুনরাবৃত্তির দীর্ঘ আলোচনার পরে, আমরা পরিমাণগত প্রকারগুলির প্রভাব দেখি।


The combination of symbolic and natural language used by mathematicians is surprisingly suggestive, yet ambiguous.

গণিতবিদদের ব্যবহৃত প্রতীকী এবং স্বাভাবিক ভাষার সংমিশ্রণটি আশ্চর্যজনকভাবে ইঙ্গিতপূর্ণ, তবুও অস্পষ্ট।


The system is expressive, as witnessed by the previous chapter.

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে যেমন দেখা গেছে, সিস্টেমটি অভিব্যক্তিপূর্ণ।


We have used standard terminology whenever were able, but when a subject is of current research interest this is not always possible.

আমরা যখনই পেরেছি, স্ট্যান্ডার্ড পরিভাষা ব্যবহার করেছি, তবে যখন কোনও বিষয় বর্তমান গবেষণার আগ্রহের বিষয় হয়, তখন এটি সবসময় সম্ভব হয় না।


The core of the text is chapter four, which is the introduction to type theory.

টেক্সটের মূল বিষয় হল চতুর্থ অধ্যায়, যা টাইপ তত্ত্বের ভূমিকা।


Readers who are familiar with natural deduction logic and the λ-calculus could begin with the brief introduction to constructive mathematics.

যারা স্বাভাবিক ডিডাকশন যুক্তি এবং λ-ক্যালকুলাসের সাথে পরিচিত তারা গঠনমূলক গণিতের সংক্ষিপ্ত ভূমিকা দিয়ে শুরু করতে পারেন।


Chapter seven is perhaps best read after the examples of chapter six.

সপ্তম অধ্যায়টি সম্ভবত ষষ্ঠ অধ্যায়ের উদাহরণগুলির পরে পড়া ভাল।


প্রতিটি অধ্যায়ে অনুশীলন অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।


The genesis of this book was a set of notes prepared for a lecture series.

এই বইটির সূত্রপাত ছিল একটি বক্তৃতা সিরিজের জন্য প্রস্তুত করা নোটগুলির একটি সেট।


Thanks are due to colleagues from both institutions.

উভয় প্রতিষ্ঠানের সহকর্মীদের প্রতি কৃতজ্ঞতা জানাচ্ছি।


I am especially grateful to David Turner and Allan Grimley for both encouragement and stimulating discussions.

আমি বিশেষভাবে ডেভিড টার্নার এবং অ্যালান গ্রিমলিকে ধন্যবাদ জানাই, যারা আমাকে উৎসাহিত করেছেন এবং আলোচনা করেছেন।


The text itself was prepared using the LaTeX document preparation system.

টেক্সটটি নিজেই LaTeX ডকুমেন্ট প্রস্তুতি সিস্টেম ব্যবহার করে প্রস্তুত করা হয়েছিল।


The editorial and production staff at Addison-Wesley have been most helpful.

অ্যাডিসন-ওয়েসলির সম্পাদকীয় এবং প্রোডাকশন কর্মীরা খুবই সহায়ক ছিলেন।


Alice is a joy, and makes me realise how much more there is to life than type theory.

অ্যালিস একটি আনন্দ, এবং আমাকে উপলব্ধি করায় যে টাইপ তত্ত্বের চেয়ে জীবনে আরও কত কিছু আছে।


We begin with introductory material on logic and functional programming, and follow this by presenting the system of type theory itself, together with many examples.

আমরা যুক্তি এবং কার্যকরী প্রোগ্রামিং সম্পর্কিত প্রাথমিক উপাদান দিয়ে শুরু করি এবং এর পরে টাইপ তত্ত্বের সিস্টেমটি উপস্থাপন করি, সাথে অনেক উদাহরণসহ।


The rule identifies certain (terms for) functions which have the same behaviour, yet which are represented in different ways.

এই নিয়মটি কিছু (শব্দের জন্য) ফাংশন সনাক্ত করে যাদের একই আচরণ রয়েছে, তবে বিভিন্ন উপায়ে উপস্থাপন করা হয়েছে।


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction, and we define their joint transitive closure in the obvious way.

আমরা সাধারণত η-হ্রাসকে β-হ্রাসের একটি সংযোজন হিসাবে বিবেচনা করি এবং আমরা তাদের যৌথ ট্রানজিটিভ ক্লোজারকে সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করি।


The relations generate two convertibility relations, ↔ and ↔ βη :

সম্পর্কগুলি দুটি রূপান্তরযোগ্য সম্পর্ক তৈরি করে, ↔ এবং ↔ βη :


As a consequence of the Church-Rosser theorems, two expressions e and f will be (βη-)convertible if and only if there exists a common (βη-)reduct of e and f.

চার্চ-রোজার উপপাদ্যগুলির ফলস্বরূপ, দুটি অভিব্যক্তি e এবং f (βη-)রূপান্তরযোগ্য হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি e এবং f-এর একটি সাধারণ (βη-) হ্রাস বিদ্যমান থাকে।


The untyped λ-calculus is a simple theory of (pure) functions, yet computationally it is as strong as other fundamental theories of computation.

অটাইপ করা λ-ক্যালকুলাস হল (বিশুদ্ধ) ফাংশনের একটি সাধারণ তত্ত্ব, তবুও গণনামূলকভাবে এটি অন্যান্য মৌলিক গণনার তত্ত্বের মতোই শক্তিশালী।


One representation of the natural numbers is as the iterators, n being represented by λf . λx . f(f . . . f(f x) . . .)

স্বাভাবিক সংখ্যার একটি উপস্থাপনা হল পুনরাবৃত্তিকারী হিসাবে, n কে λf . λx . f(f . . . f(f x) . . .) দ্বারা উপস্থাপন করা হয়


The disadvantage of this power is the fact that our programs can continually break the stipulations of our conceptual type system, which permits only numbers to be added and so forth.

এই ক্ষমতার অসুবিধা হল যে আমাদের প্রোগ্রামগুলি ক্রমাগত আমাদের ধারণাগত টাইপ সিস্টেমের শর্তাবলী ভেঙে দিতে পারে, যা শুধুমাত্র সংখ্যা যোগ করার অনুমতি দেয় এবং আরও অনেক কিছু।


We now examine a number of typed λ-calculi of differing expressive strength which will culminate in the system of constructive type theory itself.

আমরা এখন বিভিন্ন অভিব্যক্তির শক্তি সহ বেশ কয়েকটি টাইপ করা λ-ক্যালকুলাস পরীক্ষা করি যা গঠনমূলক প্রকার তত্ত্বের সিস্টেমে চূড়ান্ত হবে।


In typed lambda calculi each λ-expression (or term, we use these interchangeably) has a type.

টাইপ করা ল্যামডা ক্যালকুলি-তে প্রতিটি λ-অভিব্যক্তির (বা পদ, আমরা এগুলি বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করি) একটি প্রকার রয়েছে।


We can only form an application when the type of the argument is the same as the type of the domain of the function.

আমরা শুধুমাত্র তখনই একটি অ্যাপ্লিকেশন তৈরি করতে পারি যখন আর্গুমেন্টের প্রকারটি ফাংশনের ডোমেনের প্রকারের মতো হয়।


Many notions defined in the untyped case carry over to here.

অটাইপ করা ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত অনেক ধারণা এখানেও প্রযোজ্য।


The Church-Rosser theorems for β and βη-reduction have the same proofs.

β এবং βη-হ্রাসের জন্য চার্চ-রোজার উপপাদ্যগুলির একই প্রমাণ রয়েছে।


Given a variable x σ , we are unable to form the application x σ x σ and thus unable to define Ω and the fixed point combinators we saw above.

একটি ভেরিয়েবল x σ দেওয়া হলে, আমরা অ্যাপ্লিকেশন x σ x σ তৈরি করতে অক্ষম এবং এইভাবে Ω এবং আমরা উপরে দেখেছি এমন ফিক্সড পয়েন্ট কম্বিনেটর সংজ্ঞায়িত করতে অক্ষম।


This important result is proved in the next section, and also in [FLO83].

এই গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলটি পরবর্তী বিভাগে এবং [FLO83]-এও প্রমাণ করা হয়েছে।


We can present the calculus in a slightly different form, closer to the practice in programming languages.

আমরা ক্যালকুলাসটিকে সামান্য ভিন্ন আকারে উপস্থাপন করতে পারি, যা প্রোগ্রামিং ভাষার অনুশীলনের কাছাকাছি।


We assume throughout that all contexts Γ are consistent in containing at most one occurrence of each variable – we can give any expression a type using the appropriate inconsistent context.

আমরা ধরে নিই যে সমস্ত প্রসঙ্গ Γ সুসংগত, প্রতিটি ভেরিয়েবলের সর্বাধিক একটি ঘটনা রয়েছে – আমরা উপযুক্ত অসামঞ্জস্যপূর্ণ প্রসঙ্গ ব্যবহার করে যেকোনো অভিব্যক্তিকে একটি প্রকার দিতে পারি।


The rule giving the type of an abstraction has one unusual aspect.

একটি বিমূর্ততার প্রকার প্রদানকারী নিয়মের একটি অস্বাভাবিক দিক রয়েছে।


In general the variable x will appear free in the expression e— we cannot type an expression containing a free variable without knowing the type for the variable, and this is given by the assumption.

সাধারণভাবে ভেরিয়েবল x অভিব্যক্তি e-তে বিনামূল্যে প্রদর্শিত হবে— আমরা ভেরিয়েবলের প্রকারটি না জেনে একটি মুক্ত ভেরিয়েবল ধারণকারী একটি অভিব্যক্তি টাইপ করতে পারি না এবং এটি অনুমান দ্বারা দেওয়া হয়।


This method, introduced in [Tai67] and known as the reducibility method, is a general means of proof for systems which are typed.

এই পদ্ধতি, [Tai67]-এ প্রবর্তিত এবং হ্রাসযোগ্যতা পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত, টাইপ করা সিস্টেমগুলির জন্য প্রমাণের একটি সাধারণ উপায়।


We can extend the system in two different ways, adding both new base types and new constructors.

আমরা দুটি ভিন্ন উপায়ে সিস্টেমটি প্রসারিত করতে পারি, নতুন বেস প্রকার এবং নতুন কনস্ট্রাক্টর উভয়ই যোগ করে।


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

অন্য কথায়, আমাদের নির্বিচারে x এর প্রমাণ দরকার, যা নিয়মটি ঠিক তাই বলে।


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ এর বিলোপের নিয়মটি অস্তিত্বগত বিলোপের জন্য নিম্নলিখিতগুলি প্রস্তাব করে: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

আমরা A(a), A(b) থেকে B-এর সমস্ত পৃথক প্রমাণকে একটি নির্বিচারে x-এর জন্য A(x) থেকে একটি প্রমাণ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আমাদের নিয়মটি পাই।


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

প্রথম উদাহরণের জন্য আমরা ধরে নিই θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) এবং প্রমাণ করার চেষ্টা করি যে ∃x. Q(x)


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

আনুষ্ঠানিকভাবে অনুমানটি স্পষ্ট, কিন্তু আমরা আমাদের সিস্টেমে কী করি?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

আমাদের একটি সর্বজনীন অনুমান, θ আছে, এবং সর্বজনীন বিলোপের নিয়ম আমাদের বলে যে আমরা আমাদের প্রমাণে θ-এর যেকোনো উদাহরণ P(x)⇒P(x) ব্যবহার করতে পারি।


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

যদি আমরা অস্তিত্বগত বিলোপের নিয়মের পশ্চাৎমুখী পাঠ গ্রহণ করি, তাহলে আমরা দেখতে পাই কিভাবে একটি অস্তিত্বগত অনুমান ব্যবহার করতে হয়।


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

একটি অস্তিত্বগত অনুমান ∃x. P(x) ব্যবহার করতে, উদাহরণ P(x) ব্যবহার করুন এবং অবশেষে নিয়ম (∃E) ব্যবহার করে এটি বাতিল করুন।


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1

এইভাবে এগিয়ে চললে আমরা পাই P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) এখান থেকে আমরা অনুমান করতে পারি ∃x. Q(x) (যদিও x অনুমানগুলির একটিতে মুক্ত — নিয়ম (∃I)-এর উপর কোনো বিধিনিষেধ নেই), এবং অবশেষে অস্তিত্বগত বিলোপের মাধ্যমে আমরা পাই: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

আমাদের দ্বিতীয় উদাহরণের জন্য, ধরুন আমরা এই ধারণা করি যে প্রতিটি বস্তু হয় আপেল বা কলা: ∀x.(A(x)∨B(x)) এবং আপেল এবং কলা উভয়ই সুস্বাদু: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

আমরা দেখাব যে সবকিছুই সুস্বাদু, ∀x. T(x)।


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

সর্বজনীন বিলোপের নিয়মটি তিনবার প্রয়োগ করে আমরা পাই (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

এবং তারপর আমরা এদের দ্বিতীয়টির ভিত্তিতে এবং অনুমান A(y) ব্যবহার করে (⇒E) T(y) অনুমান করতে পারি।


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

আমরা একইভাবে B(y) এবং সর্বজনীন বিবৃতি থেকে T(y) অনুমান করতে পারি, এবং তারপর (∨E) প্রয়োগ করার অবস্থানে আছি।


In the diagram which follows the hypotheses of the central proof are listed vertically.

যে চিত্রটি অনুসরণ করে, কেন্দ্রীয় প্রমাণের অনুমানগুলি উল্লম্বভাবে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।


∀ introduction is then applied, giving . . . ∀x. T(x) (∀I)

তারপর ∀ প্রবর্তন প্রয়োগ করা হয়, যা দেয় . . . ∀x. T(x) (∀I)


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

আমাদের চূড়ান্ত উদাহরণটি ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y) এর প্রমাণ সম্পর্কিত


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

পাঠক উপরের ১৮ পৃষ্ঠার আলোচনাটি পুনরায় দেখতে পারেন।


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

ইমপ্লিকেশন প্রবর্তনের নিয়মটি মনে রেখে, ∃y.∀x. A(x, y) এর ভিত্তিতে ∀x.∃y. A(x, y) প্রমাণ করা যথেষ্ট


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

আমাদের একটি অস্তিত্বগত অনুমান আছে, তাই পরিমাণকটি সরিয়ে আমরা নিয়ম (∃E) দ্বারা পরিবর্তে অনুমান ∀x. A(x, y) ব্যবহার করতে পারি


খেলার নিয়ম খুবই সহজ।


দয়া করে, আপনি কি ওটা আবার বলতে পারবেন?


আজ আবহাওয়া খুব সুন্দর।


আমি বাজারে যাচ্ছি।


দয়া করে, আমাকে এক গ্লাস জল এনে দিন।


কোম্পানিটি একটি নতুন পণ্য ঘোষণা করেছে।


তিনি একজন অত্যন্ত প্রতিভাবান সঙ্গীতশিল্পী।


The government is working on a new policy.

সরকার একটি নতুন নীতি নিয়ে কাজ করছে।


The research team published their findings.

গবেষণা দল তাদের অনুসন্ধান প্রকাশ করেছে।


আগামী সপ্তাহে মিটিং অনুষ্ঠিত হবে।


The algorithm efficiently sorts the data.

অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


The economic situation is complex and multifaceted.

অর্থনৈতিক পরিস্থিতি জটিল এবং বহুবিধ।


The implications of the treaty are far-reaching.

চুক্তির প্রভাব সুদূরপ্রসারী।


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

দার্শনিক বিতর্কটি চেতনার স্বরূপের উপর কেন্দ্রীভূত ছিল।


The company's strategic plan involves significant restructuring.

কোম্পানির কৌশলগত পরিকল্পনায় উল্লেখযোগ্য পুনর্গঠন জড়িত।


The lambda symbol is used to form functions.

ল্যামডা প্রতীকটি ফাংশন তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়।


The elimination rule for implication is a key concept.

ইম্প্লিকেশন-এর জন্য অপসারণের নিয়ম একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।


Computation rule for implication is the rule of β-reduction.

ইম্প্লিকেশনের জন্য গণনার নিয়ম হল β-হ্রাসকরণ-এর নিয়ম।


The Curry-Howard isomorphism is a fundamental concept.

কারি-হাওয়ার্ড আইসোমরফিজম একটি মৌলিক ধারণা।


The dependent product type is used in representing forms of type polymorphism.

নির্ভরশীল পণ্য প্রকার টাইপ পলিমরফিজমের রূপগুলি উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়।


The system defines a proof of a proposition.

সিস্টেমটি একটি প্রস্তাবনার প্রমাণ সংজ্ঞায়িত করে।


Central to type theory is the duality between propositions and types.

টাইপ তত্ত্বের কেন্দ্রবিন্দু হল প্রস্তাবনা এবং প্রকারের মধ্যে দ্বৈততা।


A proof of a proposition can be seen as a member of the type.

একটি প্রস্তাবনার প্রমাণকে প্রকারের সদস্য হিসাবে দেখা যেতে পারে।


Ideas can be re-interpreted, enriching both fields.

ধারণাগুলিকে পুনরায় ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, উভয় ক্ষেত্রকে সমৃদ্ধ করে।


We first present type theory as a logical system.

আমরা প্রথমে টাইপ তত্ত্বকে একটি যৌক্তিক ব্যবস্থা হিসাবে উপস্থাপন করি।


The chapter begins with an informal examination of what it means for something to be a proof.

অধ্যায়টি শুরু হয় একটি অনানুষ্ঠানিক পরীক্ষার মাধ্যমে, যেখানে একটি প্রমাণের অর্থ কী, তা আলোচনা করা হয়।


We look at the general form that the rules will take.

আমরা সেই সাধারণ রূপটি দেখি যা নিয়মগুলি গ্রহণ করবে।


With each connective we associate four kinds of rule.

প্রতিটি সংযোগকারীর সাথে আমরা চার ধরনের নিয়ম যুক্ত করি।


The familiar rules of introduction and elimination describe how certain propositions can be proved.

পরিচিত প্রবর্তন এবং বিলোপের নিয়মগুলি বর্ণনা করে কীভাবে কিছু প্রস্তাবনা প্রমাণ করা যেতে পারে।


From the programming point of view they assert the existence of certain objects.

প্রোগ্রামিংয়ের দৃষ্টিকোণ থেকে তারা নির্দিষ্ট বস্তুর অস্তিত্বের কথা জানায়।


To describe a language we need to supply not only the syntax but also to explain how to evaluate programs.

একটি ভাষা বর্ণনা করার জন্য আমাদের কেবল সিনট্যাক্স সরবরাহ করতে হবে না, প্রোগ্রামগুলি কীভাবে মূল্যায়ন করতে হয় তাও ব্যাখ্যা করতে হবে।


গণনার নিয়ম এটি ব্যাখ্যা করে।


We also give a formation rule which embodies the syntax of the connective.

আমরা একটি গঠন নিয়মও দিই যা সংযোগকারীর সিনট্যাক্সকে মূর্ত করে।


The formal presentation of the logical rules is followed by examples.

যৌক্তিক নিয়মগুলির আনুষ্ঠানিক উপস্থাপনার পরে উদাহরণ দেওয়া হয়।


We see standard functions like composition serving as proofs.

আমরা দেখি স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন যেমন কম্পোজিশন প্রমাণ হিসাবে কাজ করে।


After this we introduce the logical notions of universal and existential quantifiers.

এর পরে আমরা সর্বজনীন এবং অস্তিত্বগত পরিমাণ নির্ণয়কারীর যৌক্তিক ধারণাগুলি উপস্থাপন করি।


Programming is dependent on the presence of data types.

প্রোগ্রামিং ডেটা টাইপের উপস্থিতির উপর নির্ভরশীল।


Infinite data types are characterised by principles of definition by recursion and proof by induction.

অসীম ডেটা প্রকারগুলি পুনরাবৃত্তি দ্বারা সংজ্ঞা এবং আবেশ দ্বারা প্রমাণের নীতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।


উভয় পদ্ধতি হাতে হাত রেখে চলে।


This recursive characterisation carries over to other types.

এই পুনরাবৃত্তিমূলক বৈশিষ্ট্য অন্যান্য প্রকারের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।


We need to add a collection of constants, one for each product type.

আমাদের প্রতিটি পণ্যের প্রকারের জন্য একটি করে ধ্রুবকের সংগ্রহ যোগ করতে হবে।


Common practice is to omit the type subscripts from these constants.

সাধারণত এই ধ্রুবকগুলি থেকে প্রকারের সূচকগুলি বাদ দেওয়া হয়।


This is the idea of polymorphism which we mentioned in our introduction to functional programming.

এটি পলিমরফিজমের ধারণা, যা আমরা আমাদের কার্যকরী প্রোগ্রামিং-এর পরিচিতিতে উল্লেখ করেছি।


We need to strengthen the type system to allow polymorphic types.

আমাদের পলিমরফিক প্রকারগুলি সমর্থন করার জন্য টাইপ সিস্টেমকে শক্তিশালী করতে হবে।


The literature on polymorphism is extensive.

বহুরূপতার উপর সাহিত্য ব্যাপক।


We shall call rules of the first sort computation rules.

আমরা প্রথম প্রকারের নিয়মগুলিকে গণনা বিধি বলব।


The computation rules relate objects of arbitrary type.

গণনা বিধিগুলি নির্বিচারে প্রকারের বস্তুগুলির সাথে সম্পর্কযুক্ত।


Computations are usually performed over concrete types.

সাধারণত নির্দিষ্ট প্রকারের উপর গণনা করা হয়।


We add the type N to our set of base types.

আমরা আমাদের মৌলিক প্রকারগুলির সেটে N প্রকার যোগ করি।


We can also define equivalence rules for P rec.

আমরা P rec-এর জন্য সমতুল্য নিয়মও সংজ্ঞায়িত করতে পারি।


Given a function h:N⇒τ we can give a definition of a function.

একটি ফাংশন h:N⇒τ দেওয়া হলে, আমরা একটি ফাংশনের সংজ্ঞা দিতে পারি।


We can extend the strong normalisation result.

আমরা শক্তিশালী স্বাভাবিককরণের ফলাফল প্রসারিত করতে পারি।


A further step is to add an operator R for general recursion.

সাধারণ পুনরাবৃত্তির জন্য একটি অপারেটর R যোগ করা একটি অতিরিক্ত পদক্ষেপ।


This is a much stronger notion than primitive recursion.

এটি আদিম পুনরাবৃত্তির চেয়ে অনেক শক্তিশালী ধারণা।


The semantic explanation of general recursion has led to the development of denotational semantics.

সাধারণ পুনরাবৃত্তির শব্দার্থিক ব্যাখ্যা ডিনোটেশনাল সেম্যান্টিক্সের বিকাশের দিকে পরিচালিত করেছে।


In a functional programming language like Miranda, we can ask for the system to evaluate expressions.

মিরান্ডার মতো একটি কার্যকরী প্রোগ্রামিং ভাষায়, আমরা সিস্টেমটিকে অভিব্যক্তি মূল্যায়ন করতে বলতে পারি।


The results will thus be closed (β-)normal forms of zeroth-order type.

সুতরাং ফলাফলগুলি শূন্য-ক্রম প্রকারের বন্ধ (β-)স্বাভাবিক রূপ হবে।


We consider the (notationally) simpler case omitting product types.

আমরা (সংকেতগতভাবে) সহজতর ক্ষেত্রটি বিবেচনা করি যা পণ্য প্রকারগুলি বাদ দেয়।


একটি ভেরিয়েবল বন্ধ নয়।


We therefore feel justified in making the distinction between the two kinds of rule.

অতএব, আমরা দুটি ধরণের নিয়মের মধ্যে পার্থক্য করতে নিজেদেরকে ন্যায়সঙ্গত মনে করি।


ফাংশনটি দুটি যুক্তি নেয়।


This is a fundamental concept in type theory.

এটি টাইপ তত্ত্বের একটি মৌলিক ধারণা।


The system identifies propositions with types.

সিস্টেমটি প্রস্তাবগুলিকে প্রকারের সাথে চিহ্নিত করে।


আমাদের একটি বুলিয়ান প্রকার সংজ্ঞায়িত করতে হবে।


The elimination rule for bool is a two-way case switch.

বুল-এর জন্য অপসারণের নিয়মটি একটি দ্বি-মুখী কেস সুইচ।


Consider the example if tr then F alse else T rue.

উদাহরণস্বরূপ বিবেচনা করুন যদি tr তারপর F alse অন্যথায় T rue।


These functions represent the classical boolean operations.

এই ফাংশনগুলি ক্লাসিক্যাল বুলিয়ান অপারেশনগুলি উপস্থাপন করে।


Define functions which behave as the disjunction ('or') and material implication ('implies') operations.

এমন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করুন যা সংযোগ ('অথবা') এবং উপাদানগত অন্তর্নিহিততা ('ইম্প্লাইস') হিসাবে কাজ করে।


For n a natural number, the type N n has n elements.

n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, N n প্রকারের n উপাদান রয়েছে।


We eliminate an element of an n-element type by an n-way case switch.

আমরা একটি n-উপাদান প্রকারের একটি উপাদানকে একটি n-উপায় কেস সুইচ দ্বারা সরিয়ে দিই।


The one element type, >, has a logical interpretation.

একক উপাদান প্রকার, >, এর একটি যৌক্তিক ব্যাখ্যা আছে।


The rules can also be interpreted in the case that n= 0, yielding the rules for ⊥.

নিয়মগুলি n= 0 ক্ষেত্রেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যা ⊥-এর নিয়ম তৈরি করে।


We have already seen the natural numbers as a base type.

আমরা ইতিমধ্যে স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিকে একটি বেস টাইপ হিসাবে দেখেছি।


Natural numbers are either zero or a successor.

স্বাভাবিক সংখ্যাগুলি হয় শূন্য অথবা একটি উত্তরসূরি।


The proof principle which goes along with primitive recursion is mathematical induction.

আদিম পুনরাবৃত্তির সাথে যে প্রমাণ নীতিটি যায় তা হল গাণিতিক আবেশন।


আমরা এইভাবে যোগ সংজ্ঞায়িত করতে পারি: add m0 = m


Primitive recursion is a powerful method of definition.

আদিম পুনরাবৃত্তি সংজ্ঞা একটি শক্তিশালী পদ্ধতি।


We look at an example of how to incorporate recursive data types like lists and trees.

আমরা তালিকা এবং গাছের মতো পুনরাবৃত্তিমূলক ডেটা প্রকারগুলি কীভাবে অন্তর্ভুক্ত করতে হয় তার একটি উদাহরণ দেখি।


We call the types well-founded as they are types over which we can define objects by recursion.

আমরা প্রকারগুলিকে সুপ্রতিষ্ঠিত বলি কারণ এগুলি এমন প্রকার যার উপর আমরা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে বস্তু সংজ্ঞায়িত করতে পারি।


Definition 4.3 Primitive recursion is a principle of definition for functions.

সংজ্ঞা 4.3 আদিম পুনরাবৃত্তি হল ফাংশনের জন্য সংজ্ঞার একটি নীতি।


This is a fundamental concept in type theory.

এটি টাইপ তত্তের একটি মৌলিক ধারণা।


The rules of inference are crucial for constructing proofs.

অনুমান করার নিয়মাবলী প্রমাণ তৈরি করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।


Equality is a central theme in this discussion.

সমতা এই আলোচনার একটি কেন্দ্রীয় বিষয়।


We will explore the properties of the I-type.

আমরা I-টাইপের বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করব।


The elimination rule allows us to simplify expressions.

অপসারণের নিয়ম আমাদের অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করতে দেয়।


The concept of convertibility is essential for understanding the system.

সিস্টেমটি বুঝতে পরিবর্তনযোগ্যতার ধারণাটি অপরিহার্য।


আমরা সমানকে সমানের সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারি।


The proof relies on the transitivity of equality.

প্রমাণটি সমতার সংক্রমণশীলতার উপর নির্ভর করে।


The predecessor function is defined using primitive recursion.

পূর্বসূরি ফাংশনটি আদিম পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।


Let's consider some further properties of equality.

আসুন সমতার আরও কিছু বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করি।


The system is designed to be non-trivial.

সিস্টেমটি অ-তুচ্ছ হওয়ার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।


We can define dependent types using the equality predicate.

আমরা সমতা পূর্বাভাস ব্যবহার করে নির্ভরশীল প্রকার সংজ্ঞায়িত করতে পারি।


The introduction rule means that equality is reflexive.

সূচনা নিয়ম মানে সমতা প্রতিবিম্বিত।


I-এর জন্য অপসারণের নিয়মটি গুরুত্বপূর্ণ।


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

সমতার সারমর্ম হল যে সমানকে সমানের সাথে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে।


We will now examine the rules of computation.

আমরা এখন গণনার নিয়মগুলি পরীক্ষা করব।


This is a simplified version of the disjunction elimination.

এটি বিভাজন অপসারণের একটি সরলীকৃত সংস্করণ।


টাইপ তত্ত্বের সিস্টেমটি জটিল।


We will explore some alternative formulations of rules.

আমরা নিয়মের কিছু বিকল্প সূত্র অন্বেষণ করব।


The goal is to prove that addone x = succ x.

লক্ষ্য হল প্রমাণ করা যে addone x = succ x।


The system uses four different notions of equality.

সিস্টেমটি সমতার চারটি ভিন্ন ধারণা ব্যবহার করে।


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

সংজ্ঞা-সংক্রান্ত সমতা হলো আক্ষরিক পরিচয়ের সবচেয়ে কাছাকাছি বিষয়।


Convertibility is external to the system.

রূপান্তরযোগ্যতা সিস্টেমের বাইরে।


We will look at two means of strengthening it.

আমরা এটিকে শক্তিশালী করার দুটি উপায় দেখব।


The notion of a type of types is inconsistent.

প্রকারগুলির একটি প্রকারের ধারণাটি অসঙ্গতিপূর্ণ।


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

আমরা দেখাই কিভাবে প্রকারের ‘মহাবিশ্বের’ একটি ক্রম যোগ করা যেতে পারে।


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

আমরা কারি হাওয়ার্ডের আইসোমরফিজমের দিকে দ্বিতীয়বার তাকিয়ে অধ্যায়টি শেষ করব।


Derivations depend in general upon collections of assumptions.

সাধারণভাবে, ডিরাইভেশনগুলি অনুমানের সংগ্রহের উপর নির্ভর করে।


A useful exercise is to make an implementation of it.

এটি তৈরি করা একটি কার্যকর অনুশীলন।


Mathematical notation is a powerful tool.

গাণিতিক স্বরলিপি একটি শক্তিশালী হাতিয়ার।


The assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

অনুমানগুলি ডিরাইভেশনের পাতায় দেখা যায় না।


There is an ordering of dependency between them.

তাদের মধ্যে নির্ভরশীলতার একটি ক্রম রয়েছে।


ধরুন আমরা প্রমাণ করেছি A একটি প্রকার।


We may only discharge an assumption if the variable does not appear free.

আমরা শুধুমাত্র তখনই একটি অনুমান বাতিল করতে পারি যদি ভেরিয়েবলটি মুক্তভাবে প্রদর্শিত না হয়।


We expect subsequently to bind that variable.

আমরা পরবর্তীতে সেই ভেরিয়েবলটিকে আবদ্ধ করার আশা করি।


আমরা উপরের শর্তটি তৈরি করি।


We now present the derivation after discharge of the assumptions.

আমরা এখন অনুমানগুলি বাতিল করার পরে ডিরাইভেশনটি উপস্থাপন করি।


There is an interesting aspect to this proof.

এই প্রমাণটির একটি আকর্ষণীয় দিক রয়েছে।


We ask that when there are multiple assumptions then they should be consistent.

আমরা জিজ্ঞাসা করি যে একাধিক অনুমান থাকলে সেগুলি সঙ্গতিপূর্ণ হওয়া উচিত।


আমরা অভিব্যক্তিগুলিকে নাম দেওয়ার অনুমতি দিই।


আজ আবহাওয়া মনোরম।


আপনি কি দয়া করে আমাকে নুনটা দিতে পারবেন?


I am going to the market to buy some groceries.

আমি কিছু মুদি জিনিস কিনতে বাজারে যাচ্ছি।


তিনি একজন অত্যন্ত প্রতিভাবান গায়িকা।


The company announced its quarterly earnings.

কোম্পানিটি তার ত্রৈমাসিক আয় ঘোষণা করেছে।


The government is implementing new policies to boost the economy.

সরকার অর্থনীতিকে চাঙ্গা করতে নতুন নীতি গ্রহণ করছে।


The research team is working on a new vaccine.

গবেষণা দল একটি নতুন ভ্যাকসিনের উপর কাজ করছে।


The algorithm efficiently sorts the data.

অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

চ্যালেঞ্জগুলি সত্ত্বেও, তারা অধ্যবসায় করেছে এবং সফল হয়েছে।


The complexities of international trade are often underestimated.

আন্তর্জাতিক বাণিজ্যের জটিলতাগুলি প্রায়শই অবমূল্যায়ন করা হয়।


The philosophical implications of artificial intelligence are vast.

কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার দার্শনিক প্রভাবগুলি বিশাল।


The economic forecast predicts a period of slow growth.

অর্থনৈতিক পূর্বাভাসে ধীর গতির বৃদ্ধির পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে।


বিচারক একটি কঠোর রায় দিয়েছেন।


The company's innovative approach revolutionized the industry.

কোম্পানির উদ্ভাবনী পদ্ধতি শিল্পে বিপ্লব এনেছে।


The intricate details of the treaty were debated for hours.

চুক্তিটির জটিল বিবরণ ঘন্টার পর ঘন্টা ধরে বিতর্কিত হয়েছিল।


The scientific community is still debating the findings.

বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায় এখনও এই আবিষ্কারগুলি নিয়ে বিতর্ক করছে।


The artist's work is a commentary on modern society.

শিল্পীর কাজ আধুনিক সমাজের উপর একটি ভাষ্য।


The implications of climate change are far-reaching.

জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব সুদূরপ্রসারী।


The software update improved system performance significantly.

সফ্টওয়্যার আপডেটের ফলে সিস্টেমের কর্মক্ষমতা উল্লেখযোগ্যভাবে উন্নত হয়েছে।


The complex interplay of factors led to the crisis.

বিভিন্ন কারণের জটিল মিথস্ক্রিয়া সংকটের দিকে পরিচালিত করে।


The system's rules are modified slightly to accommodate the new property.

নতুন বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সিস্টেমের নিয়মগুলি সামান্য পরিবর্তন করা হয়েছে।


We should not be able to derive elements of non-types or proofs of non-formulas.

আমরা অ-প্রকার বা অ-সূত্রগুলির প্রমাণগুলি তৈরি করতে সক্ষম হব না।


The proof will be constructive in that we define a derivation of 'A is a type' in each case.

প্রমাণটি গঠনমূলক হবে যে আমরা প্রতিটি ক্ষেত্রে 'A একটি প্রকার' এর একটি উদ্ভব সংজ্ঞায়িত করি।


For a derivation ending with (∧I), we proceed by induction.

(∧I) দিয়ে শেষ হওয়া একটি উদ্ভব এর জন্য, আমরা আবেশ দ্বারা এগিয়ে যাই।


If we assume the result for the hypotheses, then we can derive A is a type and B is a type.

যদি আমরা অনুমানগুলির জন্য ফলাফলটি ধরে নিই, তবে আমরা প্রমাণ করতে পারি A একটি প্রকার এবং B একটি প্রকার।


আমরা এখন এগুলি একে একে দেখি।


In each of these rules we have a new type expression (BorA) appearing below the line.

এই নিয়মগুলির প্রত্যেকটিতে আমাদের একটি নতুন প্রকারের অভিব্যক্তি (BorA) লাইনের নিচে প্রদর্শিত হচ্ছে।


অতএব, আমরা নিয়মগুলি সংশোধন করি।


We can see now that the judgement (A∨B) is a type can be constructed from a derivation of...

আমরা এখন দেখতে পাচ্ছি যে (A∨B) একটি প্রকার এই সিদ্ধান্তটি ... থেকে উদ্ভব করা যেতে পারে।


In most cases we shall in fact omit the second premiss, as it will be clear from the context that it is derivable.

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আমরা দ্বিতীয় পূর্বানুমানটি বাদ দেব, কারণ এটি প্রসঙ্গ থেকে স্পষ্ট হবে যে এটি উদ্ভূত।


In order to see that (∃x:A). P is a type we need to know that the family P is a type, assuming that x:A.

(∃x:A)। P একটি প্রকার তা দেখতে হলে আমাদের জানতে হবে যে পরিবার P একটি প্রকার, ধরে নিই x:A।


Again, we shall in practice suppress this third premiss.

আবার, আমরা বাস্তবে এই তৃতীয় পূর্বানুমানটি দমন করব।


Other rules which require additional premisses are the variant rules for disjunction, (∨E ′′ ) and existential elimination (∃E).

অন্যান্য নিয়ম যার অতিরিক্ত পূর্বানুমানের প্রয়োজন, সেগুলি হল সংযোগের জন্য ভিন্ন নিয়ম, (∨E ′′ ) এবং অস্তিত্বগত বিলোপ (∃E)।


In practice we shall suppress these extra hypotheses.

ব্যবহারিকভাবে আমরা এই অতিরিক্ত অনুমানগুলি দমন করব।


(S 2 ) এর ক্ষেত্রে প্রথমে বিবেচনা করুন:


By induction we have a derivation of B(c) is a type.

আবেশ দ্বারা আমাদের B(c) একটি প্রকার এর উদ্ভব আছে।


Applying the instance of (S 1 ) which follows, the result is clear.

(S 1 ) এর উদাহরণ প্রয়োগ করে, ফলাফলটি স্পষ্ট।


Theorem 5.5 Using the modified system of rules outlined above, given a derivation of a:A we can construct a derivation of A is a type.

উপপাদ্য 5.5 উপরে বর্ণিত পরিবর্তিত নিয়মগুলির সিস্টেম ব্যবহার করে, a:A এর একটি উদ্ভব দেওয়া হলে আমরা A একটি প্রকার এর একটি উদ্ভব তৈরি করতে পারি।


The proof proceeds by induction over the derivation of a:A and follows the outline sketched above.

প্রমাণটি a:A এর উদ্ভব এর উপর আবেশ দ্বারা এগিয়ে যায় এবং উপরে বর্ণিত রূপরেখা অনুসরণ করে।


In a practical system based on type theory, we would expect to separate these concerns as much as possible.

টাইপ তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে একটি ব্যবহারিক সিস্টেমে, আমরা এই উদ্বেগগুলিকে যথাসম্ভব আলাদা করার আশা করব।


গণনা যদি a→b হয়, তবে a↔↔b।


প্রতিফলনশীলতা a↔↔a।


প্রতিসাম্যতা যদি a↔↔b হয়, তবে b↔↔a।


সংক্রমণশীলতা যদি a↔↔b এবং b↔↔c হয়, তবে a↔↔c।


প্রতিস্থাপনযোগ্যতা যদি a↔↔b এবং c↔↔d হয়, তবে a[c/x]↔↔b[d/x]।


We saw in the last section that two terms were convertible if and only if they have the same normal form, this means that the relation of convertibility is decidable.

আমরা আগের অংশে দেখেছি যে দুটি পদ তখনই পরিবর্তনযোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের একই স্বাভাবিক রূপ থাকে, এর মানে হল পরিবর্তনযোগ্যতার সম্পর্কটি সিদ্ধান্তযোগ্য।


The definition of convertibility is external to the system —a↔↔bis intended to embody the fact that the two expressionsaandbdenote the same object.

রূপান্তরযোগ্যতার সংজ্ঞাটি সিস্টেমের বাইরে —a↔↔b-এর উদ্দেশ্য হল এই সত্যটিকে মূর্ত করা যে দুটি অভিব্যক্তি a এবং b একই বস্তুকে বোঝায়।


In the light of the characterisation above, we can identify this object as the normal form of the expression, if we wish.

উপরের বৈশিষ্ট্যের আলোকে, আমরা চাইলে এই বস্তুকে অভিব্যক্তির স্বাভাবিক রূপ হিসাবে চিহ্নিত করতে পারি।


In section 4.11 we introduced the rules of substitution which allow in- terconvertible expressions to be substituted for each other in derivations of judgements.

4.11 অনুচ্ছেদে আমরা প্রতিস্থাপনের নিয়মগুলি প্রবর্তন করেছি যা বিচারগুলির উৎপাদনে একে অপরের জন্য আন্তঃরূপান্তরযোগ্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করার অনুমতি দেয়।


This emphasizes the fact that judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions, rather than the expressions themselves.

এটি এই সত্যের উপর জোর দেয় যে বিচারগুলি নিজেরাই অভিব্যক্তির পরিবর্তে অভিব্যক্তি দ্বারা চিহ্নিত বস্তুগুলি সম্পর্কে হওয়ার উদ্দেশ্যে।


We shall come back to this important distinction below.

আমরা নীচে এই গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্যে ফিরে আসব।


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

কারণ ‘a↔↔b’ সিস্টেমের একটি প্রস্তাবনা নয়, তাই আমরা এর ভিত্তিতে আরও জটিল প্রতিপাদন তৈরি করতে অক্ষম।


To do this we turn to our third relation, the identity predicate.

এটি করার জন্য আমরা আমাদের তৃতীয় সম্পর্ক, অভিন্নতা পূর্বাভাসকের দিকে যাই।


As a primitive proposition (or type) forming operator we have theIoper- ation, forming a type thus: A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

একটি আদিম প্রস্তাবনা (বা প্রকার) গঠনকারী অপারেটর হিসাবে আমাদের I-অপারেশন রয়েছে, এইভাবে একটি প্রকার তৈরি করে: A একটি প্রকার a:A b:A I(A, a, b) একটি প্রকার (IF)


The type is also writtena= A bor evena=bwhen no confusion can result.

টাইপটি a= A b বা এমনকি a=b হিসাবেও লেখা হয় যখন কোনও বিভ্রান্তি হতে পারে না।


I(A, a, b) is provable, by the objectr(a), whena↔↔b, so we can see the type as an internalisation of convertibility.

I(A, a, b) প্রমাণযোগ্য, অবজেক্ট r(a) দ্বারা, যখন a↔↔b, তাই আমরা টাইপটিকে রূপান্তরযোগ্যতার অভ্যন্তরীণকরণ হিসাবে দেখতে পারি।


On top of theItype we can build more complex assertions, such as (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) wherefandgare functions of typeA⇒B.

I টাইপের উপরে আমরা আরও জটিল প্রতিপাদন তৈরি করতে পারি, যেমন (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) যেখানে f এবং g হল A⇒B প্রকারের ফাংশন।


Proof thatIis the internali- sation of ‘↔↔’ is given by the result Theorem 5.22For closedaandb, the judgementI(A, a, b) is derivable if and only ifa↔↔b.

প্রমাণ যে I হল ‘↔↔’-এর অভ্যন্তরীণকরণ, ফলাফল উপপাদ্য 5.22 দ্বারা দেওয়া হয়েছে। আবদ্ধ a এবং b-এর জন্য, বিচার I(A, a, b) তখনই উদ্ভূত হয় যদি এবং কেবল যদি a↔↔b হয়।


প্রমাণ: স্পষ্টতই ‘যদি’ অংশটি বৈধ।


Suppose thatp:I(A, a, b) is derivable; taking normal forms`a latheorem 5.14 we have p ′ :I(A ′ , a ′ , b ′ ) but for this to be derivable, it must be the case thata ′ ≡b ′ , which means thata↔↔b2

ধরুন p:I(A, a, b) উদ্ভূত; স্বাভাবিক রূপ গ্রহণ করে, আমরা পাই p ′ :I(A ′ , a ′ , b ′ ) কিন্তু এটি উদ্ভূত হওয়ার জন্য, a ′ ≡b ′ হতে হবে, যার অর্থ a↔↔b2


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

একটি প্রকার বিবেচনা করুন যেমন (∃A:U 0 )। P(A) এই প্রকারের বস্তুগুলি দেখতে কেমন?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A) 178CHAPTER 5. EXPLORING TYPE THEORY Ais a (small) type, andpis a proof that it has the propertyP(A).

এগুলি বস্তুগুলির জোড়া (A, p), A:U 0 এবং p:P(A) 178 অধ্যায় 5। টাইপ তত্ত্ব অন্বেষণ A হল একটি (ছোট) প্রকার, এবং p হল প্রমাণ যে এটির P(A) বৈশিষ্ট্য রয়েছে।


Suppose we have definedP(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a typeAtogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

ধরুন আমরা P(A)-কে (A⇒A)∧(A⇒A) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছি, তাহলে অস্তিত্বশীল প্রকারের একটি বস্তু হবে একটি প্রকার A এবং p: (A⇒A)∧(A⇒A) যা A থেকে নিজের মধ্যে ফাংশনের একটি জোড়া।


An object of this type is equiv- alent to an implementation of an abstract type, with signature (written in Miranda notation) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A wheref1andf2are the first and second projections ofp, of course.

এই প্রকারের একটি বস্তু একটি বিমূর্ত প্রকারের বাস্তবায়নের সমতুল্য, স্বাক্ষর সহ (মিরান্ডা স্বরলিপিতে লেখা) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A যেখানে f1 এবং f2 হল p-এর প্রথম এবং দ্বিতীয় অভিক্ষেপ, অবশ্যই।


We shall have more to say about quantified types in the following chap- ter, where we look at a series of examples.

পরবর্তী অধ্যায়ে আমরা পরিমাণগত প্রকারগুলি নিয়ে আরও কিছু বলব, যেখানে আমরা বেশ কয়েকটি উদাহরণ দেখব।


The usual way that we characterise the members of a type is by a pair of rules: the introduction rule explains what objects are permitted to be ele- ments of the type, and the elimination rule (together with the computation rule) characterises these elements as theonlyelements of the type.

একটি প্রকারের সদস্যদের চিহ্নিত করার সাধারণ উপায় হল নিয়মের একটি জোড়া: প্রবর্তন নিয়ম ব্যাখ্যা করে যে কোন বস্তুগুলিকে প্রকারের উপাদান হতে দেওয়া হয় এবং বিলোপের নিয়ম (গণনা নিয়মের সাথে) এই উপাদানগুলিকে প্রকারের একমাত্র উপাদান হিসাবে চিহ্নিত করে।


We could call the latter rules theclosureaxioms for the type.

আমরা পরবর্তী নিয়মগুলিকে প্রকারের জন্য ক্লোজার স্বতঃসিদ্ধ বলতে পারি।


It is the closure axioms for a typeAwhich allow us to prove properties for all elements of A, and to define functions by recursion overA.

এটি একটি প্রকার A-এর জন্য ক্লোজার স্বতঃসিদ্ধ যা আমাদের A-এর সমস্ত উপাদানের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে এবং A-এর উপর পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে দেয়।


The rules we have given for universes correspond to introduction rules; if we wish to define functions by recursion over the universe we need a closure axiom to that effect.

আমরা মহাবিশ্বের জন্য যে নিয়ম দিয়েছি তা প্রবর্তন নিয়মের সাথে মিলে যায়; যদি আমরা মহাবিশ্বের উপর পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে চাই তবে আমাদের সেই উদ্দেশ্যে একটি ক্লোজার স্বতঃসিদ্ধ প্রয়োজন।


In Martin-L ̈of’s treatment of the system, these axioms have been omitted deliberately; for philosophical reasons he has chosen to make the universes open-ended, so that other type forming operations can be added to the system without violating the closure axioms.

সিস্টেমের মার্টিন-লফের চিকিত্সায়, এই স্বতঃসিদ্ধগুলি ইচ্ছাকৃতভাবে বাদ দেওয়া হয়েছে; দার্শনিক কারণে তিনি মহাবিশ্বকে উন্মুক্ত করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন, যাতে ক্লোজার স্বতঃসিদ্ধ লঙ্ঘন না করে সিস্টেমে অন্যান্য প্রকার গঠন কার্যক্রম যোগ করা যায়।


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric ([Str67]).

ক্লোজার স্বতঃসিদ্ধ আমাদের বহুরূপী ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে দেয় যা প্যারামেট্রিক হতে ব্যর্থ হয় ([Str67])।


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types butN, and which was the successor functionλn .(succ n) onN.

উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা N বাদে সমস্ত প্রকারের উপর অভিন্ন ফাংশন ছিল এবং যা N-এর উপর উত্তরসূরি ফাংশন λn .(succ n) ছিল।


This would have the type (∀A:U 0 ).(A⇒A) just as did the polymorphic identity function, which had a parametric def- inition — we did not perform any analysis on the type variableAin the definition of the identity function, it was simply aparameter.

এটির টাইপ হবে (∀A:U 0)।(A⇒A) যেমন বহুরূপী অভিন্ন ফাংশনটি ছিল, যার একটি প্যারামেট্রিক সংজ্ঞা ছিল — আমরা অভিন্ন ফাংশনের সংজ্ঞায় টাইপ ভেরিয়েবল A-এর উপর কোনো বিশ্লেষণ করিনি, এটি কেবল একটি প্যারামিটার ছিল।


Why do we stop with a chain of universesU 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

যখন এমন স্বাভাবিক ফাংশন রয়েছে যা সিস্টেমে সংজ্ঞায়িত করা যায় না, তখন আমরা কেন U 0 , U 1 , . . . মহাবিশ্বের একটি শৃঙ্খলের সাথে থামি?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of theU n .

স্পষ্ট একটি যা মনে আসে তা হল (λn:N)। U n যা স্পষ্টভাবে U n-এর কোনোটিতেও বিদ্যমান নয়।


To give this a type we need to add the firsttransfiniteuniverseU ω , which is itself a member ofU ω+1 , and so we can iterate through the constructive ordinals.

এটি একটি প্রকার দিতে আমাদের প্রথম ট্রান্সফাইনাইট মহাবিশ্ব U ω যোগ করতে হবে, যা নিজেই U ω+1-এর সদস্য, এবং তাই আমরা গঠনমূলক অর্ডিনালগুলির মাধ্যমে পুনরাবৃত্তি করতে পারি।


Whether this extension is interesting, either proof theoretically or from the point of view of programming, is open to question, but the interested reader may wish to consult [And65] for a similar transfinite theory.

এই এক্সটেনশনটি প্রমাণগতভাবে বা প্রোগ্রামিংয়ের দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয় কিনা, তা প্রশ্নের বিষয়, তবে আগ্রহী পাঠক অনুরূপ ট্রান্সফাইনাইট তত্ত্বের জন্য [And65] দেখতে পারেন।


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such asNandtree, and the propositions, and to try to extend the type theory with a type of propositions.

আরেকটি সম্ভাব্য দিক হল সেই প্রকারগুলির মধ্যে পার্থক্য করা যা সেট, যেমন N এবং ট্রি, এবং প্রস্তাবনাগুলি, এবং প্রস্তাবনার একটি প্রকারের সাথে প্রকার তত্ত্ব প্রসারিত করার চেষ্টা করা।


This has itself been shown to be inconsistent in [Jac89].

এটি [Jac89]-এ অসামঞ্জস্যপূর্ণ হিসাবে দেখানো হয়েছে।


If one is prepared to limit the type forming operations, then systems with a type of types can be built consistently.

যদি কেউ প্রকার গঠন কার্যক্রম সীমিত করতে প্রস্তুত থাকে, তাহলে প্রকারের প্রকার সহ সিস্টেমগুলি ধারাবাহিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে।


The system does not permit full general recursion to be used, as in an unrestricted form this can lead to non-termination.

সিস্টেমটি সম্পূর্ণ সাধারণ পুনরাবৃত্তি ব্যবহারের অনুমতি দেয় না, কারণ একটি অবাধ আকারে এটি অ-সমাপ্তির দিকে নিয়ে যেতে পারে।


We are already familiar with type theory as a constructive logic, and have seen a number of examples of proofs being built in.

আমরা ইতিমধ্যে একটি গঠনমূলক যুক্তি হিসাবে টাইপ তত্ত্বের সাথে পরিচিত, এবং প্রমাণগুলি তৈরি হওয়ার বেশ কয়েকটি উদাহরণ দেখেছি।


This chapter investigates the different ways in which the system of type theory can be used.

এই অধ্যায়টি বিভিন্ন উপায়ে অনুসন্ধান করে যে কীভাবে টাইপ তত্ত্বের সিস্টেম ব্যবহার করা যেতে পারে।


In some cases, the definition of the function itself depends upon an inductive proof that it terminates.

কিছু ক্ষেত্রে, ফাংশনটির সংজ্ঞা নিজেই একটি আবেশিক প্রমাণের উপর নির্ভর করে যে এটি শেষ হয়।


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section, with some introduction of quantified types as we go along.

আমরা এই বিভাগে স্বাভাবিক সংখ্যা এবং তালিকার উদাহরণগুলির উপর মনোযোগ দিই, সাথে সাথে পরিমাণগত প্রকারের কিছু পরিচিতি রয়েছে।


Primitive recursion defines a value at (n+ 1) from the value at the immediate predecessor n.

আদিম পুনরাবৃত্তি (n+ 1)-এ একটি মান সংজ্ঞায়িত করে তাৎক্ষণিক পূর্বসূরি n-এর মান থেকে।


What do we do when m is out of the range 0, . . . , n−1?

যখন m 0, . . . , n−1 সীমার বাইরে চলে যায়, তখন আমরা কী করি?


The system of types is more expressive than those in common use, allowing as it does dependent product and function spaces.

টাইপের সিস্টেমটি সাধারণ ব্যবহারের চেয়ে বেশি অভিব্যক্তিপূর্ণ, কারণ এটি নির্ভরশীল পণ্য এবং ফাংশন স্থানগুলির অনুমতি দেয়।


We can supply an extra parameter to the function, which is to be returned in the case that the list argument is the empty list.

আমরা ফাংশনটিতে একটি অতিরিক্ত প্যারামিটার সরবরাহ করতে পারি, যা তালিকা যুক্তিটি খালি তালিকা হলে ফেরত দেওয়া হবে।


We follow this with a more detailed survey of the uses of dependent types, especially in the presence of universes.

আমরা এর পরে নির্ভরশীল প্রকারের ব্যবহারগুলির আরও বিস্তারিত সমীক্ষা করি, বিশেষ করে মহাবিশ্বের উপস্থিতিতে।


The identification of propositions and types, proofs and objects has been fundamental to our investigation so far.

বক্তব্য এবং প্রকার, প্রমাণ এবং বস্তুর সনাক্তকরণ আমাদের তদন্তের জন্য এখন পর্যন্ত মৌলিক হয়েছে।


This is not the most natural way to proceed; in the next chapter we look at the ways in which functions are most naturally implemented in the language.

এটি এগিয়ে যাওয়ার সবচেয়ে স্বাভাবিক উপায় নয়; পরবর্তী অধ্যায়ে আমরা সেই উপায়গুলি দেখব যেগুলিতে ফাংশনগুলি ভাষায় সবচেয়ে স্বাভাবিকভাবে প্রয়োগ করা হয়।


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

আমরা একটি কার্যকরী ভাষা হিসাবে T-এর দিকে তাকিয়ে আমাদের আলোচনা শুরু করি।


The crucial reduction to ensure ‘directness of proof’ is that embodied in our computation rules.

প্রমাণের ‘সরাসরিতা’ নিশ্চিত করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ হ্রাস আমাদের গণনার নিয়মগুলিতে নিহিত।


For example, the rule of β-reduction is interpreted as saying that the natural deduction proof can be transformed.

উদাহরণস্বরূপ, β-হ্রাসের নিয়মটি ব্যাখ্যা করা হয় যে প্রাকৃতিক ডিডাকশন প্রমাণ রূপান্তরিত হতে পারে।


The other class of commutation rules are included in the system studied by Prawitz for more technical reasons.

অন্যান্য শ্রেণীর বিনিময় নিয়মগুলি আরও প্রযুক্তিগত কারণে প্রাউইটজ দ্বারা অধ্যয়ন করা সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।


We can define functions head and tail of type (∀l:[A]).(ne l ⇒ A) and (∀l:[A]).(ne l ⇒ [A]) with the appropriate properties.

আমরা (∀l:[A]).(ne l ⇒ A) এবং (∀l:[A]).(ne l ⇒ [A]) প্রকারের head এবং tail ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি উপযুক্ত বৈশিষ্ট্য সহ।


We are interested in proofs of expressions like (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C) which are not of ground type.

আমরা (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)-এর মতো অভিব্যক্তির প্রমাণে আগ্রহী যা গ্রাউন্ড টাইপের নয়।


The computation rules are not the only simplifications possible.

গণনার নিয়মগুলি একমাত্র সম্ভাব্য সরলীকরণ নয়।


We can thus view T as extending an imperative programming language and we give a general result about the transformation of primitive recursive programs into tail-recursive form.

সুতরাং আমরা T কে একটি অপরিহার্য প্রোগ্রামিং ভাষা হিসাবে প্রসারিত করতে পারি এবং আমরা আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক প্রোগ্রামগুলিকে টেইল-পুনরাবৃত্তিমূলক আকারে রূপান্তরের বিষয়ে একটি সাধারণ ফলাফল দিই।


If the object does not represent a proof, it does not have this form.

যদি বস্তুটা প্রমাণকে উপস্থাপন না করে, তবে তার এই রূপ নেই।


ConjE 2 এর ক্ষেত্রেও একই বিশ্লেষণ প্রযোজ্য।


ImpI p gives a proof of the formula (Imp g f), if p is a proof of f.

ImpI p সূত্রটির প্রমাণ দেয় (Imp g f), যদি p, f এর প্রমাণ হয়।


ImpE p1 p2 is a proof of f if p1 proves g and p2 proves (Imp g f).

ImpE p1 p2 হল f এর প্রমাণ, যদি p1, g প্রমাণ করে এবং p2, (Imp g f) প্রমাণ করে।


If not, the object does not represent a proof.

যদি তা না হয়, তবে বস্তুটা কোনো প্রমাণকে উপস্থাপন করে না।


The cases of ConjE and ImpE are difficult.

ConjE এবং ImpE এর ক্ষেত্রগুলি কঠিন।


Some applications of the constructors do not produce proofs.

কিছু কনস্ট্রাকটরের প্রয়োগ প্রমাণ তৈরি করে না।


In the LCF approach, this gives rise to an error, or an exception if the SML language is used.

LCF পদ্ধতিতে, এটি একটি ত্রুটি সৃষ্টি করে, অথবা SML ভাষা ব্যবহার করা হলে একটি ব্যতিক্রম ঘটে।


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure without raising errors or exceptions.

আমরা প্রমাণ গঠনকে সুরক্ষিত করতে নির্ভরশীল প্রকারের কৌশল ব্যবহার করতে পারি, ত্রুটি বা ব্যতিক্রম উত্থাপন না করেই।


First we define a function proves: proof ⇒ (f mla+dummy) which returns the object proved by an element of the type proof, giving the dummy value when one of the exceptional cases above arises.

প্রথমে আমরা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি: প্রমাণ করে: প্রমাণ ⇒ (f mla+dummy) যা প্রমাণ প্রকারের একটি উপাদান দ্বারা প্রমাণিত বস্তুটি ফেরত দেয়, উপরের ব্যতিক্রমী ঘটনাগুলির মধ্যে একটি ঘটলে ডামি মান প্রদান করে।


Then we define the subtypes prf f ≡ df (∃p:proof).(proves p=f)

তারপর আমরা সাবটাইপগুলি সংজ্ঞায়িত করি prf f ≡ df (∃p:প্রমাণ)।(প্রমাণ করে p=f)


Using these we can give types to the functions which eliminate conjunctions conjE 1 : (∀f:f mla).(∀g:f mla).(prf(And f g)⇒prf f) and implications.

এগুলি ব্যবহার করে আমরা সেই ফাংশনগুলির প্রকার দিতে পারি যা সংযোগগুলি দূর করে conjE 1 : (∀f:f mla)।(∀g:f mla)।(prf(এবং f g)⇒prf f) এবং অন্তর্নিহিততা।


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

ফাংশন conjE এবং impE এর অপরিহার্য প্রভাব হল সংশ্লিষ্ট কনস্ট্রাক্টর প্রয়োগ করা।


We know that their application is only permitted when it will take legitimate proofs into a legitimate proof, and thus the possibility of raising errors is excluded.

আমরা জানি যে তাদের প্রয়োগ শুধুমাত্র তখনই অনুমোদিত যখন এটি বৈধ প্রমাণগুলিকে বৈধ প্রমাণে পরিণত করবে, এবং এইভাবে ত্রুটি উত্থাপনের সম্ভাবনা বাদ দেওয়া হয়।


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors Tr, ConjI and ImpI, and then build on top of the type proof an abstract type of secure proofs, secproof, whose signature consists of these functions only.

আমরা ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি tr, conjI এবং impI যা কনস্ট্রাক্টর Tr, ConjI এবং ImpI এর কাজের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, এবং তারপর প্রমাণ প্রকারের উপরে সুরক্ষিত প্রমাণের একটি বিমূর্ত প্রকার তৈরি করতে পারি, secproof, যার স্বাক্ষর শুধুমাত্র এই ফাংশনগুলি নিয়ে গঠিত।


The type secproof will only contain legitimate proofs.

secproof প্রকারটি শুধুমাত্র বৈধ প্রমাণ ধারণ করবে।


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

উপরে প্রবর্তিত ফাংশন প্রমাণ করে, conjE 1 এবং impE এর সংজ্ঞা দিন।


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

প্রকার দিন এবং তারপর ফাংশন tr, conjI এবং impI সংজ্ঞায়িত করুন।


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs, and that all such proofs are contained therein.

প্রমাণ করুন যে secproof প্রকারটি শুধুমাত্র বৈধ প্রমাণ ধারণ করে এবং সেই ধরনের সমস্ত প্রমাণ এতে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।


Quantification over a universe can be used to define weak versions of various familiar type constructors.

একটি মহাবিশ্বের উপর পরিমাণ নির্ধারণ বিভিন্ন পরিচিত প্রকারের কনস্ট্রাকটরের দুর্বল সংস্করণ সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।


যদি সূচকটি ‘সীমার বাইরে’ হয়।


Given a list l, a natural number n, and a proof that n is smaller than the length of l we return the nth element of l.

একটি তালিকা l, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা n, এবং n, l এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট তার প্রমাণ দেওয়া হলে, আমরা l এর n-তম উপাদানটি ফেরত দিই।


দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ধারাগুলি স্পষ্ট।


What is happening in the first? p is a proof that (n <#[ ]) that is (n <0), which is ⊥— we can define an element of A from p using abort A .

প্রথমটিতে কি ঘটছে? p হল এই প্রমাণ যে (n <#[ ]) অর্থাৎ (n <0), যা ⊥— আমরা abort A ব্যবহার করে p থেকে A এর একটি উপাদান সংজ্ঞায়িত করতে পারি।


It is interesting to see that the definition of index can be made either by induction over N with a subsidiary induction over [A], or vice versa— the two arguments are independent of each other.

এটা দেখা আকর্ষণীয় যে index এর সংজ্ঞা হয় N এর উপর আবেশের মাধ্যমে [A] এর উপর একটি সহায়ক আবেশের সাথে, অথবা এর বিপরীতে— উভয় যুক্তিই একে অপরের থেকে স্বাধীন।


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

এখন আমরা মান-ক্রম পুনরাবৃত্তির উদাহরণে ফিরে যেতে পারি, কারণ আমরা প্রয়োজনীয় সমস্ত সহায়ক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেছি।


Taking a special case of the power function, we have pow0 ≡ df 1 pow n ≡ df (pow(n div2)) 2 *2 (n mod2) which can be rewritten thus, where h is a primitive recursive function, pow0 ≡ df 1 pow(n+ 1) ≡ df h(pow(n+1div2))n

পাওয়ার ফাংশনের একটি বিশেষ উদাহরণ নিলে, আমাদের আছে pow0 ≡ df 1 pow n ≡ df (pow(n div2)) 2 *2 (n mod2) যা এইভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে, যেখানে h একটি আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশন, pow0 ≡ df 1 pow(n+ 1) ≡ df h(pow(n+1div2))n


Transforming this into a list definition, we have g0 ≡ df [1] g(n+ 1) ≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]

এটি একটি তালিকা সংজ্ঞায় রূপান্তরিত করে, আমাদের আছে g0 ≡ df [1] g(n+ 1) ≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]


The subexpression g! (n+1div2) is informal; index takes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

উপ-প্রকাশ g! (n+1div2) অনানুষ্ঠানিক; index একটি তৃতীয় যুক্তি নেয় যা একটি প্রমাণ বস্তু, যা প্রয়োগকে বৈধতা দেয়।


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n)

যদি আমরা দেখাতে পারি যে (n+1div2)<#(g n) তবে প্রয়োগটি বৈধ হবে।


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

এটি (0< m)⇒(m div2< m) এর প্রমাণ থেকে অনুসরণ করবে যা আদর্শ, এবং #(g n) = (n+ 1)(6.1) যা আমাদের আবেশের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠা করতে হবে, একই সাথে সংজ্ঞাটির সাথে।


Transforming again, we define a function which returns a pair (g n , p n ) where p n proves the assertion (6.1).

আবার রূপান্তর করে, আমরা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি যা একটি জোড়া (g n , p n ) প্রদান করে যেখানে p n বিবৃতি (6.1) প্রমাণ করে।


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

ফলাফল (f n) মান (g n) থেকে বের করার জন্য আমরা head ফাংশন প্রয়োগ করি।


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

মনে রাখবেন, এটি করার জন্য আমাদের প্রমাণ দরকার যে তালিকাটি খালি নয়।


We can use (6.1) again here to show this, as it states that all the values (g n) have positive length, and so none of them can be empty.

আমরা এখানে এটি দেখানোর জন্য আবার (6.1) ব্যবহার করতে পারি, কারণ এটি বলে যে সমস্ত মান (g n) এর ইতিবাচক দৈর্ঘ্য রয়েছে এবং তাই তাদের কেউই খালি হতে পারে না।


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it terminates.

উপরের ফাংশনটির উদ্ভব থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সিস্টেমটি একটি ঐতিহ্যবাহী কার্যকরী প্রোগ্রামিং সিস্টেম থেকে বেশ আলাদা, কারণ একটি ফাংশনের সংজ্ঞা এটিকে সমাপ্ত করে এমন প্রমাণ থেকে আলাদা করা যায় না।


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values to head and index we could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

আসলে, এটি সম্পূর্ণ সঠিক নয় — যদি আমরা সেই পদ্ধতিটি গ্রহণ করতাম যা head এবং index-কে ডিফল্ট বা ত্রুটিপূর্ণ মান দেয় তবে আমরা উপরের প্রয়োজনীয় অনুমানগুলি ছাড়াই উদ্ভবটি করতে পারতাম, তবে একবার উদ্ভব হওয়ার পরে আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ফাংশন দ্বারা প্রত্যাবর্তিত মানগুলি ‘ঠিক আছে’ এবং ত্রুটি বা ডিফল্ট মান নয়।


Using induction over m:N prove that (m div2)< m for all m >0.

m:N এর উপর আবেশ ব্যবহার করে প্রমাণ করুন যে সমস্ত m >0 এর জন্য (m div2)< m।


Formalise the derivation of the functions g and pow above.

উপরের g এবং pow ফাংশনগুলির উদ্ভবকে আনুষ্ঠানিক রূপ দিন।


Give a proof that for all lists l and m, #l+ #m= #(l++m)

একটি প্রমাণ দিন যে সমস্ত তালিকা l এবং m এর জন্য, #l+ #m= #(l++m)


The function is tail recursive if its definition takes a specific form.

যদি কোনও ফাংশনের সংজ্ঞা একটি নির্দিষ্ট রূপ নেয় তবে এটি টেইল পুনরাবৃত্তিমূলক।


These functions are called tail recursive because the recursive calls are at the end of the code.

এই ফাংশনগুলিকে টেইল পুনরাবৃত্তিমূলক বলা হয় কারণ পুনরাবৃত্তিমূলক কলগুলি কোডের শেষে থাকে।


If the condition is true, we make a recursive call.

যদি শর্তটি সত্য হয়, তবে আমরা একটি পুনরাবৃত্তিমূলক কল করি।


The result is a corollary of the following theorem.

ফলাফলটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের একটি ফলস্বরূপ।


এটি কোনও বিচ্ছিন্ন ঘটনা নয়।


Every primitive recursive function can be given a tail recursive definition.

প্রতিটি আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশনকে একটি টেইল পুনরাবৃত্তিমূলক সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে।


The idea of the transformation is that the last argument starts off at c.

রূপান্তরের ধারণাটি হল যে শেষ যুক্তিটি c থেকে শুরু হয়।


The proof is by induction over the difference n-m.

প্রমাণটি n-m পার্থক্যের উপর আবেশ দ্বারা।


উপপাদ্যে m=0 ধরুন।


Note that in the action of tprim the first three arguments are not modified.

লক্ষ্য করুন যে tprim-এর ক্রিয়ায় প্রথম তিনটি যুক্তি পরিবর্তিত হয় না।


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function.

উপপাদ্যটি যেকোনো আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশনের রূপান্তরকে সমর্থন করে।


We can prove similar theorems for the other recursion operators.

আমরা অন্যান্য পুনরাবৃত্তি অপারেটরগুলির জন্য অনুরূপ উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারি।


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

যদি আমরা কোনো অপরিহার্য প্রোগ্রাম নিই, তাহলে এর একটি কার্যকরী রূপ থাকবে।


Give tail recursive forms of the recursion operators over lists and trees.

তালিকা এবং গাছের উপর পুনরাবৃত্তি অপারেটরগুলির টেইল পুনরাবৃত্তিমূলক রূপ দিন।


Comment on the space efficiency of the tail recursive form of the factorial function.

ফ্যাক্টরিয়াল ফাংশনের টেইল পুনরাবৃত্তিমূলক রূপের স্থান দক্ষতার উপর মন্তব্য করুন।


This section provides a survey of examples in the published literature.

এই বিভাগে প্রকাশিত সাহিত্যে উদাহরণগুলির একটি সমীক্ষা প্রদান করা হয়েছে।


In Martin-Löf’s work there are few examples.

মার্টিন-লফের কাজে কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে।


The system is sufficiently close to type theory for the majority of their examples to be comprehensible.

তাদের বেশিরভাগ উদাহরণ বোধগম্য হওয়ার জন্য সিস্টেমটি টাইপ তত্ত্বের যথেষ্ট কাছাকাছি।


We first examined this question in section 6.6.

আমরা প্রথম এই প্রশ্নটি 6.6 অনুচ্ছেদে পরীক্ষা করেছি।


The judgement a:A can be thought of as expressing ‘a proves the proposition A’.

a:A এই বিচারকে 'a প্রস্তাব A প্রমাণ করে' হিসাবে প্রকাশ করে বলে মনে করা যেতে পারে।


The logic is typed to ensure the well-formedness of propositions.

যুক্তিটি টাইপ করা হয়েছে যাতে প্রস্তাবগুলির সুগঠন নিশ্চিত করা যায়।


An example of a ‘proof-less’ derivation of (∀x:A).(∃y:B). P from (∃y:B).(∀x:A). P follows.

(∀x:A).(∃y:B). P থেকে (∃y:B).(∀x:A). P এর একটি ‘প্রমাণহীন’ উৎপন্নের উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

আমরা এই প্রমাণ-বিহীন উদ্ভবকে প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো ডেটা প্রকারের সাথে জড়িত ফলাফলের দিকে প্রসারিত করতে পারি।


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1), which is itself trivially derivable.

আমাদের প্রথমে (0<1) উদ্ভব করতে হবে, যা (0< n+ 1)-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যা নিজেই সহজেই উদ্ভবযোগ্য।


The problem, baldly stated, is this: given a sequence of items which are either red or white, return a permuted sequence in which all the red items precede the white.

সমস্যাটি, স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, এইরকম: লাল বা সাদা, এমন কিছু আইটেমের একটি ক্রম দেওয়া হলে, একটি পরিবর্তিত ক্রম তৈরি করুন যেখানে সমস্ত লাল আইটেম সাদা আইটেমের আগে আসে।


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

[NPS90]-এর পদ্ধতির থেকে আমাদের পদ্ধতি দুটি ভিন্ন পথে চলে।


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

আমরা একটি ‘সমীকরণীয়’ স্বরলিপিও ব্যবহার করি যা বেশিরভাগ কার্যকরী প্রোগ্রামিং ভাষায় ব্যবহৃত স্বরলিপির কাছাকাছি।


One way to express the specification of the problem is then to say (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ ))

সমস্যার স্পেসিফিকেশন প্রকাশ করার একটি উপায় হল বলা (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ ))


What we seek is, in fact, a function which returns the pair of lists (l ′ , l ′′ ) corresponding to eachl, so we modify the specification to read (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l)))

আমরা যা চাইছি তা হল, একটি ফাংশন যা প্রতিটি l-এর জন্য তালিকাগুলির জোড়া (l ′ , l ′′ ) প্রদান করে, তাই আমরা স্পেসিফিকেশনটিকে এইভাবে পরিবর্তন করি (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l)))


This pair consists precisely of thefunctionrequired together with aproof that is has the property required of it.

এই জোড়াটিতে সঠিকভাবে প্রয়োজনীয় ফাংশন এবং এটির প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে তার প্রমাণ রয়েছে।


We can prove the statement by giving a termfand proving the formula 6.7.

আমরা একটি টার্ম f প্রদান করে এবং সূত্র 6.7 প্রমাণ করে বিবৃতিটি প্রমাণ করতে পারি।


Alternatively, we can develop the proof from the top down, reducing the existential statement 6.6 to 6.5.

বিকল্পভাবে, আমরা প্রমাণটিকে উপর থেকে নিচে তৈরি করতে পারি, অস্তিত্বমূলক বিবৃতি 6.6-কে 6.5-এ হ্রাস করে।


We transform the program formaxsubbeginning with a case analysis.

আমরা একটি কেস বিশ্লেষণের মাধ্যমে maxsub-এর জন্য প্রোগ্রামটি রূপান্তর করি।


Take the argument [ ] maxsub[ ] = ((f old bimax)◦(map ′ sum)◦sublists ′ ) [ ]

যুক্তিবোধ নিন [ ] maxsub[ ] = ((f old bimax)◦(map ′ sum)◦sublists ′ ) [ ]


The essence of program transformation is to take a program into another with thesame applicative behaviour, yet improved in some aspect like time efficiency or space usage.

প্রোগ্রাম রূপান্তরের মূল বিষয় হল একটি প্রোগ্রামকে অন্য প্রোগ্রামে নিয়ে যাওয়া যার একই প্রয়োগযোগ্য আচরণ রয়েছে, তবে সময় দক্ষতা বা স্থান ব্যবহারের মতো কিছু ক্ষেত্রে উন্নত।


Two functions have the same behaviour when they return the same results for all arguments, when they areextensionally equal, in other words.

দুটি ফাংশনের একই আচরণ থাকে যখন তারা সমস্ত যুক্তির জন্য একই ফলাফল প্রদান করে, অন্য কথায়, যখন তারা বহিরাগতভাবে সমান হয়।


We begin our discussion by introducing the operatorsmapandf old, and examining some of their properties, including how they are modified to operate over non-empty lists.

আমরা অপারেটর map এবং fold-এর সাথে পরিচিত হয়ে এবং তাদের কিছু বৈশিষ্ট্য পরীক্ষা করে আমাদের আলোচনা শুরু করি, যার মধ্যে রয়েছে কীভাবে এগুলি অ-শূন্য তালিকাগুলির উপর কাজ করার জন্য পরিবর্তিত হয়।


Two of the most useful operations over lists aremapandf old.

তালিকার উপর সবচেয়ে উপযোগী দুটি অপারেশন হল map এবং fold।


map applies a function to every element of a list, and has the primitive recursive definition

map একটি ফাংশনকে একটি তালিকার প্রতিটি উপাদানে প্রয়োগ করে এবং এটির আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক সংজ্ঞা রয়েছে।


The transformation remedies both these difficulties.

রূপান্তর এই উভয় অসুবিধা দূর করে।


The research paper explores the concept of well-founded recursion in type theory.

গবেষণা পত্রটি টাইপ থিওরিতে সুপ্রতিষ্ঠিত পুনরাবৃত্তির ধারণাটি অনুসন্ধান করে।


This section delves into the formal treatment of well-founded recursion.

এই বিভাগে সুপ্রতিষ্ঠিত পুনরাবৃত্তির আনুষ্ঠানিক আলোচনা করা হয়েছে।


Well-founded recursion is a crucial concept in advanced programming.

উন্নত প্রোগ্রামিং-এ সুপ্রতিষ্ঠিত পুনরাবৃত্তি একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।


The paper discusses the implications of adding polymorphic types.

এই গবেষণাপত্রে বহু-আকৃতির প্রকার যুক্ত করার প্রভাব নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।


We will examine how to define functions using well-founded recursion.

আমরা পরীক্ষা করব কিভাবে সুপ্রতিষ্ঠিত পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যায়।


The author provides examples of well-founded orderings.

লেখক সুপ্রতিষ্ঠিত ক্রমের উদাহরণ দিয়েছেন।


The concept of infinite descending chains is also discussed.

অসীম নিম্নগামী শৃঙ্খলের ধারণাটিও আলোচনা করা হয়েছে।


The theorem provides a characterization of well-foundedness.

উপপাদ্যটি সুপ্রতিষ্ঠিততার একটি বৈশিষ্ট্য প্রদান করে।


The paper explores the use of recursion operators.

গবেষণা পত্রটি পুনরাবৃত্তি অপারেটরগুলির ব্যবহার নিয়ে আলোচনা করে।


The elimination rule for Acc is explained in detail.

Acc-এর জন্য অপসারণের নিয়মটি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।


The introduction rule for Acc is also presented.

Acc-এর জন্য প্রবর্তনের নিয়মও উপস্থাপন করা হয়েছে।


The text discusses the formation rule for Acc.

পাঠ্যটিতে Acc-এর জন্য গঠন নিয়ম নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।


The computation rule for Acc is also described.

Acc-এর জন্য গণনার নিয়মও বর্ণনা করা হয়েছে।


The author provides a formal definition of well-foundedness.

লেখক সুপ্রতিষ্ঠিততার একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা প্রদান করেছেন।


The paper examines the properties of well-founded orderings.

গবেষণা পত্রটি সুপ্রতিষ্ঠিত ক্রমগুলির বৈশিষ্ট্য পরীক্ষা করে।


The concept of inductive types is introduced in this section.

এই বিভাগে আবেশক প্রকারের ধারণাটি উপস্থাপন করা হয়েছে।


The text provides an informal introduction to inductive definitions.

পাঠ্যটিতে আবেশক সংজ্ঞাগুলির একটি অনানুষ্ঠানিক ভূমিকা দেওয়া হয়েছে।


The paper uses the example of finite lists of natural numbers.

গবেষণা পত্রটি স্বাভাবিক সংখ্যার সসীম তালিকার উদাহরণ ব্যবহার করে।


The W-type mechanism is mentioned in the context of lists.

তালিকার প্রসঙ্গে W-টাইপ পদ্ধতির কথা উল্লেখ করা হয়েছে।


The paper discusses the generation of types by induction.

গবেষণা পত্রটি আবেশন দ্বারা প্রকারের উত্পাদন নিয়ে আলোচনা করে।


In such a situation, if an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

এই পরিস্থিতিতে, যদি একটি আর্গুমেন্ট k গণনামূলকভাবে অপ্রাসঙ্গিক হয়, তবে এর মূল্যায়ন প্রোগ্রামের দক্ষতা হ্রাস করবে।


The alternative, of normal order evaluation is to begin evaluation of the whole expression, prior to argument evaluation.

বিকল্পটি, স্বাভাবিক ক্রম মূল্যায়ন হল আর্গুমেন্ট মূল্যায়ন করার আগে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তিটির মূল্যায়ন শুরু করা।


Definition 7.1 Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

সংজ্ঞা ৭.১ মূল্যায়ন যেখানে আমরা সর্বদা বাম দিকের বাইরের রেডেক্স নির্বাচন করি তাকে স্বাভাবিক ক্রম মূল্যায়ন বলা হয়।


If in addition we ensure that no redex is evaluated more than once we call the evaluation lazy.

যদি আমরা আরও নিশ্চিত করি যে কোনও রেডেক্স একাধিকবার মূল্যায়ন করা হয় না তবে আমরা মূল্যায়নকে অলস বলি।


In a language with structured data such as pairs and lists, there is a further clause to the definition.

জোড়া এবং তালিকার মতো কাঠামোগত ডেটা সহ একটি ভাষায়, সংজ্ঞায় আরও একটি ধারা রয়েছে।


This will usually imply that it is evaluated to weak head normal form.

এটি সাধারণত বোঝায় যে এটি দুর্বল প্রধান স্বাভাবিক আকারে মূল্যায়ন করা হয়।


Recent research has shown that efficient lazy implementations of functional languages like Miranda are feasible.

সাম্প্রতিক গবেষণা দেখিয়েছে যে মিরান্ডার মতো কার্যকরী ভাষার দক্ষ অলস বাস্তবায়ন সম্ভব।


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

অলস মূল্যায়নের অধীনে গণনামূলকভাবে অপ্রাসঙ্গিক বস্তু বা কাঠামোগত বস্তুর উপাদানগুলিকে কেবল উপেক্ষা করা হবে।


Indeed, it can be argued that the proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

প্রকৃতপক্ষে, যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে গণনামূলক প্রাসঙ্গিকতার সঠিক সংজ্ঞা হবে সেই অভিব্যক্তিটির অংশ যা অলস মূল্যায়ন শৃঙ্খলার অধীনে একটি ফলাফল গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।


There is another possible approach to computational relevance, and that involves an examination of the different forms that types can take.

গণনামূলক প্রাসঙ্গিকতার আরেকটি সম্ভাব্য পদ্ধতি রয়েছে এবং এতে প্রকারগুলি নিতে পারে এমন বিভিন্ন রূপের পরীক্ষা জড়িত।


Since there are no closed normal forms in ⊥ and there is only the trivial T, computation of objects of these types will never be important.

যেহেতু ⊥-এ কোনও বন্ধ স্বাভাবিক রূপ নেই এবং শুধুমাত্র তুচ্ছ T বিদ্যমান, তাই এই প্রকারের বস্তুগুলির গণনা কখনই গুরুত্বপূর্ণ হবে না।


This is exactly the role played by these types in the definition of the head function hd.

এটি ঠিক সেই ভূমিকা যা এই প্রকারগুলি প্রধান ফাংশন hd-এর সংজ্ঞায় পালন করে।


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

একটি তালিকার l-এর জন্য hd-এর প্রয়োগ তখনই সম্ভব যখন আমরা l-কে প্রমাণ p-এর সাথে যুক্ত করতে পারি যে l খালি নয়।


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives ∧, ⇒ and ∀.

যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে এই ধরণের গণনামূলক অপ্রাসঙ্গিকতা সংরক্ষিত হয় যখন সংযোগকারী ∧, ⇒ এবং ∀ ব্যবহার করে সংমিশ্রণ নেওয়া হয়।


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

আমরা কিভাবে B বৈশিষ্ট্য সহ A প্রকারের বস্তুগুলির সংগ্রহ উপস্থাপন করব?


According to the principle of complete presentation, we would form the type (∃x:A). B consisting of pairs of objects and the proofs that they have the property P.

সম্পূর্ণ উপস্থাপনার নীতি অনুসারে, আমরা (∃x:A)। B টাইপ তৈরি করব যা বস্তুগুলির জোড়া এবং তাদের P বৈশিষ্ট্য রয়েছে তার প্রমাণ নিয়ে গঠিত।


An alternative approach is to build the ‘subset’ type {x:A|B} whose members consist of those a in A which have the property B[a/x].

একটি বিকল্প পদ্ধতি হল ‘উপসেট’ টাইপ {x:A|B} তৈরি করা যার সদস্যরা A-এর সেই a নিয়ে গঠিত যাদের B[a/x] বৈশিষ্ট্য রয়েছে।


What are the formal rules for the subset type?

উপসেট টাইপের জন্য আনুষ্ঠানিক নিয়মগুলি কী?


The rules we give now are those first proposed in [NP83], and used in [C + 86a], page 167, and [BCMS89], section 3.4.2.

আমরা এখন যে নিয়মগুলি দিচ্ছি তা প্রথমে [NP83]-এ প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং [C + 86a], পৃষ্ঠা 167 এবং [BCMS89], বিভাগ 3.4.2-এ ব্যবহৃত হয়েছে।


একটি সেট কিভাবে বাদ দেওয়া উচিত?


যাচাইকরণের পদক্ষেপগুলি আলাদা করা হয়েছে।


We did this above by a simple series of transformations.

আমরা উপরে পরিবর্তনের একটি সাধারণ সিরিজের মাধ্যমে এটি করেছি।


In general, simply naming the function we aim to compute and writing the specification and derivation in terms of that function can achieve the desired effect.

সাধারণভাবে, আমরা যে ফাংশনটি গণনা করতে চাইছি তার নামকরণ করে এবং সেই ফাংশনের শর্তাবলী এবং উদ্ভব লিখে পছন্দসই প্রভাব অর্জন করা যেতে পারে।


This approach seems to achieve the separation between the logical and the computational to the appropriate degree, without introducing the subset type.

এই পদ্ধতিটি উপশ্রেণী প্রকারের প্রবর্তন না করে, লজিক্যাল এবং গণনাকারীর মধ্যে উপযুক্ত পরিমাণে বিভাজন অর্জন করে বলে মনে হয়।


We have found no example in the literature which is not amenable to this kind of treatment.

আমরা সাহিত্যে এমন কোনও উদাহরণ পাইনি যা এই ধরণের চিকিত্সার জন্য উপযুক্ত নয়।


Using the subset type to represent a subset brings problems.

একটি উপসেট উপস্থাপন করতে উপসেট টাইপ ব্যবহার করা সমস্যা নিয়ে আসে।


It is not possible in general to recover the witnessing information from a subset type.

সাধারণভাবে, একটি উপসেট প্রকার থেকে সাক্ষী তথ্য পুনরুদ্ধার করা সম্ভব নয়।


Especially in an intensional system like TT, and so in these cases, the existential type should be used, retaining the witnessing information.

বিশেষ করে টিটির মতো একটি ইচ্ছাকৃত সিস্টেমে, এবং তাই এই ক্ষেত্রে, সাক্ষী তথ্য ধরে রেখে অস্তিত্বশীল প্রকার ব্যবহার করা উচিত।


An important tool for the programmer and the mathematician is the capability to define an equality relation over a class of objects.

প্রোগ্রামার এবং গণিতজ্ঞের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জাম হল বস্তুর একটি শ্রেণীর উপর একটি সমতা সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করার ক্ষমতা।


For instance in this account we stipulated that we would consider as the same two expressions which differ only in their bound variables.

উদাহরণস্বরূপ, এই অ্যাকাউন্টে আমরা stipulate করেছি যে আমরা দুটি অভিব্যক্তিকে একই হিসাবে বিবেচনা করব যা শুধুমাত্র তাদের আবদ্ধ ভেরিয়েবলে ভিন্ন।


In a program we might choose to represent finite sets by finite lists, by taking as equal those lists which have the same elements, irrespective of their multiplicity or ordering.

একটি প্রোগ্রামে আমরা সসীম তালিকা দ্বারা সসীম সেটগুলি উপস্থাপন করতে পারি, সেই তালিকাগুলিকে সমান হিসাবে গ্রহণ করে যেগুলির একই উপাদান রয়েছে, তাদের গুণিতকরণ বা ক্রম নির্বিশেষে।


In both cases we can be seen to define a new type by taking the quotient of a type by an equivalence relation.

উভয় ক্ষেত্রেই আমরা একটি তুল্যতা সম্পর্ক দ্বারা একটি প্রকারের ভাগফল গ্রহণ করে একটি নতুন প্রকার সংজ্ঞায়িত করতে পারি।


These types are a part of the Nuprl system.

এই প্রকারগুলি নুপ্রল সিস্টেমের একটি অংশ।


We start with an exposition of the quotient type adapted to the context of TT.

আমরা টিটির প্রেক্ষাপটের সাথে মানানসই ভাগফল প্রকারের একটি প্রদর্শনী দিয়ে শুরু করি।


Because of the number of hypotheses in the following rule, we write them in a vertical list.

নিম্নলিখিত নিয়মের অনুমানের সংখ্যার কারণে, আমরা সেগুলিকে একটি উল্লম্ব তালিকায় লিখি।


In forming the type, we have to verify that the predicate is an equivalence relation.

প্রকার তৈরি করার সময়, আমাদের যাচাই করতে হবে যে পূর্বাভাসটি একটি সমতুল্য সম্পর্ক।


The introduction rule breaks unicity of typing.

ভূমিকা নিয়ম টাইপিংয়ের অদ্বিতীয়তা ভেঙে দেয়।


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

যদি আমরা একটি ভাগফল প্রকারের উপর একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি, তাহলে সমতুল্য উপাদানগুলির মান সমান হতে হবে।


The elimination rule for the quotient type, which is the rule introducing functions over the type must reflect this.

ভাগফল প্রকারের জন্য নির্মূলের নিয়ম, যা প্রকারের উপর ফাংশন প্রবর্তনকারী নিয়ম, এটি প্রতিফলিত করতে হবে।


There is no separate computation rule for the quotient type.

ভাগফল প্রকারের জন্য কোন পৃথক গণনা নিয়ম নেই।


আজ দিনটা খুব উজ্জ্বলভাবে হাসছে।


সে লাইব্রেরিতে একটি বই পড়ছে।


The company announced its quarterly earnings.

কোম্পানিটি তাদের ত্রৈমাসিক আয় ঘোষণা করেছে।


Please submit your application by the end of the week.

অনুগ্রহ করে সপ্তাহের শেষে আপনার আবেদন জমা দিন।


The algorithm efficiently sorts the data.

অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


সে একজন অত্যন্ত প্রতিভাবান সঙ্গীতশিল্পী।


The government is implementing new policies.

সরকার নতুন নীতিগুলি কার্যকর করছে।


দয়া করে, আপনি কি ওটা আবার বলতে পারবেন?


The research team published their findings in a prestigious journal.

গবেষণা দলটি তাদের অনুসন্ধান একটি স্বনামধন্য জার্নালে প্রকাশ করেছে।


The economic forecast predicts a rise in inflation.

অর্থনৈতিক পূর্বাভাসে মুদ্রাস্ফীতি বৃদ্ধির পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে।


Despite the challenges, they persevered.

চ্যালেঞ্জগুলি সত্ত্বেও, তারা অধ্যবসায় চালিয়ে গিয়েছিল।


The complex equation required multiple iterations to solve.

জটিল সমীকরণটি সমাধান করতে একাধিক পুনরাবৃত্তির প্রয়োজন ছিল।


The artist's work is known for its innovative use of color.

শিল্পীর কাজ তার রঙের উদ্ভাবনী ব্যবহারের জন্য পরিচিত।


The treaty was ratified by all member states.

চুক্তিটি সকল সদস্য রাষ্ট্র কর্তৃক অনুমোদিত হয়েছিল।


The software update included several bug fixes and performance improvements.

সফ্টওয়্যার আপডেটে বেশ কয়েকটি বাগ ফিক্স এবং কর্মক্ষমতা উন্নতি অন্তর্ভুক্ত ছিল।


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

দার্শনিক বিতর্কটি চেতনার স্বরূপের উপর কেন্দ্রীভূত ছিল।


The company's strategic plan outlines its goals for the next five years.

কোম্পানির কৌশলগত পরিকল্পনা আগামী পাঁচ বছরের জন্য তার লক্ষ্যগুলি তুলে ধরে।


The intricate design of the building was a marvel to behold.

ভবনটির জটিল নকশাটি ছিল দর্শনীয়।


The implications of the new scientific discovery are far-reaching.

নতুন বৈজ্ঞানিক আবিষ্কারের প্রভাব সুদূরপ্রসারী।


The politician's speech was filled with rhetoric and empty promises.

রাজনীতিবিদের বক্তৃতা বাগাড়ম্বরপূর্ণ এবং ফাঁকা প্রতিশ্রুতিতে পরিপূর্ণ ছিল।


আজ আবহাওয়া মনোরম।


আপনি কি দয়া করে আমাকে নুনটা দেবেন?


সে লাইব্রেরিতে একটি বই পড়ছে।


কোম্পানিটি তার ত্রৈমাসিক আয় ঘোষণা করেছে।


তিনি একজন অত্যন্ত প্রতিভাবান সঙ্গীতশিল্পী।


অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


The government implemented new policies.

সরকার নতুন নীতিগুলি কার্যকর করেছে।


I am going to the market to buy groceries.

আমি বাজারে যাচ্ছি মুদিখানা কিনতে।


The research paper explores various aspects of climate change.

গবেষণা পত্রটি জলবায়ু পরিবর্তনের বিভিন্ন দিক নিয়ে আলোচনা করে।


The artist's work is displayed in a prestigious gallery.

শিল্পীর কাজ একটি নামকরা গ্যালারিতে প্রদর্শিত হচ্ছে।


The economic forecast predicts a period of growth.

অর্থনৈতিক পূর্বাভাসে বৃদ্ধির একটি সময়কালের কথা বলা হয়েছে।


The software update includes several new features.

সফ্টওয়্যার আপডেটে বেশ কয়েকটি নতুন বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।


সে তিনটি ভাষায় সাবলীল।


The conference brought together experts from around the world.

সম্মেলনটি সারা বিশ্ব থেকে বিশেষজ্ঞদের একত্রিত করেছে।


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

জটিল সমীকরণটির জন্য উন্নত গাণিতিক জ্ঞানের প্রয়োজন।


The historical event had a profound impact on society.

ঐতিহাসিক ঘটনাটি সমাজের উপর গভীর প্রভাব ফেলেছিল।


The company is committed to sustainable practices.

কোম্পানিটি টেকসই অনুশীলনের জন্য প্রতিশ্রুতিবদ্ধ।


The new technology has revolutionized the industry.

নতুন প্রযুক্তি শিল্পে বিপ্লব ঘটিয়েছে।


The philosophical debate explored the nature of reality.

দার্শনিক বিতর্কটি বাস্তবতার প্রকৃতি নিয়ে আলোচনা করেছে।


The intricate design of the building is a marvel of engineering.

বিল্ডিংটির জটিল নকশা প্রকৌশলের এক বিস্ময়।


The theory of constructions allows for defining operators.

গঠন তত্ত্ব এই ধরনের অপারেটর সংজ্ঞায়িত করতে দেয়।


Mathematics can be developed in a simple foundational theory.

গণিত একটি খুব সহজ ভিত্তিগত তত্ত্বে বিকশিত হতে পারে।


The difficulty lies in how proof objects and types are mixed.

সমস্যাটা হল প্রমাণ বস্তু এবং প্রকারগুলি কীভাবে মিশ্রিত হয়।


Research into type theory is still in progress.

টাইপ তত্ত্বের গবেষণা এখনও চলছে।


The core of the system is a sound combination of logic and programming.

সিস্টেমের মূল ভিত্তি হল যুক্তি এবং প্রোগ্রামিংয়ের একটি সঠিক সংমিশ্রণ।


I hope the reader can share my enthusiasm for the subject.

আমি আশা করি পাঠক এই বিষয়ে আমার উৎসাহ ভাগ করে নিতে পারবেন।


One of the keenest intellectual pleasures is seeing connections.

সবচেয়ে তীব্র বুদ্ধিবৃত্তিক আনন্দগুলির মধ্যে একটি হল সংযোগগুলি দেখা।


I can still remember the thrill of discovering a theorem.

আমি এখনও একটি উপপাদ্য আবিষ্কারের আনন্দ মনে করতে পারি।


Additions to the system may increase its complexity.

সিস্টেমে সংযোজন এর জটিলতা বাড়াতে পারে।


We should be certain before adding a feature.

আমাদের একটি বৈশিষ্ট্য যোগ করার আগে নিশ্চিত হওয়া উচিত।


Imperative programming's plight seems hopeless.

ইম্পারেটিভ প্রোগ্রামিংয়ের অবস্থা হতাশাজনক বলে মনে হয়।


Functional languages offer a brighter prospect.

ফাংশনাল ভাষাগুলি আরও উজ্জ্বল সম্ভাবনা প্রদান করে।


Type theory can provide a single foundation.

টাইপ তত্ত্ব একটি একক ভিত্তি সরবরাহ করতে পারে।


There is still much to be done in type theory.

টাইপ তত্ত্বে এখনও অনেক কিছু করার আছে।


Languages based on type theory will be popular.

টাইপ তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে তৈরি ভাষাগুলি জনপ্রিয় হবে।


Contemporary functional languages are popular.

সমসাময়িক কার্যকরী ভাষাগুলি জনপ্রিয়।


This book discusses the lazy lambda calculus.

এই বইটিতে অলস ল্যামডা ক্যালকুলাস নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।


The notions of proposition, truth and set are discussed.

বক্তব্য, সত্যতা এবং সেটের ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।


Using typed lambda calculus to implement formal systems.

ফর্মাল সিস্টেম বাস্তবায়নের জন্য টাইপ করা ল্যামডা ক্যালকুলাস ব্যবহার করা।


A non-type-theoretic definition of Martin-Löf’s types is presented.

মার্টিন-লফের প্রকারের একটি অ-টাইপ-তাত্ত্বিক সংজ্ঞা উপস্থাপন করা হয়েছে।


The concept of 'type' is fundamental in this discussion.

'টাইপ'-এর ধারণাটি এই আলোচনায় মৌলিক।


We will explore the elimination rule in detail.

আমরা বিস্তারিতভাবে অপসারণের নিয়মটি অন্বেষণ করব।


The introduction rule is essential for constructing proofs.

প্রমাণ তৈরি করার জন্য প্রবর্তন নিয়ম অপরিহার্য।


This paper delves into the intricacies of type theory.

এই নিবন্ধটি টাইপ তত্ত্বের জটিলতা নিয়ে আলোচনা করে।


The concept of extensionality is crucial for understanding equality.

সমান্তা সম্পর্কে বুঝতে বিস্তৃতি ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ।


The elimination rule is a key concept in this context.

এই প্রসঙ্গে অপসারণের নিয়মটি একটি মূল ধারণা।


The formation rule defines the structure of the type.

গঠন বিধি টাইপের গঠন বর্ণনা করে।


The introduction rule allows us to introduce new elements.

প্রবর্তন বিধি আমাদের নতুন উপাদান প্রবর্তন করতে দেয়।


The concept of 'equality' is central to this discussion.

'সমান্তা'-র ধারণাটি এই আলোচনার কেন্দ্রবিন্দু।


The paper discusses the application of type theory.

নিবন্ধটি টাইপ তত্ত্বের প্রয়োগ নিয়ে আলোচনা করে।


The use of universes allows for greater expressiveness.

ইউনিভার্স ব্যবহারের ফলে বৃহত্তর অভিব্যক্তি সম্ভব হয়।


The concept of 'proof' is central to this work.

'প্রমাণ'-এর ধারণাটি এই কাজের কেন্দ্রবিন্দু।


The paper explores the relationship between types and proofs.

নিবন্ধটি প্রকারভেদ এবং প্রমাণের মধ্যে সম্পর্ক অনুসন্ধান করে।


The concept of 'induction' is fundamental to this approach.

'আবেশ'-এর ধারণাটি এই পদ্ধতির জন্য মৌলিক।


The paper provides examples of type theory in action.

নিবন্ধটিতে টাইপ তত্ত্বের কার্যকরী উদাহরণ দেওয়া হয়েছে।


The concept of 'function' is key to understanding the system.

সিস্টেমটি বুঝতে 'ফাংশন'-এর ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ।


The paper discusses the importance of formalization.

নিবন্ধটি আনুষ্ঠানিকতার গুরুত্ব নিয়ে আলোচনা করে।


The concept of 'recursion' is a powerful tool.

'পুনরাবৃত্তি'-র ধারণাটি একটি শক্তিশালী হাতিয়ার।


The paper explores the use of lambda calculus.

নিবন্ধটি ল্যামডা ক্যালকুলাসের ব্যবহার নিয়ে আলোচনা করে।


The paper provides a detailed analysis of the topic.

নিবন্ধটি বিষয়টির বিস্তারিত বিশ্লেষণ প্রদান করে।


Elements of this type are functions with a, b, c providing the proof of associativity at the triple a, b, c.

এই প্রকারের উপাদানগুলি হল অপেক্ষক যেখানে a, b, c, a, b, c-এর ট্রিপলে সহায়কতার প্রমাণ সরবরাহ করে।


We then define the class of semigroups thus: Semigroup ≡ df (∃A:U0 ).(∃?:A⇒A⇒A).(Semi A ?)

আমরা তখন অর্ধগোষ্ঠীর শ্রেণীকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করি: অর্ধগোষ্ঠী ≡ সংজ্ঞা (∃A:U0 ).(∃?:A⇒A⇒A).(সেমি A ?)


An elementary result about semigroups is that the identity is unique.

অর্ধগোষ্ঠী সম্পর্কে একটি প্রাথমিক ফলাফল হল যে অভেদক অনন্য।


আমরা এখন এটি আনুষ্ঠানিকভাবে দেখাই।


Using the notational conventions of section 5.2.1, we write set, op and assoc for the three projection functions from the triples above.

ধারা 5.2.1-এর স্বরলিপি রীতি ব্যবহার করে, আমরা উপরের ট্রিপলগুলি থেকে তিনটি প্রজেকশন ফাংশনের জন্য সেট, অপ এবং অ্যাসোস লিখি।


Theorem 7.18 Given a particular member S:Semigroup we shall write A, ?, f for the three projections setS, opS and assocS.

উপপাদ্য 7.18 একটি নির্দিষ্ট সদস্য S:Semigroup দেওয়া হলে, আমরা তিনটি প্রজেকশন সেটS, opS এবং assocS-এর জন্য A, ?, f লিখব।


If we assume that (∀a:A). a ? ι=a ∧ a=ι ? a (∀a:A). a ? ι ′ =a ∧ a=ι ′ ? a are inhabited, then we can show that ι=ι ′ is inhabited.

যদি আমরা ধরে নিই যে (∀a:A). a ? ι=a ∧ a=ι ? a (∀a:A). a ? ι ′ =a ∧ a=ι ′ ? a বিদ্যমান, তাহলে আমরা দেখাতে পারি যে ι=ι ′ বিদ্যমান।


This shows that the identity is unique if it exists.

এটি দেখায় যে অভেদকটি অনন্য যদি এটি বিদ্যমান থাকে।


Proof: Take g: (∀a:A). a ? ι=a ∧ a=ι ? a apply it to ι ′ , and take the first projection.

প্রমাণ: g নিন: (∀a:A). a ? ι=a ∧ a=ι ? a এটিকে ι ′-এ প্রয়োগ করুন এবং প্রথম প্রজেকশন নিন।


We have fst(g ι ′ ) : ι ′ ? ι=ι ′ (7.29)

আমাদের আছে fst(g ι ′ ) : ι ′ ? ι=ι ′ (7.29)


Similarly, if we take h: (∀a:A). a ? ι ′ =a ∧ a=ι ′ ? a apply it to ι, and take the second projection, we obtain snd(h ι) : ι=ι ′ ? ι (7.30)

একইভাবে, যদি আমরা h: (∀a:A). a ? ι ′ =a ∧ a=ι ′ ? a-কে ι-তে প্রয়োগ করি এবং দ্বিতীয় প্রজেকশন নিই, তাহলে আমরা পাই snd(h ι) : ι=ι ′ ? ι (7.30)


By (7.29), (7.30) and the transitivity of equality, we have that ι=ι ′ is inhabited, as required.

(7.29), (7.30) এবং সমতার সংক্রমণশীলতা দ্বারা, আমাদের কাছে আছে যে ι=ι ′ বিদ্যমান, যেমনটি প্রয়োজন।


Theorem 7.19 Using the same convention as above, if for a particular element a of A it is the case that a ? a ′ =ι ∧ ι=a ′ ? a a ? a ′′ =ι ∧ ι=a ′′ ? a are both inhabited, then a ′ =a ′′ is inhabited, proving that inverses are unique if they exist.

উপপাদ্য 7.19 উপরের একই প্রথা ব্যবহার করে, যদি A-এর একটি নির্দিষ্ট উপাদান a-এর জন্য a ? a ′ =ι ∧ ι=a ′ ? a a ? a ′′ =ι ∧ ι=a ′′ ? a উভয়ই বিদ্যমান থাকে, তাহলে a ′ =a ′′ বিদ্যমান, যা প্রমাণ করে যে বিপরীতগুলি অনন্য যদি তারা বিদ্যমান থাকে।


Proof: Exercise: the proof uses the fact that the operation ‘?’ is associative.

প্রমাণ: অনুশীলন: প্রমাণটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে ‘?’ অপারেশনটি সহযোগী।


The results depend upon us repeatedly unpacking the triples (A,(?, f)) and upon the system having the capability of giving temporary names to objects.

ফলাফলগুলি আমাদের বারবার ট্রিপল (A,(?, f)) আনপ্যাক করার উপর এবং সিস্টেমের বস্তুগুলিকে অস্থায়ী নাম দেওয়ার ক্ষমতার উপর নির্ভর করে।


Dyckhoff found that as this was difficult in the implementation available to him, it would be more appropriate to axiomatise the theory directly.

ডাইকফ লক্ষ্য করেছেন যে এটি তার জন্য উপলব্ধ বাস্তবায়নে কঠিন ছিল, তাই তত্ত্বটিকে সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ করা আরও উপযুক্ত হবে।


For semigroups, axioms would take the form.

অর্ধগোষ্ঠীর জন্য, স্বতঃসিদ্ধগুলি এই রূপ নেবে।


Formation Rule for Semigroup Semigroup is a type (SemiF)

অর্ধগোষ্ঠীর জন্য গঠন বিধি অর্ধগোষ্ঠী একটি প্রকার (SemiF)


Writing the three hypotheses in a vertical list, we have the introduction rule Introduction Rule for Semigroup A is type ?:A⇒A⇒A r: (∀a, b, c:A).( (a ? b)? c=a ?(b ? c) ) SG A ? r:Semigroup (SemiI)

তিনটি অনুমান একটি উল্লম্ব তালিকায় লিখলে, আমাদের কাছে রয়েছে প্রবর্তন বিধি অর্ধগোষ্ঠীর জন্য প্রবর্তন বিধি A হল প্রকার ?:A⇒A⇒A r: (∀a, b, c:A).( (a ? b)? c=a ?(b ? c) ) SG A ? r:Semigroup (SemiI)


Elimination Rules for Semigroup S:Semigroup setS is a type (SemiE 1 ) S:Semigroup opS:setS ⇒setS ⇒setS (SemiE 2 ) S:Semigroup assocS: (∀a, b, c:setS).( (a(opS)b)(opS)c =a(opS)(b(opS)c) ) (SemiE 3 )

অর্ধগোষ্ঠীর জন্য অপসারণ বিধি S:Semigroup setS একটি প্রকার (SemiE 1 ) S:Semigroup opS:setS ⇒setS ⇒setS (SemiE 2 ) S:Semigroup assocS: (∀a, b, c:setS).( (a(opS)b)(opS)c =a(opS)(b(opS)c) ) (SemiE 3 )