Since MAP is a finite function, we can express it using logical operations.

যেহেতু MAP একটি সসীম ফাংশন, তাই আমরা লজিক্যাল অপারেশন ব্যবহার করে এটি প্রকাশ করতে পারি।


Using the above, we can now write the condition.

উপরেরটি ব্যবহার করে, আমরা এখন শর্তটি লিখতে পারি।


Finally, if 훼0 is a binary string encoding the initial configuration.

অবশেষে, যদি 훼0 একটি বাইনারি স্ট্রিং যা প্রাথমিক কনফিগারেশনকে এনকোড করে।


Together the above yields a computable procedure.

উপরেরগুলি একসাথে একটি গণনাযোগ্য পদ্ধতি তৈরি করে।


This reduces computing HALTONZERO to computing QMS.

এটি HALTONZERO গণনা করাকে QMS গণনার দিকে নিয়ে যায়।


There are several other ways to show that QMS is uncomputable.

QMS যে গণনাযোগ্য নয় তা দেখানোর আরও কয়েকটি উপায় রয়েছে।


We can express the condition that a 1-dimensional cellular automaton eventually writes a “1”.

আমরা সেই শর্তটি প্রকাশ করতে পারি যে একটি এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটন অবশেষে একটি “১” লিখবে।


We will show a transformation of every quantified mixed statement.

আমরা প্রতিটি পরিমাণগত মিশ্র বিবৃতির একটি রূপান্তর দেখাব।


To remove string-valued variables from a statement, we encode every string by a pair integer.

একটি বিবৃতি থেকে স্ট্রিং-মূল্যের ভেরিয়েবলগুলি সরাতে, আমরা প্রতিটি স্ট্রিংকে একটি জোড়া পূর্ণসংখ্যা দ্বারা এনকোড করি।


This chapter is a tiny sample of computational problems.

এই অধ্যায়টি গণনা সংক্রান্ত সমস্যাগুলির একটি ক্ষুদ্র নমুনা।


If you want to explore algorithms and data structures more deeply, the bibliographical notes contain references.

আপনি যদি অ্যালগরিদম এবং ডেটা কাঠামো আরও গভীরভাবে অন্বেষণ করতে চান তবে গ্রন্থপঞ্জীগুলিতে কিছু রেফারেন্স রয়েছে।


Part III of the book merges the two approaches and contains a quantitative study of computation of infinite functions.

বইটির তৃতীয় অংশে উভয় পদ্ধতির সংমিশ্রণ ঘটানো হয়েছে এবং অসীম ফাংশনগুলির গণনার একটি পরিমাণগত অধ্যয়ন রয়েছে।


In this part we ask how do resources for computing a function scale with the length of the input.

এই অংশে, আমরা জিজ্ঞাসা করি কিভাবে একটি ফাংশন গণনার জন্য সম্পদ ইনপুটের দৈর্ঘ্যের সাথে স্কেল করে।


We define the notion of running time and the class P of functions that can be computed.

আমরা রানটাইমের ধারণা এবং P শ্রেণীর ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি যা গণনা করা যেতে পারে।


Many of the problems will involve graphs.

অনেক সমস্যায় গ্রাফ জড়িত থাকবে।


A graph consists of a set of vertices and edges.

একটি গ্রাফে শীর্ষবিন্দু এবং প্রান্তগুলির একটি সেট থাকে।


In an undirected graph, an edge is an unordered pair.

একটি অ-দিকনির্দেশিত গ্রাফে, একটি প্রান্ত হল একটি অ-ক্রমযুক্ত জোড়া।


Graphs can be represented either in the adjacency list or adjacency matrix representation.

গ্রাফগুলি হয় সংলগ্নতা তালিকা বা সংলগ্নতা ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনায় উপস্থাপন করা যেতে পারে।


Graphs are so ubiquitous in computer science because they can be used to model a great many of the data that we encounter.

কম্পিউটার বিজ্ঞানে গ্রাফগুলি এত সর্বব্যাপী কারণ এগুলি আমরা সম্মুখীন হওয়া ডেটার অনেক কিছু মডেল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।


Finding the shortest path in a graph is a common problem.

একটি গ্রাফে ক্ষুদ্রতম পথ খুঁজে বের করা একটি সাধারণ সমস্যা।


The shortest path problem is the task of finding the length of the shortest path between two vertices.

সংক্ষিপ্ততম পথের সমস্যা হল দুটি শীর্ষবিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম পথের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার কাজ।


If each vertex has at least two neighbors then there can be an exponential number of paths.

যদি প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর কমপক্ষে দুটি প্রতিবেশী থাকে তবে পথের সংখ্যা সূচকীয় হতে পারে।


We can find the shortest path using a breadth first search (BFS).

আমরা একটি প্রস্থ-প্রথম অনুসন্ধান (BFS) ব্যবহার করে সংক্ষিপ্ততম পথ খুঁজে বের করতে পারি।


Dijkstra’s algorithm is a well-known generalization of BFS to weighted graphs.

ডিকস্ট্রার অ্যালগরিদম হল ওজনযুক্ত গ্রাফের জন্য BFS-এর একটি সুপরিচিত সাধারণীকরণ।


Data structures are extremely important in computer science.

ডেটা কাঠামো কম্পিউটার বিজ্ঞানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।


For example, if we store n items in a list, we will need a linear scan to retrieve an element.

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি তালিকায় n আইটেম সংরক্ষণ করি, তাহলে একটি উপাদান পুনরুদ্ধার করতে আমাদের একটি রৈখিক স্ক্যান করতে হবে।


Finding the longest path in a graph is another problem.

একটি গ্রাফে দীর্ঘতম পথ খুঁজে বের করা আরেকটি সমস্যা।


The maximum cut problem is the task of finding the subset that maximizes the number of edges cut.

সর্বোচ্চ ছেদ সমস্যা হল সেই উপসেটটি খুঁজে বের করার কাজ যা কাটা প্রান্তের সংখ্যাকে সর্বাধিক করে।


Convexity arises time and again in the context of efficient computation.

দক্ষ গণনার প্রেক্ষাপটে বারবার উত্তলতা দেখা যায়।


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

কম্পিউটার বিজ্ঞানে টুরিং মেশিন একটি মৌলিক ধারণা।


The extended Church-Turing thesis is a key topic in this chapter.

এই অধ্যায়ে বর্ধিত চার্চ-টুরিং তত্ত্ব একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।


Polynomial time is a crucial concept for understanding algorithm efficiency.

অ্যালগরিদম দক্ষতার ধারণা বোঝার জন্য বহুপদী সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।


Exponential time complexity often makes problems intractable.

সূচকীয় সময়ের জটিলতা প্রায়শই সমস্যাগুলিকে দুরূহ করে তোলে।


RAM machines provide a more practical model of computation.

র‍্যাম মেশিনগুলি গণনার আরও ব্যবহারিক মডেল সরবরাহ করে।


The difference between P and EXP is a central question in complexity theory.

P এবং EXP-এর মধ্যে পার্থক্য জটিলতা তত্ত্বে একটি প্রধান প্রশ্ন।


Understanding the limitations of Turing machines is essential.

টুরিং মেশিনের সীমাবদ্ধতা বোঝা অপরিহার্য।


The proof involves careful analysis of time complexity.

প্রমাণে সময় জটিলতার সতর্ক বিশ্লেষণ জড়িত।


We will discuss the concept of 'nice' time bounds.

আমরা 'সুন্দর' সময় সীমার ধারণা নিয়ে আলোচনা করব।


The simulation of NAND-RAM programs is a key technique.

NAND-RAM প্রোগ্রামগুলির সিমুলেশন একটি মূল কৌশল।


The universal Turing machine can simulate any other Turing machine.

সার্বজনীন টুরিং মেশিন অন্য যেকোনো টুরিং মেশিনকে অনুকরণ করতে পারে।


The chapter explores the relationship between different computational models.

অধ্যায়টি বিভিন্ন গণনামূলক মডেলগুলির মধ্যে সম্পর্ক অনুসন্ধান করে।


The concept of polynomial overhead is important in this context.

এই প্রসঙ্গে বহুপদী ওভারহেডের ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ।


The extended Church-Turing thesis is still a subject of debate.

বর্ধিত চার্চ-টুরিং তত্ত্ব এখনও বিতর্কের বিষয়।


Quantum computers may challenge the extended Church-Turing thesis.

কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলি বর্ধিত চার্চ-টুরিং তত্ত্বকে চ্যালেঞ্জ করতে পারে।


The efficiency of a universal machine is a key consideration.

একটি সার্বজনীন মেশিনের দক্ষতা একটি মূল বিবেচ্য বিষয়।


The proof relies on simulating RAM machines with Turing machines.

প্রমাণটি টুরিং মেশিনগুলির সাথে র‍্যাম মেশিনগুলির অনুকরণ এর উপর নির্ভর করে।


The chapter provides a detailed analysis of time complexity classes.

অধ্যায়টি সময় জটিলতা শ্রেণীর একটি বিস্তারিত বিশ্লেষণ প্রদান করে।


The concept of tractability is central to the discussion.

আলোচনার কেন্দ্রবিন্দুতে রয়েছে কার্যকারিতার ধারণা।


The extended Church-Turing thesis is a cornerstone of theoretical computer science.

বর্ধিত চার্চ-টুরিং তত্ত্ব তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের ভিত্তি।


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

এই অ্যালগরিদমটি দক্ষভাবে নির্দেশিত গ্রাফগুলিতে সংযোগ সমস্যা সমাধান করে।


Changing from two to three variables can significantly impact computational complexity.

দুটি থেকে তিনটি চলকের পরিবর্তন গণনামূলক জটিলতাকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করতে পারে।


Despite considerable effort, a significantly better algorithm for 3SAT remains unknown.

প্রচুর চেষ্টা সত্ত্বেও, 3SAT-এর জন্য উল্লেখযোগ্যভাবে ভালো কোনো অ্যালগরিদম এখনও অজানা।


The difference between two and three often highlights the difference between tractable and intractable problems.

দুই এবং তিনের মধ্যেকার পার্থক্য প্রায়শই সমাধানযোগ্য এবং অসাধ্য সমস্যার মধ্যেকার পার্থক্যকে তুলে ধরে।


Solving linear equations is a frequently encountered problem.

রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা একটি ঘন ঘন সম্মুখীন হওয়া সমস্যা।


Gaussian elimination can solve linear equations in polynomial time.

গাউসীয় এলিমিনেশন বহুপদী সময়ে রৈখিক সমীকরণ সমাধান করতে পারে।


Algorithms exist to handle linear inequalities, allowing for some loss in precision.

রৈখিক অসমতাগুলি পরিচালনা করার জন্য অ্যালগরিদম বিদ্যমান, যা নির্ভুলতার কিছু ক্ষতি করতে দেয়।


Solving for integer solutions in linear equations or inequalities is known as integer programming.

রৈখিক সমীকরণ বা অসমতার মধ্যে পূর্ণসংখ্যার সমাধান খোঁজা ইন্টিজার প্রোগ্রামিং হিসাবে পরিচিত।


The input length corresponds to the number of bits needed to describe a number.

ইনপুট দৈর্ঘ্য একটি সংখ্যা বর্ণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যার সাথে মিলে যায়।


There is a huge difference between having a billion dollars and having nine dollars.

এক বিলিয়ন ডলার থাকা এবং নয় ডলার থাকার মধ্যে বিশাল পার্থক্য রয়েছে।


Finding the prime factors of a given integer is a computationally intensive task.

একটি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলি খুঁজে বের করা একটি গণনামূলকভাবে নিবিড় কাজ।


Solving quadratic equations in several variables is a classical problem.

একাধিক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা একটি ক্লাসিক্যাল সমস্যা।


The determinant of a matrix is an important quantity in linear algebra.

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক রৈখিক বীজগণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ রাশি।


The determinant can be used to determine if a matrix is non-singular.

একটি ম্যাট্রিক্স অ-একক কিনা তা নির্ধারণ করতে নির্ণায়ক ব্যবহার করা যেতে পারে।


The permanent of a matrix is defined similarly to the determinant.

একটি ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব নির্ণায়কের মতোই সংজ্ঞায়িত করা হয়।


The permanent of a matrix arises in combinatorics and graph theory.

একটি ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব কম্বিনেটরিক্স এবং গ্রাফ তত্ত্বে দেখা যায়।


Zero-sum games arise in life, and we can compute the optimal strategy.

শূন্য-যোগফল খেলাগুলি জীবনে দেখা যায় এবং আমরা সর্বোত্তম কৌশল গণনা করতে পারি।


The Min-Max Theorem is a corollary of linear programming duality.

মিন-ম্যাক্স উপপাদ্য রৈখিক প্রোগ্রামিং দ্বৈততার একটি ফলস্বরূপ।


We do not know an efficient algorithm for finding a Nash equilibrium in general games.

সাধারণ খেলায় ন্যাস ভারসাম্য খুঁজে বের করার জন্য আমাদের কাছে কোনো দক্ষ অ্যালগরিদম নেই।


Determining whether a number is prime or composite is a classical problem.

একটি সংখ্যা মৌলিক নাকি যৌগিক তা নির্ধারণ করা একটি ক্লাসিক্যাল সমস্যা।


The algorithm efficiently sorts the data.

অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


She enjoys reading novels in her free time.

অবসর সময়ে সে উপন্যাস পড়তে ভালোবাসে।


The company announced a new product launch.

কোম্পানিটি একটি নতুন পণ্য চালু করার ঘোষণা করেছে।


Could you please explain the concept further?

দয়া করে ধারণাটি আরও বিস্তারিতভাবে বুঝিয়ে বলতে পারবেন?


The research paper presents groundbreaking findings.

গবেষণা পত্রটি যুগান্তকারী আবিষ্কার উপস্থাপন করে।


He is a well-known figure in the community.

তিনি সমাজে একজন সুপরিচিত ব্যক্তি।


সফটওয়্যার আপডেটে বেশ কয়েকটি বাগ সংশোধন করা হয়েছে।


The weather forecast predicts heavy rainfall.

আবহাওয়ার পূর্বাভাসে ভারী বৃষ্টির সম্ভাবনা রয়েছে।


তিনি একাধিক ভাষায় সাবলীল।


The project requires careful planning and execution.

প্রকল্পটির জন্য সতর্ক পরিকল্পনা এবং কার্যকর করার প্রয়োজন।


The economic situation is improving gradually.

অর্থনৈতিক পরিস্থিতি ধীরে ধীরে উন্নতি হচ্ছে।


তিনি একজন অত্যন্ত দক্ষ পেশাদার।


The data analysis revealed interesting patterns.

ডেটা বিশ্লেষণ আকর্ষণীয় নিদর্শন প্রকাশ করেছে।


The government implemented new policies.

সরকার নতুন নীতিগুলি কার্যকর করেছে।


She is passionate about environmental conservation.

পরিবেশ সংরক্ষণে তিনি আগ্রহী।


The technology has revolutionized the industry.

প্রযুক্তিটি শিল্পে বিপ্লব ঘটিয়েছে।


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

কোরামের অভাবে সভা স্থগিত করা হয়েছিল।


শিল্পীর কাজটি অত্যন্ত প্রশংসিত।


The company is facing financial challenges.

কোম্পানিটি আর্থিক চ্যালেঞ্জের সম্মুখীন হচ্ছে।


The scientific study provided conclusive evidence.

বৈজ্ঞানিক গবেষণাটি চূড়ান্ত প্রমাণ সরবরাহ করেছে।


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

অ্যালগরিদমের দক্ষতা তার কর্মক্ষমতার একটি মূল বিষয়।


সে তার অবসর সময়ে উপন্যাস পড়তে ভালোবাসে।


The company announced a new product launch next month.

কোম্পানি আগামী মাসে একটি নতুন পণ্য চালু করার ঘোষণা করেছে।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

চ্যালেঞ্জগুলি সত্ত্বেও, তারা অধ্যবসায় চালিয়ে গেছে এবং সফল হয়েছে।


Could you please provide more details about the project?

দয়া করে প্রকল্পের বিষয়ে আরও বিস্তারিত তথ্য দিতে পারবেন?


The research paper explores the impact of climate change.

গবেষণা পত্রটি জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব নিয়ে আলোচনা করে।


He is a highly skilled software engineer.

তিনি একজন অত্যন্ত দক্ষ সফটওয়্যার প্রকৌশলী।


The government implemented new policies to boost the economy.

সরকার অর্থনীতিকে উৎসাহিত করতে নতুন নীতিগুলি কার্যকর করেছে।


কোরামের অভাবে সভা স্থগিত করা হয়েছিল।


The complex equation required advanced mathematical techniques.

জটিল সমীকরণটির জন্য উন্নত গাণিতিক কৌশল প্রয়োজন ছিল।


তিনি একাধিক ভাষায় সাবলীল।


The company's stock price surged after the announcement.

ঘোষণার পর কোম্পানির শেয়ারের দাম বেড়েছে।


The historical data provides valuable insights.

ঐতিহাসিক তথ্য মূল্যবান অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।


The artist's work is known for its unique style.

শিল্পীর কাজ তার অনন্য শৈলীর জন্য পরিচিত।


The project's success depends on effective collaboration.

প্রকল্পের সাফল্য কার্যকর সহযোগিতার উপর নির্ভর করে।


The economic forecast predicts a period of growth.

অর্থনৈতিক পূর্বাভাসে বৃদ্ধির একটি সময়কালের পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে।


The intricate design required careful attention to detail.

জটিল নকশাটির জন্য বিস্তারিতভাবে মনোযোগ প্রয়োজন ছিল।


তিনি এই ক্ষেত্রে একজন বিখ্যাত বিশেষজ্ঞ।


The new regulations will impact the industry significantly.

নতুন বিধিমালা শিল্পকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করবে।


The study revealed a correlation between the two variables.

গবেষণায় দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক প্রকাশ করা হয়েছে।


আজ আবহাওয়া বেশ মনোরম।


আপনি কি অনুগ্রহ করে আমাকে নুনটা দিতে পারবেন?


The company announced a new product launch.

কোম্পানিটি একটি নতুন পণ্য চালু করার ঘোষণা করেছে।


He is studying computer science at the university.

সে বিশ্ববিদ্যালয়ে কম্পিউটার বিজ্ঞান নিয়ে পড়াশোনা করছে।


The algorithm efficiently sorts the data.

অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


চ্যালেঞ্জগুলো সত্ত্বেও, তারা সফল হয়েছিল।


The government implemented new policies.

সরকার নতুন নীতিগুলি কার্যকর করেছে।


She enjoys reading novels in her free time.

অবসর সময়ে সে উপন্যাস পড়তে ভালোবাসে।


The research paper explores the impact of climate change.


The economic situation is improving gradually.

অর্থনৈতিক পরিস্থিতি ধীরে ধীরে উন্নতি হচ্ছে।


The complex system requires careful analysis.

জটিল সিস্টেমটির জন্য সতর্ক বিশ্লেষণ প্রয়োজন।


প্রকল্পটি বেশ কয়েকটি বাধার সম্মুখীন হয়েছিল।


The company's profits increased significantly.

কোম্পানির লাভ উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে।


The data analysis revealed interesting patterns.

ডেটা বিশ্লেষণ আকর্ষণীয় নিদর্শন প্রকাশ করেছে।


She is passionate about environmental conservation.

পরিবেশ সংরক্ষণে তিনি আগ্রহী।


The new technology has revolutionized the industry.

নতুন প্রযুক্তি শিল্পে বিপ্লব ঘটিয়েছে।


The negotiations were long and difficult.

আলোচনাগুলো দীর্ঘ এবং কঠিন ছিল।


The study provides valuable insights into human behavior.

গবেষণাটি মানুষের আচরণ সম্পর্কে মূল্যবান ধারণা দেয়।


The artist's work is known for its unique style.

শিল্পীর কাজ তার নিজস্ব শৈলীর জন্য পরিচিত।


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

অ্যালগরিদমের কার্যকারিতা তার কর্মক্ষমতার একটি মূল বিষয়।


We will reduce 3SAT to the latter problems.

আমরা 3SAT-কে পরবর্তী সমস্যাগুলিতে হ্রাস করব।


This restricted form is convenient for us.

এই সীমাবদ্ধ রূপটি আমাদের জন্য সুবিধাজনক।


বস্তুত, এটাই সত্যি।


For every F, G, H : {0,1} * -> {0,1}, if F ≤ p G and G ≤ p H then F ≤ p H.

প্রতিটি F, G, H : {0,1} * -> {0,1}-এর জন্য, যদি F ≤ p G এবং G ≤ p H হয়, তাহলে F ≤ p H হবে।


If you are familiar with matrix notation you may note that such equations can be written as Ax = b.

যদি আপনি ম্যাট্রিক্স স্বরলিপির সাথে পরিচিত হন তবে আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে এই ধরনের সমীকরণগুলি Ax = b হিসাবে লেখা যেতে পারে।


Combining these two equalities, we see that for every x ∈ {0,1} * , F(x) = H(R2(R1(x)))

এই দুটি সমীকরণ একত্রিত করে, আমরা দেখি যে প্রতিটি x ∈ {0,1} * -এর জন্য, F(x) = H(R2(R1(x)))


We now show our first example of a reduction.

আমরা এখন হ্রাসের প্রথম উদাহরণটি দেখাই।


For example, if the input E is a string encoding the set of equations x0 + x1 + x2 = 2 x0 + x2 = 1 x1 + x2 = 2 then 01EQ(E) = 1.

উদাহরণস্বরূপ, যদি ইনপুট E সমীকরণগুলির সেট এনকোড করে x0 + x1 + x2 = 2 x0 + x2 = 1 x1 + x2 = 2, তাহলে 01EQ(E) = 1।


However, there is no known efficient algorithm to solve 01EQ.

তবে, 01EQ সমাধান করার জন্য কোনো পরিচিত দক্ষ অ্যালগরিদম নেই।


Indeed, such an algorithm would imply an algorithm for 3SAT.

প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের একটি অ্যালগরিদম 3SAT-এর জন্য একটি অ্যালগরিদমকে বোঝাবে।


A constraint x2 ∨ x5 ∨ x7 can be written as x2 + (1 − x5) + x7 ≥ 1.

একটি সীমাবদ্ধতা x2 ∨ x5 ∨ x7 কে x2 + (1 − x5) + x7 ≥ 1 হিসাবে লেখা যেতে পারে।


We will use fresh variables y, z for every constraint.

আমরা প্রতিটি সীমাবদ্ধতার জন্য নতুন ভেরিয়েবল y, z ব্যবহার করব।


The main takeaway technique from this reduction is the idea of adding auxiliary variables.

এই হ্রাস থেকে প্রধান কৌশলটি হল সহায়ক ভেরিয়েবল যোগ করার ধারণা।


আমরা এখন ঠিক তাই করতে এগিয়ে যাই।


The heart of the proof is to show that for every 3CNF φ, 01EQ(R(φ)) = 3SAT(φ).

প্রমাণের মূল বিষয় হল দেখানো যে প্রতিটি 3CNF φ-এর জন্য, 01EQ(R(φ)) = 3SAT(φ)।


Suppose that 3SAT(φ) = 1, which means that there is an assignment x ∈ {0,1}n that satisfies φ.

ধরুন 3SAT(φ) = 1, যার অর্থ হল এমন একটি অ্যাসাইনমেন্ট x ∈ {0,1}n আছে যা φ পূরণ করে।


We map E to the set of quadratic equations E' that is obtained by taking the linear equations in E and adding to them the n quadratic equations x2i − xi = 0 for all i ∈ [n].

আমরা E-কে দ্বিঘাত সমীকরণগুলির সেট E'-এ ম্যাপ করি যা E-এর রৈখিক সমীকরণগুলি নিয়ে এবং তাদের সাথে সমস্ত i ∈ [n]-এর জন্য n দ্বিঘাত সমীকরণ x2i − xi = 0 যোগ করে পাওয়া যায়।


The takeaway technique of this reduction is that we can use non-linearity to force continuous variables to be discrete.

এই হ্রাসের মূল কৌশলটি হল যে আমরা অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলগুলিকে বিচ্ছিন্ন করতে অ-রৈখিকতা ব্যবহার করতে পারি।


In the subset sum problem, we are given a list of integers x0, ..., xn−1 ∈ Z and an integer T ∈ Z.

উপসেট যোগফল সমস্যাটিতে, আমাদের x0, ..., xn−1 ∈ Z এবং একটি পূর্ণসংখ্যা T ∈ Z-এর একটি তালিকা দেওয়া হয়েছে।


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

অ্যালগরিদমের কার্যকারিতা তার কর্মক্ষমতার একটি মূল বিষয়।


The company announced a new product launch next month.

কোম্পানি আগামী মাসে একটি নতুন পণ্য চালু করার ঘোষণা করেছে।


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

চ্যালেঞ্জগুলি সত্ত্বেও, তারা অধ্যবসায় চালিয়ে গিয়েছিল এবং সফল হয়েছিল।


দয়া করে আপনি কি এটা আমার জন্য আবার বলতে পারবেন?


The research paper explores the impact of climate change.

গবেষণা পত্রটি জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব নিয়ে আলোচনা করে।


She is a talented musician and composer.

তিনি একজন প্রতিভাবান সঙ্গীতশিল্পী এবং সুরকার।


The government implemented new economic policies.

সরকার নতুন অর্থনৈতিক নীতিগুলি কার্যকর করেছে।


The complex equation required multiple steps to solve.

জটিল সমীকরণটি সমাধান করতে একাধিক ধাপের প্রয়োজন ছিল।


He is known for his innovative ideas and leadership.

তিনি তার উদ্ভাবনী ধারণা এবং নেতৃত্বের জন্য পরিচিত।


The project faced significant delays due to unforeseen circumstances.

অদেখা পরিস্থিতির কারণে প্রকল্পটি উল্লেখযোগ্য বিলম্বের সম্মুখীন হয়েছিল।


The artist's work is displayed in a prestigious gallery.

শিল্পীর কাজ একটি নামকরা গ্যালারিতে প্রদর্শিত হচ্ছে।


The data analysis revealed interesting patterns.

উপাত্ত বিশ্লেষণ আকর্ষণীয় নিদর্শন প্রকাশ করেছে।


She decided to pursue a career in medicine.

তিনি চিকিৎসা ক্ষেত্রে কর্মজীবন গড়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন।


The conference brought together experts from around the world.

সম্মেলনটি সারা বিশ্ব থেকে বিশেষজ্ঞদের একত্রিত করেছে।


The software update improved system performance.

সফ্টওয়্যার আপডেটের ফলে সিস্টেমের কর্মক্ষমতা উন্নত হয়েছে।


The economic forecast predicts a period of growth.

অর্থনৈতিক পূর্বাভাসে বৃদ্ধির একটি সময়কালের পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে।


The team worked collaboratively to achieve their goals.

দলটি তাদের লক্ষ্য অর্জনের জন্য সহযোগিতা করে কাজ করেছে।


The historical document provides valuable insights.

ঐতিহাসিক নথিটি মূল্যবান অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।


The new regulations will affect many businesses.

নতুন বিধিমালা অনেক ব্যবসার উপর প্রভাব ফেলবে।


The intricate design showcased the artist's skill.

জটিল নকশাটি শিল্পীর দক্ষতা প্রদর্শন করেছে।


The algorithm's time complexity is O(n).

অ্যালগরিদমের সময় জটিলতা হল O(n)।


3SAT একটি গণনামূলকভাবে কঠিন সমস্যা।


We can find a satisfying assignment for every satisfiable 3CNF formula.

আমরা প্রতিটি সন্তোষজনক 3CNF সূত্রের জন্য একটি সন্তোষজনক অ্যাসাইনমেন্ট খুঁজে বের করতে পারি।


If P=NP, then we can solve the search problems as well.

যদি P=NP হয়, তাহলে আমরা অনুসন্ধান সমস্যাগুলিও সমাধান করতে পারি।


The theorem implies that if P=NP then there is a polynomial-time algorithm.

এই উপপাদ্যটি বোঝায় যে যদি P=NP হয় তবে একটি বহুপদী-সময়ের অ্যালগরিদম বিদ্যমান।


We can find the longest path in a graph.

আমরা একটি গ্রাফে দীর্ঘতম পথ খুঁজে বের করতে পারি।


প্রমাণের ধারণাটি সহজ।


Let us demonstrate it for the special case of 3SAT.

আসুন আমরা 3SAT-এর বিশেষ ক্ষেত্রে এটি প্রদর্শন করি।


Suppose that P=NP and we are given a satisfiable 3CNF formula.

ধরুন P=NP এবং আমাদের একটি সন্তোষজনক 3CNF সূত্র দেওয়া হয়েছে।


We can continue in this way to recover all the bits.

আমরা এই পদ্ধতিতে সমস্ত বিট পুনরুদ্ধার করতে পারি।


The algorithm makes 2^(anb) invocations.

অ্যালগরিদমটি 2^(anb) সংখ্যক আহ্বান তৈরি করে।


We maintain the invariant that there exists y.

আমরা এই অবিচলতা বজায় রাখি যে সেখানে y বিদ্যমান।


Can you find the longest simple path in G in polynomial time?

আপনি কি বহুপদী সময়ে G-তে দীর্ঘতম সরল পথ খুঁজে বের করতে পারেন?


ধারণাটি সহজ।


আমরা poly(|x|, m) সময়ে পরীক্ষা করতে পারি।


We can use binary search to hone down on the right value.

আমরা সঠিক মানের উপর মনোযোগ দিতে বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করতে পারি।


One application is in solving optimization problems.

একটি অ্যাপ্লিকেশন হল অপটিমাইজেশন সমস্যা সমাধানে।


The task of linear programming is to find y.

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং-এর কাজ হল y খুঁজে বের করা।


We can solve all problems of this form in polynomial time.

আমরা এই ধরনের সমস্ত সমস্যা বহুপদী সময়ে সমাধান করতে পারি।


Researchers study special cases of functions f.

গবেষকরা f ফাংশনের বিশেষ ক্ষেত্রগুলি নিয়ে গবেষণা করেন।


আজ আবহাওয়া বেশ মনোরম।


আপনি কি অনুগ্রহ করে আমাকে নুনটা দিতে পারবেন?


আমি বাজারে যাচ্ছি।


কোম্পানিটি একটি নতুন পণ্যের ঘোষণা করেছে।


তিনি একজন অত্যন্ত প্রতিভাবান সঙ্গীতশিল্পী।


আগামীকাল মিটিং অনুষ্ঠিত হবে।


সে তার পরীক্ষার জন্য পড়াশোনা করছে।


The government is working on new policies.

সরকার নতুন নীতিগুলির উপর কাজ করছে।


The algorithm efficiently sorts the data.

অ্যালগরিদমটি দক্ষতার সাথে ডেটা সাজায়।


The research paper was published last week.

গবেষণা পত্রটি গত সপ্তাহে প্রকাশিত হয়েছিল।


The economic situation is improving slowly.

অর্থনৈতিক পরিস্থিতি ধীরে ধীরে উন্নতি হচ্ছে।


পাখিগুলো গাছের উপর দিয়ে উড়ে গেল।


The complex equation was difficult to solve.

জটিল সমীকরণটি সমাধান করা কঠিন ছিল।


চ্যালেঞ্জগুলো সত্ত্বেও, তারা সফল হয়েছিল।


The impact of climate change is significant.

জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব উল্লেখযোগ্য।


তিনি তার ক্ষেত্রে একজন বিখ্যাত পণ্ডিত।


The project requires careful planning and execution.

প্রকল্পটির জন্য সতর্ক পরিকল্পনা এবং কার্যকর করার প্রয়োজন।


The philosophical debate was quite engaging.

দার্শনিক বিতর্কটি বেশ আকর্ষণীয় ছিল।


The company's financial performance improved.

কোম্পানির আর্থিক কর্মক্ষমতা উন্নত হয়েছে।


The intricate details of the design were impressive.

নকশার জটিল বিবরণগুলি চিত্তাকর্ষক ছিল।


Yet not a single polynomial-time algorithm for any of them has been found, supports that conjecture that indeed P ≠ NP.

তবুও, তাদের কোনওটির জন্যই একটিও বহুপদী-সময়ের অ্যালগরিদম পাওয়া যায়নি, যা এই অনুমানকে সমর্থন করে যে P ≠ NP।


In fact, for many of these problems (including all the ones we mentioned above), we don’t even know of a 2^(n) -time algorithm!

আসলে, এই সমস্যাগুলির মধ্যে অনেকের (উপরে উল্লিখিত সবগুলি সহ), আমরা এমনকি একটি 2^(n) -সময়ের অ্যালগরিদমও জানি না!


However, to the frustration of computer scientists, we have not yet been able to prove that P ≠ NP or even rule out the existence of an O(n)-time algorithm for 3SAT.

তবে, কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের হতাশ করে, আমরা এখনও প্রমাণ করতে পারিনি যে P ≠ NP বা এমনকি 3SAT-এর জন্য একটি O(n)-সময়ের অ্যালগরিদমের অস্তিত্বকে বাতিল করতে পারিনি।


Resolving whether or not P = NP is known as the P vs NP problem.

P = NP কিনা তা সমাধান করা P বনাম NP সমস্যা হিসাবে পরিচিত।


A million-dollar prize has been offered for the solution of this problem, a popular book has been written, and every year a new paper comes out claiming a proof of P=NP or P≠NP, only to wither under scrutiny.

এই সমস্যার সমাধানের জন্য এক মিলিয়ন ডলার পুরস্কারের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে, একটি জনপ্রিয় বই লেখা হয়েছে এবং প্রতি বছর P=NP বা P≠NP-এর প্রমাণ দাবি করে একটি নতুন গবেষণাপত্র প্রকাশিত হয়, যা কেবল যাচাইয়ের অধীনে দুর্বল হয়ে যায়।


One of the mysteries of computation is that people have observed a certain empirical “zero-one law” or “dichotomy” in the computational complexity of natural problems, in the sense that many natural problems are either in P (often in TIME(O(n)) or TIME(O(n^2))), or they are NP-hard.

গণনার অন্যতম রহস্য হল যে লোকেরা প্রাকৃতিক সমস্যাগুলির গণনামূলক জটিলতায় একটি নির্দিষ্ট অভিজ্ঞতামূলক “শূন্য-এক নিয়ম” বা “দ্বিখণ্ডতা” পর্যবেক্ষণ করেছে, এই অর্থে যে অনেক প্রাকৃতিক সমস্যা হয় P-তে (প্রায়শই TIME(O(n)) বা TIME(O(n^2))-এ) থাকে, অথবা সেগুলি NP-হার্ড হয়।


This is related to the fact that for most natural problems, the best known algorithm is either exponential or polynomial, with not too many examples where the best running time is some strange intermediate complexity such as 2^(2√log n).

এটি এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে বেশিরভাগ প্রাকৃতিক সমস্যার জন্য, সেরা পরিচিত অ্যালগরিদম হয় সূচকীয় বা বহুপদী, খুব বেশি উদাহরণ নেই যেখানে সেরা রানটাইম হল 2^(2√log n)-এর মতো কিছু অদ্ভুত মধ্যবর্তী জটিলতা।


However, it is believed that there exist problems in NP that are neither in P nor are NP-complete, and in fact a result known as “Ladner’s Theorem” shows that if P ≠ NP then this is indeed the case.

তবে, এটা বিশ্বাস করা হয় যে NP-তে এমন সমস্যা রয়েছে যা P-তেও নেই এবং NP-পূর্ণও নয়, এবং প্রকৃতপক্ষে “ল্যাডনারের উপপাদ্য” নামে পরিচিত একটি ফলাফল দেখায় যে যদি P ≠ NP হয় তবে এটি সত্যিই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।


We will now prove the Cook-Levin Theorem, which is the underpinning to a great web of reductions from 3SAT to thousands of problems across many great fields.

আমরা এখন কুক-লেভিন উপপাদ্য প্রমাণ করব, যা 3SAT থেকে অনেক মহান ক্ষেত্রের হাজার হাজার সমস্যাগুলির হ্রাস করার একটি বিশাল ভিত্তি।


Some problems that have been shown to be NP-complete include: minimum-energy protein folding, minimum surface-area foam configuration, map coloring, optimal Nash equilibrium, quantum state entanglement, minimum supersequence of a genome, minimum codeword problem, shortest vector in a lattice, minimum genus knots, positive Diophantine equations, integer programming, and many many more.

কিছু সমস্যা যা NP-পূর্ণ হিসাবে দেখানো হয়েছে তার মধ্যে রয়েছে: সর্বনিম্ন-শক্তি প্রোটিন ভাঁজ, সর্বনিম্ন পৃষ্ঠ-ক্ষেত্র ফেনা কনফিগারেশন, মানচিত্রের রঙ করা, সর্বোত্তম ন্যাশ ভারসাম্য, কোয়ান্টাম অবস্থার জট, একটি জিনোমের সর্বনিম্ন সুপারসিকোয়েন্স, সর্বনিম্ন কোডওয়ার্ড সমস্যা, একটি ল্যাটিসের ক্ষুদ্রতম ভেক্টর, সর্বনিম্ন জেনাস নট, ধনাত্মক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ, পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং, এবং আরও অনেক কিছু।


The worst-case complexity of all these problems is (up to polynomial factors) equivalent to that of 3SAT, and through the Cook-Levin Theorem, to all problems in NP.

এই সমস্ত সমস্যার সবচেয়ে খারাপ-ক্ষেত্রের জটিলতা (বহুপদী গুণক পর্যন্ত) 3SAT-এর সমতুল্য, এবং কুক-লেভিন উপপাদ্যের মাধ্যমে, NP-এর সমস্ত সমস্যার সাথে সম্পর্কিত।


To prove Theorem 15.6 we need to show that F ≤ p 3SAT for every F ∈ NP.

উপপাদ্য 15.6 প্রমাণ করার জন্য আমাদের দেখাতে হবে যে প্রতিটি F ∈ NP-এর জন্য F ≤ p 3SAT।


আমরা এটি তিনটি পর্যায়ে করব।


We define two intermediate problems: NANDSAT and 3NAND.

আমরা দুটি মধ্যবর্তী সমস্যা সংজ্ঞায়িত করি: NANDSAT এবং 3NAND।


We will shortly show the definitions of these two problems, but Theorem 15.6 will follow from combining the following three results:

আমরা শীঘ্রই এই দুটি সমস্যার সংজ্ঞা দেখাব, তবে উপপাদ্য 15.6 নিম্নলিখিত তিনটি ফলাফলের সংমিশ্রণ থেকে আসবে:


By the transitivity of reductions, it will follow that for every F ∈ NP, F ≤ p NANDSAT ≤ p 3NAND ≤ p 3SAT hence establishing Theorem 15.6.

হ্রাসের সংক্রমণযোগ্যতা দ্বারা, এটি অনুসরণ করবে যে প্রতিটি F ∈ NP-এর জন্য, F ≤ p NANDSAT ≤ p 3NAND ≤ p 3SAT, এইভাবে উপপাদ্য 15.6 প্রতিষ্ঠিত হবে।


We will prove these three results Lemma 15.8, Lemma 15.9 and Lemma 15.10 one by one, providing the requisite definitions as we go along.

আমরা এই তিনটি ফলাফল লেমা 15.8, লেমা 15.9 এবং লেমা 15.10 এক এক করে প্রমাণ করব, আমরা যাওয়ার সাথে সাথে প্রয়োজনীয় সংজ্ঞা প্রদান করব।


The chapter provides a basic overview of probability theory.

অধ্যায়টি সম্ভাবনা তত্ত্বের একটি মৌলিক ধারণা প্রদান করে।


We will review some basic notions in probability theory.

আমরা সম্ভাবনা তত্ত্বে কিছু মৌলিক ধারণা পর্যালোচনা করব।


Fortunately, we will not need many of the advanced notions of probability theory.

সৌভাগ্যবশত, আমাদের সম্ভাবনা তত্ত্বের উন্নত ধারণাগুলির অনেক প্রয়োজন হবে না।


The chapter covers sample spaces and events.

অধ্যায়টি নমুনা স্থান এবং ঘটনাগুলি নিয়ে আলোচনা করে।


A random variable assigns a number to an outcome.

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি ফলাফলের সাথে একটি সংখ্যা নির্ধারণ করে।


Independence and correlation are important concepts.

স্বাধীনতা এবং পারস্পরিক সম্পর্ক গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well.

মানব মস্তিষ্ক সম্ভবত ভালভাবে সম্ভাব্য যুক্তি তৈরি করতে বিকশিত হয়নি।


The nature of randomness and probability is a topic of great philosophical depth.

অনিয়মিততা এবং সম্ভাবনার প্রকৃতি গভীর দার্শনিক আলোচনার বিষয়।


We will be mostly interested in the setting of tossing n random coins.

আমরা মূলত n সংখ্যক এলোমেলো কয়েন নিক্ষেপের সেটিংয়ে আগ্রহী হব।


Each particular outcome is obtained with probability 2^-n.

প্রতিটি নির্দিষ্ট ফলাফল 2^-n সম্ভাবনা সহ পাওয়া যায়।


An event is simply a subset of the sample space.

একটি ঘটনা হলো নমুনা স্থানের একটি উপসেট।


The probability of the event happening is the fraction of outcomes that are in this subset.

ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হল এই উপসেটের ফলাফলের ভগ্নাংশ।


We can also use the intersection and union operators.

আমরা ছেদ এবং সংযোগ অপারেটরও ব্যবহার করতে পারি।


The human mind seems not to have evolved for probabilistic reasoning.

মানব মন সম্ভবত সম্ভাব্য যুক্তির জন্য বিকশিত হয়নি।


Do I understand what is the sample space that this probability is taken over?

আমি কি বুঝতে পারছি যে এই সম্ভাবনাটি কোন নমুনা স্থান থেকে নেওয়া হয়েছে?


A random variable is a way to associate a number with the result of a probabilistic experiment.

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি সম্ভাব্য পরীক্ষার ফলাফলের সাথে একটি সংখ্যা যুক্ত করার একটি উপায়।


The expectation of a random variable is the average value.

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা হল গড় মান।


One basic and very useful property of the expectation is that it is linear.

প্রত্যাশিত মানের একটি মৌলিক এবং খুব দরকারী বৈশিষ্ট্য হল এটি রৈখিক।


Two events are independent if the fact that A happens makes B neither more nor less likely to happen.

যদি A ঘটার ঘটনা B কে আরও বেশি বা কম ঘটার সম্ভাবনা না দেয়, তবে দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয়।


Subtle correlations are often behind surprises and errors in probability and statistical analysis.

সূক্ষ্ম পারস্পরিক সম্পর্ক প্রায়শই সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণে বিস্ময় এবং ত্রুটির কারণ হয়।


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC প্রোগ্রামগুলি বুলিয়ান সার্কিটের সমতুল্য।


The search problem corresponds to the circuit minimization problem.

অনুসন্ধান সমস্যাটি সার্কিট হ্রাস করার সমস্যার সাথে মিলে যায়।


আপনি সরাসরি 16.4.1 বিভাগে যেতে পারেন।


Another example would be to check, given a chess position.

আরেকটি উদাহরণ হবে একটি দাবা খেলার অবস্থান দেওয়া হলে তা পরীক্ষা করা।


For example is a = 3 we would want to check if given the board position.

উদাহরণস্বরূপ, a = 3 হলে, আমরা পরীক্ষা করতে চাইব বোর্ডের অবস্থানটি দেওয়া হলে।


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

দেখা যায় যে যদি P=NP হয় তবে আমরা এই ধরণের সমস্যাগুলিও সমাধান করতে পারি।


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V.

যদি P=NP হয় তবে প্রতিটি a ∈ ℕ, পলিনোমিয়াল p ∶ ℕ → ℕ এবং পলিনোমিয়াল-টাইম অ্যালগরিদম V এর জন্য।


For the ease of notation, we assume that all the strings we quantify over have the same length.

নোটেশনের সুবিধার জন্য, আমরা ধরে নিই যে আমরা যে সমস্ত স্ট্রিংগুলির উপর পরিমাণ নির্ধারণ করি তার একই দৈর্ঘ্য রয়েছে।


To understand the idea behind the proof, consider the special case.

প্রমাণের পেছনের ধারণাটি বুঝতে, বিশেষ ক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন।


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

F ফাংশনটি বিবেচনা করুন যেমন F(xy) = 1 যদি এমন z ∈ {0,1}n বিদ্যমান থাকে যাতে V(xyz) = 1।


Since V runs in polynomial-time F ∈ NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′.

যেহেতু V পলিনোমিয়াল-টাইমে চলে, F ∈ NP এবং সেইজন্য যদি P=NP হয়, তবে একটি অ্যালগরিদম V′ আছে।


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1.

এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আমরা যে মূল বিবৃতিটি বিবেচনা করি তা সত্য যদি এবং কেবল যদি প্রতিটি y ∈ {0,1}n এর জন্য, V′(xy) = 1 হয়।


আমরা আবেশের মাধ্যমে উপপাদ্যটি প্রমাণ করি।


We assume that there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a−1 that can solve the problem.

আমরা ধরে নিই যে একটি পলিনোমিয়াল-টাইম অ্যালগরিদম SOLVE V,a−1 আছে যা সমস্যাটি সমাধান করতে পারে।


For a = 1, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation.

a = 1 এর জন্য, SOLVE V,a−1(x) = 1 যদি এবং কেবল যদি V(x) = 1 হয় যা একটি পলিনোমিয়াল-টাইম গণনা।


For every x,y0, define the statement φ x,y0 to be the following.

প্রতিটি x,y0 এর জন্য, বিবৃতি φ x,y0 কে নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন।


By the definition of SOLVE V,a, for every x ∈ {0,1}n, our goal is that SOLVE V,a(x) = 1 if and only if there exists y0 ∈ {0,1}m such that φ x,y0 is true.

SOLVE V,a এর সংজ্ঞা অনুসারে, প্রতিটি x ∈ {0,1}n এর জন্য, আমাদের লক্ষ্য হল SOLVE V,a(x) = 1 যদি এবং কেবল যদি এমন y0 ∈ {0,1}m বিদ্যমান থাকে যা φ x,y0 সত্য।


The negation of φ x,y0 is the statement.

φ x,y0 এর নঞর্থক হল এই বিবৃতিটি।


The crucial observation is that φ x,y0 is exactly a statement of the form we consider with a − 1 quantifiers instead of a.

গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ হল যে φ x,y0 হুবহু সেই আকারের একটি বিবৃতি যা আমরা a এর পরিবর্তে a − 1 পরিমাণ নির্ধারক সহ বিবেচনা করি।


If we let S be the algorithm that on input x,y0 outputs 1 − S(xy0) then we see that S outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

যদি আমরা S কে সেই অ্যালগরিদম হতে দিই যা ইনপুট x,y0 এর উপর 1 − S(xy0) আউটপুট করে তবে আমরা দেখি যে S 1 আউটপুট করে যদি এবং কেবল যদি φ x,y0 সত্য হয়।


Randomized algorithms are often used when deterministic algorithms are too complex or inefficient.

নিশ্চিততাবাদী অ্যালগরিদমগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় যখন ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদমগুলি খুব জটিল বা অদক্ষ হয়।


The chapter will explore examples of randomized algorithms.

অধ্যায়টি এলোমেলো অ্যালগরিদমের উদাহরণগুলি অন্বেষণ করবে।


We will discuss how to incorporate the ability to 'toss coins' into computational models.

আমরা আলোচনা করব কীভাবে গণনামূলক মডেলগুলিতে 'কয়েন ছুঁড়ে মারার' ক্ষমতা অন্তর্ভুক্ত করা যায়।


Randomness can be a valuable resource in computation.

এলোমেলোতা গণনার ক্ষেত্রে একটি মূল্যবান সম্পদ হতে পারে।


সর্বোচ্চ কাট সমস্যাটি এনপি-হার্ড।


We can approximate the max cut problem using a probabilistic algorithm.

আমরা একটি সম্ভাব্য অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সর্বাধিক কাট সমস্যার অনুমান করতে পারি।


অ্যালগরিদম একটি এলোমেলো কাট নির্বাচন করে।


Each edge is cut with a probability of 1/2.

প্রতিটি প্রান্ত 1/2 সম্ভাবনার সাথে কাটা হয়।


The expected number of cut edges is m/2.

কাটা প্রান্তের প্রত্যাশিত সংখ্যা হল m/2।


Randomized algorithms work in the worst case.

এলোমেলো অ্যালগরিদম সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে কাজ করে।


The algorithm is guaranteed to cut half of the edges in expectation.

অ্যালগরিদমটি প্রত্যাশিতভাবে প্রান্তগুলির অর্ধেক কাটতে নিশ্চিত।


We can amplify the success of randomized algorithms.

আমরা এলোমেলো অ্যালগরিদমের সাফল্যকে বাড়িয়ে তুলতে পারি।


Repeating the process several times can improve the results.

প্রক্রিয়াটি কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করা ফলাফলের উন্নতি করতে পারে।


The probability of success can be amplified by repeating the process.

প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করে সাফল্যের সম্ভাবনা বাড়ানো যেতে পারে।


We can use the best cut found in multiple repetitions.

আমরা একাধিক পুনরাবৃত্তিতে পাওয়া সেরা কাট ব্যবহার করতে পারি।


The algorithm succeeds at least some of the time.

অ্যালগরিদমটি অন্তত কিছু সময়ের জন্য সফল হয়।


We want to succeed almost all of the time.

আমরা প্রায় সব সময় সফল হতে চাই।


The approach is to repeat the algorithm many times.

এটির পদ্ধতি হল অ্যালগরিদমটিকে বহুবার পুনরাবৃত্তি করা।


The WalkSAT algorithm is used for solving 3SAT.

ওয়াকস্যাট অ্যালগরিদম 3SAT সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত হয়।


The bipartite matching problem is a canonical optimization problem.

দ্বিদলীয় ম্যাচিং সমস্যাটি একটি আদর্শ অপটিমাইজেশন সমস্যা।


The algorithm uses random numbers to determine the solution.

অ্যালগরিদমটি সমাধান নির্ধারণ করতে এলোমেলো সংখ্যা ব্যবহার করে।


The Schwartz–Zippel lemma is a fundamental concept in this field.

শয়ার্টজ-জিপেল লেমা এই ক্ষেত্রে একটি মৌলিক ধারণা।


We will use a randomized approach to solve the problem.

আমরা সমস্যাটি সমাধান করতে একটি এলোমেলো পদ্ধতি ব্যবহার করব।


The algorithm's efficiency depends on the quality of the random number generator.

অ্যালগরিদমটির কার্যকারিতা র্যান্ডম নম্বর জেনারেটরের মানের উপর নির্ভর করে।


প্রমাণটি খুব জটিল নয়।


উপপাদ্যটি যেকোনো ক্ষেত্রের উপর প্রযোজ্য।


অ্যালগরিদমটি নিখুঁত মিল প্রদান করে।


আমরা x-কে এলোমেলোভাবে স্বাধীনভাবে নির্বাচন করি।


এই অ্যালগরিদমটি আরও উন্নত করা যেতে পারে।


It is more amenable for parallelization.

এটি সমান্তরালকরণের জন্য আরও উপযুক্ত।


The algorithm does not produce a matching.

অ্যালগরিদমটি একটি ম্যাচিং তৈরি করে না।


The lemma is widely used in computer science.

লেমাটি কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।


আমরা সাফল্যের সম্ভাবনা বাড়াতে পারি।


There are several randomized algorithms.

একাধিক র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম রয়েছে।


উপপাদ্য 19.3 প্রমাণ করুন।


আমাদের মডেলে কয়েন ছুঁড়ে ফেলা জড়িত।


We can simulate this with an exponentially small probability of error.

আমরা ত্রুটির সূচকীয়ভাবে ছোট সম্ভাবনা সহ এটি অনুকরণ করতে পারি।


The probability of failure is at most 2^-k.

ব্যর্থতার সম্ভাবনা সর্বাধিক 2^-k।


আউটপুট সেটের উপর অভিন্ন।


Randomized computation is quite easy to model.

এলোমেলো গণনা মডেল করা বেশ সহজ।


The research used a probabilistic method.

গবেষণাটি একটি সম্ভাব্য পদ্ধতি ব্যবহার করেছে।


This is a completely different use of probability.

এটি সম্ভাবনার সম্পূর্ণ ভিন্ন ব্যবহার।


ঘটনাগুলি পারস্পরিকভাবে স্বাধীন।


We just use the methods of probability to prove an existential statement.

আমরা কেবল একটি অস্তিত্বমূলক বিবৃতি প্রমাণ করার জন্য সম্ভাবনার পদ্ধতি ব্যবহার করি।


Consider the following probabilistic experiment.

নিম্নলিখিত সম্ভাব্য পরীক্ষাটি বিবেচনা করুন।


To prove this, it is enough to show that Pr[BAD z] < 2^-m.

এটি প্রমাণ করার জন্য, এটি দেখানো যথেষ্ট যে Pr[খারাপ z] < 2^-m।


Since every shift si is chosen independently.

যেহেতু প্রতিটি শিফট si স্বাধীনভাবে নির্বাচিত হয়।


এটি দাবি II এর প্রমাণ শেষ করে।


We now show that, if we don’t insist on constructivity of pseudorandom generators.

আমরা এখন দেখাই যে, যদি আমরা সিউডোর্যান্ডম জেনারেটরের গঠনমূলকতার উপর জোর না দিই।


The proof uses an extremely useful technique known as the “probabilistic method”.

প্রমাণটি একটি অত্যন্ত কার্যকর কৌশল ব্যবহার করে যা “সম্ভাব্য পদ্ধতি” হিসাবে পরিচিত।


The idea is to give a “non-constructive” proof of existence.

ধারণাটি হল অস্তিত্বের একটি “অ-গঠনমূলক” প্রমাণ দেওয়া।


The probabilistic method is just a proof technique.

সম্ভাব্য পদ্ধতিটি কেবল একটি প্রমাণ কৌশল।


Ultimately, our goal is to show the existence of a deterministic function.

পরিশেষে, আমাদের লক্ষ্য হল একটি ডিটারমিনিস্টিক ফাংশনের অস্তিত্ব দেখানো।


Let ε, T, ℓ, m be as in the lemma’s statement.

লেমার বিবৃতিতে যেমন আছে, তেমন ε, T, ℓ, m ধরুন।


We need to show that there exists a function G : {0,1}ℓ → {0,1}m.

আমাদের দেখাতে হবে যে একটি ফাংশন G : {0,1}ℓ → {0,1}m বিদ্যমান।


We will show that this follows from the following claim.

আমরা দেখাব যে এটি নিম্নলিখিত দাবি থেকে অনুসরণ করে।


For every fixed NAND-CIRC program P, if we pick G : {0,1}ℓ → {0,1}m at random.

প্রতিটি নির্দিষ্ট NAND-CIRC প্রোগ্রাম P-এর জন্য, যদি আমরা G : {0,1}ℓ → {0,1}m এলোমেলোভাবে বাছাই করি।


We can identify a function G : {0,1}ℓ → {0,1}m with its “truth table”.

আমরা একটি ফাংশন G : {0,1}ℓ → {0,1}m কে তার “সত্য সারণী”-এর সাথে চিহ্নিত করতে পারি।


We define Fml to be the set of all functions from {0,1}ℓ to {0,1}m.

আমরা Fml কে {0,1}ℓ থেকে {0,1}m পর্যন্ত সমস্ত ফাংশনের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি।


This may well take re-reading the above text once or twice.

উপরের লেখাটি একবার বা দুবার পুনরায় পড়া লাগতে পারে।


The algorithm is computationally hard, a necessary condition for cryptographic applications.

গাণিতিক প্রক্রিয়াটি গণনামূলকভাবে কঠিন, যা ক্রিপ্টোগ্রাফিক প্রয়োগের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত।


Eve will not be able to guess the message with probability better than 0.51.

ইভ বার্তাটি 0.51 এর বেশি সম্ভাবনার সাথে অনুমান করতে পারবে না।


We can obtain a computationally secret cryptosystem where the key is almost exponentially smaller than the plaintext.

আমরা এমন একটি গণনামূলক গোপন ক্রিপ্টো-সিস্টেম পেতে পারি যেখানে চাবিটি পাঠ্যের চেয়ে প্রায় সূচকীয়ভাবে ছোট।


The construction below is known as a stream cipher, though perhaps a better name is the “derandomized one-time pad”.

নীচের গঠনটি একটি স্ট্রিম সাইফার হিসাবে পরিচিত, যদিও সম্ভবত একটি ভাল নাম হল “ডি-র‍্যান্ডোমাইজড ওয়ান-টাইম প্যাড”।


It is widely used in practice with keys on the order of a few tens or hundreds of bits.

এটি কয়েক ডজন বা কয়েকশ বিটের ক্রমে চাবিগুলির সাথে অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।


For every polynomial p and n large enough.

প্রতিটি বহুপদী p এবং যথেষ্ট বড় n এর জন্য।


The crypto PRG conjecture: For every a ∈ ℕ, there is a cryptographic pseudorandom generator with L(n) = n^a.

ক্রিপ্টো PRG অনুমান: প্রতিটি a ∈ ℕ এর জন্য, L(n) = n^a সহ একটি ক্রিপ্টোগ্রাফিক সিউডোর্যান্ডম জেনারেটর রয়েছে।


Suppose that the crypto PRG conjecture is true.

ধরুন ক্রিপ্টো PRG অনুমানটি সত্য।


প্রমাণটি চিত্র 21.12-এ চিত্রিত করা হয়েছে।


We simply take the one-time pad on L bit plaintexts, but replace the key with G(k) where k is a string in {0,1}^n.

আমরা কেবল L বিট প্লেনটেক্সটে ওয়ান-টাইম প্যাড নিই, তবে কীটিকে G(k) দিয়ে প্রতিস্থাপন করি যেখানে k হল {0,1}^n-এর একটি স্ট্রিং।


Computational secrecy follows from the condition of a pseudorandom generator.

একটি সিউডোর্যান্ডম জেনারেটরের শর্ত থেকে গণনামূলক গোপনীয়তা অনুসরণ করে।


Suppose, towards a contradiction, that there is a polynomial p.

বিপরীতের দিকে, ধরুন একটি বহুপদী p আছে।


By the definition of our encryption scheme, this means that...

আমাদের এনক্রিপশন স্কিমের সংজ্ঞা অনুসারে, এর অর্থ হল...


The two most widely used forms of (private key) encryption schemes in practice are stream ciphers and block ciphers.

অনুশীলনে (প্রাইভেট কী) এনক্রিপশন স্কিমের দুটি সর্বাধিক ব্যবহৃত রূপ হল স্ট্রিম সাইফার এবং ব্লক সাইফার।


A block cipher can be thought as a sort of a “random invertible map”.

একটি ব্লক সাইফারকে এক ধরণের “র‍্যান্ডম ইনভার্টিবল ম্যাপ” হিসাবে ভাবা যেতে পারে।


We’ve also mentioned before that an efficient algorithm for NP could be used to break all cryptography.

আমরা আগেও উল্লেখ করেছি যে NP-এর জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম সমস্ত ক্রিপ্টোগ্রাফি ভাঙতে ব্যবহার করা যেতে পারে।


If P=NP then there is no computationally secret encryption scheme with L(n) > n.

যদি P=NP হয় তবে L(n) > n সহ কোনো গণনামূলক গোপন এনক্রিপশন স্কিম নেই।


The condition P=NP can be relaxed to NP ⊆ BPP and even the weaker condition NP ⊆ P / poly with essentially the same proof.

P=NP শর্তটিকে NP ⊆ BPP এবং এমনকি দুর্বলতর শর্ত NP ⊆ P / poly তে শিথিল করা যেতে পারে, মূলত একই প্রমাণ সহ।


We focus on showing only the “furthermore” part since it is the more interesting and the other part follows by essentially the same proof.

আমরা শুধুমাত্র “আরও কী” অংশটি দেখানোর উপর মনোযোগ দিই কারণ এটি বেশি আকর্ষণীয় এবং অন্য অংশটি মূলত একই প্রমাণ দ্বারা অনুসরণ করা হয়।


In retrospect Theorem 21.10 is perhaps not surprising.

পশ্চাদপটে, উপপাদ্য 21.10 সম্ভবত আশ্চর্যজনক নয়।


The map 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) inverts the map 푥 ↦ 퐸 푘 (푥).

মানচিত্র 푦 ↦ 퐷 푘 (푦), মানচিত্র 푥 ↦ 퐸 푘 (푥)-কে বিপরীত করে।


Defining security is not a trivial matter.

নিরাপত্তা সংজ্ঞায়িত করা সহজ কাজ নয়।


The system must not require secrecy and can be stolen by the enemy without causing trouble.

সিস্টেমটিকে গোপনীয়তা দাবি করা উচিত নয় এবং শত্রুদের দ্বারা কোনো সমস্যা ছাড়াই চুরি করা যেতে পারে।


Assume that the first copy of any device we make is shipped to the Kremlin.

ধরুন আমরা যে কোনও ডিভাইসের প্রথম কপি তৈরি করি তা ক্রেমলিনে পাঠানো হয়।


These considerations led Auguste Kerckhoffs in 1883 to state the following principle: A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

এই বিবেচনাগুলি 1883 সালে অগাস্ট কারখফকে নিম্নলিখিত নীতিটি বলতে পরিচালিত করে: একটি ক্রিপ্টোসিষ্টেম সুরক্ষিত হওয়া উচিত, এমনকি কী ছাড়া সিস্টেমের সবকিছুই জনসাধারণের জ্ঞান হলেও।


অনিশ্চয়তা ছাড়া গোপনীয়তা নেই।


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key, and the secret key is always chosen at random.

প্রতিটি ক্রিপ্টোগ্রাফিক স্কিমের কেন্দ্রে একটি গোপন কী রয়েছে এবং গোপন কীটি সর্বদা এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়।


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

ক্রিপ্টোগ্রাফির জন্য গোপনীয়তা নির্বাচন করতে এলোমেলোতা তৈরি করতে হয়।


Great care must be taken in doing this, and randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

এটি করার সময় অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে এবং এলোমেলোতা জেনারেটরগুলি প্রায়শই সুরক্ষিত সিস্টেমগুলির দুর্বল দিক হিসাবে প্রমাণিত হয়।


Since randomness is so crucial to security, breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system that uses this randomness.

যেহেতু নিরাপত্তা রক্ষার জন্য এলোমেলোতা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, তাই এলোমেলোতা তৈরি করার পদ্ধতি ভাঙলে এই এলোমেলোতা ব্যবহার করে এমন সিস্টেম সম্পূর্ণভাবে ভেঙে যেতে পারে।


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the key 푘 from 퐸 푘 (푥).

যদি কী 푘, 퐸 푘 (푥) থেকে পুনরুদ্ধার করা সম্ভব না হয়, তবে একটি এনক্রিপশন স্কিম নিরাপদ।


The condition of perfect secrecy simply corresponds to requiring that every two plaintexts 푥 and 푥 ′ have exactly the same set of neighbors.

নিখুঁত গোপনীয়তার শর্তটি কেবল এই প্রয়োজনীয়তার সাথে মিলে যায় যে প্রতিটি দুটি প্লেনটেক্সট 푥 এবং 푥 ′ এর প্রতিবেশীগুলির একই সেট থাকতে হবে।


An encryption reveals absolutely nothing about the message.

একটি এনক্রিপশন বার্তা সম্পর্কে একেবারে কিছুই প্রকাশ করে না।


To understand Definition 21.3, suppose that Alice sends only one of two possible messages: “attack” or “retreat”.

সংজ্ঞা 21.3 বুঝতে, ধরুন অ্যালিস শুধুমাত্র দুটি সম্ভাব্য বার্তার মধ্যে একটি পাঠায়: “আক্রমণ” বা “প্রস্থান”।


This example can be vastly generalized to show that perfect secrecy is indeed “perfect” in the sense that observing a ciphertext gives Eve no additional information about the plaintext beyond her a priori knowledge.

এই উদাহরণটি ব্যাপকভাবে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে এটি দেখানোর জন্য যে নিখুঁত গোপনীয়তা প্রকৃতপক্ষে “নিখুঁত”, এই অর্থে যে একটি সাইফারটেক্সট পর্যবেক্ষণ করা ইভকে তার পূর্ব জ্ঞানের বাইরে প্লেনটেক্সট সম্পর্কে কোনো অতিরিক্ত তথ্য দেয় না।


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

নিখুঁত গোপনীয়তা একটি অত্যন্ত শক্তিশালী শর্ত।


Such a scheme for two-bit messages is illustrated in Fig. 21.8.

দু-বিট বার্তার জন্য এই ধরনের একটি স্কিম চিত্র 21.8-এ চিত্রিত করা হয়েছে।


এনক্রিপশন অত্যন্ত সহজ।


While the one-time pad is efficient, and gives perfect secrecy, it has one glaring disadvantage: to communicate 푛 bits you need to store a key of length 푛.

যদিও ওয়ান-টাইম প্যাড দক্ষ এবং নিখুঁত গোপনীয়তা প্রদান করে, তবে এর একটি সুস্পষ্ট অসুবিধা রয়েছে: 푛 বিট যোগাযোগ করার জন্য আপনাকে 푛 দৈর্ঘ্যের একটি কী সংরক্ষণ করতে হবে।


Imagine that every time you opened an account with Amazon, Google, or any other service, they would need to send you in the mail (ideally with a secure courier) a DVD full of random numbers.

কল্পনা করুন যে প্রতিবার আপনি Amazon, Google বা অন্য কোনো পরিষেবাতে একটি অ্যাকাউন্ট খুললে, তাদের আপনাকে মেইলে (আদর্শভাবে একটি সুরক্ষিত কুরিয়ারের মাধ্যমে) এলোমেলো সংখ্যায় পূর্ণ একটি ডিভিডি পাঠাতে হবে।


It's not hard to see that if F is in BPP then it can be computed in exponential time.

এটা বোঝা কঠিন নয় যে যদি F BPP-তে থাকে তবে এটি সূচকীয় সময়ে গণনা করা যেতে পারে।


The proof readily follows by enumerating over all the (exponentially many) choices for the random coins.

প্রমাণটি সহজেই অনুসরণ করা যায় এলোমেলো কয়েনগুলির জন্য সমস্ত (সূচকীয়ভাবে অনেকগুলি) পছন্দ গণনা করে।


We omit the formal proof, as doing it by yourself is an excellent way to get comfortable with Definition 20.1.

আমরা আনুষ্ঠানিক প্রমাণটি বাদ দিচ্ছি, কারণ এটি নিজে করা সংজ্ঞা 20.1 এর সাথে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করার একটি চমৎকার উপায়।


A priori it is not at all clear that the same holds for a function in BPP, but this does turn out to be the case.

অগ্রাধিকারের ভিত্তিতে, BPP-এর একটি ফাংশনের জন্য একই জিনিস প্রযোজ্য কিনা তা মোটেও স্পষ্ট নয়, তবে এটিই ঘটনা।


The standard BPP guarantee corresponds to the middle figure, where for every input x, at least two thirds of the choices r for a random tape will result in A computing the correct value.

স্ট্যান্ডার্ড BPP গ্যারান্টি মাঝের চিত্রের সাথে মিলে যায়, যেখানে প্রতিটি ইনপুট x-এর জন্য, একটি র্যান্ডম টেপের জন্য r-এর অন্তত দুই-তৃতীয়াংশ পছন্দ A-কে সঠিক মান গণনা করার ফল দেবে।


That is, every column is colored green in at least two thirds of its coordinates.

অর্থাৎ, প্রতিটি কলাম তার স্থানাঙ্কের অন্তত দুই-তৃতীয়াংশে সবুজ রঙ করা হয়েছে।


In the left figure we have an “average case” guarantee where the algorithm is only guaranteed to output the correct answer with probability two thirds over a random input.

বাম চিত্রে আমাদের একটি “গড় কেস” গ্যারান্টি রয়েছে যেখানে অ্যালগরিদমটি শুধুমাত্র একটি এলোমেলো ইনপুটের উপর দুই-তৃতীয়াংশ সম্ভাবনা সহ সঠিক উত্তরটি আউটপুট করার গ্যারান্টিযুক্ত।


That is, at least two thirds of the rows are all green.

অর্থাৎ, সারির অন্তত দুই-তৃতীয়াংশ সবুজে রয়েছে।


Theorem 20.8 (BPP ⊆ P / poly) is proven by amplifying the success of a BPP algorithm until we have the “offline BPP” guarantee, and then hardwiring the choice of the randomness r to obtain a non-uniform deterministic algorithm.

উপপাদ্য 20.8 (BPP ⊆ P / poly) একটি BPP অ্যালগরিদমের সাফল্যকে বাড়িয়ে প্রমাণ করা হয়েছে যতক্ষণ না আমাদের “অফলাইন BPP” গ্যারান্টি থাকে এবং তারপরে নন-ইউনিফর্ম ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদম পেতে র্যান্ডমনেসের পছন্দ r-কে হার্ডওয়্যার করা হয়।


That is, for every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ such that for every n > 0, F ↾ n ∈ SIZE(an b) where F ↾ n is the restriction of F to inputs in {0,1} n.

অর্থাৎ, প্রতিটি F ∈ BPP-এর জন্য, কিছু a, b ∈ ℕ বিদ্যমান যেমন প্রতিটি n > 0-এর জন্য, F ↾ n ∈ SIZE(an b) যেখানে F ↾ n হল {0,1} n-এর ইনপুটের F-এর সীমাবদ্ধতা।


The idea behind the proof is that we can first amplify by repetition the probability of success from 2/3 to 1 − 0.1 ⋅ 2 −n.

প্রমাণের পেছনের ধারণাটি হল যে আমরা প্রথমে পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে সাফল্যের সম্ভাবনা 2/3 থেকে 1 − 0.1 ⋅ 2 −n পর্যন্ত বাড়াতে পারি।


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of “favorable coins” which is a string r of length polynomial in n such that if r is used for the randomness then we output the right answer on all of the possible 2n inputs.

এটি আমাদের দেখাতে দেবে যে প্রতিটি n ∈ ℕ-এর জন্য “অনুকূল কয়েন”-এর একটি একক নির্দিষ্ট পছন্দ বিদ্যমান যা n-এর মধ্যে পলিনোমিয়াল দৈর্ঘ্যের একটি স্ট্রিং r যেমন যদি র্যান্ডমনেসের জন্য r ব্যবহার করা হয় তবে আমরা সমস্ত সম্ভাব্য 2n ইনপুটের সঠিক উত্তরটি আউটপুট করি।


We can then use the standard “unravelling the loop” technique to transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program, and “hardwire” the favorable choice of random coins.

তারপরে আমরা একটি RNAND-TM প্রোগ্রামকে একটি RNAND-CIRC প্রোগ্রামে রূপান্তর করতে এবং এলোমেলো কয়েনগুলির অনুকূল পছন্দকে “হার্ডওয়্যার” করতে স্ট্যান্ডার্ড “লুপ আনরাভেলিং” কৌশলটি ব্যবহার করতে পারি।


ধরুন F ∈ BPP।


Let P be a polynomial-time RNAND-TM program that computes F as per Definition 20.1.

ধরুন P হল একটি পলিনোমিয়াল-টাইম RNAND-TM প্রোগ্রাম যা সংজ্ঞা 20.1 অনুসারে F গণনা করে।


Using Theorem 20.5, we can amplify the success probability of P to obtain an RNAND-TM program P′ that is at most a factor of O(n) slower (and hence still polynomial time) such that for every x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n, (20.5) where m is the number of coin tosses that P′ uses on inputs of length n.

উপপাদ্য 20.5 ব্যবহার করে, আমরা P-এর সাফল্যের সম্ভাবনাকে বাড়িয়ে একটি RNAND-TM প্রোগ্রাম P′ পেতে পারি যা সর্বাধিক O(n) ফ্যাক্টর ধীর (এবং সেইজন্য এখনও পলিনোমিয়াল সময়) যেমন প্রতিটি x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n, (20.5) যেখানে m হল কয়েন টসের সংখ্যা যা P′ n দৈর্ঘ্যের ইনপুটে ব্যবহার করে।


For every x ∈ {0,1} n, define the “bad” event Bx to hold if P′(x) ≠ F(x), where the sample space for this event consists of the coins of P′.

প্রতিটি x ∈ {0,1} n-এর জন্য, “খারাপ” ঘটনা Bx সংজ্ঞায়িত করুন যদি P′(x) ≠ F(x) হয়, যেখানে এই ঘটনার জন্য নমুনা স্থান P′-এর কয়েন নিয়ে গঠিত।


Then by (20.5), Pr[Bx] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n for every x ∈ {0,1} n.

তাহলে (20.5) অনুসারে, প্রতিটি x ∈ {0,1} n-এর জন্য Pr[Bx] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n।


Since there are 2n many such x’s, by the union bound we see that the probability that the union of the events {Bx} x∈{0,1} n is at most 0.1.

যেহেতু এই ধরনের x-এর সংখ্যা 2n, ইউনিয়ন বাউন্ড দ্বারা আমরা দেখি যে ঘটনাগুলির ইউনিয়ন {Bx} x∈{0,1} n-এর সম্ভাবনা সর্বাধিক 0.1।


This means that if we choose r ∼ {0,1} m, then with probability at least 0.9 it will be the case that for every x ∈ {0,1} n, F(x) = P′(x; r).

এর মানে হল যে যদি আমরা r ∼ {0,1} m নির্বাচন করি, তাহলে অন্তত 0.9 সম্ভাবনার সাথে এটি ঘটবে যে প্রতিটি x ∈ {0,1} n-এর জন্য, F(x) = P′(x; r)।


The study of quantum mechanics can be quite challenging.

কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অধ্যয়ন বেশ চ্যালেঞ্জিং হতে পারে।


Quantum computing utilizes the principles of quantum mechanics.

কোয়ান্টাম কম্পিউটিং কোয়ান্টাম মেকানিক্সের নীতিগুলি ব্যবহার করে।


The double-slit experiment demonstrates quantum phenomena.

ডাবল-স্লিট পরীক্ষাটি কোয়ান্টাম ঘটনাগুলি প্রদর্শন করে।


ফোটন কণা-তরঙ্গ দ্বৈততা প্রদর্শন করে।


Understanding quantum entanglement is crucial.

কোয়ান্টাম জট বোঝা অপরিহার্য।


Quantum computers could revolutionize data processing.

কোয়ান্টাম কম্পিউটার ডেটা প্রক্রিয়াকরণে বিপ্লব ঘটাতে পারে।


The concept of superposition is fundamental.

সুপারপজিশনের ধারণাটি মৌলিক।


Classical physics differs significantly from quantum mechanics.

ক্লাসিক্যাল পদার্থবিদ্যা কোয়ান্টাম মেকানিক্স থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।


Quantum algorithms offer potential speedups.

কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমগুলি সম্ভাব্য গতি বৃদ্ধি করে।


The field of quantum cryptography is rapidly evolving.

কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফির ক্ষেত্রটি দ্রুত বিকশিত হচ্ছে।


Scientists are exploring the applications of quantum technology.

বিজ্ঞানীরা কোয়ান্টাম প্রযুক্তির অ্যাপ্লিকেশনগুলি অনুসন্ধান করছেন।


কম্পিউটিংয়ের ভবিষ্যৎ কোয়ান্টাম হতে পারে।


Quantum mechanics challenges our intuition.

কোয়ান্টাম মেকানিক্স আমাদের স্বজ্ঞাততাকে চ্যালেঞ্জ করে।


The uncertainty principle is a key concept.

অনিশ্চয়তা নীতি একটি মূল ধারণা।


Quantum information theory is a complex subject.

কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব একটি জটিল বিষয়।


Researchers are working on building quantum computers.

গবেষকরা কোয়ান্টাম কম্পিউটার তৈরির জন্য কাজ করছেন।


The study of quantum entanglement is fascinating.

কোয়ান্টাম জটের অধ্যয়ন আকর্ষণীয়।


Quantum mechanics has revolutionized our understanding of the universe.

কোয়ান্টাম মেকানিক্স মহাবিশ্ব সম্পর্কে আমাদের ধারণা পরিবর্তন করেছে।


The potential of quantum computing is immense.

কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের সম্ভাবনা বিশাল।


Many challenges remain in the development of quantum technologies.

কোয়ান্টাম প্রযুক্তির বিকাশে এখনও অনেক চ্যালেঞ্জ রয়েছে।


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

যদি আপনি কোয়ান্টাম মেকানিক্স নিয়ে বিভ্রান্ত হন, তবে আপনি একা নন।


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

কোয়ান্টাম মেকানিক্স জিতেছে: এটা দেখা যায় যে পরিমাপ ব্যবহার করে একে অপরের থেকে অনেক দূরে থাকা বস্তুর অবস্থার মধ্যে সম্পর্ক তৈরি করা সম্ভব যা কোনো পূর্ববর্তী তত্ত্ব দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায় না।


Suppose that Alice and Bob try to convince you they have telepathic ability, and they aim to prove it via the following experiment.

ধরুন, এলিস এবং বব আপনাকে বোঝানোর চেষ্টা করছে যে তাদের টেলিপ্যাথিক ক্ষমতা আছে, এবং তারা নিম্নলিখিত পরীক্ষার মাধ্যমে এটি প্রমাণ করতে চায়।


Alice and Bob will be in separate closed rooms.

এলিস এবং বব আলাদা বন্ধ ঘরে থাকবে।


You will interrogate Alice and your associate will interrogate Bob.

আপনি এলিসকে জিজ্ঞাসাবাদ করবেন এবং আপনার সহযোগী ববকে জিজ্ঞাসাবাদ করবে।


We say that Alice and Bob win this experiment if a ⊕ b = x ∧ y.

আমরা বলি যে এলিস এবং বব এই পরীক্ষায় জিতবে যদি a ⊕ b = x ∧ y হয়।


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

অন্য কথায়, এলিস এবং ববকে দুটি বিট আউটপুট করতে হবে যা x = y = 1 হলে ভিন্ন হবে এবং অন্যথায় একমত হবে।


Now if Alice and Bob are not telepathic, then they need to agree in advance on some strategy.

এখন যদি এলিস এবং বব টেলিপ্যাথিক না হয়, তবে তাদের আগে থেকেই কিছু কৌশল নিয়ে একমত হতে হবে।


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

এলিস এবং ববের জন্য ৩/৪ সম্ভাবনার সাথে সফল হওয়া কঠিন নয়: শুধু একই বিট সর্বদা আউটপুট করুন।


There is something weird about quantum mechanics.

কোয়ান্টাম মেকানিক্স সম্পর্কে কিছু অদ্ভুততা রয়েছে।


In 1935 Einstein, Podolsky and Rosen (EPR) tried to pinpoint this issue by highlighting a previously unrealized corollary of this theory.

১৯৩৫ সালে আইনস্টাইন, পোডলস্কি এবং রোজেন (ইপিআর) এই তত্ত্বের পূর্বে উপলব্ধি করা যায়নি এমন একটি ফলস্বরূপ বিষয় তুলে ধরে এই সমস্যাটি চিহ্নিত করার চেষ্টা করেছিলেন।


Namely, making a measurement of one object may instantaneously effect the state of another object in the other end of the universe.

অর্থাৎ, একটি বস্তুর পরিমাপ করা মহাবিশ্বের অন্য প্রান্তে থাকা অন্য বস্তুর অবস্থার উপর তাৎক্ষণিকভাবে প্রভাব ফেলতে পারে।


Unfortunately (or fortunately?) these strange outcomes have been confirmed experimentally.

দুর্ভাগ্যবশত (নাকি সৌভাগ্যবশত?) এই অদ্ভুত ফলাফলগুলি পরীক্ষামূলকভাবে নিশ্চিত করা হয়েছে।


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

এই ধারণা যে সিস্টেমের দুটি অংশ এই অদ্ভুত উপায়ে সংযুক্ত হতে পারে যেখানে একটি পরিমাপ করলে অন্যটির উপর প্রভাব পড়বে, তা কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট হিসাবে পরিচিত।


As counter-intuitive as these concepts are, they have been experimentally confirmed, so we just have to live with them.

এই ধারণাগুলো যতই স্বজ্ঞাতবিরোধী হোক না কেন, এগুলি পরীক্ষামূলকভাবে নিশ্চিত করা হয়েছে, তাই আমাদের শুধু এগুলির সাথে মানিয়ে নিতে হবে।


One of the strange aspects of the quantum-mechanical picture of the world is that unlike in the billiard ball example, there is no obvious algorithm to simulate the evolution of n particles over t time periods in poly(n,t) steps.

বিশ্বের কোয়ান্টাম-মেকানিক্যাল চিত্রের একটি অদ্ভুত দিক হল, বিলিয়ার্ড বলের উদাহরণের মতো নয়, n কণার t সময়ের মধ্যে poly(n,t) ধাপে বিবর্তনকে অনুকরণ করার জন্য কোনো সুস্পষ্ট অ্যালগরিদম নেই।


In fact, the natural way to simulate n quantum particles will require a number of steps that is exponential in n.

প্রকৃতপক্ষে, n কোয়ান্টাম কণা অনুকরণ করার স্বাভাবিক পদ্ধতির জন্য n-এ সূচকীয় সংখ্যক পদক্ষেপের প্রয়োজন হবে।


This is a huge headache for scientists that actually need to do these calculations in practice.

ব্যবহারিকভাবে এই গণনাগুলি করতে হয় এমন বিজ্ঞানীদের জন্য এটি একটি বিশাল মাথাব্যথা।


In 1981, physicist Richard Feynman proposed to “turn this lemon to lemonade” by making the following almost tautological observation:

১৯৮১ সালে, পদার্থবিদ রিচার্ড ফাইনম্যান নিম্নলিখিত প্রায় স্বতঃসিদ্ধ পর্যবেক্ষণ করে “এই লেবুকে লেমনেডে পরিণত করার” প্রস্তাব করেছিলেন:


If a physical system cannot be simulated by a computer in T steps, the system can be considered as performing a computation that would take more than T steps.

যদি একটি ভৌত সিস্টেমকে T ধাপে একটি কম্পিউটার দ্বারা অনুকরণ করা না যায়, তবে সিস্টেমটিকে এমন একটি গণনা সম্পাদন করার মতো হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা T-এর চেয়ে বেশি পদক্ষেপ নেবে।


Essential Discrete Mathematics for Computer Science.

কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য অপরিহার্য বিচ্ছিন্ন গণিত।


গণনার প্রকৃতি।


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.

স্নায়ু কার্যকলাপের অন্তর্নিহিত ধারণাগুলির একটি যৌক্তিক ক্যালকুলাস।


এলোমেলো অ্যালগরিদম।


Probability and computing: randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis.

সম্ভাব্যতা এবং কম্পিউটিং: অ্যালগরিদম এবং ডেটা বিশ্লেষণে র্যান্ডমাইজেশন এবং সম্ভাব্য কৌশল।


EDVAC-এর উপর একটি রিপোর্টের প্রথম খসড়া।


The elements of computing systems: building a modern computer from first principles.

কম্পিউটিং সিস্টেমের উপাদান: প্রথম নীতি থেকে একটি আধুনিক কম্পিউটার তৈরি করা।


The PageRank citation ranking: Bringing order to the web.

PageRank সাইটেশন র‍্যাঙ্কিং: ওয়েবে শৃঙ্খলা আনয়ন।


টাইপ এবং প্রোগ্রামিং ভাষা।


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.

পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য সেটগুলির শ্রেণী এবং তাদের সিদ্ধান্ত সমস্যা।


ছোট সার্বজনীন টুরিং মেশিন।


Discrete mathematics and its applications.

বিচ্ছিন্ন গণিত এবং এর প্রয়োগ।


Finite automata and their decision problems.

সসীম অটোমেটা এবং তাদের সিদ্ধান্ত সমস্যা।


On the history of combinatorial optimization (till 1960).

সংযোজনমূলক অপটিমাইজেশনের ইতিহাস (১৯৬০ সাল পর্যন্ত)।


A symbolic analysis of relay and switching circuits.

রিলে এবং সুইচিং সার্কিটের একটি প্রতীকী বিশ্লেষণ।


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps.

O(logn) গাণিতিক ধাপে সংখ্যাগুলির উৎপাদকীকরণ।


যৌক্তিক স্বপ্ন।


A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants.

বুলিয়ান বীজগণিতের জন্য পাঁচটি স্বাধীন স্বতঃসিদ্ধের একটি সেট, যা যৌক্তিক ধ্রুবকের সাথে সম্পর্কিত।


Hidden figures: the American dream and the untold story of the Black women mathematicians who helped win the space race.

হাইডেন ফিগারস: আমেরিকান স্বপ্ন এবং কৃষ্ণাঙ্গ মহিলা গণিতবিদদের অজানা গল্প যারা মহাকাশ দৌড় জিততে সাহায্য করেছিলেন।


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

একটি কুইবিটের অবস্থা 0 এবং 1 এর সুপারপজিশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।


Quantum computing utilizes the principles of quantum mechanics.

কোয়ান্টাম কম্পিউটিং কোয়ান্টাম মেকানিক্সের নীতিগুলি ব্যবহার করে।


অ্যালিস এবং বব হলো জড়িত কুইবিট।


The probability of agreement is cos squared of pi over eight.

ঐকমত্যের সম্ভাবনা হল পাই বাই আট এর কোসাইন বর্গ।


The system collapses to a specific state upon measurement.

মাপার পরে সিস্টেমটি একটি নির্দিষ্ট অবস্থায় পতিত হয়।


Quantum circuits are analogous to Boolean circuits.

কোয়ান্টাম সার্কিটগুলি বুলিয়ান সার্কিটের অনুরূপ।


We cannot reuse quantum states without measuring them.

আমরা তাদের পরিমাপ না করে কোয়ান্টাম অবস্থা পুনরায় ব্যবহার করতে পারি না।


The NAND operation is a reversible map on three qubits.

NAND অপারেশনটি তিনটি কুইবিটের উপর একটি বিপরীতযোগ্য মানচিত্র।


A quantum circuit is a directed acyclic graph.

একটি কোয়ান্টাম সার্কিট একটি নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ।


The Hadamard gate is used in quantum circuits.

হ্যাডামার্ড গেট কোয়ান্টাম সার্কিটে ব্যবহৃত হয়।


The overall probability of winning the game is at least 0.8.

গেমটি জেতার সামগ্রিক সম্ভাবনা কমপক্ষে 0.8।


Quantum computers could provide exponential speedup.

কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলি সূচকীয় গতি বৃদ্ধি করতে পারে।


The No Cloning Theorem is a fundamental concept.

ন клоনিং теоরেম একটি মৌলিক ধারণা।


We will focus on the non-uniform setting of quantum circuits.

আমরা কোয়ান্টাম সার্কিটের নন-ইউনিফর্ম সেটিংয়ের উপর মনোযোগ দেব।


Superconducting quantum computers are being developed.

সুপারকন্ডাক্টিং কোয়ান্টাম কম্পিউটার তৈরি করা হচ্ছে।


Shor's algorithm is a polynomial-time quantum algorithm.

শরের অ্যালগরিদম একটি পলিনোমিয়াল-টাইম কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম।


The algorithm outputs the prime factorization of M.

অ্যালগরিদম M এর মৌলিক উৎপাদককে আউটপুট করে।


Period finding is at the heart of Shor's Theorem.

পিরিয়ড খুঁজে বের করা শরের উপপাদ্যের মূল বিষয়।


The Fourier Transform decomposes periodic functions.

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলিকে বিশ্লেষণ করে।


The quantum Fourier transform is a key procedure.

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর একটি মূল প্রক্রিয়া।


The algorithm recovers the factorization of M from the periods of functions.

এই অ্যালগরিদম ফাংশনগুলির পর্যায় থেকে M-এর উৎপাদক পুনরুদ্ধার করে।


Shor's algorithm is used to find the prime factorization of a number.

শোরের অ্যালগরিদম একটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়।


The quantum Fourier transform is a key component of Shor's algorithm.

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর শোরের অ্যালগরিদমের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান।


We can use classical number theory to obtain a non-trivial prime factor.

আমরা একটি অ-তুচ্ছ মৌলিক উৎপাদক পেতে ক্লাসিক্যাল সংখ্যা তত্ত্ব ব্যবহার করতে পারি।


The algorithm involves repeating a process a certain number of times.

অ্যালগরিদমের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার একটি প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করা জড়িত।


The Quantum Fourier Transform gives a quantum state.

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর একটি কোয়ান্টাম অবস্থা প্রদান করে।


The algorithm is described at a high level.

অ্যালগরিদমটি একটি উচ্চ স্তরে বর্ণনা করা হয়েছে।


The key quantum ingredient in Shor’s algorithm is the quantum fourier transform.

শোরের অ্যালগরিদমের মূল কোয়ান্টাম উপাদান হল কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর।


The Quantum Fourier Transform does not actually give a way to compute the Fourier Transform.

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর আসলে ফুরিয়ার রূপান্তর গণনা করার একটি উপায় দেয় না।


The algorithm uses the Quantum Fourier Transform.

অ্যালগরিদমটি কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে।


Understanding the Quantum Fourier Transform requires understanding the Fourier Transform itself.

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর বুঝতে হলে ফুরিয়ার রূপান্তরটি নিজেই বুঝতে হবে।


The Fourier transform is a deep and vast topic.

ফুরিয়ার রূপান্তর একটি গভীর এবং বিশাল বিষয়।


The Fourier transform exists for every Abelian group.

ফুরিয়ার রূপান্তর প্রতিটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের জন্য বিদ্যমান।


The representation is known as the Fourier expansion or Fourier transform.

এই উপস্থাপনাটি ফুরিয়ার বিস্তার বা ফুরিয়ার রূপান্তর হিসাবে পরিচিত।


The central property of the Fourier characters is that they are homomorphisms.

ফুরিয়ার অক্ষরগুলির কেন্দ্রীয় বৈশিষ্ট্য হল যে তারা হোমোমরফিজম।


If a function is periodic with minimal period, then the only Fourier characters that have non zero coefficients are those that are periodic as well.

যদি একটি ফাংশন সর্বনিম্ন পর্যায় সহ পর্যায়ক্রমিক হয়, তবে একমাত্র ফুরিয়ার অক্ষর যাদের অশূন্য সহগ রয়েছে তারা সেইগুলি যা একইভাবে পর্যায়ক্রমিক।


We now describe the simplest setting of the Quantum Fourier Transform.

আমরা এখন কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের সবচেয়ে সহজ সেটিংস বর্ণনা করব।


The Quantum Fourier Transform over the Boolean Cube is actually quite simple.

বুলিয়ান কিউবের উপর কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর আসলে বেশ সহজ।


The Hadamard operation corresponds to the Fourier transform.

হ্যাডামার্ড অপারেশন ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে মিলে যায়।


The idea behind the proof is that the Hadamard operation corresponds to the Fourier transform.

প্রমাণের পেছনের ধারণাটি হল যে হ্যাডামার্ড অপারেশন ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে মিলে যায়।